专题05 函数性质的综合运用（选填题7种考法）（解析版）

专题05函数性质的综合运用（选填题7种考法）考法一函数的单调性【例1-1】（2023·全国·统考高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减，则有函数在区间上单调递减，因此，解得，所以的取值范围是.故选：D【例1-2】（2023·陕西汉中·校联考模拟预测）已知，且，函数在上单调，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为函数在上单调，由函数解析式可得函数在R上单调递增不满足题意，故在R上单调递减，所以，解得：.故选：D.【变式】1．（2023·河南·校联考模拟预测）下列函数中，在区间上单调递增的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】对于A，函数图象的对称轴为，函数在上单调递减，在上单调递增，故A错误；对于B，当时，，所以函数在上单调递增，故B正确；对于C，，函数在上单调递增，在上单调递减，故C错误；对于D，当时，是常数函数，D错误，故选：B.2．（2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递增的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】对于A选项：当时，的导函数为，所以在时单调递减，故A选项不符合题意；对于B选项：当时，的导函数为，所以在时单调递减，故B选项不符合题意；对于C选项：当时，的导函数为，所以在时单调递减，故C选项不符合题意；对于D选项：当时，的导函数为，所以在时单调递增，又函数的定义域为，且，故D选项符合题意.故选：D.3．（2023·吉林长春·东北师大附中校考一模）下列函数中，即是奇函数又是增函数的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】A选项，在R上单调递减，不合题意；B选项，，，当时，，单调递减，不合题意；C选项，，定义域为R，，函数为奇函数，由函数和都是R上的增函数，所以为R上的增函数，C选项正确；D选项，，当时，结合二次函数性质可知，函数单调递减，则单调递减，不合题意.故选：C.4．（2023·河南·校联考模拟预测）（多选）已知函数在R上单调递增，函数在上单调递增，在上单调递减，则（

）A．函数在R上单调递增B．函数在上单调递增C．函数在上单调递减D．函数在上单调递减【答案】AB【解析】因为在R上单调递增，所以在R上单调递增，故A正确；因为在R上单调递增，在上单调递增，所以在上单调递增，故B正确；因为在上单调递增，所以在上单调递减，因为的值域是否在上无法判断，所以在上的单调性无法判断，故C错误；因为在R上单调递减，在上单调递减，因的值域是否在上无法判断，所以在上的单调性无法判断，故D错误.故选：AB.考法二函数的奇偶性【例2-1】（2023·全国·统考高考真题）已知是偶函数，则（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【解析】因为为偶函数，则，又因为不恒为0，可得，即，则，即，解得.故选：D.【例2-2】（2023·山东·校联考模拟预测）若函数在其定义域上是奇函数，则的值为（

）A． B．3 C．或3 D．不能确定【答案】B【解析】函数在其定义域上是奇函数，由于奇函数定义域关于原点对称，所以，即，解得或，由区间定义可知，当时，，不合题意；当时，，符合题意；可得.故选：B．【变式】1．（2023·全国·统考高考真题）若为偶函数，则（

）．A． B．0 C． D．1【答案】B【解析】因为为偶函数，则，解得，当时，，，解得或，则其定义域为或，关于原点对称.，故此时为偶函数.故选：B.2．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）已知函数为奇函数，则的值是（

