人教版必修第二册直线与直线垂直教案

8.6.1直线与直线垂直

一、教学目标1.理解两异面直线所成角的定义，会求两异面直线所成的角

2.掌握证明两条异面直线垂直的方法

二、教学重点理解异面直线所成角的定义以及证明两直线垂直

教学难点会求两异面直线所成的角

三、教学过程

1、复习回顾情境引入

问题1：空间两条直线有哪些位置关系

相交直线——只有一个公共点

共面在线

I平行直线｝没有公共点

异面直线

观察：如图，在正方体ABCD-A'B'C'D'中，直线A'C'与直线AB,直线A'D'与直线

AB都是异面直线,直线A'C与A'D'相对于直线AB的位置相同吗?如果不同，

如何表示这种差异呢？

答：我们知道，平面内两条直线相交形成4个角，其中不大于90°的角称为

这两条直线所成的南（或夹角），它刻画了一条直线相对于另一条直线倾

斜的程度，类似地，我们也可以用“异面直线所成的角”来刻画两条异

面直线的位置关系

2、探索新知

1）异面直线。与b所成的角（或夹角）

如图，已知两条异面直线a,b,经过空间任一点。分别作直线我

们把直线"与//所成的

角叫做异面直线。与b所成的角（或夹角）

问题1：直线a、b所成角的大小与点。的位置有关吗?

2）异面直线互相垂直

如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直线

a与直线b垂直,

记作a±b

特别的，当两条直线a、b相互平行时，我们规定它们所成的角为0。.所以空间两

条直线所成角a的取值范围是0°<a<90°

【例1】如右图，已知正方体ABCD-ARCR

(1)哪些棱所在的直线与直线AA]垂直？

(2)求直线BA与CC所成角的大小

11

(3)求直线BA_与AC所成角的大小

解：(1)棱AB、BC、CD、DA、B|C「CjDpRA1所在直线与直线AA1

垂直

⑵在正方体ABCD-A|B£D|中，因为CC&BB],所以NB〔BA为直线

BA1与CC,所成的角.而NB|BA=45。

(3)连接A£、BC「所以NB|BA为直线BA,与C£所成的角.在正方体

ABCD-A|B]C|D]中，AC〃A|C「则NBAg1为直线BA1与AC所成

的角.而△A|BC]是等边三角形，所以NBA£=60°,从而直线BA,

与AC所成的角等于60。

【例2】如图所示，在长方体48CZ)—EFGH中，AB=AD^2y[i,4E=2

HG

(1)求直线BC和EG所成的角

(2)求直线AE和BG所成的角

解：⑴连接AC

■:EG"AC,：.Z.ACB即是BC和EG所成的角

•.•在长方体A8CD-E尸G”中，AB=AD=2小

；.tanNACB=l,二NACB=45°

直线BC和EG所成的角是45。

(2)'：AE//BF

NFBG即是AE和BG所成的角.

易知tanNFBG=4§

NFBG=60°

：.直线AE和BG所成的角是60°

方法规律：求两异面直线所成角的三个步骤

(1)作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角

(2)证：证明作出的角就是要求的角

(3)计算：求角的值，常利用解三角形得出

可用“一作二证三计算”来概括.同时注意异面直线所成角的范围是0。(区90。

【例3】如右图，在正方体ABCD-ABCD中，0为底面ABCD的中心，求证:AO，BD

1111111)11

证明：如图，连接8。

11

ABCQ-ABCO是正方体，:.BB11£>D

1111I-I

・•.四边形83。。是平行四边形・・・.5D//BD

।iii

厂.直线AO与BD所成的角即为直线AO与8。所成的角

111।

连接A3,AD,易证A3=4。

1111

又。为底面A8C。的中心，.・・0为8。的中点

1iiii।1।

・•.AO1BD

111

/.AO1BD

1

【例4】空间四边形ABCD,E,F,G分别是BC,AD,DC的中点，FG=2,GE=木,

EF=3

求证：AC1BD

证明：•.•点G,E分别是CD,BC的中点

Z.GE/7BD,同理GF〃ACv/\\

NFGE或NFGE的补角是异面直线AC与BD所成的角/\'''\\

在aEFG中，VFG=2,GE=小，EF=3

满足FG2+GE2=EF2

ZFGE=90°

即异面直线AC与BD所成的角是9(r....AC_LBD

方法规律：证明两条异面直线垂直的步骤：

(1)，恰当选点，用平移法构造出一个相交角

(2)证明这个角就是异面直线所成的角(或补角)

(3)把相交角放在平面图形中，一般是放在三角形中，通过解三角形求出所构造

的角的度数

(4)给出结论：若求出的平面角为直角，垂直得证

四、课堂练习

P练习

148

1、如图，在正方体ABC。-A181cpi中，C£>］与。J相交于点O,求证：AOYA}B.

A,

证明：如图，•.•ABC£>—A1B£O1是正方体

：.AyDx//BC

：.四边形A}DyCB是平行四边形

，直线AO与4卢所成南即为直线A0与QC所成角

连接4C,ADr易证AC=A0

又。为CQ的中点

：.AO±DiC

：.AOA.A}B

2、如图所示，A8是圆O的直径，点C是弧AB的中点，D、E分别是V8、气的中

点，求异面直线DE与

A8所成的角

解：因为。、E分别是V7?、VC的中点

所以BC//DE

因此NABC是异面直线DE与AB所成的角

又因为AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点

所以△ABC是以NACB为直角的等腰直角三角形

所以NABC=45°

故异面直线DE与AB所成的角为45°

五、课堂小结

1、在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直

线所成的角，将空间问题向平面问题转