考点08 切线（选填题12种考法）（解析版）

专题08切线（选填题12种考法）考法一在点：求切线方程【例1】（2023·全国·统考高考真题）曲线在点处的切线方程为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】设曲线在点处的切线方程为，因为，所以，所以所以所以曲线在点处的切线方程为.故选：C【变式】1．（2021·全国·统考高考真题）曲线在点处的切线方程为．【答案】【解析】由题，当时，，故点在曲线上．求导得：，所以．故切线方程为．故答案为：．2．（2023·安徽·合肥一中校联考模拟预测）曲线在点处的切线方程为．【答案】【解析】，又，所以，所以切线方程为，即．故答案为:.3．（2023·辽宁·校联考二模）已知函数是奇函数，则曲线在点处的切线方程为．【答案】【解析】由题意函数为奇函数可知所以，所以，则函数可化为，则，则由导数得几何意义可知曲线在点(0，0)处的切线斜率为-1.所以曲线在点处的切线方程为故答案为:.考法二在点：已知切线求参数【例2-1】（2023·河南·校联考模拟预测）若直线与曲线相切，则．【答案】【解析】依题意，设切点为，则，由，求导得，于是，解得，从而，则.故答案为：【例2-2】（2023·西藏日喀则·统考一模）已知直线是曲线在点处的切线方程，则【答案】e【解析】由题设，且，则，所以，切线方程为，即，所以，故.故答案为：【变式】1．（2023·安徽·池州市第一中学校联考模拟预测）已知函数（其中）在处的切线为，则直线过定点的坐标为.【答案】【解析】根据题意：函数在处有切线，切点为，又，故切线斜率为，直线的方程为，该直线过定点的坐标为.故答案为：2．（2023·广西·统考模拟预测）若曲线在处的切线与直线相互垂直，则．【答案】【解析】已知，则,因为曲线在处的切线与直线相互垂直，所以，解得.故答案为：.3．（2023·广东东莞·东莞实验中学校考一模）已知直线与曲线相切，则.【答案】3【解析】对求导，得，设切点为，则，解得，故答案为：3.考点三在点：求参数最值【例3】（2023·浙江·模拟预测）已知直线与曲线相切，则的最小值为（

）A． B．1 C． D．【答案】B【解析】由，知定义域为，设切点为，，，所以，故切点为，代入直线方程，则，，令，，令，解得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，则，故的最小值为1.故选：B【变式】1．（2023·新疆阿克苏·校考一模）若直线与曲线相切，则k的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，由导数的几何意义可知，.故选：A2.（2023秋·河南商丘·高三商丘市实验中学校联考阶段练习）已知，，直线与曲线相切，则的最小值为.【答案】8【解析】设切点为，因为，所以，得，所以，即，所以，，当且仅当，即时，取最小值，所以的最小值为8.故答案为：8.3．（2023秋·青海西宁·高三统考开学考试）已知直线与曲线相切，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设切点为，则，解得，所以．令，所以，令，解得，令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以．故选：A4．（2023·全国·高三专题练习）已知曲线与直线相切，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】设切点为，，时，，，切线方程为，又切线方程为，即，所以，消去得，易知，所以，令，则，当时，，递增，当时，，递减，所以时，，从而取得最大值．故选：C．考法四过点：求切线方程【例4】（2023春·上海浦东新）已知曲线，过点作曲线的切线，则切线的方程为____.【答案】【解析】设切点坐标为，,则切线的斜率，故切线方程为，又因为点在切线上，所以，整理得到，解得，所以切线方程为．故答案为:.【变式】1．（2023吉林）已知函数，则曲线过点的切线方程为______．【答案】或【解析】设切点为，，则切线斜率为，故曲线在处的切线方程为，将点的坐标代入切线方程可得，解或，故所求切线方程为或，即或.故答案为：或.2．（2023·山东·河北衡水中学统考一模）过点与曲线相切的直线方程为______．【答案】【解析】设切点坐标为，，.则切线方程为，因为在切线上，所以，即又，所以，令，，当时，，所以在上单调递增，所以方程只有唯一解为.即切点坐标为，故所求切线方程为，即.故答案为：3．（2022·全国·统考高考真题）曲线过坐标原点的两条切线的方程为，．【答案】【解析】[方法一]：化为分段函数，分段求分和两种情况，当时设切点为，求出函数导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出，即可求出切线方程，当时同理可得；解：因为，当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；故答案为：；[方法二]：根据函数的对称性，数形结合当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；因为是偶函数，图象为：所以当时的切线，只需找到关于y轴的对称直线即可.[方法三]：因为，当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；故答案为：；.考法五过点：已知切线求参数【例5】（2023·北京）过原点的直线与分别与曲线，相切，则直线斜率的乘积为（

