新教材同步备课2024春高中数学第6章计数原理数学探究杨辉三角的性质与应用教师用书新人教A版选择性必修第三册

数学探究杨辉三角的性质与应用学习任务1．经受发觉数学关联、提出数学问题、得到数学结论、推理论证、综合应用的过程，把握数学探究活动的方法，提升数学学科核心素养．2．经受从类比仿照到自主创新、从局部实施到整体构想的过程，初步把握数学课题争辩的基本方法．杨辉三角是我国数学史上的一个宏大成就，从数学角度体现了中华优秀传统文化．阅读《详解九章算法》一书中的开方作法本源图，如图，其中隐藏着很多数学的奇特．此图为开方作法本源图，现在杨辉算书的传本中都没有这个图，只在明朝《永乐大典》(1407)抄录的《详解九章算法》中还保存着这份贵重遗产．《详解九章算法》由杨辉所著，他在书中提到“出释锁算书，贾宪用此术”．这说明，在我国至迟贾宪时期就已经创造了这个数字三角形．关于贾宪的生平，所知甚少．依据一些记载，只能推定贾宪著书的年月是在1023年至1050年这段时期．学问点杨辉三角的性质1．如图所示，结合杨辉三角与二项式(a＋b)n的开放式的二项式系数可发觉如下性质：第n行的n＋1个数是二项式(a＋b)n的开放式的系数；当行数n为偶数时，C当行数n为奇数时，Cnn2．杨辉三角中各数字之间存在的性质(1)对称性：每行中与首末两端“等距离”之数相等，即Cnr＝Cn(2)递归性：除1以外的数都等于肩上两数之和，即Cnr＝Cn(3)第n行奇数项之和与偶数项之和相等，即Cn0＋Cn2＋Cn4＋…＝Cn1＋(4)第n行数的和为2n，即Cn0＋Cn1＋Cn2(5)第n行各数平方和等于第2n行中间的数，即Cn02＋Cn12＋Cn22＋…＋1．下面是当n＝1，2，3，4，5时，(a＋b)n(n∈N*)的开放式的二项式系数表示图．借助上图，推断λ，μ的值分别是()A．5，9B．5，10C．6，9D．6，10D[观看题图可分析出“杨辉三角”中的数的特点如下：(1)每一行有(n＋1)个数字，每一行两端的数字均为1；(2)从其次行起，每一行中间的数字等于它上一行对应(即两肩上)的两个数字的和，即Cn+1m＝Cnm＋Cnm-所以λ＝3＋3＝6，μ＝4＋λ＝10．故选D．]2．如图是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒，a，b是某行的前两个数，当a＝7时，b等于()A．20B．21C．22D．23C[观看题图可知，从第三行开头，每一行除开头和末尾的两个数外，中间的数分别是其两肩上相邻两个数的和，当a＝7时，b的两肩上的两个数分别为6，16，所以b＝6＋16＝22．]【例】(多选)我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》中给出了有名的杨辉三角，以下关于杨辉三角的猜想中正确的有()A．由“在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和”猜想：Cn+1r＝B．C32＋C42＋CC．第34行中从左到右第14与第15个数的比为2∶3D．由“第n行全部数之和为2n”猜想：Cn0＋Cn1＋Cn2＋ACD[对于A：明显Cn+1r＝Cnr对于B：C32＋C42＋C52＋…＋C102＝C32＋C33＋C42＋C5对于C：易知第n行从左到右第k个数是Cnk-1，则第34行从左到右第14与第15个数分别为C34对于D：第n行全部数之和为2n，即Cn0＋Cn1＋Cn2＋…＋Cn解决与杨辉三角有关的问题的一般思路(1)观看：对题目要横看、竖看、隔行看、连续看，多角度观看．(2)找规律：通过观看找出每一行的数之间，行与行之间的数据的规律．(3)将数据间的这种联系用数学式表达出来，使问题得解．[跟进训练]杨辉三角，又称帕斯卡三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列．在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》(1261年)一书中用如图所示的三角形解释二项式乘方开放的系数规律．现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，…，记作数列{an}．若数列{an}的前n项和为Sn，则S47等于()A．235B．512C．521D．