2023年中考数学考前第13讲：函数相关性问题（附答案解析）

2023年中考数学考前冲刺第13讲：函数相关性问题

【难点突破】着眼思路，方法点拨，疑难突破；

1、一次函数图像与实际情景探究：分析函数图象与实际情境中量的意义.①确定坐标

轴表示的意义；②确定图象上的点表示的意义；③确定上升线及下降线表示的意义；④确定

每段图象对应的自变量的取值范围及图象的最值等.解题时根据条件判断一次函数图象时，

关键是找出突破点，如能用排除法解决的，就不需要逐一分析图象.

2、反比例函数综合探究：①求反比例函数解析式中的k,就是求出双曲线上某点的坐

标或横、纵坐标的积；②先设反比例函数图象上关键点的坐标，再利用该点的坐标和已知

表示出其他数量关系，是求解这类问题常用的方法。

解题过程要注意以下几点：①求直线与双曲线的交点，需建立由y=kx+b和y='组

X

成的方程组，并解之；②求一般图形的面积可转化为边在坐标轴上的图形的面积.

3、二次函数的图像研究问题：对于抛物线y=ax2+bx+c,①抛物线开口方向决定a

的正负，c是抛物线与y轴交点的纵坐标，结合对称轴的位置确定b；②结合一元二次方程

的判别式，确定与X轴交点的个数：③抛物线一定过(1,a+b+c),(—1,a-b+c)和(2,4a

+2b+c);④数形结合看不等式成立与否.

【例题1】如图①，在矩形ABCD中，E是AD上一点，点P从点B沿折线BE-ED-DC运动

到点C时停止；点Q从点B沿BC运动到点C时停止，速度均为每秒1个单位长度.如果点

P、Q同时开始运动，设运动时间为t,ABPQ的面积为y,已知y与t的函数图象如图②所

3ɔ

示.以下结论：①BC=IO;②CoSNABE=-；③当0≤t≤:Lo时，y=—12;④当t=12时，z^BPQ

55

是等腰三角形；⑤当14≤t≤20时，y=110-5t中正确的有()

y/crrt

A.2个B.3个C.4个D.5个

第1页共24页

【例题2】如图，一次函数y=h+6伏，6为常数，且原0)的图象与X轴，V轴分别交于Z,

8两点，且与反比例函数y="(w为常数，且〃翔)的图象在第二象限交于点C,CD±x^,

X

垂足为点。，若08=204=300=12.

(1)求一次函数与反比例函数的解析式：

(2)记两函数图象的另一个交点为E,求ACDE的面积；

(3)直接写出不等式foc+b∕的解集.

X

【例题3】如图，抛物线外=。(x+2)2-3与，2=2(x-3)2+1交于点A(1,3),过点A

作X轴的平行线，分别交两条抛物线于点B,C.则以下结沦：①无论X取何值，力的值

总是正数；②2。=1；③当X=O时，y2-/1=4：④274B=3AC:其中正确结论是()

第2页共24页

一、选择题：

1.（2018•通辽）小刚从家去学校，先匀速步行到车站，等了几分钟后坐上了公交车，公交

车匀速行驶一段时后到达学校，小刚从家到学校行驶路程s（单位：m）与时间τ（单位：

min）之间函数关系的大致图象是（）

2.二次函数y=αχ2+bx+c的图象如图所示，则下列关系式中错误的是（）

A.α<0B.c>0C.b2-4ac>0D.a+b+c>O

3.某校校园内有一个大正方形花坛，如图甲所示，它由四个边长为3米的小正方形组成，

且每个小正方形的种植方案相同.其中的一个小正方形ABCD如图乙所示，DG=I米，AE=AF=X

米，在五边形EFBCG区域上种植花卉，则大正方形花坛种植花卉的面积y与X的函数图象大

第3页共24页

4.如图，己知A,B是反比例函数y=-（k>0,x>0）图象上的两点，BC〃x

X

轴，交y轴于点C,动点P从坐标原点O出发，沿O—A—B-C（图中“一”

所示路线）匀速运动，终点为C,过P作PMJ_x轴，垂足为M.设三角形

OMP的面积为S,P点运动时间为t,则S关于X的函数图象大致为（）

5.（2018•达州）如图，二次函数y=aχ2+bx+c的图象与X轴交于点A（-1,0）,与y轴的

交点B在（0,2）与（0,3）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=2.

