2.3.2 一元二次方程与实际问题-握手、几何、数字-八年级数学下册同步课堂（浙教版）

一元二次方程与实际问题ONE

会用一元二次方程解决面积体积问题，分析具体问题中的数量关系.TWO建立方程模型，认识建模的重要性，培养数形结合的意识．THREE进一步提高逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力．学习目标知识讲解（握手问题）例1

一次会议上，每两个参加会议的人都相互握一次手，有人统计一共握手78次，有多少人参加会议？解：设会议有x人

例2

某校九年级兴趣班的同学们，毕业前每位同学向其他同学各赠送一张贺卡，全班共互赠了182张，那么兴趣班有多少位学生？

知识讲解（几何问题）例3

要设计一本书的封面，封面长

27cm，宽

21cm，正中央是一个矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下、左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度？尝试用多种方法列方程？27212721【分析】封面的长宽之比是9∶7，中央的矩形的长宽之比也应是9∶7．设中央的矩形的长和宽分别是9acm和7acm，由此得上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是：（）（）27

-

9a

∶21

-

7a=9∶7.

9a7a

要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21

cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（结果保留小数点后一位）？解法一：设上、下边衬的宽均为9y

cm，左、右边衬宽均为7ycm，依题意得方程的哪个根合乎实际意义？为什么？整理,得：16y2-

48y

+

9

=

0．

2721

≈1.8cm，≈1.4cm．

解法二：设正中央的矩形两边分别为9xcm，7x

cm，

依题意得

2721例4

如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙,围成一个矩形花园ABCD(围墙MN最长可利用

25m)，现在已备足可以砌

50m长的墙的材料，当矩形花园的面积为

300m2时，求AB的长．

围墙问题一般先设其中的一条边为x，然后用x表示另一边，最后根据面积或周长公式列方程求解.

需要注意联系实际问题选择合适的解.例5

如图1，在宽为20米，长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540平方米，求道路的宽.图1图2

我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的性质，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出水渠的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）.图2知识讲解（数字问题）例6

三个连续的自然数的平方和比它们的和的8倍还多2，求三个自然数的平方和解:设三个连续的自然数的中间一个为x，则前后为x-1,x+1(x-1)2+x2+(x+1)2=8(x-1+x+x+1)+2x2-8x=0x1=8,x2=0(舍去)∴三个数的平方和是72+82+92=194

归纳举一反三1.从正方形铁片的边截去2cm宽的一个长方形，余下的面积是48cm2，则原来的正方形铁片的面积是（

）

A.8cm

B.64cm

C.8cm2D.64cm22.直角三角形的两条直角边的和是14cm,面积是24cm2.则其两条直角边长分别是

、

.D6cm8cm3.在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且握手1次

(1)若参加聚会的人数为3，则共握手

次;若参加聚会的人数为5，则共握手

次;

(2)若参加聚会的人数为n(n为正整数)，则共握手

次

(3)若参加聚会的人共握手28次，请求出参加聚会的人数.310

4.小林准备进行如下操作实验：把一根长为40cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形.（1）要使这两个正方形的面积之和等于58cm2，小林该怎么剪？（2）小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2.”他的说法对吗？请说明理由.解：(1)设其中一个小正方形的边长为xcm,则另一个小正方形的边长为=(10-x)cm.依题意x2+(10-x)2=58，解得x1=3,x2=7.当x=3时，小正方形周长为

12cm；当x=7时，小正方形周长为

28cm.∴小林应把长为40cm的铁丝剪为

28cm和

12cm的两段.(2)对.两个正方形的面积之和为：x2+(10-x)2=2x2-20x+100=2(x2-10x+25)+50=2(x-5)2+50∵无论x取何值，2(x-5)2总是不小于0的.∴2(x-5)2+50≥50.即这两个正方形的面积之和总是不小于50cm2的，所以不可能等于48cm2.所以，小峰的说法是对的.5.一个两位数，十位数字与个位数字之和是5，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新的两位数与原来的两位数的乘积是736，求原来的两位数？解：设原来两位数的十位数字为x，则个位数字为（5－x）根据题意，得[10x+