北京市东城区2023-2024学年高二年级上册期末统一检测数学试卷

东城区2023-2024学年度第一学期期末统一检测

局一数学

2024.1

本试卷共6页，满分100分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答

无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共30分）

一、选择题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求

的一项。

1.直线x—6y+l=0的倾斜角为（）

A.30°B.60°C.90°D.150

2.已知空间中直线/的一个方向向量。=（1,2,4）,平面a的一个法向量〃=（2,4,8）,贝!J（）

A.直线I与平面a平行B.直线I在平面a内

C.直线/与平面a垂直D.直线/与平面a不相交

3.设尸为抛物线C：/=4尤的焦点，则F到其准线的距离为（）

A.lB.2C.3D.4

4已知S"是数列｛%｝的前〃项和,=n2+2n,则为=（）

A.lB.3C.5D.8

尤2

5.双曲线3■一丁=1的渐近线方程为（）

..73

A.y=±——xB.y=土币x

3

1

C.y=+—XD.y=±2%

-2

6.线上支付已成为当今社会主要的支付方式，为了解某校学生12月份A,B两种支付方式的使用情况，从全校

学生中随机抽取了100人，对样本中仅用一种支付方式及支付金额的人数情况统计如下：

支付金额（元）

(0,500](500,1000]大于1000

支付方式

仅使用A20人8人2人

仅使用B10人6人4人

从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，两人支付金额均多于500元的概率是（）

7.哈雷彗星大约每76年环绕太阳一周，因英国天文学家哈雷首先测定其轨道数据并成功预言回归时间而得名.

已知哈雷是1682年观测到这颗彗星，则人们最有可能观测到这颗彗星的时间为（）

A.2041年〜2042年B.2061年〜2062年

C.2081年〜2082年D.2101年〜2102年

8.在平面直角坐标系中，M,N分别是x,y轴正半轴上的动点，若以为直径的圆与直线3尤+4y-10=0

相切，则该圆半径的最小值为（）

13

A.-B.lC.-D.2

22

9.已知a,beR,则“-1,a,b,2为等比数歹广是“a/?=-2”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

10.曲线C：x'n+yn^l,其中优，w均为正数，则下列命题埼误的是（）

A.当m=3,〃=1时，曲线C关于（0,1）中心对称

B.当根=',〃=,时，曲线C是轴对称图形

22

C.当加=4,〃=2时，曲线C所围成的面积小于万

D.当根=3,〃=2时，曲线C上的点与（0,0）距离的最小值等于1

第二部分（非选择题共70分）

二、填空题共5小题，每小题4分，共20分。

1L直线x+y+l=0的斜率为；过点尸（1,3）且垂直于/的直线方程是.

12.如图，己知M是正方体A5CD-4与CQi的棱的中点，则直线人加与CD所成角的余弦值为

13.已知圆_?+2%+/一4丁+4=0,则圆心坐标为；半径为.

14.2023年10月第三届“一带一路”国际合作高峰论坛在北京胜利召开.某校准备进行“一带一路”主题知识竞赛

活动.要求每位选手回答A,B两类问题，且至少：斐问题的成绩达到优秀才能获奖.已知张华答42两类问

题成绩达到优秀的概率分别为0.6,0.5,则张华在这次比赛中获奖的概率为.

15.如图，正方形A3CD的边长为1,连接A3CD各边的中点得到正方形跳GH,连接正方形跳各边的

中点得到正方形Z/KL,依此方法一直进行下去.记%为正方形A3CD的面积，出为正方形跳的面积，

%为正方形"KL的面积，S“为｛4｝的前〃项和.给出下列四个结论:

①存在常数M<—,使得%〉M恒成立

32

②存在正整数N。，当〃〉M时，4〈卷

③存在常数M>2,使得Sn<M恒成立

④存在正整数N。，当〃〉No时，Sn>2

其中所有正确结论的序号是.

三、解答题共5小题，共50分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

16.（本小题10分）

如图，在直三棱柱ABC—A5cl中，ACA.BC,A^^AC=BC,D,E分别为CQ，的中点.

（I）证明：DE〃平面ABC；

（II）求平面45。与平面A3C夹角的余弦值.

17.（本小题10分）

2023年9月23日第19届亚运会开幕式在杭州隆重举行.为调查某地区全体学生收看开幕式的情况，采用随机

抽样的方式进行问卷调查，统计结果如下：

方式手机电脑电视未观看

频率0.50.20.10.2

假定每人只用一种方式观看，且每人观看的方式相互独立、用频率估计概率、

（I）若该地区有10000名学生，试估计该地区观看了亚运会开幕式的学生人数；

（II）从该地区所有学生中随机抽取2人，求这2人都观看了亚运会开幕式的概率；

（III）从该地区所有观看了亚运会开幕式的学生中随机抽取2人，求这2人中至少有1人使用电脑观看了亚

运会开幕式的概率.

18.（本小题10分）

已知S3为等差数列｛%｝的前九项和,7；为等比数列我｝的前“项和,%=瓦=1,a2+b2=2.

（I）若仇=8,求生的值；

（II）从以下三个条件中选择一个条件作为己知，使得抄"｝单调递增，求出物"｝的通项公式以及却

条件①：。5=3；

条件②：a3+b3=3；

条件③：S3=9.

注：如果选择的条件不符合要求，第（II）问得。分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答

计分.

