山东省潍坊市寿光圣都中学2022-2023学年高二数学理下学期摸底试题含解析

山东省潍坊市寿光圣都中学2022-2023学年高二数学理下学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.（+）2n（n∈N*）展开式中只有第6项系数最大，则其常数项为（） A．120 B．210 C．252 D．45参考答案：B【考点】二项式系数的性质． 【专题】二项式定理． 【分析】由已知得到展开式的通项，得到第6项系数，根据二项展开式的系数性质得到n，可求常数项． 【解答】解：由已知（+）2n（n∈N*）展开式中只有第6项系数为最大， 所以展开式有11项，所以2n=10，即n=5， 又展开式的通项为=， 令5﹣=0解得k=6， 所以展开式的常数项为=210； 故选：B 【点评】本题考查了二项展开式的系数以及求特征项；解得本题的关键是求出n，利用通项求特征项． 2.中国古代儒家要求学生掌握六种基本才艺：礼、乐、射、御、书、数，简称“六艺”,某高中学校为弘扬“六艺”的传统文化，分别进行了主题为“礼、乐、射、御、书、数”六场传统文化知识竞赛，现有甲、乙、丙三位选手进入了前三名的最后角逐,规定：每场知识竞赛前三名的得分都分别为且；选手最后得分为各场得分之和，在六场比赛后，已知甲最后得分为26分，乙和丙最后得分都是11分，且乙在其中一场比赛中获得第一名，下列说法正确的是(

)A.乙有四场比赛获得第三名B.每场比赛第一名得分a为4C.甲可能有一场比赛获得第二名D.丙可能有一场比赛获得第一名参考答案：A【分析】先计算总分，推断出，再根据正整数把计算出来，最后推断出每个人的得分情况，得到答案.【详解】由题可知,且都是正整数当时，甲最多可以得到24分，不符合题意当时，，不满足推断出，最后得出结论:甲5个项目得第一,1个项目得第三乙1个项目得第一,1个项目得第二，4个项目得第三丙5个项目得第二,1个项目得第三,所以A选项是正确的.【点睛】本题考查了逻辑推理,通过大小关系首先确定的值是解题的关键,意在考查学生的逻辑推断能力.3.已知函数f（x）及其导数f'（x），若存在x0使得f（x0）=f'（x0），则称x0是f（x）的一个“巧值点”．给出下列五个函数：①f（x）=x2，②f（x）=e﹣x，③f（x）=lnx，④f（x）=tanx，其中有“巧值点”的函数的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：B【考点】63：导数的运算．【分析】根据题意，依次分析四个函数，分别求函数的导数，根据条件f（x0）=f′（x0），确实是否有解即可．【解答】解：根据题意，依次分析所给的函数：①、若f（x）=x2；则f′（x）=2x，由x2=2x，得x=0或x=2，这个方程显然有解，故①符合要求；②、若f（x）=e﹣x；则f′（x）=﹣e﹣x，即e﹣x=﹣e﹣x，此方程无解，②不符合要求；③、f（x）=lnx，则f′（x）=，若lnx=，利用数形结合可知该方程存在实数解，③符合要求；④、f（x）=tanx，则f′（x）=﹣，即sinxcosx=﹣1，变形可sin2x=﹣2，无解，④不符合要求；故选：B．4.函数f(x)＝x2－x－2，x∈[－5,5]，那么任取一点x0∈[－5，5]，使f(x0)≤0的概率是A．1

B．

C． D． 参考答案：C略5.在区间[0,]上随机取一个数,则事件“”发生的概率为（

）A．

B.

C.

D.1参考答案：C略6.已知函数存在极值点，且，其中，（

）A.3 B.2 C.1 D.0参考答案：C【分析】求得函数的导数，根据函数存在极值点，可得，即，又由，化为：，把代入上述方程，即可得到答案．【详解】由题意，求得导数，因为函数存在极值点，，即，因为，其中，所以，化为：，把代入上述方程可得：，化为：，因式分解：，，．故选：C．【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用．7.某质量监督局要对某厂6月份生产的三种型号的轿车进行抽检，一直六月份该厂共生产甲种轿车1400辆，乙种轿车6000辆，丙种轿车2000辆.现采用分层抽样的方法抽取47辆轿车进行检测，则甲乙丙三种型号的轿车一次应抽取(A)14辆21辆

12辆

(B)7辆30辆

10辆(C)10辆20辆

17辆

(D)8辆21辆

18辆参考答案：B8.，其中（

）（A）恒取正值或恒取负值

（B）有时可以取0（C）恒取正值

（D）可以取正值和负值，但不能取0参考答案：D9.已知均为单位向量，它们的夹角为，那么（

）A.

B.

C.

D.

参考答案：A10.数列0，-1，0，1，0，-1，0，1，…的一个通项公式是(

)A.

B.cos

C.cos

D.cos参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知数列{an}的通项公式是，数列的通项公式是，令集合，，．将集合中的元素按从小到大的顺序排列构成的数列记为{cn}．则数列{cn}的前28项的和

．参考答案：82012.出租车司机从南昌二中新校区到老校区(苏圃路)途中有8个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯是相互独立的，并且概率都是则这位司机在途中遇到红灯数的期望为____.（用分数表示）参考答案：【分析】遇到红灯相互独立且概率相同可知，根据二项分布数学期望求解公式求得结果.【详解】由题意可知，司机在途中遇到红灯数服从于二项分布，即期望本题正确结果：【点睛】本题考查服从于二项分布的随机变量的数学期望的求解，考查对于二项分布数学期望计算公式的掌握，属于基础题.13.一个物体的运动方程为，其中的单位是米，的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是

