七年级数学有理数学生讲义

有理数学问网络构造图学问点1：有理数的根本概念中考要求：有理数理解有理数的意义会比较有理数的大小数轴能用数轴上的点表示有理数；知道实数与数轴上的点的对应关系会借助数轴比较有理数的大小相反数会用有理数表示具有相反意义的量，借助数轴理解相反数的意义，会务实数的相反数驾驭相反数的性质肯定值借助数轴理解肯定值的意义，会务实数的肯定值会利用肯定值的学问解决简洁的化简问题学问点总结：正数、负数、有理数随着同学们视野的拓展，小学学过的自然数、分数和小数已经不能满意认知须要了.譬如一些具有相反意义的量，收入300元和支出200元，向东50米和向西30米，零上和零下等等，它们不但意义相反，而且表示肯定的数量，怎么表示它们呢？我们把一种意义的量规定为正的，把另一种和它意义相反的量规定为负的，这样就产生了正数和负数.正数：像、、等的数，叫做正数.在小学学过的数，除.负数：像、、、.既不是正数，也不是负数.一个数字前面的“＋〞，“－〞号叫做它的符号.正数前面的“＋〞可以省略，留意与表示是同一个正数.用正、负数表示相反意义的量：假如正数表示某种意义，则负数表示它的相反的意义，反之亦然.譬如：用正数表示向南，则向北可以用负数表示为.“相反意义的量〞包括两个方面的含意：一是相反意义；二是相反意义的根底上要有量.有理数:按定义整数与分数统称有理数.注：⑴正数和零统称为非负数；⑵负数和零统称为非正数；⑶正整数和零统称为非负整数；⑷负整数和零统称为非正整数.板块一、根本概念例题讲解1、选择下面是关于0的一些说法，其中正确说法的个数是〔〕①0既不是正数也不是负数；②0是最小的自然数；③0是最小的正数；④0是最小的非负数；⑤0既不是奇数也不是偶数.2、下面关于有理数的说法正确的选项是〔〕．A．有理数可分为正有理数和负有理数两大类.B.正整数集合与负整数集合合在一起就构成整数集合C.整数和分数统称为有理数D.正数、负数和零的统称为有理数板块二、数轴、相反数、倒数、肯定值3、和是满意≠0的有理数，现有四个命题：①的相反数是；②的相反数是的相反数与的相反数的差；③的相反数是的相反数和的相反数的乘积；④的倒数是的倒数和的倒数的乘积．其中真命题有()A.1个B.2个C.3个D.4个4、一个数的肯定值大于它本身，则这个数是()A、正有理数 B、负有理数 C、零 D、不行能5、数轴上分开原点2个单位长度的点表示的数是____________；6、有理数-3，0，20，-1.25，1.75，-∣-12∣，-〔-5〕中，正整数有________个，非负数有______个；7、肯定值最小的有理数是________；肯定值等于3的数是______；肯定值等于本身的数是_______；肯定值等于相反数的数是_________数；一个数的肯定值肯定是________数。________，肯定值是________，倒数是________。9、平方是它本身的数是；倒数是它本身的数是；相反数是它本身的数是；立方是它本身的数是。肯定值小于4的全部整数的和是________；肯定值大于2且小于5的全部负整数的和是________。10、在数轴上任取一条长度为的线段，则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数点的个数为学问点2：比较大小比较大小的主要方法：代数法：正数大于非正数，零大于负数，对于两个负数，肯定值大的反而小．数轴法：数轴右边的数比左边的数大．作差法：，，．作商法：假设，，，，．取倒法：分子一样，通过比较分母从而断定两数的大小．板块一、数轴法、为有理数，在数轴上如下图，则〔〕A.B.C.D.数所对应的点在数轴上的位置如下图，则与的大小关系假设有理数在数轴上的位置如下图，则以下各式中错误的选项是〔〕A．B．C．D．在数轴上画出表示各数的点，并按从小到大的依次重新排列，用“〞；连接起来实数在数轴上的对应点如图，试比较的大小板块二、代数法比较大小：把四个数和用“＜〞号连接起来比较，，，，的大小．，则，，的大小关系是什么？假设，则的大小关系假如，请用“〞将，，，，，连接起来.假设，，试不用将分数化小数的方法比较，的大小．学问点3：运算与运算法则有理数根本加、减混合运算有理数加法法则：①同号两数相加，取一样的符号，并把肯定值相加.②肯定值不相等的异号两数相加，取肯定值较大的加数符号，并用较大的肯定值减去较小的肯定值.③一个数同0相加，仍得这个数.