）A．-1 B．1 C． D．【答案】B【解析】设的切点分别为，由题意可得，，所以在处的切线为，在处的切线为，又因为两条切线过原点，所以，解得，所以直线斜率的乘积为，故选：B【变式】1．（2023春·河南周口）已知曲线在处的切线过点，则实数（

）A． B． C．1 D．3【答案】B【解析】因为，所以，曲线在处的切线的斜率为，又因为，曲线在处的切线过点，故，则．故选：B．2.（2023广东湛江）过点可以作曲线的两条切线，切点的横坐标分别为m，n，则的值为（

）A．1 B．2 C． D．3【答案】D【解析】，设切点为坐标，则，即，则，由题意知有两解，分别为m，n，故，故选：D.考法六过点：求切线的数量【例6】（2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）已知函数过点作曲线的切线，则切线的条数为．【答案】2【解析】当时，，设切点为，，又故过的切线方程为,将代入可得,解得或4，均大于0，满足要求；当时，，设切点为，又，故过的切线方程为将代入，可得解得或4，均大于0，不合要求，舍去．故答案为：2．【变式】1．（2023春·甘肃张掖）若过点作曲线的切线，则这样的切线共有（

）A．0条 B．1条 C．2条 D．3条【答案】C【解析】设切点为，由，所以，所以，所以切线方程为，即，因为切线过点，所以，解得或，所以过点作曲线的切线可以作2条，故选：C2.（2023·海南·统考模拟预测）已知函数，过点作曲线的切线，则切线的条数为．【答案】1【解析】当时，，设切点为，，其中，故过的切线方程为，将代入，可得，解得，满足要求，当时，，设切点为，，其中，故过的切线方程为，将代入，可得，解得，不合要求，舍去；故答案为：13．（2023·高二单元测试）已知函数，则过点与曲线相切的直线有条.【答案】2【解析】曲线方程为，点不在曲线上，设切点为，则点的坐标满足，由，得，由导数的几何意义知，在处的切线的斜率为，故切线的方程为，因为点在切线上，所以联立得，解得或，故所求切线方程为或，则过点与曲线相切的直线有2条.故答案为：2.考法七过点：求最值与取值范围【例7-1】（2022·全国·统考高考真题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是．【答案】【解析】∵，∴，设切点为,则,切线斜率,切线方程为：,∵切线过原点，∴,整理得：,∵切线有两条，∴,解得或,∴的取值范围是,故答案为：【例7-2】（2023·云南·校联考模拟预测）（多选）已知函数，若过点恰能作3条曲线的切线，则的值可以为（

）A． B． C． D．【答案】BC【解析】设切点为，则，所以切线的斜率为，则切线的方程为，因为点在切线上，所以，即，令，则，令，得或，当或时，；当时，，所以当时，取得极大值，当时，取得极小值，因为过点恰能作3条曲线的切线，所以直线与的图象有3个交点，如图所示：

所以m的取值范围是，故选：BC【变式】1．（2021·全国·统考高考真题）若过点可以作曲线的两条切线，则（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】在曲线上任取一点，对函数求导得，所以，曲线在点处的切线方程为，即，由题意可知，点在直线上，可得，令，则.当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减，所以，，由题意可知，直线与曲线的图象有两个交点，则，当时，，当时，，作出函数的图象如下图所示：

由图可知，当时，直线与曲线的图象有两个交点.故选：D.解法二：画出函数曲线的图象如图所示，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.由此可知.