）A．0 B． C．12 D．10【答案】D【解析】因为函数为奇函数，所以，即，即或，显然函数的定义域为关于原点对称，且当时，有，从而有，当时，有，但，所以，即，所以.故选：D.3．（2023·辽宁鞍山·鞍山一中校考二模）下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】对于A，因为的定义域为不关于原点对称，所以不是偶函数，故A选项不符合题意；对于B，因为，所以的定义域为关于原点对称，但，所以是奇函数不是偶函数，故B选项不符合题意；对于C，因为的定义域为关于原点对称，且，所以是偶函数，又，注意到当时，有，所以此时，所以在上单调递增，故C选项符合题意；对于D，因为的定义域为关于原点对称，但，所以是奇函数不是偶函数，故D选项不符合题意.故选：C.考法三解不等式【例3-1】（2023·四川雅安·校考模拟预测）已知函数，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由题意可知，函数的定义域为.又因为恒成立，所以在上单调递减.则由可得，解得，即原不等式的解集为.故选：C.【例3-2】（2023·安徽·池州市第一中学校考模拟预测）设函数则满足的的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】假设，所以，所以，所以为奇函数，而，则其图象是的图象向右平移1个单位长度，向上平移4个单位长度得到的，所以的对称中心为，所以，因为，所以，易得，当且仅当时等号成立，而，则，所以恒成立，即在上单调递增，所以在R上单调递增，因为得，所以，解得.故选：B.【变式】1．（2023·安徽·池州市第一中学校联考模拟预测）定义在上的函数满足：对，且都有，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据题意：当时，，当时,可得函数在单调递增.则，在同一坐标系中画出与图象.得，则不等式的解集为，故选：B.

2．（2023·河南·统考模拟预测）函数是定义在上的奇函数，且在区间上单调递增，若关于实数t的不等式恒成立，则t的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为函数是定义在上的奇函数，所以，所以，所以函数是偶函数，又，则，即为，即，又因在区间上单调递增，所以，解得或，所以t的取值范围是.故选：A.3．（2023·河南·校联考模拟预测）若定义在上的函数同时满足：①为奇函数；②对任意的，且，都有，则称函数具有性质．已知函数具有性质，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因为对任意的，且，都有，即对任意两个不相等的正实数不妨设，都有，所以有，所以函数是上的减函数，又因为为奇函数，即有，有，所以有，所以为偶函数，所以在上单调递增．当，即时，有,由，得，所以，解得，此时无解；当，即时，由，得，所以，解得或．综上所述，不等式的解集为．故选：C.4．（2023·江西鹰潭·统考一模）已知函数，且，则实数a的取值范围（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】令，定义域为R，，所以为奇函数，又.当时，令，则有，因为，所以，所以在上单调递增，所以，所以，所以在上单调递增，又因为为奇函数，所以在R上单调递增，所以，可转化为，，所以，所以，即，解得即实数a的取值范围是.故选：C.5．（2023·海南·统考模拟预测）已知函数，若对于一切的实数，不等式恒成立，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】易知函数的定义域为，则，因为，，所以，又因为，所以，即恒成立，故函数是上的单调递增函数，因为，所以，即，当时，左边成立，故符合题意；当时，有，解得：，综上所述：的取值范围为：.故选：D.考法四函数性质的综合运用【例4-1】（2023·河南信阳·信阳高中校考模拟预测）已知函数，则（

）A．是偶函数 B．是奇函数C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点成中心对称【答案】D【解析】对AB，由，易知选项A，B不正确；对C，易得，，故，故选项C不正确；对D，，故，故的图象关于点中心对称.故选：D.【例4-2】（2023·安徽·池州市第一中学校联考模拟预测）已知定义在上的偶函数满足，则下列说法正确的是（

）A．B．函数的一个周期为2C．D．函数的图象关于直线对称【答案】C【解析】函数关于点中心对称，因此选项D不正确；又因为函数为偶函数，所以，由，所以函数的周期为，所以选项B不正确；因为函数是周期为的偶函数，所以，因此选项A不正确；在中，令，得，因为函数的周期为，因此选项C正确，故选：C【例4-3】（2023·陕西汉中·校联考模拟预测）已知函数是上的偶函数，且的图象关于点对称，当时，，则的值为（

）A．-2 B．-1 C．0 D．1【答案】D【解析】因为函数是上的偶函数，所以，因为的图象关于点对称，所以，即，所以，所以，所以函数是上周期为4的函数，当时，，所以，，又，，所以，所以.故选：D.【变式】1．（2022·全国·统考高考真题）已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为的图像关于直线对称，所以，因为，所以，即，因为，所以，代入得，即，所以，.因为，所以，即，所以.因为，所以，又因为，联立得，，所以的图像关于点中心对称，因为函数的定义域为R，所以因为，所以.所以.故选：D2．（2023·湖北黄冈·统考模拟预测）已知函数及其导函数定义域均为，记，且，为偶函数，则（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】因为为偶函数，，所以，对两边同时求导，得，所以有所以函数的周期为，在中，令，所以，因此，因为为偶函数，所以有，，由可得：，所以，故选：C3．（2023·陕西西安·校考三模）已知是定义域为的奇函数，若的最小正周期为1，则下列说法中正确的个数是（