下列结论：①abcVO；②9a+3b+c>0;③若点M（Lyl）,点N（三，丫2）是函数图象上

22

的两点，则y1<y2;④-∣<a<-2.

55

其中正确结论有（）

二、填空题

6.如图1,点P从aABC的顶点B出发，沿B玲C∙÷A匀速运动到点A,图2是点P运动时,

第4页共24页

线段BP的长度y随时间X变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低点，则4ABC的面积

B、C在第二象限，对角线交于点D,若C、D

且00A8C的面积等于12,则k的值是.

8.如图，在平面直角坐标系中，。8在X轴上，NA8。=90。，点A的坐标为(2,4),将

△AOB绕点A逆时针旋转90。，点。的对应点C恰好落在反比例函数y=E的图象上，则

9.如图,在平面直角坐标系中,反比例函数y=G(x>0)的图象上,有一动点P,以点P为圆心,以一

个定值R为半径作。P在点P运动过程中,若。P与直线y=-×+4有且只有3次相切时,则定值R

为.

10.二次函数y=αχ2+bχ+c的图象如图所示，给出下列说法:

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①αbc<O;②方程αχ2+bχ+c=0的根为Xl=-1、x2=3；③当x>l时，y随X值的增大而减

小：④当y>O时，-lVχ<3.其中正确的说法是.

三、解答题

11.小玲和弟弟小东分别从家和图书馆同时出发，沿同一条路相向而行，小玲开始跑步中途

改为步行，到达图书馆恰好用30min.小东骑自行车以300m∕min的速度直接回家，两人离

家的路程y(m)与各自离开出发地的时间X(min)之间的函数图象如图所示

(1)家与图书馆之间的路程为4000m,小玲步行的速度为200m/min；

(2)求小东离家的路程y关于X的函数解析式，并写出自变量的取值范围；

(3)求两人相遇的时间.

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12.如图所示，四边形ABCD是菱形，边BC在X轴上，点A(0,4),点B(3,0),双曲线

y=上与直线BD交于点D、点E.

X

(1)求k的值；

(2)求直线BD的解析式；

(3)求ZiCDE的面积.

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13.传统的端午节即将来临，某企业接到一批粽子生产任务，约定这批粽子的出厂价为每只

4元，按要求在20天内完成.为了按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人李明第X

天生产的粽子数量为y只，y与X满足如下关系：

∫34x(0<x<β)

V=]20x+80(6<x<20)

(1)李明第几天生产的粽子数量为280只？

(2)如图，设第X天生产的每只粽子的成本是P元，P与X之间的关系可用图中的函数图

象来刻画.若李明第X天创造的利润为W元，求W与X之间的函数表达式，并求出第几天

的利润最大？最大利润是多少元？(利润=出厂价-成本)

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2023年中考数学考前冲刺第13讲：函数相关性问题答案解

析

【难点突破】着眼思路，方法点拨，疑难突破；

1、一次函数图像与实际情景探究：分析函数图象与实际情境中量的意义.①确定坐标

轴表示的意义；②确定图象上的点表示的意义；③确定上升线及下降线表示的意义；④确定

每段图象对应的自变量的取值范围及图象的最值等.解题时根据条件判断一次函数图象时，

关键是找出突破点，如能用排除法解决的，就不需要逐一分析图象.

2、反比例函数综合探究：①求反比例函数解析式中的k,就是求出双曲线上某点的坐

标或横、纵坐标的积；②先设反比例函数图象上关键点的坐标，再利用该点的坐标和已知表

示出其他数量关系，是求解这类问题一常用的方法。

解题过程要注意以下几点：①求直线与双曲线的交点，需建立由y=kx+b和y=幺组

X

成的方程组，并解之；②求一般图形的面积可转化为边在坐标轴上的图形的面积.