故选：D.2．（2023·云南）过坐标原点可以作曲线两条切线，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】∵，∴，设切点为，则，切线斜率,切线方程为，∵切线过原点，∴，整理得：,∵切线有两条，∴，解得或，∴的取值范围是,故选：D3．（2023·江西·校联考模拟预测）若过轴上任意点可作曲线两条切线，则的取值范围．【答案】【解析】设曲线上一点，在点的切线方程，把点代入切线方程得，得：，令，则，分别令，解得在单调递增，单调递减，，当，，，，要有两个解，则即对任意，则，对任意，则，只要，令，，在单调递减，在单调递增，则．．故答案为：.4．（2023·广西玉林·统考模拟预测）若曲线有三条过点的切线，则实数的取值范围为【答案】【解析】设该切线的切点为，则切线的斜率为，所以切线方程为，又切线过点，则，整理得.要使过点的切线有3条，需方程有3个不同的解，即函数图象与直线在R上有3个交点，设，则，令，令或，所以函数在上单调递增，在和上单调递减，且极小值、极大值分别为，如图，由图可知，当时，函数图象与直线在R上有3个交点，即过点的切线有3条.所以实数a的取值范围为.考法八公切线【例8-1】（2023·江西南昌·校考模拟预测）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则b的值为（

）A．0 B．1 C．0或1 D．0或【答案】B【解析】设是在点的切线，则，同理设设是在点的切线，则，由方程组得，代入解得故选：B【例8-2】（2023·河北·统考模拟预测）若曲线与曲线存在公切线，则实数的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，，所以，，设公切线与切于点，与曲线切于点，，所以，所以，所以，所以或，因为，所以，所以，所以，令，，则，所以当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以实数的最小值为.故选：A【变式】1．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）已知函数，，若直线为和的公切线，则b等于（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设直线与相切于点，与相切于点，由，所以，由，则，即点，代入直线中有：，

①由，所以，由，，即点，代入直线中有：，

②联立①②解得：，所以，故选：B.2．（2023·河南·校联考模拟预测）已知直线是曲线与的公切线，则.【答案】/【解析】对于函数，则，设是曲线上的一点，切线斜率，所以在点处的切线方程为，即，对于函数，则，根据斜率关系可得：，解得，可得，可知切点坐标为，则切线方程为，即，可得，整理得，解得或，当时，切线方程为，此时，不符合题意，舍去；当时，切线方程为，故，；综上所述：.故答案为：.3．（2023·全国·镇海中学校联考模拟预测）若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】设，，依题意只需求公切线斜率即可.，，设切点分别为，，则切线方程为，即.，即.则，由①得，代入②得：，则，故公切线斜率为或，如图，.

故选：C.4．（2023·湖南郴州·安仁县第一中学校联考模拟预测）若存在直线与曲线都相切，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】设该直线与相切于点，因为，所以，所以，所以该切线方程为，即.设该直线与相切于点，因为，所以，所以，所以该切线方程为，即.所以，所以，令，则，所以当时，，当时，，所以在和上单调递减；在和上单调递增.又-1，所以，所以，解得，所以的取值范围为.故选：D.考法九切线与倾斜角【例9-1】（2023·四川成都·四川省成都列五中学校考模拟预测）设点是函数图象上的任意一点，点处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴或.故选：B.【例9-2】（2023春·福建·高二校联考期中）曲线在某点处的切线的倾斜角为锐角，且该点坐标为整数，则该曲线上这样的切点的个数为（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【解析】由，得，曲线在某点处的切线的倾斜角为锐角，，即，解得：．又切点坐标为整数，，0，1．该曲线上这样的切点的个数为3个．故选：C．【变式】1．（2023·上海徐汇·位育中学校考三模）设P是曲线上任意一点，则曲线在点P处的切线的倾斜角α的取值范围是．【答案】【解析】由已知得，由得．故答案为：．2．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）设点P是函数图象上的任意一点，点P处切线的倾斜角为，则角的取值范围是【答案】【解析】，，，，，.点P是曲线上的任意一点，点P处切线的倾斜角为，.，.3．（2023·河北衡水·校联考二模）已知函数的导函数为，且满足关系式.则的图像上任意一点处的切线的斜率的取值范围为.【答案】【解析】因为，所以，所以，所以，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为，所以的图像上任意一点处的切线的斜率的取值范围为.故答案为：.考法十切线的应用1---点到曲线的距离最值【例10】（2022·全国·高三专题练习（理））若点与曲线上点距离最小值为，则实数为_______.【答案】【解析】设点的坐标为，对函数求导得，由题意可知，直线与曲线在点处的切线垂直，则，得，由两点间的距离公式得，由于的最小值为，即，，解得，因此，.故答案为：【变式】1．（2022·江苏·苏州市苏州高新区第一中学）直线分别与曲线，直线交于两点，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题，设到直线的距离为，直线的倾斜角为，则，又，，故最小即最小，即为当过点处的切线与直线平行时最小，由曲线，得，所以切点为，可求得点到直线的距离最小值为故，故选：C2．（2022·河北邯郸·二模）已知点P为曲线上的动点，O为坐标原点．当最小时，直线OP恰好与曲线相切，则实数a＝___．【答案】【解析】设，所以，设，，当时，，，所以单调递增，当时，，，所以单调递减，当时，函数有最小值，即有最小值，所以，此时直线OP的方程为，设直线与曲线相切于点，由，显然在直线上，则，因此有，故答案为：3．（2023·山西临汾·统考一模）设是曲线上的动点，且.则的取值范围是.【答案】【解析】∵，∴，设点，则在点P处的切线斜率为，∵，即：当且仅当PA垂直于切线时，取得最小值，又∵，∴，即：，①∴，即：，②∴由①②得：，解得：或，又∵由①知，，∴，即：，解得：，∴.故答案为：.考法十一切线的应用2---曲线上的动点到直线距离的最值【例11】（2023春·陕西安康）若点是曲线上任意一点，则点到直线距离的最小值为（