）①

②③的一个对称中心为

④的一条对称轴为A．个 B．个 C．个 D．个【答案】B【解析】因为的最小正周期为1，所以；即，所以2是的周期；因为为奇函数，所以，②正确；，不一定为零，①不正确；因为，所以的一个对称中心为，③正确；通过题目条件无法得出的一条对称轴为，④不正确；故选：B4．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）（多选）已知函数是定义域为的奇函数，，若，，，则（

）A．的图象关于点对称 B．是周期为4的周期函数C． D．【答案】ABD【解析】由，，得，当时，可得；当时，，也满足；综上所述：，对任意实数都成立，因此函数的图象关于点对称，A正确；又是定义域为的奇函数，则，因此是周期为4的周期函数，B正确；显然，C错误；由是定义域为的奇函数，得，，又，于是，，因此，所以，D正确．故选：ABD考法五函数的图像【例5-1】（2022·天津·统考高考真题）函数的图像为（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】函数的定义域为，且，函数为奇函数，A选项错误；又当时，，C选项错误；当时，函数单调递增，故B选项错误；故选：D.【例5-2】（2023·天津·统考高考真题）函数的图象如下图所示，则的解析式可能为（

）

A． B．C． D．【答案】D【解析】由图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且，由且定义域为R，即B中函数为奇函数，排除；当时、，即A、C中上函数值为正，排除；故选：D【变式】1．（2022·全国·统考高考真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设，则，故排除B;设，当时，，所以，故排除C;设，则，故排除D.故选：A.2．（2022·全国·统考高考真题）函数在区间的图象大致为（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】令，则，所以为奇函数，排除BD；又当时，，所以，排除C.故选：A.3．（2023·河南·统考模拟预测）函数的大致图像是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【解析】设，，由，得为奇函数，故B,D错误；由，故A正确，C错误，故选：A．考法六抽象函数【例6】（2022·全国·统考高考真题）已知函数的定义域为R，且，则（

）A． B． C．0 D．1【答案】A【解析】[方法一]：赋值加性质因为，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为．因为，，，，，所以一个周期内的．由于22除以6余4，所以．故选：A．[方法二]：【最优解】构造特殊函数由，联想到余弦函数和差化积公式，可设，则由方法一中知，解得，取，所以，则，所以符合条件，因此的周期，，且，所以，由于22除以6余4，所以．故选：A．【变式】1（2023·河南·模拟预测）已知不恒等于零的函数的定义域为，满足，且，则下列说法正确的是（

）A． B．的图象关于原点对称C． D．的最小正周期是6【答案】D【解析】由，令，，有，可得,故A错；因为，令，则，则，函数是偶函数，故B错误，令，则，故C错误，令，则,所以，则，，所以，则周期为6，D正确．故选：D2．（2023·黑龙江佳木斯·佳木斯一中校考模拟预测）函数对任意x，总有，当时，，，则下列命题中正确的是（

）A．是偶函数 B．是R上的减函数C．在上的最小值为 D．若，则实数x的取值范围为【答案】C【解析】取，，则，解得，，则．即，函数是奇函数，所以选项A错误；令，，且，则，因为当时，，所以．则．即，函数是R上的增函数，所以选项B错误；因为函数是R上的增函数，所以函数在上的最小值为，，，．故，在的最小值为-2，所以选项C正确；，即，因为函数是R上的增函数，所以，所以，所以实数x的取值范围为，所以选项D不正确．故选：C．3．（2023·全国·统考高考真题）已知函数的定义域为，，则（

