2023-2024学年广东省深圳市罗湖区部分学校高三年级上册学期开学模拟考试数学试卷（含答案）

绝密★启用前试卷类型：A

2023—2024学年高三质量检测（一）

数学试卷2023.08

本试卷共4页，22小题，满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，正确粘贴条形码；

2.作答选择题时，用2B铅笔在答题卡上将对应答案的选项涂黑；

3.非选择题的答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上；不准使用铅笔和涂

改液；不按以上要求作答无效；

4.考试结束后，考生上交答题卡。

一'选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的。

1.已知集合4={x|2'Wl}，B={-2,-l,0,l,2},则zn8=

A.{0,1,2}B.{1,2}C.{-2,-1,0)D.{-2,-1}

2.已知复数z满足zi=l+2i,则/的虚部为

A.1B.-1C.2D.-2

3.已知向量。,力满足。+4b）,b1（a+3b）,则向量的夹角为

71712兀5兀

A.-B.一D.—

63c-T6

4.已知函数/'（x）=@竺士d为奇函数，则a=

x2

1

A.-B.2c・1D.3

2

5.“a今至”是“圆G：x2+/=i与圆。2：（》+42+3一242=36存在公切线”的

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2023—2024学年高三质量检测（一）数学试卷第1页（共4页）

7.数列｛4｝中，4=2,%=3，«„+I=anan+1,贝lja202A=

12

A.2B.3C.-D.一

33

8.已知一个圆锥的母线长为10,高为8,则该圆锥内切球的表面积与圆锥的表面积之比为

33〃13

A.—B・—C.—D.—

58313

二'选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.若随机变量X〜N(10,22),则

A.P(X210)=0.5B.尸(XW8)+P(XW12)=1

C.尸(8WXW14)=P(10WXW16)D.O(2X+1)=8

10.已知函数/(x)的定义域为R,/(x+1)为偶函数，/(3x+2)为奇函数，则

A./(x)的图象关于x=l对称B./(x)的图象关于(1,0)对称

20

C./(x+4)=/(x)D.Z/(i)=l

/=0

Y->21

11.已知椭圆E:亍+｝=1(。>6>0)的离心率为5,左、右焦点分别为耳，工，上顶点为P,

若过6且倾斜角为30。的直线/交椭圆E于43两点，△PZ3的周长为8,则

A.直线尸£的斜率为-石B.椭圆E的短轴长为4

_______48

C.PFL=2D.四边形ZP3K的面积为宣

12.欧拉是人类历史上最伟大的数学家之一.在数学史上，人们称18世纪为欧拉时代.直到

今天，我们在数学及其应用的众多分支中，常常可以看到欧拉的名字，如著名的欧拉函

数.欧拉函数/(“)(“€N)的函数值等于所有不超过正整数〃且与〃互素的正整数的个数,

例如9⑴=1,。(4)=2,则下列说法正确的是

A.S(15)=Q(3)S(5)B.Vrtj>n2,都有

C.方程6(〃)=〃一1(〃€1<)有无数个根D.0(7")=6X7*T(AeN,)

三'填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知U为锐角，tana=2,则sina+cosa=.

14.(》2+2)6的展开式中，/的系数为.

X

15.过抛物线C:/=4x焦点F的直线/交抛物线C于/,B两点,且万=3而，若M为AB

的中点，则"到V轴的距离为.

16.正方体Z3CD-44G"的棱长为2,底面43CQ内(含边界)的动点尸到直线CG的距

离与到平面的距离相等，则三棱锥P-/片2体积的取值范围为.

2023—2024学年高三质量检测(一)数学试卷第2页(共4页)

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明'证明过程或演算步骤

17.（10分）

已知数列｛凡｝为正项等差数列，数列｛bn｝为递增的正项等比数列，%=1,

a｛—b｛=a2—b2=aA—b3=0.

（1）求数列｛/｝,他,｝的通项公式；

a,〃为奇数

（2）数列｛%｝满足c,=J不屈物，求数列9｝的前2〃项的和.

18.（12分）

在四棱锥P-43CZ）中，底面力3CZ）为正方形，AB1PD.

（1）证明：平面平面4BC。；

（2）若PA=PD,ZPDA=60°,求平面P4）与平面P3C夹角的余弦值.

（第18题图）

19.（12分）

已知。，方，c分别为三角形△Z3C三个内角4,8,C的对边，且ccosB+36cosc=a-b.

（1）求C；

13

（2）若。=5,cosB=—,D为AB边上一点,且3。=5,求△NC。的面积.