）A． B． C．2 D．【答案】D【解析】过点作曲线的切线，当切线与直线平行时，点到直线距离最小.设切点为，所以切线斜率为，由题知，解得或（舍），，此时点到直线距离.故选：D【变式】1．（2023春·广西钦州）已知P是函数图象上的任意一点，则点P到直线的距离的最小值是（

）A． B．5 C．6 D．【答案】A【解析】设直线与直线平行，且与函数的图象相切，设切点为，因为是单调递增函数，直线的斜率为1，所以，解得，即切点为，所以点P到直线的距离的最小值是点到直线的距离，即为.故选：A2．（2023秋·河南许昌·高三禹州市高级中学校考阶段练习）点是曲线上任意一点，则点到直线的最短距离.【答案】/【解析】，令，解得（舍去），又，可得与直线平行且与曲线相切的直线的切点为，所以点到直线的最短距离为.故答案为：.3．（2023春·福建漳州·高二校考阶段练习）已知函数，如果直线与的图象无交点，则的取值范围是【答案】【解析】令，整理得，构建，原题意等价于与没有交点，因为，设切点坐标为，切线斜率，则切线方程为，若切线过原点，则，解得，此时切线斜率，可得，解得，所以的取值范围是.考法十二切线的应用3--零点或实根的个数【例12-1】（2023北京）函数，若方程恰有3个根，则实数的取值范围为.【答案】【解析】画出函数的图象,如图所示：由题意可知，先求与相切时的情况，由图可得此时,设切点为,则，解得,，此时直线，此时直线与只有两个公共点，所以，又斜率，又当时与平行，与有三个公共点，而当，直线与有四个交点，故.故答案为：【例12-2】（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）已知函数，，若方程恰有三个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】作出与的图象，如图，当时，设与相切于点，则，解得，所以，由图象可知，当时，与有2个交点，与有1个交点，即与有3个交点.；当时，设与相切于点，由可知，，解得或（舍去），此时，而，由图象知，当时，与有3个交点.综上，或时图象有3个交点，即方程恰有三个不相等的实数根.故选：A【变式】1．（2023·四川·校考模拟预测）若函数恰有2个零点，则实数a的取值范围为（）A． B．C． D．【答案】C【解析】令，，则，当时，，单调递减；当时，，单调递增，当时，，当趋向正无穷时，趋向正无穷，故作出的大致图象，如图所示．由题知函数恰有2个零点，即函数的图象与直线的图象恰有2个交点，易知点为与直线的公共点，又曲线在点处的切线方程为，所以当，直线与与曲线有2个交点；当时，直线与曲线有2个交点．综上所述，实数的取值范围为．故选：C．2．（2023·江苏淮安·江苏省盱眙中学校考模拟预测）已知函数，，若函数恰有2个零点，则实数m的取值范围为.【答案】【解析】由得，由题意得，函数与函数的图象恰有2个公共点，作出函数的图象，如图，再作出直线，它始终过原点，设直线与相切，切点为，由知，切线斜率为，切线方程为，把代入得，所以切线斜率为，设与相切，则，所以，，解得舍去），由图可得实数m的取值范围是或.故答案为：3．（2023·福建福州·福州四中校考模拟预测）已知函数，若有且仅有两个零点，则实数的取值范围为【答案】【解析】由可知，即与存在两个交点，令，则，令，解得：，令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，令，解得，则在处的切线方程为；令，解得，则在处的切线方程为，所以与的图象如下表：