）．A． B．C．是偶函数 D．为的极小值点【答案】ABC【解析】方法一：因为，对于A，令，，故正确.对于B，令，，则，故B正确.对于C，令，，则，令，又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确，对于D，不妨令，显然符合题设条件，此时无极值，故错误.方法二：因为，对于A，令，，故正确.对于B，令，，则，故B正确.对于C，令，，则，令，又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确，对于D，当时，对两边同时除以，得到，故可以设，则，当肘，，则，令，得；令，得；故在上单调递减，在上单调递增，因为为偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减，

显然，此时是的极大值，故D错误.故选：.考法七函数角度解三角函数【例7】（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知，则下列结论错误的是（

）A．是周期函数B．在区间上是增函数C．的值域为D．关于对称【答案】D【解析】由题知，，，是函数的一个周期，故A正确；在区间上是增函数，其值域为在区间上是增函数，根据复合函数同增异减法则知，在区间上是增函数，故B正确；的值域为在区间上是增函数，的值域为，故C正确；不关于对称，故错误，故选：D.【变式】1．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）（多选）下列函数中，以为最小正周期的函数是（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】对于A，，最小正周期为，故A正确；对于B，令，，故B错误；对于C，令，，故C正确；对于D，令，，故的最小正周期为，故D错误.故选：AC.2．（2023·全国·河南省实验中学校考模拟预测）（多选）已知函数，则（

）A．函数在区间上单调递增B．直线是函数图象的一条对称轴C．函数的值域为D．方程最多有8个根，且这些根之和为【答案】BCD【解析】，，则是偶函数，图象关于轴对称.，是周期函数，周期.又且，，即图象关于轴对称，故直线都是的对称轴.当时，，则，令，则可看成由与复合而成的函数，单调递增，当，则，单调递增，则单调递增；当，则，单调递减，则单调递减；且.结合以上性质，作出函数的大致图象.选项A，函数在区间上单调递减，故A项错误；选项B，直线是函数图象的一条对称轴，故B项正确；选项C，当时，函数的值域为，由函数周期，函数的值域为，故C项正确；选项D，如图可知，方程最多有8个根，设为，不妨设，当时，函数的图象关于对称，则，即这些根之和为，故D项正确.故选：BCD.3．（2023·河北保定·河北省唐县第一中学校考二模）（多选）已知函数，则（

）A．是的周期B．的图象有对称中心，没有对称轴C．当时，D．对任意，在上单调【答案】ACD【解析】对于A选项：因为，则是的周期，所以A选项正确；对于B选项：因为，且，所以，，则的图象关于点成中心对称，关于直线成轴对称，所以B选项错误；对于C选项：当时，易知，，且，即，则，所以，则，所以C选项正确；对于D选项：由A选项知：是的周期，所以只需考虑，即可，当时，，所以和均单调递增，所以单调递增；当时，，所以和均单调递减，所以单调递减，所以D选项正确.故选：ACD．一、单选题1．（2023·四川雅安·校考模拟预测）定义在R上的奇函数满足是偶函数，当时，，则（

）A． B． C．0 D．2【答案】C【解析】根据题意，函数是定义在上的奇函数，则，且，又函数是偶函数，则，变形可得，则有，进而可得，所以函数是周期为4的周期函数，则.故选：C.2．（2023·贵州六盘水·统考模拟预测）若为奇函数，则（

）A．－1 B．0 C． D．1【答案】D【解析】的定义域为R，若为奇函数，则恒成立，整理得恒成立，所以，即.故选：D3．（2023·湖南永州·统考一模）“函数在上单调递减”是“函数是偶函数”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由题意，在中，当函数在上单调递减时，，在中，函数是偶函数，∴，解得：，∴“函数在上单调递减”是“函数是偶函数”的必要不充分条件，故选：B.4．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考三模）已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（

）A． B．1 C．0 D．【答案】D【解析】因为在上为奇函数，所以，又因为，所以①，所以②，所以由①②得，即的一个周期为4，所以.又因为当时，，所以，所以.故选：D.5．（2023·云南·校联考模拟预测）若函数为偶函数，则（