14

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20.（12分）

某厂生产的产品每10件包装成一箱，每箱含0,1,2件次品的概率分别为0.8,0.1,0.1.在

出厂前需要对每箱产品进行检测，质检员甲拟定了一种检测方案：开箱随机检测该箱中的3

件产品，若无次品，则认定该箱产品合格，否则认定该箱产品不合格.

（1）在质检员甲认定一箱产品合格的条件下，求该箱产品不含次品的概率；

（2）若质检员甲随机检测一箱中的3件产品，抽到次品的件数为X,求X的分布列及期望.

21.(12分)

已知函数/(x)=e*-mx(w6R).

（1）讨论/（x）的单调性；

（2）当x20时，若关于x的不等式/（x）+ln（x+l）-l）（HiOLi,求实数机的取值范围.

22.（12分）

22

已知双曲线。:0一4=1（。〉04>0）的左、右焦点分别为片，F2,且I耳用=4,若。上

ab

的点M满足||及*Hg1|=2恒成立.

（1）求C的方程；

（2）若过点M的直线/与C的两条渐近线交于P,。两点，且|〃P|=|MQ|.

（i）证明：/与C有且仅有一个交点；

（ii）求福j+温的取值范围•

2023—2024学年高三质量检测（一）数学试卷第4页（共4页）

2023—2024学年高三质量检测（一）

数学参考答案

一、选择题本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的。

题号12345678

答案CADDACBB

二、选择题本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

题号9101112

答案ABACACDACD

三、填空题本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.运14.16016.E，2]

5⑸1

四、解答题本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（10分）

解：（1）设该等差数列｛an｝的公差为d,等比数列｛%｝的公比为q,

由已知得｛%+d=aq

r....................................................................................................................2分

%+3d=

因为数列｛an｝为正项数列，｛%｝为正项递增数列，

所以q=2,d=1,..................................................................................................................................4分

n-1n-1

所以an=1+(n-1)x1=n>bn=1x2=2......................................................................6分

n,n为奇数

（2）由已知得c=................................................................................................7分

n,2n-x,n为偶验

所以数列｛cn｝的前2n项和为

aaa

T2n=(l+3++2n-l)+⑸+以+•••+b2n)

=(1+3+…+2n-1)+(21+23+…+22"-1)................................................................................8分

(l+2n-l)n21x(1-4n)

=2+1-4

3九2+22刀+1—2

........................................................................................................................................10分

3

18.（12分）

证：（1）♦.•底面4BCD为正方形,

：.AB1AD,..............................................................................................................................................1分

XV/4B1PD,ADHPD=D,AD,PDu平面PAD..........................................................................3分

：.ABL^PAD,....................................................................................................................................4分

第1页共5页

u平面4BCD,.....................................................................................................................5分

平面PAD_L平面4BCD...............................................................................................................6分

解：(法一)(2)取4。中点为0,连结P0,

•.,在AP4D中，PA=PD,^PDA=60°.

：.PO1AD,APAC为等边三角形.

•.•平面PADJL平面4BCD,平面PADn平面48CD=AD,POu平面PAD,

：.POJ■平面4BCD.........................................................................................................................7分

以。为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

设底面正方形4BCD的边长为2,

，P(0,0,遮)，4(100)，B(l,2,0),C(-l,2,0),D(-l,0,0),

.*.而=(1,2,-V3).PC=(-1,2,-V3)............................................................................9分

设平面PBC的一个法向量m=(%,y,z),

则f里.机二°,即卜+2y_W：=o,

(PC-m=0[—%+2y—V3z=0

令y=3,则％=0,z=2V3,

Am=(0,3,2V3)...................................................................................................................10分

由(1)可知平面P4D的一个法向量Ji=(0,1,0)...................................................................11分

设平面PAD与平面PBC的夹角为0,

则皿。=黯=高=苧,

...平面PAD与平面PBC夹角的余弦值为卫............................................12分

7

)(2)设平面PAD与平面PBG的发线为/,

■:EC//AD,4Cu平面H4D,BCC平面PZD,

；.%C〃平面PAD(，第18题图1)

又,：BCu平面PBC,

:.BC“I,AD1)