3、二次函数的图像研究问题：对于抛物线y=ax2+bx+c,①抛物线开口方向决定a

的正负，c是抛物线与y轴交点的纵坐标，结合对称轴的位置确定b；②结合一元二次方程

的判别式，确定与X轴交点的个数；③抛物线一定过(1,a+b÷c),(—1,a—b+c)和(2,4a

+2b+c);④数形结合看不等式成立与否.

【例题1】如图①，在矩形ABCD中，E是AD上一点，点P从点B沿折线BE-ED-DC运动

到点C时停止；点Q从点B沿BC运动到点C时停止，速度均为每秒1个单位长度.如果点

P、Q同时开始运动，设运动时间为t,Z∖BPQ的面积为y,已知y与t的函数图象如图②所

31

示.以下结论：①BC=I0：②CoS/ABE=-；③当0≤t≤10时，y=-t2④当t=12时，ZiBPQ

55i

是等腰三角形；⑤当14≤t≤20时，y=110-5t中正确的有()

Q-

Si

A.2个B.3个C.4个D.5个

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【分析】根据题意，确定10≤t≤14,PQ的运动状态，得到BE、BC,ED问题可解.

【解答】解：由图象可知，当IO≤t≤14时，y值不变，则此时，Q点到C,P从E到D∙

.∙.BE=BC=10,ED=4故①正确.

ΛAE=6

RtZ∖ABE中，AB=√1()--6'

=8

iff4

.∙.cosZABE=—=-；故②错误

BE5

当0≤t≤10时，Z^BPQ的面积为

I2、

—PB∙i)B∙sinZΛBE=ɪ/ɔ

・・・③正确；

*=12时，P在点E右侧2单位，此时BP>BE=BC

PC=√2-7K7=2√TVr∙^BPQ不是等腰三角形.④错误；

当144t≤20时，点P由D向C运动，Q在C点，

△BPQ的面积为:)<10x(22-t)=110-5t则⑤正确

一,

故选：B.

【点评】本题为双动点问题，解答时既要注意两个动点相对位置变化又要注意函数图象的变

化与动点位置变化之间的关联.

【例题2】如图，一次函数y=⅛r+6(k,6为常数，且厚0)的图象与X轴，y轴分别交于Z,

8两点，且与反比例函数y="("为常数，且〃翔)的图象在第二象限交于点C,COLX轴，

X

垂足为点。，若08=204=300=12.

(1)求一次函数与反比例函数的解析式：

(2)记两函数图象的另一个交点为E,求ACDE的面积；

(3)直接写出不等式h+后"的解集.

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.∙.O4=6,00=4,

ΛJ(6,0),8(0,12),P(-4,0).

・・・CZ)_Lx轴，：.OB//CD,

MABoS∕∖4CD,

・OA=OB即6=Jl

tDA~DC10^Z)C,

ΛDC=20,ΛC(-4,20).

将4(6,O),5(0,12)代入/=AX+6中,

6k+h=0k=-2,

得f解得

b=12,b=l2.

・・・一次函数的解析式为y=-2x+12.

将C(-4,20)代入>="中，得N=孙=一80,

X

...反比例函数的解析式为V=.

X

y=-2x+12,

⑵联立一次函数和反比例函数的解析式，得\=—地，

・・・点E的坐标为(10,-8),

S>CDE=S.DA+SAEDA=^2D，DA-∖-^DA-∖y^=^)A∙(C0+网)=；X10×28=140.

(3)不等式区+后"的解集为x>10或一4≤χV0.

X

【例题3】如图，抛物线力=。(x+2)2-3与力=/(x-3)2+1交于点A(1,3),过点A

作X轴的平行线，分别交两条抛物线于点B,C.则以下结沦：①无论X取何值，y2的值

总是正数；②2o=l；③当X=O时，y2-yi=4；®2AB=3AC；其中正确结论是()

第11页共24页

%yi

弋一”

A.①②B.②③C.③④D.①④

【分析】利用二次函数的性质得到力的最小值为L则可对①进行判断；把4点坐标代入

yι=a(x+2)2-3中求出。，则可对②进行判断；分别计算x=0时两函数的对应值，再计算

y2-Vi的值，则可对③进行判断；利用抛物线的对称性计算出AB和AC,则可对④进行判断.