）A．2 B．1 C． D．0【答案】D【解析】若函数为偶函数，则，都有，又因为，所以，有，所以当时，有，解得.故选：D.6．（2023·云南昭通·校联考模拟预测）已知函数是定义域为上的奇函数，满足，若，则（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【解析】因为函数是定义域为上的奇函数，则，即，由，得，因此，即，则，于是函数是以4为周期的周期函数，由，得，由，得，，从而，所以.故选：A7．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）如图为函数的大致图象，其解析式可能为（

）

A． B．C． D．【答案】C【解析】对于A，与图象不符，故A项错误；对于B，当时，的振幅不会再变化，故B项错误；对于D，，所以函数为奇函数，与图象不符，故D项错误．故选：C．8．（2023·辽宁·校联考模拟预测）若为奇函数，则的单调递增区间是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】函数为奇函数，的定义域为，由，∴，函数的定义域为，函数在定义域内单调递增，当时，的单调递增区间为，所以的单调递增区间为.故选：D．9．（2023·辽宁·校联考模拟预测）已知的定义域为为奇函数，为偶函数，若当时，，则（

）A． B．0 C．1 D．e【答案】C【解析】为奇函数，即，所以关于中心对称，则，为偶函数，即，所以，故，即是周期为8的周期函数，所以，故选：C10．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考三模）函数和的定义域均为，且为偶函数，为奇函数，对，均有，则（

）A．615 B．616 C．1176 D．2058【答案】B【解析】由函数为偶函数，则，即函数关于直线对称，故；由函数为奇函数，则，整理可得，即函数关于对称，故；由，可得，所以，故，解得，所以，所以.

故选：B.11．（2023·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）已知函数满足，，，且在区间上单调，若函数在区间内有4个零点，则a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因为，所以的图象关于中心对称，又因为，所以的图象关于中心对称，所以，即，所以，所以，所以的周期为，又因为，所以令中，则，所以，又因为在区间上单调，所以，又因为在区间内有四个零点，令，即，即与的图象在区间有四个交点，又因为直线过定点，斜率为，如图所示：

为临界状态，当处于时，此时直线的斜率为，当处于时，此时直线的斜率为，因为满足，不满足.所以由图可知，a的取值范围是.故选：C12．（2023·福建·校联考模拟预测）已知函数的定义域为，且对任意非零实数，都有.则函数是（

）A．奇函数 B．偶函数C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数【答案】B【解析】令，则，所以.令，则，所以.令，，则，所以为偶函数，故排除D选项；由题意可知，函数满足定义域为，且对任意非零实数，都有，符合题意，但不为奇函数，故排除AC.故选：B.13．（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）已知函数，若，不等式恒成立，则正实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，其中，则，且不恒为零，所以，函数在上为增函数，又因为，故函数为奇函数，由可得，所以，，所以，，令，因为，当且仅当时，等号成立，所以，.故选：B.14．（2023·江西宜春·校联考模拟预测）已知函数，若成立，则实数a的取值范围为（）A． B．C． D．【答案】B【解析】设，因为，所以为偶函数，所以的图象关于直线对称，所以的图象关于直线对称，设，则，令，则，得，所以在上递增，因为函数在定义域上单调递增，所以在单调递增，所以在单调递增，因为，所以，所以，化简得，解得．所以实数a的取值范围为，故选：B15．（2023·广东·校联考模拟预测）设函数为奇函数且在上为减函数，则关于的值表述正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因为函数为上的奇函数，且递减，所以且，即，所以，解得，经检验符合题意，故，因为函数在上为减函数，所以，所以.故选：C.16．（2023·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）已知函数的定义域为，的图象关于点对称，，且对任意的，，满足，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】的图象关于点对称，的图象关于点对称，是定义在上的奇函数，对任意的，，，满足，在上单调递减，所以在上也单调递减，又所以，且，所以当时，；当时，，所以由可得或或，解得或，即不等式的解集为．故选：C.17．（2023·江西九江·统考三模）已知定义在R上的函数在上单调递增，是奇函数，的图像关于直线对称，则（