有理数加法的运算步骤：法则是运算的根据，根据有理数加法的运算法则，可以得到加法的运算步骤：①确定和的符号；②求和的肯定值，即确定是两个加数的肯定值的和或差.有理数加法的运算律：①两个加数相加，交换加数的位置，和不变.(加法交换律)②三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变.(加法结合律)有理数加法的运算技巧：①分数与小数均有时，应先化为统一形式.②带分数可分为整数与分数两部分参与运算.③多个加数相加时，假设有互为相反数的两个数，可先结合相加得零.④假设有可以凑整的数，即相加得整数时，可先结合相加.⑤假设有同分母的分数或易通分的分数，应先结合在一起.⑥符号一样的数可以先结合在一起.有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数.有理数减法的运算步骤：①把减号变为加号〔变更运算符号〕②把减数变为它的相反数〔变更性质符号〕③把减法转化为加法，根据加法运算的步骤进展运算.有理数加减混合运算的步骤：①把算式中的减法转化为加法；②省略加号与括号；③利用运算律与技巧简便计算，求出结果.留意：根据有理数减法法则，减去一个数等于加上它的相反数，因此加减混合运算可以根据上述法则转变为只有加法的运算，即为求几个正数，负数和0的和，这个和称为代数和.为了书写简便，可以把加号与每个加数外的括号均省略，写成省略加号和的形式.板块二、有理数根本乘法、除法有理数乘、除法Ⅰ：有理数乘法有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把肯定值相乘.任何数同0相乘，都得0.有理数乘法运算律：①两个数相乘，交换因数的位置，积相等.(乘法交换律)②三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等.(乘法结合律)③一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加.(乘法安排律)有理数乘法法则的推广：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数确定，当负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数.②几个数相乘，假如有一个因数为0，则积为0.③在进展乘法运算时，假设有带分数，应先化为假分数，便于约分；假设有小数与分数，一般先将小数化为分数，或凑整计算；利用乘法安排律与其逆用，也可简化计算.在进展有理数运算时，先确定符号，再计算肯定值，有括号的先算括号里的数.Ⅱ：有理数除法有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数.，()两数相除，同号得正，异号得负，并把肯定值相除；0除以任何一个不等于0的数，都得0.有理数除法的运算步骤：首先确定商的符号，然后再求出商的肯定值.例题讲解板块一、有理数的加减运算1、以下各组数中，数值相等的是〔〕A、－〔－2〕和+〔－2〕；B、－22和〔－2〕2；C、－32和〔－3〕2；D、—23和〔－2〕2、两数相加，其和小于每一个加数，则〔〕.A、这两个数相加肯定有一个为零.B、这两个加数肯定都是负数.C、这两个加数的符号肯定一样.D、这两个加数一正一负且负数的肯定值大3、计算：⑴ ⑵⑶ ⑷⑸⑹⑺ ⑻⑼板块二、有理数的乘除运算奇数个负数相乘，积的符号为，个负数相乘，积的符号为正.计算以下各题：⑴；⑵⑶⑷⑸⑹⑺3、计算⑴；⑵⑶；⑷⑸；⑹学问点四、字母相关的运算1、假设，则________。2、假设则________。3、假设，则得值是；假设，则得值是.4、的最小值是，此时=。5、假设a,b互为相反数，c,d互为倒数，且，则.6、|a|=5,|b|=2,ab<0.求：3a+2b的值7、x=时，求代数式的值。8、互为相反数，互为负倒数，的肯定值等于，求的值设三个互不相等的有理数，既可分别表示为的形式，又可分别表示为的形式，则10、、互为相反数，、互为负倒数，的肯定值等于它相反数的倍.求的值.11、假如,则的结果是()A、0B、C、D、212、假设│χ∣=5，y2=4,且xy＜0，则x+y=;13、假设a,b互为倒数，m,n互为相反数，则；14、假设则=；15、利用数轴求的最小值，求的最小值16、〔1〕求的值；〔2〕当时，求的值。