且这两条切线在轴上的截距分别为实数的取值范围为.单选题1．（2023·山东潍坊·三模）若为函数图象上的一个动点，以为切点作曲线的切线，则切线倾斜角的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】设点坐标为，由，，得，则以为切点的切线斜率为，令切线倾斜角为，，则，则.故选：D.2．（2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）已知，设曲线在处的切线斜率为，则（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】当时，，，，，在上单调递减；，所以，而，所以，.故选：A.3．（2023·全国·模拟预测）过点作曲线的两条切线，切点分别为，，则（

）A． B． C． D．2【答案】D【解析】由题意得，过点作曲线的两条切线，设切点坐标为，则，即，由于，故，，由题意可知为的两个解，故，故选：D4．（2023秋·湖南常德·高三常德市一中校考阶段练习）若函数的图象上任意一点的切线的斜率都大于0，则实数m的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】的定义域是，依题意，恒成立，即恒成立，由于，当且仅当时等号成立，所以.故选：C

5．（2023·山东烟台·校考模拟预测）已知函数（且）有一个极大值点和一个极小值点，且，则a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意知，时，，又，当时，时，，所以，矛盾，故，由有两不同实数根可知，有两个不同交点，设过原点与相切的直线为，切点为，因为，所以，解得，即，如图，

所以与有两个不同交点则需，解得，又，所以，此时满足极大值点为，极小值点为，且.故选：B6．（2023·河北沧州·校考模拟预测）已知直线与曲线和曲线均相切，则实数的解的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．无数【答案】C【解析】根据题意可知，直线与曲线和曲线都相切，所以对于曲线，则，所以，所以切点，对于曲线，则，所以，切点，易知A,B不重合，因为公切线过两点，所以，进而可得，令，则，令，则所以在单调递增，因为，所以存在使得，即，所以当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，，故.又因为，所以，当时，，因为，所以在内存在，使得，当时，，因为，，所以在内存在，使得，综上所述，存在两条斜率分别为，的直线与曲线和曲线都相切，故选：C.7．（2023春·江苏南通·高三校考开学考试）已知函数，存在两条过原点的直线与曲线相切，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】设切点坐标为，又，则切线斜率又，则切线方程为：，又切线过原点，则，即方程在上有两不相等的实根，设，，则，当时，恒成立，在上单调递增，不可能存在两个零点，故不符合题意；当时，得，当时，，单调递减，时，，单调递增，要使得两个不同的零点，则，解得，又，时，，故当时，有两个零点，则实数a的取值范围是.故选：D.8．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考模拟预测）若曲线上恰有三个不同的点到直线的距离为，则实数a的值为（

）A．-3 B． C．1 D．-3或1【答案】A【解析】依题意，设直线与直线平行，且与曲线的图象相切于点，对于，定义域为，则，所以有，直线的斜率，又因为直线与直线平行，则有，解得：，则，故点的坐标为，所以直线的方程为：，若曲线上恰有三个不同的点到直线的距离为，必有直线到直线的距离为，则有，解得：或，当时，直线即为与曲线没有交点，曲线上只有个点到直线的距离为，不符合题意；当时，直线即为与曲线有个交点，曲线上恰有三个不同的点到直线的距离为，一个点为点，剩余的两个点则在直线的右下方，符合题意；故.故选：A.9．（2023·河南·襄城高中校联考三模）已知函数，若方程有两个实根，且两实根之和小于0，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，易知方程总有一个实根为0，当时，，，方程没有非零实根.当时，当时，，；当时，，，在上单调递减，在上单调递增如图所示，作出两函数的大致图像，可知坐标原点为两个图像的公共点.