）A．在上单调递减 B．在上单调递增C．在上单调递减 D．在上单调递增【答案】C【解析】是奇函数，，即的图象关于点对称，又在上单调递增，在上单调递增，即在上单调递增.由，可得，由图像关于直线对称可知为偶函数，∴在上单调递减，，，是周期函数，最小正周期为4，∵，，∴在上的单调性和在上的单调性相同，在上单调递减.故选：C.二、多选题18．（2022·全国·统考高考真题）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（

）A． B． C． D．【答案】BC【解析】[方法一]：对称性和周期性的关系研究对于，因为为偶函数，所以即①，所以，所以关于对称，则，故C正确；对于，因为为偶函数，，，所以关于对称，由①求导，和，得，所以，所以关于对称，因为其定义域为R，所以，结合关于对称，从而周期，所以，，故B正确，D错误；若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.故选：BC.[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法.由方法一知周期为2，关于对称，故可设，则，显然A，D错误，选BC.故选：BC.[方法三]：因为，均为偶函数，所以即，，所以，，则，故C正确；函数，的图象分别关于直线对称，又，且函数可导，所以，所以，所以，所以，，故B正确，D错误；若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.故选：BC.19．（2023·河南·校联考模拟预测）已知非常数函数及其导函数的定义域均为，若为奇函数，为偶函数，则（

）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】因为非常数函数及其导函数的定义域均为，若为奇函数，则，则的图象关于点对称，且，故A错误；因为为偶函数，所以，即，则，又，所以，所以，即，所以，故的周期为8，所以，，在中，令，得，所以，故B正确；对两边同时求导，得，所以导函数的周期为8，所以，故C正确；由周期，得，，对两边同时求导，得，令，得，所以，故D正确.故选：BCD.20．（2023·吉林长春·东北师大附中校考一模）已知，下列说法正确的是（

）A．时，B．若方程有两个根，则C．若直线与有两个交点，则或D．函数有3个零点【答案】ABD【解析】对A：当时，，得满足题意；当时，，得不满足题意，故A正确.对B：作出的图象，方程有两个根可以看作的图象与直线有两个不同交点，由图知，故B正确.对C：直线可化为，故直线是以为斜率且恒过的直线，如图，为过与两点的直线，其斜率为，当位于时，直线与有两个交点，为过且与平行的直线，其斜率为，当位于时，直线与只有一个交点，为过的水平直线，其斜率为，当位于时，直线与只有一个交点，为过的竖直直线，其斜率不存在，当位于时，直线与只有一个交点，由图可知，要使直线与有两个交点，则位于之间或位于之间，故，所以，故C错误.对D：，即，所以或由得，由得进而得或，所以函数有3个零点，故D正确.故选：ABD21．（2023·辽宁·校联考模拟预测）已知定义域为的偶函数，使，则下列函数中符合上述条件的是（

）A． B． C． D．【答案】AC【解析】对于A，，定义域为，所以为偶函数，又，故A正确；对于B，恒成立，故B错误；对于C，，定义域为，，所以为偶函数，又，故C正确；对于D，因为，所以恒成立，故D错误．故选：AC．22．（2023·浙江·模拟预测）已知定义在上的函数满足且，则（

）A． B．C．为偶函数 D．为周期函数【答案】ACD【解析】依题意，，，取，得，又，则，A正确；取，得，则，B错误；取，得，而，即，于是，有，则为偶函数，C正确；即，得，即，有，于是，即有，因此，所以为周期函数，D正确.故选：ACD23．（2023·湖南永州·统考一模）已知函数与的定义域均为，，且，为偶函数，下列结论正确的是（

）A．4为的一个周期 B．C． D．【答案】ACD【解析】由于为偶函数，图象关于轴对称，所以图象关于对称，所以，所以①，而②，两式相加得，则③，所以，所以是的一个周期，A选项正确.由③令得，由①令得，由②令得，则，所以，所以，C选项正确.由①令得，由，得，两式相减得，即，且关于对称，，所以④，所以，所以是周期为的周期函数，所以，所以B选项错误.由④令得，所以，由于，所以所以，所以D选项正确.故选：ACD24（2023·贵州六盘水·统考模拟预测）设函数的定义域为，其图象关于直线对称，且.当时，，则下列结论正确的是（