学问点五、字母性质的推理1、假如，则肯定成立的是()A．是的相反数 B．是的相反数C．是的倒数 D．是的倒数2、、、为非零有理数，它们的积必为正数的是〔〕A．，、同号B．，、异号C．，、异号D．、、同号3、假设三个数互不相等，则在中，正数肯定有()A．个 B．个 C．个 D．个4、用“＞〞或“＜〞填空⑴假如，则0；⑵假如，则0.5、假如，，且，试确定、、的符号.6、,以下说法中，正确的选项是〔〕；A、假设│a∣＞│b∣,则a＞b;B、假设│a∣=│b∣，则a=b;C、假设，则a＞b;D、假设0＜a＜1，则a＜。7、假如a、b两有理数满意a>0，b<0，<，则下面关系式中正确的选项是()A、－a<b<a<－b B、b<－a<a<－bC、－a<－b<b<a D、b<－a<－b<a8、假设x＜0，则等于〔〕A、－xB、0C、2xD、－2x9、对随意实数a，以下各式肯定不成立的是〔〕A、B、C、D、10、a＜0，且，则的值是〔〕A、等于1B、小于零C、等于D、大于零11、化简：12、有理数a,b,c在数轴上的位置如下图，，试化简baba0c学问点六：应用1、某班抽查了10名同学的期末成果，以80分为基准，超出的记为正数，缺乏的记为负数，记录的结果如下：+8，-3，+12，-7，-10，-4，-8，+1，0，+10；①，这10名同学的中最高分是多少？最低分是多少？②，10名同学的平均成果是多少？2、小李上周末买进股票1000股,每股20元,下表为本周每股票的涨跌状况:星期一二三四五每股涨跌＋4＋5－1－3－6周三收盘时,小李所持股票每股多少元本周内,股票最高价出如今星期几是多少元‰‰的手续费和3‰的交易税,假设小李在本周末卖出全部股票,他的收益如何一辆货车从超市动身，向东走了到达小彬家，接着向前走了到达小颖家，然后向西走了到达小明家，最终回到超市⑴以超市为原点，向东作为正方向，用个单位长度表示，在数轴上表示出小明，小彬，小颖家的位置⑵小明家间隔小彬家多远？⑶货车一共行驶了多少千米？4、初一〔4〕班在一次联欢活动中，把全班分成5个队参与活动，嬉戏完毕后，5个队的得分如下：队：-50分；队：150分；队：-300分；队：0分；队：100分．⑴将5个队按由低分到高分的依次排序；⑵把每个队的得分标在数轴上，并将代表该队的字母标上；⑶从数轴上看队与队相差多少分？队与队呢？5、“十·一〞黄金周期间，西樵山风景区在7天假期中每天旅游的人数变更如下表〔正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数〕：日期1日2日3日4日5日6日7日人数变更单位：万人假设9月30日的游客人数记为5万人，则10月2日的游客人数：万人。请推断七天内游客人数最多的是日，最少的是日。以9月30日的游客人数为0点，用折线统计图表示这7天的游客人数状况：学问点七、科学计数法与有效数字学问点总结科学记数法：把一个大于10的数表示成的形式〔其中，是整数〕，此种记法叫做科学记数法．例如：就是科学记数法表示数的形式．也是科学记数法表示数的形式．有效数字：从一个数的左边第一个非0数字起，到末位数字止，全部数字都是这个数的有效数字．如：有两个有效数字：2，7；有5个有效数字：1，2，0，2，留意：万，亿常考点与易错点：科学计数法中的单位转换，精确到什么位与保存有效数字的差异．记忆方法：挪动几位小数点问题．比方：要科学记数法，实际就是小数点向左挪动到和之间，挪动了位，故记为．例题讲解1、上海世博会的开幕式中，烟花的燃放是美景之一，而我们是先看到烟花，再听见声音，其缘由是光的传播速度大于声音的传播速度.在常温下光的传播速度约为300000000m/s，声音的传播速度约为340m/s.将300000000用科学记数法表示为〔〕A． B． C． D．2、全球可被人类利用的淡水总量仅占地球上总水量的0.00003，因此珍惜水、爱护水，是我们每一位公民义不容辞的责任〔〕A．B．C．D．3、2021年北京市高考人数约8万人，其中统考生仅7.4万人，创六年来人数最低.请将74000用科学记数法表示为〔〕A．B．C．D．4、某种感冒病毒的直径为0.0000000031米，将0.0000000031用科学记数法表示为〔〕×109×10-8×109×10-95、〔〕A． B． C． D．