当时，，，，，与的图像在原点处相切，当时，，，，，与的图像在原点处相切，此时方程仅有一个实根0.结合图像可知，当时，方程另有一正根，不合题意；当时，方程另有一负根，符合题意.故满足条件的的取值范围是.故选：C.10．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）已知，为函数的零点，，若，则（

）A． B．C． D．与大小关系不确定【答案】C【解析】易知为函数的零点，又解之：，负根舍去；又，即与有三个交点，交点横坐标分别为，如下图先计算过原点的切线方程，不妨设切点为切线方程为：过原点，此时的斜率比切线斜率小，结合图像容易分析出，故选：C．多选题11．（2023·云南·云南师大附中校考模拟预测）已知函数，下列结论正确的是（

）A．若，则有2个零点 B．若，则有3个零点C．存在负数，使得只有1个零点 D．存在负数，使得有3个零点【答案】ABC【解析】由题意知的零点个数即为和的图象的交点个数，在同一平面直角坐标系内画出和的图象.

对A，由图可知，当时，图象有两个不同的交点，故A正确；对B，设直线与曲线相切于点，则，故切线斜率，所以当，直线与有3个不同的交点，即有3个零点，故B正确；对C，设直线与曲线相切于点，则，故切线斜率，所以当时，恰有1个零点，故C正确；对D，当时，直线与的图象至多有2个交点，故D错误；故选：ABC.12．（2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考二模）已知，若过点恰能作两条直线与曲线相切，其中，则m与n可能满足的关系式为（

）A． B．C． D．【答案】AD【解析】设切点坐标为，因为，则，切线斜率为，所以，曲线在处的切线方程为将点的坐标代入切线方程可得，过点恰能作两条直线与曲线相切，即方程有2个解，即，与的图象有2个交点，，若，令，得或，令，得，即在上单调递减，在和上单调递增，

若，令，得或，令，得，即在上单调递减，在和上单调递增，

又，，故由图可知，当或时，与的图象有2个交点，此时，或.故选：AD.13．（2023·安徽合肥·合肥市第六中学校考模拟预测）已知函数（e为自然对数的底数），则下列结论正确的是（

）A．曲线的切线斜率可以是B．曲线的切线斜率可以是3C．过点且与曲线相切的直线有且只有1条D．过点且与曲线相切的直线有且只有2条【答案】BCD【解析】因为，所以，对于A：令，方程无解，所以曲线的切线斜率不可以是，故A错误；对于B：令，解得，所以曲线的切线斜率可以是，故B正确；对于C：设切点，则切线方程为，因为点在切线上，所以，即，显然，所以，故过点且与曲线相切的直线有且只有1条，故C正确；对于D：设切点，则切线方程为，因为点在切线上，，所以，令，则，所以当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，又，，，所以存在使得，所以方程有且仅有两个实数根，所以过点且与曲线相切的直线有且只有条，故D正确；故选：BCD14．（2023·广东·校联考模拟预测）已知函数，则过点恰能作曲线的两条切线的充分条件可以是（

）A． B．C． D．【答案】AB【解析】由，得，设切点为，则切线的斜率为，所以有，整理可得：，由题意可知：此方程有且恰有两个解，令，，，令，则，所以在上单调递增，因为，所以当时，；当时，，①当，即时，当时，，则函数单调递增，当时，，函数单调递减，当时，，则函数单调递增，所以只要或，即或；②当，即时，当时，，则函数单调递增，当时，函数单调递减，当时，，则函数单调递增，当时，，所以只要或，由可得：，由得；③当时，，所以函数在上单调递增，所以函数至多有一个零点，不合题意；综上：当时，或；当时，或，所以选项A正确，B正确，C错误，D错误，故选：AB15（2023·上海·高二专题练习）已知函数，过点作曲线的切线，下列说法正确的是（