）A．为偶函数 B．C．的图象关于直线对称 D．在区间上单调递减【答案】AC【解析】因为函数的定义域为，且，所以，所以函数是以为周期的周期函数，又因函数的图象关于直线对称，所以，即，又，所以，所以，所以为偶函数，故A正确；当时，，，故B错误；因为为偶函数且的图象关于直线对称，所以的图象关于直线对称，故C正确；因为当时，，而函数在都是减函数，所以函数在是减函数，又因为偶函数，所以在区间上单调递增，故D错误.故选：AC.25．（2023·浙江·模拟预测）设是定义在上的函数，对，有，且，则（

）A．B．C．D．【答案】ACD【解析】A：在中，令，则有，在中，令，则有，因此本选项正确；B：若成立，即有，在中，令，则有，这与相矛盾，所以假设不成立，因此本选项不正确；C：在中，以代，得，以代，得，上面两个等式相加，得，或，当时，则有，显然与矛盾，因此，于是有，因此函数的周期为，由，由，在中，令，得，令，得，由，于是有，因为，所以由，于是，因此，，因此本选项正确；D：在中，令，所以有，因此有：因为，，，函数的周期为，所以，因此本选项正确，故选：ACD.26．（2023·贵州·校联考模拟预测）已知函数，的定义域为，是的导函数，且，，若为偶函数，则（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】因为，令，则①，，令，则②，联立①②可得，故A正确；由题可知，又因为是偶函数，所以是奇函数，由可得，所以的周期为4，又∵，故，，故，故B正确；因为，由得，故，又，，若，则，可得，即，而不一定等于0，故C错误；因为，得，在中，令，可得，又，故，又的周期为4，所以，故D正确.故选：ABD.27．（2023·广东佛山·华南师大附中南海实验高中校考模拟预测）已知为定义在R上的偶函数，当时，有，且当时，，下列命题正确的是（

）A．B．函数在定义域上是周期为2的函数C．函数的值域为D．直线与函数的图象有2个交点【答案】AC【解析】由题意知，当时，有，所以，因为当时，，当时，可得，可得，又因为，所以，又由函数为定义在上的偶函数，所以可作出函数的图象如下：对于A中，由，所以A正确；对于B中，由图象可知函数不是周期函数，所以B是错误的；对于C中，由图象可知函数的值域为，所以C正确．对于D中，由图象可知直线与函数的图象只有1个交点，所以D错误.故选：AC.

28．（2023·安徽滁州·校考模拟预测）已知函数的定义域，满足，且当时，，则下列说法正确的是（

）A．是定义在上的偶函数B．在上单调递增C．若，则D．当是钝角的两个锐角时，【答案】BC【解析】对于A，令得，即得，在定义域范围内令得，即是奇函数，故A错误；对于B，令，且，所以，又，且，所以，所以，所以是单调增函数，故B正确；对于C，由，可得，即，即，所以是等比数列，又，所以，故C正确；对于D，因为是钝角的两个锐角，则，所以，故D错误.故选：BC.29．（2023·湖南长沙·长沙一中校考模拟预测）定义在R上的偶函数满足，且在上是增函数，则（

）A．关于对称 B．C． D．【答案】BC【解析】为偶函数，所以，所以，所以关于点对称，A错误；又，所以，B正确；因为在上是增函数，所以，故C正确；因为，所以，而的值不确定，故D错误.故选:BC．30．（2023·山东聊城·统考三模）已知函数，则（）A．的最小正周期为B．的图象关于直线对称C．时，在区间单调递增D．时，在区间既有极大值点也有极小值点【答案】BC【解析】对于A，，不是的周期，A错误；对于B，，的图象关于直线对称，B正确；对于C，；当时，，，，令，则，；与在上均单调递减，在上单调递减，又在上单调递减，由复合函数单调性可知：在上单调递增，C正确；对于D，由C知：；当时，，，；令，则，；，当时，在上恒成立，在上单调递增，又在上单调递增，在上单调递减，由复合函数单调性可知：在上单调递增，在上单调递减，则当时，在上有极大值点，无极小值点，D错误.故选：BC.31．（2023·江苏淮安·江苏省郑梁梅高级中学校考模拟预测）已知函数定义域为，是奇函数，，函数在上递增，则下列命题为真命题的是（