【解答】解：,∙y2~~(χ-3)2+ι,

2

；.力的最小值为1,所以①正确；

把4(1,3)代入yι=o(x+2)2-3Wɑ(1+2)2-3=3,

∙'∙3o=2,所以②错误；

当X=O时，yi=­(x+2)2^3=~,"2==(x-3)2+1=」L,

3322

∙∙∙V2-Vi=¥∙+《■=号，所以③错误；

236

抛物线Vι=α(x+2)2-3的对称轴为直线X=-2,抛物线力=！(χ-3)?+1的对称轴为直

2

线x=3,

.∙.AB=2x3=6,AC=2x2=4,

：.2AB=3AC,所以④正确.

故选：D.

【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次-函数y=αχ2+bχ+c(o≠0),-

次项系数。决定抛物线的开口方向和大小.当α>0时，抛物线向上开口；当α<0时，抛

物线向下开口；一次项系数b和二次项系数α共同决定对称轴的位置.当。与b同号时(即

ab>O),对称轴在y轴左；当。与b异号时(即αb<O),对称轴在y轴右；常数项C决

定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于(0,c).也考查了二次函数的性质.

一、选择题：

1.小刚从家去学校，先匀速步行到车站，等•了几分钟后坐上了公交车，公交车匀速行驶一

段时后到达学校，小刚从家到学校行驶路程S(单位：m)与时间r(单位：min)之间函数

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【分析】根据小刚行驶的路程与时间的关系，确定出图象即可.

【解答】解：根据题意得：小刚从家到学校行驶路程S（单位：m）与时间r（单位：min）

之间函数关系的大致图象是

故选：B.

2.二次函数y=αχ2+bχ+c的图象如图所示，则下列关系式中错误的是（）

A.α<0B.c>0C.b2-4oc>0D.a+b+c>O

【分析】根据二次函数的开口方向，与y轴的交点，与X轴交点的个数，当χ=i时，函数

值的正负判断正确选项即可.

【解答】解：A、二次函数的开口向下，.∙∙a<0,正确，不符合题意；

8、二次函数与y轴交于正半轴，.∙.c>0,正确，不符合题意；

C、二次函数与X轴有2个交点，.∙.b2-4ac>0,正确，不符合题意；

D、当X=I时，函数值是负数，a+b+c<O,.∙.错误，符合题意，

故选：D.

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3.某校校园内有一个大正方形花坛，如图甲所示，它由四个边长为3米的小正方形组成，

且每个小正方形的种植方案相同.其中的一个.小正方形ABCD如图乙所示，DG=I米,AE=AF=X

米，在五边形EFBCG区域上种植花卉，则大正方形花坛种植花卉的面积y与X的函数图象大

致是（）o

甲乙

【分析】先求出AAEF和ADEG的面积，然后可得到五边形EFBCG的面积，继而可得y与X

的函数关系式。

1

【解析】【解答】SΛAEF=AEXAF=-V',SΔ0EG='DG×DE=-×1×(3-×)=,

22222

nI,3-xɪ,115

S五边形EFBCG=S正方形ABCD-S∆AEF-S∆DEG="V=V♦X♦，

ɔɔ、)、

则y=4×(—y÷—X÷---)=-2v'*2.v÷30，

222

VAE<AD,Λx<3,综上可得：r=-2v；÷2x÷3O(0<x<3).故答案为：A.

4.如图，已知A,B是反比例函数y=-(k>0,x>0)图象上的两点，BC//×

X

轴，交y轴于点C,动点P从坐标原点O出发，沿OTA-BTC(图中“T”

所示路线)匀速运动，终点为C,过P作PM_Lx轴，垂足为M.设三角形

OMP的面积为S,P点运动时间为t,则S关于X的函数图象大致为（)

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【考点】动点问题的函数图象.

【分析】结合点P的运动，将点P的运动路线分成OTA、A一B、B→C三段

位置来进行分析三角形OMP面积的计算方式，通过图形的特点分析出面积变

化的趋势，从而得到答案.