）A．当，时，有且仅有一条切线B．当时，可作三条切线，则C．当，时，可作两条切线D．当时，可作两条切线，则b的取值范围为或【答案】AD【解析】A：当时，点在上，，若为切点，则切线斜率为，所以切线方程为，若不为切点，设切点坐标为，所以，切线斜率为，所以，，即切点为原点，所以时，有且仅有一条切线，正确；B：设切点坐标为，所以，，则切线的斜率为，切线方程为，当时，，则，设，则，当时，，单调递减，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以时有极小值，为，时有极大值，为，时，画出的图象，当时，若有三条切线，则与有3个交点，由图得，错误；C：当时，由切线方程得，则，设，则，所以单调递减，且，如图，所以当，时，与有且只有一个交点，所以只能作一条切线，错误；D：当时，由切线方程为得，则，设，则，因为，所以当时，单调递增，所以当时，单调递减，所以当时，单调递减，时，有极小值为，时，有极大值为，的图象为若有两条切线，则的取值为或，正确.故选：AD.填空题16．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考模拟预测）已知的图象在处的切线与与函数的图象也相切，则该切线的斜率.【答案】【解析】函数的图象在处的切线的切点为，因为，所以切线斜率为，切线方程为，即，设的图象的切线的切点为，因为，所以切线斜率为，切线方程为，即，由题，解得，，斜率为.故答案为：.17．（2023·浙江·统考一模）若曲线存在两条互相垂直的切线，则a的取值范围是．【答案】【解析】由题知，令，则．若函数曲线存在两条互相垂直的切线则可得，，．当时，，，与题目矛盾；当时，由，可得的值域是故，使得，，．故答案为：．18．（2023·广东肇庆·校考模拟预测）已知曲线与曲线有相同的切线，则这条切线的斜率为.【答案】/0.5【解析】设曲线与曲线的切点分别为，，又，，所以，，所以切线为，即，，即，所以，所以，，即这条切线的斜率为.故答案为：.19．（2023·陕西榆林·校考模拟预测）已知函数，则所有的切线中斜率最小的切线方程为.【答案】【解析】由，，则，时等号成立，则函数所有切线中斜率最小为3，且过点，则切线方程为故答案为：20．（2023·全国·模拟预测）曲线在处的切线的倾斜角为，则．【答案】【解析】由题得，所以，所以，所以.故答案为：21．（2023·内蒙古呼和浩特·统考一模）设点为函数与图象的公共点，以为切点可作直线与两曲线都相切，则实数的最大值为．【答案】【解析】设点坐标为，则有，因为以为切点可作直线与两曲线都相切，所以，即或由，故，此时；所以点坐标为，代入整理得：，，令，即，得，可判断在上递增，在上递减，所以当时有极大值也是最大值，，故答案为.22．（2023·河南郑州·校联考二模）已知函数，则曲线在处的切线方程为.【答案】【解析】由得，故，而，故曲线在处的切线方程为，即故答案为：23．（2023·江苏南京·南京市第九中学校考模拟预测）函数在处的切线方程为.【答案】【解析】函数，可得，又由，可得，即切线的斜率为，所求切线方程为，即.故答案为：.24．（2023·广东梅州·统考三模）曲线在点处的切线方程为.【答案】【解析】，则，则又因为当时，，所以所求的直线方程为，即.故答案为：.25．（2023·湖南·校联考模拟预测）若函数是奇函数，则曲线在点处的切线方程为．【答案】【解析】因为是奇函数，所以对恒成立，即对恒成立，所以，则，故，所以，所以曲线在点处的切线方程为，化简得.故答案为：26．（2022·全国·统考高考真题）已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是．【答案】【解析】[方法一]：【最优解】转化法，零点的问题转为函数图象的交点因为，所以方程的两个根为，即方程的两个根为，即函数与函数的图象有两个不同的交点，因为分别是函数的极小值点和极大值点，所以函数在和上递减，在上递增，所以当时，，即图象在上方当时，，即图象在下方，图象显然不符合题意，所以．令，则，设过原点且与函数的图象相切的直线的切点为，则切线的斜率为，故切线方程为，则有，解得，则切线的斜率为，因为函数与函数的图象有两个不同的交点，所以，解得，又，所以，综上所述，的取值范围为．[方法二]：【通性通法】构造新函数，二次求导=0的两个根为因为分别是函数的极小值点和极大值点，所以函数在和上递减，在上递增，设函数，则，若，则在上单调递增，此时若，则在上单调递减，在上单调递增，此时若有和分别是函数且的极小值点和极大值点，则，不符合题意；若，则在上单调递减，此时若，则在上单调递增，在上单调递减，令，则，此时若有和分别是函数且的极小值点和极大值点，且，则需满足，，即故，所以.27．（2023·福建厦门·统考模拟预测）已知函数，若曲线与曲线存在公切线，则实数的最大值为．【答案】/0.5【解析】，假设两曲线在同一点处相切，则，可得，即，因为函数单调递增，且时，所以，则，此