福建省建瓯市芝华中学2023-2024学年高一下学期第一次阶段考试数学试题(含答案)

-2024学年芝华中学高一下学期第一次阶段考试数学试题单项选择题（本大题共8题，每小题5分，共计40分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的）1．在△ABC中，若，，则等于（）A． B． C． D．2．已知向量，，那么向量可以是（

）A． B． C． D．3．已知向量，，则（

）A．0 B．1 C．-1 D．24．已知点，，，O为坐标原点，若与共线，则（

）A．0 B．1 C．2 D．35．在中，若，则（

）A． B． C． D．6．己知均为单位向量．若，则在上的投影向量为（

）A． B． C． D．7．在中，若，则的面积的最大值为（

）A． B． C． D．8．如图，已知正方形的边长为4，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（

）A． B． C． D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知向量，若为锐角，则实数可能的取值是（

）A． B． C． D．10．在中，若，则的形状可能为（

）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．不存在11．下列说法正确的是（

）A．B．若与平行，与平行，则与平行C．若且则D．和的数量积就是在上的投影向量与的数量积12．在中，分别是边中点，下列说法正确的是（

）A．B．C．若，则是在的投影向量D．若点是线段上的动点（不与重合），且，则的最大值为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.13．在中，为的中点，若，则的长为______．14．已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．若，则的外接圆半径为____________．15．若两个非零向量，满足，则与的夹角为______．16．如图，在中，P为线段AB上一点，则，若，，，且与的夹角为，则的值为_______.四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知，，与的夹角为．(1)求； (2)当为何值时，？18．已知向量，函数.(1)求函数的最大值及相应自变量的取值；(2)在中，角的对边分别为，若，求的取值范围.19．中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，．(1)，时，求CD的长度；(2)若CD为角C的平分线，且，求的面积．

20．如图，在直角三角形中，．点分别是线段上的点，满足．(1)求的取值范围；(2)是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．21．记的内角的对边分别为，已知.(1)求；(2)若为线段延长线上的一点，且，求.22．已知在非钝角中，角所对的边分别为.(1)求；(2)若的面积为1，且__________（在下面两个条件中任选一个），求的周长.①；②.注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.2023-2024学年芝华中学高一下学期第一次阶段考试数学试卷参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.D2.A3.A4.B5.D6.C7.C8.B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全都选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.BD10.ABC11.AD12.BCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.214.15.(或)16.-3单项选择题（本大题共8题，每小题5分，共计40分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的）1．在△ABC中，若，，则等于（）A． B． C． D．【答案】D【详解】由已知可得：.故选：D2．已知向量，，那么向量可以是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】向量，，则存在，使得故只有向量符合.故选：A.3．已知向量，，则（

）A． B．1 C． D．2【答案】A【详解】.故选：A4．已知点，，，O为坐标原点，若与共线，则（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【详解】，，由与共线，故有，解得.故选：B.5．在中，若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】易知，由可得；利用正弦定理可得.故选：D6．己知均为单位向量．若，则在上的投影向量为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由，可得，所以，则在上的投影向量为.故选：C7．在中，若，则的面积的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】设分别为的中点，连接，则，则∽，故,则，故又，则，故，当时，四边形面积最大，最大值为，故的面积的最大值为，故选：C8．如图，已知正方形的边长为4，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（

）A．B．C．D．【答案】B【详解】取的中点，连接，如图所示，所以的取值范围是，即，又由，所以.故选：B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全都选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．已知向量，若为锐角，则实数可能的取值是（

）A． B． C． D．【答案】BD【详解】因为，所以.因为为锐角，所以，解得.当时，，解得.当为锐角时，实数的取值范围是.所以实数可能的取值是，.10．在中，若，则的形状可能为（

）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．不存在【答案】ABC【详解】因为，所以由余弦定理得，，整理得，解得或，当时，是等腰三角形，当时，是直角三角形，当且时，是等腰直角三角形.故选：ABC.

11．下列说法正确的是（

）A． B．若与平行，与平行，则与平行C．若且则 D．和的数量积就是在上的投影向量与的数量积【答案】AD【详解】，故A正确；当为零向量时，对于任意的与，与平行，与平行总是成立，故B错误；等价于，当与垂直时成立，不一定，即推不出，故C错误；在上的投影向量为，，所以和的数量积就是在上的投影向量与的数量积．故D正确.故选：AD.12．在中，分别是边中点，下列说法正确的是（

）A．B．C．若，则是在的投影向量D．若点是线段上的动点（不与重合），且，则的最大值为【答案】BCD【详解】如图所示：对选项A，，故A错误.对选项B，，故B正确.对选项C，，，分别表示平行于，，的单位向量，由平面向量加法可知：为的平分线表示的向量.因为，所以为的平分线，又因为为的中线，所以，如图所示：在的投影为，所以是在的投影向量，故选项C正确.对选项D，如图所示：因为在上，即三点共线，设，.又因为，所以.因为，则，.令，当时，取得最大值为.故选项D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在中，为的中点，若，则的长为______．【答案】【详解】在中，，，由余弦定理得：，在中，由余弦定理得：，解得，所以的长为2.故答案为：214．已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．若，则的外接圆半径为____________．【答案】【详解】根据余弦定理由，而，因此有，因为，所以，由正弦定理可知的外接圆半径为，故答案为：15．若两个非零向量，满足，则与的夹角为______．【答案】##【详解】设向量与的夹角为，因为，则，变形得，所以且，则，故，又，则.故答案为:.16．如图，在中，P为线段AB上一点，则，若，，，且与的夹角为，则的值为_______.【答案】-3【详解】因为，所以，所以，即，故答案为：-3四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知，，与的夹角为．(1)求； (2)当为何值时，？【答案】(1)(2)【详解】（1），，.（2）由得：，解得：.

18．已知向量，函数.(1)求函数的最大值及相应自变量的取值；(2)在中，角的对边分别为，若，求的取值范围.【答案】(1)；(2)【详解】（1）由题知，，所以当，即时，最大，且最大值为；（2）由(1)知，，则，解得或，所以中，，又，则，整理得，则，当且仅当时，等号成立，整理可得，又在中，所以，即的取值范围为.19．中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，．(1)，时，求CD的长度；(2)若CD为角C的平分线，且，求的面积．【答案】(1)(2)【详解】（1）当时，则所以，∴．（2）因为，即，∴，又，∴，则，∴．20．如图，在直角三角形中，．点分别是线段上的点，满足．(1)求的取值范围；(2)是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)存在，【详解】（1）在直角三角形中，．∴，，，∵，∴．（2）令，得或（舍）.∴存在实数，使得．21．记的内角的对边分别为，已知.(1)求； (2)若为线段延长线上的一点，且，求.【答案】(1)(2)【详解】（1）由已知得，由正弦定理，得，则，即，所以（舍去）或，故，所以.（2）设，在中，由正弦定理，得①，在中，由正弦定理，得②，所以，所以，解得，所以，即.22．已知在非钝角中，角所对的边分别为.(1)求；(2)若的面积