米/秒．

参考答案：D略14.已知一组数据，，，，的方差为，则数据2，2，2，2，2的方差为_______．参考答案：2【分析】根据方差的性质运算即可.【详解】由题意知：

本题正确结果：2【点睛】本题考查方差的运算性质，属于基础题.15.已知直线与圆相切，则的值为________.参考答案：16.若函数f（x）=kx﹣lnx在区间（1，+∞）单调递增，则k的取值范围是．参考答案：[1，+∞）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】求出导函数f′（x），由于函数f（x）=kx﹣lnx在区间（1，+∞）单调递增，可得f′（x）≥0在区间（1，+∞）上恒成立．解出即可．【解答】解：f′（x）=k﹣，∵函数f（x）=kx﹣lnx在区间（1，+∞）单调递增，∴f′（x）≥0在区间（1，+∞）上恒成立．∴k≥，而y=在区间（1，+∞）上单调递减，∴k≥1．∴k的取值范围是：[1，+∞）．故答案为：[1，+∞）．17.已知为偶函数，且，则______参考答案：16略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）如图，在直三棱柱中，，，点分别为和的中点。（Ⅰ）证明：∥平面;

（Ⅱ）求三棱锥的体积。参考答案：（Ⅰ）解法1，连接……………5分解法2，P为的中点，连接PN和PM，由中位线定理知,即（Ⅱ）法一：

平面法二：连接，为的中点，平面……………12分19.已知椭圆E：(a>b>0),以F1（-c,0）为圆心，以a-c为半径作圆F1，过点B2（0,b）作圆F1的两条切线，设切点为M、N.(1)若过两个切点M、N的直线恰好经过点B1(0,-b)时，求此椭圆的离心率;(2)若直线MN的斜率为-1,且原点到直线MN的距离为4（-1）,求此时的椭圆方程；(3)是否存在椭圆E，使得直线MN的斜率k在区间(-)内取值？若存在，求出椭圆E的离心率e的取值范围；若不存在，请说明理由.参考答案：解：（1）圆F1的方程是（x+c）2+y2=(a-c)2,因为B2M、B2N与该圆切于M、N点，所以B2、M、F1、N四点共圆，且B2F1为直径，则过此四点的圆的方程是(x+)2+(y-)2=,从而两个圆的公共弦MN的方程为cx+by+c2=(a-c)2,又点B1在MN上,∴a2+b2-2ac=0,∵b2=a2-c2,∴2a2-2ac-c2=0,即e2+2e-2=0,∴e=-1.(负值已舍去)(2)由（1）知，MN的方程为cx+by+c2=(a-c)2,由已知-=-1.∴b=c,而原点到MN的距离为d==|2c-a|=a,∴a=4,b2=c2=8,所求椭圆方程是;(3)假设这样的椭圆存在，由（2）则有-<-<-,∴<<,∴<<,∴<<.故得2<<3,∴3<<4,求得<e<,即当离心率取值范围是（,）时，直线MN的斜率可以在区间(-,-)内取值.20.（本小题满分12分）如图,已知曲线,曲线,P是平面上一点,若存在过点P的直线与都有公共点,则称P为“C1—C2型点”.(1)在正确证明的左焦点是“C1—C2型点”时,要使用一条过该焦点的直线,试写出一条这样的直线的方程(不要求验证);(2)设直线与有公共点,求证,进而证明原点不是“C1—C2型点”;(3)求证:圆内的点都不是“C1—C2型点”.参考答案：(1)C1的左焦点为,过F的直线与C1交于,与C2交于,故C1的左焦点为“C1-C2型点”,且直线可以为;(2)直线与C2有交点,则,若方程组有解,则必须;直线与C2有交点,则,若方程组有解,则必须故直线至多与曲线C1和C2中的一条有交点,即原点不是“C1-C2型点”.(3)显然过圆内一点的直线若与曲线C1有交点,则斜率必存在;根据对称性,不妨设直线斜率存在且与曲线C2交于点，则直线与圆内部有交点,故，则①若直线与曲线C1有交点,则化简得,.....②由①②得,但此时,因为,即①式不成立;当时,①式也不成立综上,直线若与圆内有交点,则不可能同时与曲线C1和C2有交点,即圆内的点都不是“C1-C2型点”21.已知{an}为首项a1=2的等差数列，{bn}为首项b1=1的等比数列，且a2+b2=6，a3+b3=10．（1）分别求数列{an}、{bn}的通项公式；（2）记cn=an?bn，求数列{cn}的前n项和Sn．参考答案：【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）设数列{an}的公差为d（d＞0），数列{bn}的公比为q，由题意列方程组求得公差和公比，代入等差数列和等比数列的通项公式得答案；（2）把数列{an}和{bn}的通项公式代入cn=anbn，然后直接利用错位相减法求数列{cn}前n项和Sn．【解答】解：（1）设公差为d，公比为q，由a2+b2=6，a3+b3=10，a1=2，b1=1，得，解得d=2，q=2，∴an=2n，bn=2n﹣1，（2）∵cn=an?bn=2n?2n﹣1=n?2n，∴Sn=1?21+2?22+…+n?2n，∴2Sn=1?22+3?23+…+（n﹣1）?2n+n?2n，∴﹣Sn=2+22+23+…+2n﹣n?2n+1=﹣n?2n+1=（1﹣n）2n+1﹣2∴Sn=（n﹣1）2n+1+2．22.（本题满分12分）已知椭圆和直线L：y＝bx＋2，椭圆的离心率e＝，坐标原点到直线L的距离为．（1）求椭圆的方程；（2）已知定点E（-1，0），若直线y＝kx＋2与椭圆相交于C、D两点，试判断是否存在实数k，使得点E在以CD为直径的圆外？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．参考答案：（1）直线l：y＝bx＋2，坐标原点到直线l的距离为