•.•平面H4C与平面PBC有一个交点P,

.•〃为过点P且与BC平行的一条直线，如下图，…7分

取AD中点为。，取BC中点为M,连结尸。，PM,OM,

•.•底面四边形4BCD为正方形，0,M分别为4D,BC的中点,

：.OM“AB,

又1平面24。，

；.OM1平面PAD,...................................................................8分

'：lu平面24。,

第2页共5页

：.OM1I,

•.•在△PAD中，PA=PD,。为4D的中点,

：.PO1AD,PO1I,

又POnOM=。，PO,OMu平面PAD,

：.l1平面POM,

：.l1PM,

又；/OPM为锐角，

/OPM为平面24。与平面P8C的夹角，10分

设底面正方形4BCD的边长为2,

在APOM中,PM=7P0f°M2=6cos/POM=弟*号

...平面PAD与平面PBC夹角的余弦值为叵.12分

19.(12分)

解：(1)由正弦定理得sinCcos8+3cost=sin4-s出8,.....................2分

因为sinA=sin[兀一(B+C)]=sin(B+C),

所以si几CcosB+3sinBcosC=sin(8+C)—sioB,.................................3分

HPsinCcosB+3sinBcosC=sinBcosC+cosBsinC—sinB,

2sinBcosC=一sinB,

而sinBW0,

所以cosC=-}..................................................................5分

又因为CW(0,7T),

所以C=叁.........................................................................6分

(2)因为cosB=会，Be(0,n),

14

所以sinB=V1-cos2B=—».....................................................7分

14

sinA=sin(B+C)=sinBcos—+cosBsin—=—»................................8分

v73314

nhr5bC

由正弦定理-r：=工=七;，得sb—3日一一，

sinAsinBstnC———

第3页共5页

解得力=3,c=7,..........................................................10分

则4D=c-BD=2,

所以SAACO=~xADxbxsinA=-x2x3x—=—.............................12分

AAC"221414

20.(12分)

解：(1)记“质检员甲认定一箱产品合格”为事件4“该箱产品不含次品”为事件B,

则P(4)=0.8xl+0.1x^+0.1x^=£,.....................................3分

P(AB)=0.8=/............................................................4分

4

由条件概率公式得P(B|A)=?黑=丢=当

,⑷1255

所以在质检员甲认定一箱产品合格的条件下，该箱产品不含次品的概率为蔡..............6分

(2)由题意可得X可以取0,1,2,.............................................7分

则P(X=0)=P(Z)=£,......................................................8分

P(X=1)=0.1X+0.1x,........................................9分

''c?0c?03oo

P(X=2)=0.1x^=高，........................................................10分

L］。JLDU

所以随机变量X的分布列为

X012

11231

P

12300150

...........................................................................11分

所以E(X)=0x-+lx—4-2x—=—.......................................12分

'125300150100

21.(12分)

解：(1)/(x)=ex-.....................................................1分

当m<0时，由尸f(x)在R上单调递增，.....................................2分

当m>0时，由f(%)=0,可得％=Inm,

Axe(—oo,仇m)时，/(%)<0,/(%)单调递减；.....................................3分

%W(Znm,+QO)时,/(x)>0,f(%)单调递增......................................4分

・•・当m<0时，f(%)在R上单调递增；

当m>0时，/(%)在区间(一叫仇？n)上单调递减，在区间(mm,+8)上单调递增.

(2)设g(x)=靖一m%+仇(x+1)-l(x>0),则g(%)=?*+-^—m,............5分

(i)当m<1时，g'(x)=e"+W-7n>1-m>0,.......................6分

在区间［0,+g)上单调递增，则g(%)>g(0)=0恒成立，.......................7分

［11

(ii)当m>l时，令〃(%)=靖+七一m,则〃(x)=e*-示卡,......................8分

XTII冗十L)

第4页共5页

令4(%)=二一行M，则k'(x)=靖+/^>0,

；./c(x)在区间［0,+8)上单调递增，则k(x)>fc(0)=0,

...〃(%)在区间［0,+8)上单调递增，则a(x)(0)=2-m,..................................................9分

①若1cm<2,则g'(x)》。恒成立，则g(x)在区间［0,+8)上单调递增，

，g(x)》g(o)=o......................................................................................................................10分

②若m>2,则g'(0)<0,g1(lnm+1)=(e-l)m+2+^nm>0,

C(0,nm+1),使得g'(%o)=0,

，g(x)在区间［0,%o)上单调递减，则g(x(>)<g(。)=0，与条件矛盾，.................11分

综上所述，实数m的取值范围为(一8,2］...............................................................................12分

22.（12分）

解：（1）由双曲线定义可知||时尸1|一附「2||=261=2,，（1=1.............................................1分

又由1?1?2|=4,：.c=21........................................................................................................2分

'."a2+h2=c2,.".b=V3..........................................................................................................3分