【解答】解：设NAe)M=α,点P运动的速度为a,

当点P从点。运动到点A的过程中，

(at∙cosθ.>(at∙si∏Q)1

Sc--------------------------------------------a2∙cosα∙sιnα∙t22,

22

由于a及a均为常量，从而可知图象本段应为抛物线，且S随着t的增大而增

大；

当点P从A运动到B时，由反比例函数性质可知AOPM的面积为]k,保持

不变，

故本段图象应为与横轴平行的线段：

当点P从B运动到C过程中，OM的长在减少，^OPM的高与在B点时相同，

故本段图象应该为一段下降的线段；

故选：A.

5.(2018•达州)如图，二次函数y=aχ2+bx+c的图象与X轴交于点A(-1,0),与y轴的

交点B在(0,2)与(0,3)之间(不包括这两点)，对称轴为直线x=2.

下列结论：①abc<O;②9a+3b+c>0:③若点M(],yι),点N(∙^∙,y2)是函数图象上

的两点，则

y1≤y2;④-⅞<a<-2

55

其中正确结论有()

第15页共24页

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案.

【解答】解：①由开口可知I：aVO,

，对称轴X=-^^->0,

Λb>O,

由抛物线与y轴的交点可知：c>0,

Λabc<O,故①正确；

②：抛物线与X轴交于点A（-1,0）,

对称轴为×=2,

.∙.抛物线与X轴的另外一个交点为（5,0）,

.∙.x=3时，y>0,

Λ9a+3b+c>0,故②正确;

③由于∙⅛∙<2<g,

22

且（∙∣∙,y?）关于直线χ=2的对称点的坐标为（怖，丫2），

..ɪ

,2<2，

Λyι<y2,故③正确，

@V„⅛.∣∣=2,

•∙b=-4a,

Vx=-1,y=0,

Λa-b+c=O,

•∙C-—5a,

V2<c<3,

Λ2<-5a<3,

第16页共24页

.∙.-∙⅜<a<-ɪ,故④正确

55

故选：D.

二、填空题

6.如图1,点P从aABC的顶点B出发，沿B玲C玲A匀速运动到点A,图2是点P运动时，

线段BP的长度y随时间X变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低点，则AABC的面积

【分析】根据图象可知点P在BC上运动时，此时BP不断增大，而从C向A运动时，BP先

变小后变大，从而可求出BC与AC的长度.

【解答】解：根据图象可知点P在BC上运动时，此时BP不断增大，

由图象可知：点P从B向C运动时，BP的最大值为5,

即BC=5,

由于M是曲线部分的最低点，

,此时BP最小，

即BPlAC,BP=4,

由勾股定理可知：PC=3,

由于图象的曲线部分是轴对称图形，

PA=3,

.∙.AC=6,

Λ∆ABC的面积为：1×4×6=12

2

故答案为：12

7.如图，。OABC中顶点A在X轴负半轴上，8、C在第二象限，对角线交于点D,若C、D

两点在反比例函数*上的图象上，且口048C的面积等于12,则k的值是.

X

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【分析】根据平行四边形的性质的性质及反比例函数k的几何意义，判断出OE=EF,再由

△A。C的面积，可得关于k的方程，解出即可.

【解答】解：如图所示：

V°OABC的面积等于12,

，ZXAOC的面积为6,

：点。是线段AC的中点，CE//DF,

二DF是AACE的中位线，

：.CE=2DF,AF=EF,

又,∙*S^0CE=S^0DF='2''

∙'∙0F=20E,Sy。F=>SACE~|k|，

4Δ

∙,∙SAACE+SAOCE=SzxAOC=6，即39-=6，

又・・・kvo（反比例函数在第二象限），

：.k=-4.

故答案为：-4.

8.如图，在平面直角坐标系中，。8在X轴上，/480=90。，点八的坐标为（2,4）,将

△4。B绕点A逆时针旋转90。，点。的对应点C恰好落在反比例函数y=K∙的图象上，则

X

k的值为.

