2023-2024学年惠州市高一数学下学期3月份考试卷附答案解析

2023-2024学年惠州市高一数学下学期3月份考试卷（试卷满分150分，考试用时120分钟）2024.03一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在等小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，集合，则图中阴影部分表示的集合为（

）A． B． C． D．2．已知，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．若，且，则（

）A． B． C． D．4．最早发现勾股定理的人是我国西周数学家商高，商高比毕达哥拉斯早500多年发现勾股定理，如图所示，满足“勾三股四弦五”，其中股，为弦上一点（不含端点），且满足勾股定理，则向量，夹角的余弦值为（

）A． B． C． D．5．函数的图象大致为（

）A．B．C．D．6．若函数在上是单调函数，则t的最大值为（

）A． B． C． D．7．近来猪肉价格起伏较大，假设第一周､第二周的猪肉价格分别为a元/斤､b元/斤，甲和乙购买猪肉的方式不同，甲每周购买20元钱的猪肉，乙每周购买6斤猪肉，甲､乙两次平均单价为分别记为，，则下列结论正确的是（

）A．B．C． D．的大小无法确定8．已知函数是定义域为的奇函数，且当时，，若函数有六个零点，分别记为，则的取值范围是.A． B． C． D．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知向量，，则（

）A． B．向量在向量上的投影向量为C．与的夹角余弦值为 D．若，则10．牛顿曾提出了物体在常温环境下温度变化的冷却模型：若物体初始温度是（单位：℃），环境温度是（单位：℃），其中、则经过t分钟后物体的温度将满足（且）．现有一杯的热红茶置于的房间里，根据这一模型研究红茶冷却情况，下列结论正确的是（

）（参考数值）A．若，则B．若，则红茶下降到所需时间大约为6分钟C．5分钟后物体的温度是，k约为0.22D．红茶温度从下降到所需的时间比从下降到所需的时间多11．已知函数（其中）的部分图象如图所示.则下列结论正确的是（

）

A．函数的图象关于直线对称B．函数的图象关于点对称C．函数在区间上单调递增D．与图象的所有交点的横坐标之和为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知扇形OAB的圆心角为，其面积是则该扇形的周长是cm13．已知，是互相垂直的单位向量，若