学问点八：找规律1、找规律计算：2、先阅读第〔1〕小题的计算过程，再计算第〔2〕小题；计算：解：原式=〔2〕计算：〔3〕3、视察以下图形：它们是按肯定规律排列的，按照此规律，第16个图形共有个★，第n个图形共有个★4、视察以下等式：根据你发觉的规律，解答以下问题：〔1〕写出第5个等式；〔2〕第10个等式；〔3〕第n个等式；5、视察下面的式子：⑴小明归纳了上面各式得出一个揣测：两个有理数的积等于这两个有理数的和，小明的揣测正确吗？为什么？⑵请你视察上面各式的构造特点，归纳出一个揣测，并证明你的揣测6、用※代表一种运算，假设，试求值：〔1〕5※6，〔2〕2※〔3※4〕重点题型总结与应用题型一肯定值理解肯定值的意义与性质是难点，由于|a|表示的是表示数a的点到原点的间隔，因此|a|≥0．可运用|a|的非负性进展求解或推断某些字母的取值．例1假如a与3互为相反数，则|a+2|等于()A．5B．1C．-1D．-5例2假设(a-1)2+|b+2|＝0，则a+b＝.规律假设几个非负数的和为0，则这几个数分别为0．题型二有理数的运算有理数的运算包括加减法、乘除法与乘方，是初中数学运算的根底．要熟记法则，敏捷运算，进展混合运算时，还要留意运算依次与运算律的应用．例3(-1)2011的相反数是()A．1B．-1C．2011D．-2011例4计算：(1)；(2)．题型三运用运算律简化运算过程运用加法的交换律、结合律，把某些具有一样属性的数(如正数、负数、分数中的分母具有倍数关系、相反数等)分别结合在一起相加，可以简化运算过程．例5计算以下各题．(1)21-49．5+10．2-2-3．5+19；(2)；(3)；(4)．点拨(1)正、负数分别结合相加；(2)分数中，同分母或分母有倍数关系的分数结合相加；(3)除法转化为乘法，正向应用乘法安排律；(4)逆向应用安排律a(b+c)＝ab+ac，即ab+ac＝a(b+c)．题型四利用特别规律解有关分数的计算题根据题目特点，敏捷将算式变形，对不同算式实行运算依次重新组合、因数分解、裂项等不同的方法，到达优化解题过程、简化计算、解决问题的目的．例6计算以下各题．(1)；(2)；(3)(4).点拨利用规律特点，敏捷解分数计算题，须要仔细视察，留意常常训练，进步思维的敏捷性．题型五有理数运算的应用用正负数可以表示相反意义的量，有理数的运算在生活中的应用非常广泛，其中，有理数的加法、减法与乘法运用较多．做题时，要仔细分析，列出算式，并精确计算．例7有8箱橘子，以每箱15千克为标准，超过的千克数记为正数，缺乏的千克数记为负数，现记录如下(单位：千克)：1．2，-0．8，2．3，1．7，-1．5，-2．7，2，-0．2，则这8箱橘子的总重量是多少例8一货车为一家摩托车配件批发部送货，先向南走了8千米，到达“华能〞修理部，又向北走了3．5千米，到达“捷达〞修理部，接着向北走了7．5千米，到达“志远〞修理部，最终又回到批发部．(1)以批发部为原点，以向南方向为正方向，用1个单位长度表示1千米，你能够在数轴上表示出“华能〞“捷达〞“志远〞三家修理部的位置吗(2)“志远〞修理部距“捷达〞修理部多远(3)货车一共行驶了多少千米题型六探究数字规律找数字规律的题目成为近几年中考的热点问题，这类题目敏捷多变．解题时要仔细视察、分析思索，找出规律，并运用规律解决问题．例9某种细菌在繁殖过程中，每半小时分裂一次，由一个分裂成两个，2．5小时后，这种细菌可分裂为()A．8个B．16个C．32个D.64个例10视察图1-6-2，找寻规律，在“〞处应填上的数字是()A．128B．136C．162D．188解析：视察图个数字特点可发觉：8＝4+2+2；14＝8+4+2；26＝14+8+4；…．所以“〞＝88+48+26＝162．答案：C思想方法归纳本章中所表达的数学思想方法主要有：1．数形结合思想：在本章中，自始至终利用数轴来定义或描绘有理数的概念和运算，数轴成为理解有理数与其运算的重要工具．这种把数与形(图形或数轴)结合起来进展探讨的思想方法，是学习数学的重要思想方法．2．分类探讨思想：a与-a哪个大呢a的肯定值等于什么在本章中，我们都是通过分类探讨解决问题，分类探讨可以把一个困难的问题分成假设干个较简洁的问题来处理，这是数学中处理问题的一种重要思想方法．不重复、不遗漏是对分类探讨提出的根本要求．例如，我们常把有理数分成正有理数、负有理数和零三类，假如遗漏了零，只考虑正有理数和负有理数两种状况，就会犯错误．3．转化思想：有理数的加法是通过符号法则转化为肯定值(小学所学的数)的加减法进展的；有理数的减法是通过转化