第18页共24页

【分析】根据题意和旋转的性质，可以得到点C的坐标，由点C在反比例函数y=三的图象

X

上，从而可以得到k的值，本题得以解决.

【解答】解：在X轴上，NABo=90。，点A的坐标为（2,4）,将aAO8绕点A逆时

针旋转90。，点。的对应点C恰好落在反比例函数y=生的图象上,

X

：.点C的坐标为（6,2）,

6

解得，k=12,

故答案为：12.

9.如图,在平面直角坐标系中,反比例函数V=G（x>O）的图象上,有一动点P,以点P为圆心,以一

个定值R为半径作。P在点P运动过程中,若。P与直线y=-×+4有且只有3次相切时,则定值R

第19页共24页

过点P作PCUAB于点Q,过点P作PR〃x轴交AB于点R,则4PQR是等腰直角三角形,

PR=41PQ,根据反比例函数的轴对称性，OP与直线y=-x+4有且只有3次相切时，线段

PQ在第一象限的角平分线上，所以Q(2,2)

设P(a,±)(a>0),则a=二，解得×=√2>

aa

所以P(Ji,J5),得R(4-√2,√2)，则PR=4-2√2.

故答案为2√i-2.

10.二次函数y=αχ2+bχ+c的图象如图所示，给出下列说法：

①CfbC<0；②方程αχ2+bx+c=0的根为Xl=-1、x2=3;③当x>l时，y随X值的增大而减

小；④当y>0时，-l<x<3.其中正确的说法是.

【分析】根据抛物线的开口方向确定α的取值范围；根据对称轴的位置确定b的取值范围;

根据抛物线与y轴的交点确定C的取值范围；

根据图象与X轴的交点坐标确定方程αχ2+jbχ+c=o的根,也可以确定当y>o时X的取值范围;

根据抛物线的开口方向和对称轴我的抛物线的增减性.

【解答】：：抛物线的开口方向向下，.∙.α<0,

：对称轴在y轴的右边，.∙∙b>0,

；抛物线与y轴的交点在X轴的上方，.∙.c>0,.∙.αbc<O,故①正确；

根据图象知道抛物线与X轴的交点的横坐标分别为X=-1或x=3,

方程a×2+b×+c-0的根为M=-1、X2=3,故②正确：

根据图象知道当x>l时，y随X值的增大而减小，故③正确；

根据图象知道当y>0时，-l<x<3,故④正确.

故选①②③④.

三、解答题

第20页共24页

11.小玲和弟弟小东分别从家和图书馆同时出发，沿同一条路相向而行，小玲开始跑步中途

改为步行，到达图书馆恰好用30min.小东骑自行车以300m∕min的速度直接回家，两人离

家的路程y（m）与各自离开出发地的时间X（min）之间的函数图象如图所示

（1）家与图书馆之间的路程为4000m,小玲步行的速度为200m/min：

（2）求小东离家的路程y关于X的函数解析式，并写出自变量的取值范围；

（3）求两人相遇的时间.

【分析】（1）认真分析图象得到路程与速度数据；

（2）采用方程思想列出小东离家路程y与时间X之间的函数关系式；

（3）两人相遇实际上是函数图象求交点.

【解答】解：（1）结合题意和图象可知，线段CD为小玲路程与时间函数图象，折现O-A

-B为为小东路程与时间图象

则家与图书馆之间路程为400Om,小玲步行速度为2000÷10=200m∕s

故答案为：4000,200

（2）小东从离家400Om处以300m∕min的速度返回家,则Xmin时,

，他离家的路程y=4000-3OOx

自变量X的范围为0≤x≤-¾-

（3）由图象可知，两人相遇是在小玲改变速度之前

Λ4000-300×=200×

解得x=8

•••两人相遇时间为第8分钟.

12.如图所示，四边形ABCD是菱形，边BC在X轴上，点A（0,4）,点B（3,0）,双曲线

y=k与直线BD交于点D、点E.

X

（I）求k的值；

（2）求直线BD的解析式；

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(3)求aCDE的面积.

【解答】解：(1)：点A(0,4),点B(3,0),

.∙.OA=4,OB=3,