与λ的夹角为60°，则实数λ的值是．14．定义在的函数的最大值为，最小值为，则的增区间为；.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．已知角的终边与单位圆在第四象限交于点，且点的坐标为.（1）求的值；（2）求的值.16．已知函数．（1）求的最小正周期；（2）当时，求的最小值以及取得最小值时的集合．17．已知函数.(1)若，求的值；(2)若对于恒成立，求实数的取值范围.18．已知函数是偶函数.（1）求实数的值；（2）设，若函数有唯一的零点，求实数的取值范围.19．在校园美化、改造活动中，甲、乙两所学校各要修建一个矩形的观赛场地.（1）甲校决定在半径为的半圆形空地的内部修建一矩形观赛场地.如图所示，求出观赛场地的最大面积；（2）乙校决定在半径为、圆心角为的扇形空地的内部修建一矩形观赛场地，如图所示，请你确定点的位置，使观赛场地的面积最大，并求出最大面积.1．D【分析】题中阴影部分表示的集合为，再根据交集，并集个补集的运算即可得解.【详解】解：，阴影部分表示的集合为或．故选：D．2．A【分析】先解不等式化简两个条件，利用集合法判断充分必要条件即可【详解】解不等式可得，解绝对值不等式可得或，由于为或的真子集，据此可知“”是“”的充分不必要条件．故选：A.3．A【分析】利用角的关系，再结合诱导公式和同角三角函数基本关系式，即可求解.【详解】由得，则，因为，所以，所以.故选：A4．A【分析】由等面积法求出，即可求出，从而得解.【详解】由题意知：，，，，满足勾股定理，，，则，所以，所以向量与夹角的余弦值为.故选：A.5．C【分析】首先求出函数的定义域，即可判断函数的奇偶性，再根据特殊值及函数值的取值情况判断即可.【详解】函数的定义域为，且，所以为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除A、D；又，当时，所以，，又，所以，所以，故排除B.故选：C6．B【分析】分段函数在上是单调函数需满足每段上都是增函数且当时，即可.【详解】当时，为增函数，所以当时，也为增函数，所以，解得.故的最大值为，故选：B.7．C【分析】分别计算甲､乙购买猪肉的平均单价，作商法，结合基本不等式比较它们的大小.【详解】甲购买猪肉的平均单价为：，乙购买猪肉的平均单价为：，显然，且，当且仅当时取“=”，因为两次购买的单价不同，即，所以，即乙的购买方式平均单价较大.故选：C.8．A【分析】利用函数的奇偶性，求得函数的解析式，作出函数的图象，结合函数的图象六个零点，和函数的对称性，即可求解．【详解】由题意，函数是定义域为的奇函数，且当时，，所以当时，，因为函数有六个零点，所以函数与函数的图象有六个交点，画出两函数的图象如下图，不妨设，由图知关于直线对称，关于直线对称，所以，而，所以，所以，所以，取等号的条件为，因为等号取不到，所以，又当时，，所以，所以.故选A【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中把函数有六个零点，转化为函数的图象的交点，结合函数的图象及对称性求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题．9．BCD【分析】利用平面向量共线的坐标表示可判断A选项的正误；设向量在向量上的投影向量为，根据题意得出，求出的值，可判断B选项的正误；利用平面向量夹角余弦的坐标表示可判断C选项的正误；利用平面向量垂直的坐标表示可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，，，所以，与不共线，A选项错误；对于B选项，设向量在向量上的投影向量为，则，即，解得，故向量在向量上的投影向量为，B选项正确；对于C选项，，，C选项正确；对于D选项，若，则，所以，，D选项正确.故选：BCD.10．AC【分析】由题知，根据指对数运算和指数函数的性质依次讨论各选项求解．【详解】解：由题知，A选项：若，即，所以，则，A正确；B选项：若，则，则，两边同时取对数得，所以，所以红茶下降到所需时间大约为7分钟，B错误；C选项：5分钟后物体的温度是，即，则，得，所以，故C正确；D选项：为指数型函数，如图，可得红茶温度从下降到所需的时间（）比从下降到所需的时间（）少，故D错误．故选：AC．11．BCD【分析】根据图像求出函数解析式，再逐个选项判断即可.【详解】由题意，，，所以，又，可得，又，所以，所以.因为，所以不是函数的对称轴，A错；，所以是对称中心，B正确；时，，所以在上单调递增，C正确；，，所以或，即或，又，所以，它们的和为，D正确.故选：BCD12．6【分析】设扇形的半径为,弧长为,然后根据圆心角和面积列方程组成方程组可解得.【详解】设扇形的半径为,弧长为,依题意可得,,解得,所以扇形的周长为.故答案为:6【点睛】本题考查了扇形中圆心角的弧度数公式和扇形的面积公式,属于基础题.13．【分析】根据平面向量的数量积运算与单位向量的定义，列出方程解方程即可求出λ的值．【详解】解：由题意，设（1，0），（0，1），则（，﹣1），λ（1，λ）；又夹角为60°，∴（）•（λ）λ＝2cos60°，即λ，解得λ．【点睛】本题考查了单位向量和平面向量数量积的运算问题，是中档题．14．【分析】首先可得，即可得到的图象关于对称，再根据指数、对数型复合函数的单调性判断的单调性，即可得解.【详解】函数的定义域为，且，所以的图象关于对称，因为又当时、、、均为增函数，所以与在上单调递增，所以在上单调递增，又为连续函数，所以的单调递增区间为，因为的最大值为，最小值为，所以.故答案为：；15．（1）；（2）.【解析】（1）利用三角函数的定义,建立关于的方程，即可求得（2）先利用诱导公式化简，再将已知条件代入即可【详解】解：（1）将代入圆的方程得：，在第四象限，，由任意角三角函数的定义得：；（2），由任意角三角函数的定义得：，，将之代入上式得：.【点睛】本题主要考查三角函数的坐标定义，考查同角的商数关系和诱导公式,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力，属于简单题16．（1），（2），时【分析】（1）先利用同角平方关系及二倍角公式，辅助角公式进行化简，即可求解；（2）由的范围先求出的范围，结合余弦函数的性质即可求解．【详解】解：（1），，，，故的最小正周期；（2）由可得，，当得即时，函数取得最小值．所以，时17．(1)；(2)【分析】（1）分别讨论和去绝对值解方程即可求解；（2）由题意可得：对于恒成立，分离转化为最值问题即可求解.【详解】（1）当时，，舍去；当时，，即，令，则，解得：或（舍），所以，可得：.（2）当时，，即，即.当时，，所以对于恒成立，所以，当，，，所以故的取值范围是.18．（1）；（2）.【解析】（1）根据偶函数定义求参数值．（2）函数有唯一的零点，转化为方程有唯一实数解，且，令，又等价于方程只有一个正实根，且.，先讨论；再讨论；在时方程一正一负根．从而可得结论．【详解】解：（1）是偶函数，，，.此式对于一切恒成立，（2）函数与的图像有且只有一个公共点，等价于方程有唯一的实数解，等价于方程有唯一实数解，且，令，则此问题等价于方程只有一个正实根，且.当，即时，则成立；当，即时，①若，即或，当时，代入方程得成立；当时，得，不符合题意；②若方程有一个正根和一个负根，即，即，符合题意.综上所述，实数的取值范围是.【点睛】关键点点睛：本题考查函数的奇偶性，考查函数零点个数问题．解题关键是转化．函数零点个数就是相应方程解的个数，由对数函数性质化简后再利用换元法转化，转化为多项式方程有一个正根．此时要注意分