基本概念、公式和定理

基本概念、公式和定理CATALOGUE目录数学基本概念代数公式与定理几何图形与性质三角函数及其性质数列、数学归纳法与极限思想微积分基本定理及应用数学基本概念01具有某种特定性质的事物的总体，构成集合的事物称为该集合的元素。集合元素与集合的关系集合的表示方法属于和不属于，表示元素与集合的关系。列举法和描述法，列举法是把集合中的元素一一列举出来，描述法是用确定的条件表示集合。030201集合与元素映射01设A和B是两个非空集合，如果存在一个法则f，使得对A中的每个元素a，按法则f，在B中有唯一确定的元素b与之对应，则称f为从A到B的映射。函数02设数集D是实数集R的子集，如果存在一个对应法则f，使得对D中的每个数x，按对应法则f，都有唯一确定的数y与之对应，则称f为定义在D上的函数。函数的表示方法03解析法、列表法和图象法。映射与函数按照一定顺序排列的一列数称为数列。数列当n无限增大时，数列的项无限趋近于某个常数，这个常数就称为该数列的极限。数列的极限唯一性、有界性和保号性。数列极限的性质数列与极限研究函数局部性质的数学分支，主要内容包括导数和微分。微分学研究函数整体性质的数学分支，主要内容包括定积分和不定积分。积分学揭示了微分学与积分学之间的内在联系，是微积分学的核心定理。微积分基本定理微积分基础代数公式与定理02代数运算规则加法结合律乘法结合律$(a+b)+c=a+(b+c)$$(ab)c=a(bc)$加法交换律乘法交换律乘法分配律$a+b=b+a$$ab=ba$$a(b+c)=ab+ac$$ax+b=0$，解为$x=-b/a$一元一次方程$ax^2+bx+c=0$，解为$x=frac{{-bpmsqrt{{b^2-4ac}}}}{2a}$一元二次方程同向不等式可加可减，可乘正数，不可乘未知数或负数不等式的性质方程与不等式矩阵的加法：对应元素相加矩阵的乘法：满足结合律和分配律，不满足交换律行列式的性质：行列式等于其转置行列式，两行互换，行列式变号，一行乘以常数加到另一行，行列式不变矩阵与行列式

线性方程组求解高斯消元法通过加减消元将方程组化为上三角形式，然后回代求解克莱姆法则适用于方程个数与未知数个数相等的情况，通过计算行列式求解矩阵法将方程组表示为增广矩阵形式，通过矩阵的初等变换求解几何图形与性质03010204平面几何图形点、直线、平面的基本性质角的定义、分类和性质多边形的定义、分类和性质圆的定义、性质和定理03空间中的点、直线和平面的基本性质空间角的定义、分类和性质多面体和旋转体的定义、分类和性质空间距离和夹角的计算01020304空间几何图形坐标系和坐标平面的概念直线和圆的方程点和向量的坐标表示二次曲线的方程和性质解析几何基础02030401几何变换与对称性几何变换的定义和分类对称性的定义和分类几种特殊的几何变换：平移、旋转、反射和伸缩对称性在几何图形中的应用三角函数及其性质04弧度制以弧长与半径之比作为角的度量单位，一周角等于2π弧度。角度与弧度的转换公式1度=π/180弧度，1弧度=180/π度。角度制以度作为角的度量单位，一周角等于360度。角度与弧度制余弦函数cosθ=x/r，其中θ为角，x为邻边长度，r为斜边长度。正弦函数sinθ=y/r，其中θ为角，y为对边长度，r为斜边长度。正切函数tanθ=y/x，其中θ为角，y为对边长度，x为邻边长度。任意角的三角函数正弦函数图像余弦函数图像正切函数图像三角函数的性质三角函数的图像和性质01020304波形图，周期T=2π，振幅A=1。波形图，周期T=2π，振幅A=1。间断的直线图，在每个周期内单调递增。周期性、奇偶性、单调性等。基本恒等式和差化积公式积化和差公式倍角公式三角恒等式及变换sin^2θ+cos^2θ=1。sinαsinβ=1/2[cos(α-β)-cos(α+β)]，cosαcosβ=1/2[cos(α-β)+cos(α+β)]。sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ，cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ。sin2α=2sinαcosα，cos2α=cos^2α-sin^2α=1-2sin^2α=2cos^2α-1。数列、数学归纳法与极限思想05一个数列，从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数。等差数列定义an=a1+(n-1)d，其中an为第n项，a1为首项，d为公差。等差数列通项公式一个数列，从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数。等比数列定义an=a1*q^(n-1)，其中an为第n项，a1为首项，q为公比。等比数列通项公式等差数列和等比数列证明与自然数n有关的命题P(n)时，第一步验证n=1时命题成立；第二步假设n=k时命题成立，证明n=k+1时命题也成立。数学归纳法原理用于证明与自然数n有关的恒等式、不等式、整除性质等问题。数学归纳法应用数学归纳法原理及应用通过无限逼近的方式来研究数量的变化趋势的思想方法。极限思想定义通过求极限的方式，可以研究数列的收敛性、发散性以及收敛数列的极限值等问题。极限思想在数列中的应用极限思想在数列中的应用无穷级数定义由无穷多个数相加所得到的和。无穷级数收敛性判断方法比较判别法、比值判别法、根值判别法等。这些方法通过比较级数的通项与某个已知收敛或发散的级数来判断其收敛性。无穷级数收敛性判断微积分基本定理及应用06VS设函数$y=f(x)$在点$x_0$的某个邻域内有定义，当自变量$x$在$x_0$处取得增量$Deltax$（点$x_0+Deltax$仍在该邻域内）时，相应地函数取得增量$Deltay=f(x_0+Deltax)-f(x_0)$；如果$Deltay$与$Deltax$之比当$Deltaxto0$时极限存在，则称函数$y=f(x)$在点$x_0$处可导，并称这个极限为函数$y=f(x)$在点$x_0$处的导数，记作$f'(x_0)$。导数的计算法则包括常数与函数的乘法、函数与函数的乘法、复合函数的导数等计算法则。导数的定义导数定义及计算法则包括罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理等，这些定理反映了可微函数在闭区间上的整体与局部之间的关系。可用于证明不等式、求极限、判断函数单调性等问题。微分中值定理及其应用微分中值定理的应用微分中值定理设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，将区间$[a,b]$分成$n$个小区间，在每个小区间上任取一点$xi_i$，作和式$sum_{i=1}^{n}f(xi_i)Deltax_i$，当$maxDeltax_ito0$时，该和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数$f(x)$在区间$[a,b]$上的定积分，记作$int_{a}^{b}f(x)dx$。定积分的概念包括线性性质、可加性、保号性、绝对值不等式等。定积