）A． B．函数在上递减C．若，则 D．若，则【答案】BCD【解析】对于A，因为是奇函数，所以，故A错误；因为是奇函数，所以的图象关于点对称，即有，所以，所以的图象关于直线对称，函数在上单调递增，所以在上单调递减，故B正确；因为，所以，即，故C正确；因为，且，由函数的图象关于直线对称，得，解得，故C正确.故选：BCD.32．（2023·浙江·校联考模拟预测）若定义在上的函数满足，且当时，，则下列结论正确的是（

）．A．若，，，则B．若，则C．若，则的图像关于点对称D．若，则【答案】BC【解析】令，则，∴为奇函数，把y用代替，得到，设，，∴．又∵当时，，∴，∴在上单调递减．∵，，当时，，则当时，则，，当时，则，．综上，，∴A错误．令，得，∴，令，得，∴，∴B正确．由，得，得，又∵，为奇函数，∴，则，则的图像关于点对称，∴C正确．，假设，可得，即，当时，不成立得出矛盾假设不成立，∴D错误．故选：BC.33．（2023·重庆·统考模拟预测）已知函数是定义在上的偶函数，满足，当时，，设函数，则下列结论成立的是（

）A．函数的图象关于对称B．C．当实数时，函数在区间上单调递减D．在区间内，若函数有4个零点，则实数的取值范围是【答案】ACD【解析】因为函数是定义在上的偶函数，所以，所以函数的图象关于对称，可知A正确；由，可得，知函数的周期，由周期和奇偶性得，故B不正确；当时，则，，所以，由函数为偶函数且周期为2可得，，由函数在区间上为单调递减函数，所以，即.得C正确；函数在区间有4个零点，有4个解，即与直线在有4个交点，利用周期和偶函数，结合在的解析式，可画出函数和函数在上的图像.如图：由图可得，即，实数的取值范围是,D正确.故选：ACD.34．（2023·湖南常德·常德市一中校考模拟预测）已知函数的定义域为，且，时，，，则（

）A．B．函数在区间单调递增C．函数是奇函数D．函数的一个解析式为【答案】ABD【解析】A项：因为，当时，，令，则，解得，A正确；B项：任取：，则，因为当时，，所以，，所以，即，所以函数在区间单调递增，B正确；C项：令，则，解得或，当，且时，令，则，若为奇函数，则，即，解得，与题意矛盾；当时不为奇函数．综上所述，函数不是奇函数，C错误；D项：当，则，，所以，易得在上单调递增，所以时，，，故函数的一个解析式为，D正确．故选:ABD35．（2023·辽宁·辽宁实验中学校联考模拟预测）已知函数的定义域为，，且．当时，，则（

）A．B．是偶函数C．为增函数D．当，且，时，【答案】ACD【解析】因为定义在上，且满足恒成立，令，即，解得，故A正确；再令，则，故，故是奇函数，又，所以函数一定不是偶函数，故B错误；任取，且，则．因为，所以，所以，由于，所以，，所以．因为，，所以，，即在区间上单调递增．故C正确；对于D，因为，，因为，当且仅当时，即时等号成立；所以，所以，又，所以．令，则．令，则，所以．因为，所以是首项为1，公比为2的等比数列，所以，故D正确．故选：ACD．三、填空题36．（2023·全国·统考高考真题）若为偶函数，则．【答案】2【解析】因为为偶函数，定义域为，所以，即，则，故，此时，所以，又定义域为，故为偶函数，所以