1033C[依据题意杨辉三角前9行共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45(项)．故前47项的和为杨辉三角前9行的和再加第10行的前两个数1和9，所以前47项的和S47＝20＋21＋22＋…＋28＋1＋9＝29－1＋10＝521．]课时分层作业(十)数学探究杨辉三角的性质与应用一、选择题1．观看图中的数所成的规律，则a所表示的数是()A．8B．6C．4D．2B[由题图知，下一行的数是其肩上两数的和，所以4＋a＝10，即a＝6．]2．如图所示，在由二项式系数构成的杨辉三角中，第m行从左到右第14个数与第15个数的比为2∶3，则m＝()A．40B．50C．34D．32C[由题意，得第m行从左到右第n个数为Cmn-1，n∈N*，m∈N且n－∵第m行中从左到右第14个数与第15个数的比为2∶3，∴Cm13Cm14＝2故选C．]3．杨辉三角在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中被记载．如图所示的杨辉三角中，第15行第15个数是()A．14B．15C．16D．17B[由杨辉三角知：第1行：C10，C11；第2行：C20，C21，C22；第3行：C30，C31，C32，C34．(2023·辽宁沈阳二中期末)杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家，其著作《详解九章算法》中画有一张表示二项式开放后的二项式系数构成的三角形数阵(如图所示)，称为“开方作法本源”，现简称为“杨辉三角”．若用A(m，n)表示三角形数阵中的第m行第n个数，m，n∈N*，则A(100，3)＝()A．5050 B．4851C．4950 D．5000B[由二项开放式中各二项式系数可知，第m行第n个数应为Cm所以第100行第3个数为C992＝99×982＝4851，即A5．(多选)“杨辉三角”是中国古代数学杰出的争辩成果之一．如图所示，从杨辉三角的左腰上的各数动身，引一组平行线，从上往下每条线上各数之和依次为1，1，2，3，5，8，13，…，则()A．在第n(n≥5)条斜线上，各数自左往右先增大后减小B．在第9条斜线上，各数之和为55C．在第11条斜线上，最大的数是CD．在第n条斜线上，共有2n+1+-AC[对于A，由题意及题图中规律可知，在第n(n≥5)条斜线上，各数都是自左往右先增大后减小，∴A正确；对于B，依据杨辉三角定义连续往下写三行，得17213535217118285670562881193684126126843691结合题图知，第九条斜线上，各数之和为1＋10＋15＋7＋1＝34，∴B错误．对于C，第11条斜线上，最大的数为35＝C73，∴对于D，由题图，可知每条斜线上数的个数为1，1，2，2，3，3，…，代入2n+1+-1n4故选AC．]二、填空题6．(2023·福建福州高级中学期中)在如图所示的杨辉三角中，按图中箭头所指的前n个数字之和为________．nn+1n+26或C按图中箭头所指的前n个数字之和为C22＋C32＋C42＋…＋Cn+12＝C＝C43＋C42＋…＋Cn+12＝7．(2023·辽宁沈阳大东质检)如图所示的三角形数阵叫“莱布尼茨调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数且两端的数均为1n(n∈N*，n≥2)，每个数是它下一行左、右相邻两数的和，如11＝12+12，12＝11840[将杨辉三角中的每一个数Cnr都换成分数1n+1Cnr即可得到“莱布尼茨调和三角形”，杨辉三角中，第10行第4个数字为C93＝84，所以“8．(2023·江苏连云港期中)在杨辉三角中，三角形的两个腰都是由数字1组成的，其余的数都等于它肩上的两个数相加，这个三角形开头几行如图，则第9行从左到右的第3个数是________；若第n行从左到右第12个数与第13个数的比值为34，则n＝________3627[依题意，得第9行从左到右的第3个数是C92∵第n行从左到右第12个数与第13个数的比值为34，∴Cn11Cn12三、解答题9．杨辉三角是杨辉的一项重要争辩成果，它的很多性质与组合数的性质有关，杨辉三角中隐藏了很多美丽 的规律，如图是一个11阶杨辉三角：(1)求第20行中从左到右的第4个数；(2)在第2斜列中，前5个数依次为