19.（本小题10分）

已知椭圆C：W+'=l（a〉6〉0），点加（°，1），N],，—在。上,

（I）求椭圆C的方程；

（II）过点。（0,2）作与无轴不垂直的直线/,与椭圆C交于不同的两点A,2,点。与点A关于x轴对称，

直线8。与x轴交于点。，。为坐标原点、若△OP。的面积为2,求直线/的斜率.

20.（本小题10分）

已知各项均为正整数的有穷数列A,：…,%（〃>3）满足j<n,有。产力.若明等于

q+%（1J<〃）中所有不同值的个数，则称数列4具有性质P.

（I）判断下列数列是否具有性质P-,

①人4：3,1,7,5②A：2,4,8,16,32

（II）已知数列4,：2,4,8,16,32,%具有性质尸，求出机的所有可能取值；

（III）若一个数列4024：%,出，…，。2024具有性质P，则%024是否存在最小值?若存在，求出这个最小值，并

写出一个符合条件的数列；若不存在，请说明理由.

东城区2023-2024学年度第一学期期末教学统一检测

高二数学参考答案及评分标准

2024.1

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

l.A2.C3.B4.C5.A6.D7.B8.B9.A10.C

二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）

11.-1,x-y+2=012.与13.（-1,2）,114.0.815.①②③

三、解答题（共5小题，共50分）

16.（本小题10分）

解：（I）因为A3C—4与C是直三棱柱，

所以CC］，底面A3C.

因为ACu底面ABC,3Cu底面ABC,

所以CC］，AC,Cq±BC.

因为ACLBC,如图建立空间直角坐标系C一盯z.

设AC=2,则4（2,0,0）,5（0,2,0）,C（0,0,0）,A（2,0,2），C,（0,0,2）.

因为。，E分别为CC-84的中点，

所以Q（0,0,l）,E（l,l,l）.

所以。£=（1,1,0），CG=（0,0,2）.

因为CC］,底面A3C,所以CG是平面A3C的一个法向量.

因为=1X0+1X0+0X2=0,所以£>E_LCG.

因为DEC平面A3C,所以DE〃平面A3C.

（II）因为网=（2,—2,2）,BD=（O,-2,l）,设平面的法向量为〃=（x,、z）,

BA,-n=0,2x-2y+2z=0,,口-/、

所以《1即〈令Ay=l,则z=2,%=—1.于是〃=（一1,1,2）.

BD-n=0.\-2y+z=0.I7

设平面A.BD与平面ABC的夹角为3,

所以cos9=cos（CG，〃）=|C|~|।|0x（-l）+0xl+2x2|76

'/c。•卜2X^（-1）2+12+223

所以平面45。与平面ABC夹角的余弦值为j-.

17.（共10分）

解：（I）因为该地区观看了亚运会开幕式的学生的频率为0.5+0.2+0.1=0.8,

所以该地区观看了亚运会开幕式的学生人数估计为10000x0.8=8000.

（II）设事件A：从该地区所有学生中随机抽取1人，该学生观看了亚运会开幕式.由频率估计概率，得

P（A）=0.8.

设事件3：从该地区所有学生中随机抽取2人，这2名学生都观看了亚运会开幕式.由于这两名学生观看亚运

会开幕式相互独立，则P（B）=O.82=0.64.

（Ill）设事件C：从该地区所有观看了亚运会开幕式的学生中随机抽取1人，该学生使用电脑观看了开靠式,

则P（C）=-^-1

、71-0.24

设事件D；从该地区所有观看了亚运会开幕式的学生中随机抽取2人，至少1人用电脑观看了开幕式，则

p（M=mw

18.（共10分）

解：（D因为｛〃｝为等比数列，仇=1,d=8,

设也｝的公比为q,则“=4q3=8.

解得0=2.所以。=2.

因为。2+4=2,所以〃2=0.

因为｛%｝为等差数列，=1，

所以。3=—1.

（II）选择条件②

因为｛4｝为等差数列，｛〃｝为等比数列，q=4=l,生+仇=2，/+4=3,

设｛%｝的公差为d,｛〃｝的公比为必

ai+d+0rq=2,d+q=1,

则2即<

4+2d+qq=3.2d+q2=2.

解得4=2或q=0（舍）.

所以。”=

2"T,T;=V^i=2"-1.

i—q

19.(共10分)

x2

解：⑴由题意得方=1,贝ij椭圆。的方程为=+丁9=1,代入N，可得a=J5.

a

2

故椭圆c的方程为］r+y2=l.

(II)设直线/的方程为y=Ax+2,Q(xQ,yQ).

H2]

由＜一'得(2产+1)/+8依+6=0.

y=kx+2

3

由△>0,得左2>_.

2

设A（X，X）,3（9，%），则。（王，一%）•

8k6

…"FTP2灯

直线BD的方程为y-y2=互也

x2-xi

xy+xy_石(也+2)+々(g+2)_2g%+2(玉+々)

令y=0,得々=i22i

(kxi+2)+(5+2)k(X[+%2)+4

12k16k

2左2+12左2+1

所以X。==—k.

4+4

2k2+1

因为=gx2jxj=M|=2,

所以左=±2.经检验满足△>().

所以直线/的斜率为±2.

20.(共10分)

解：(I)①4：3,1,7,5,任意两项和的结果有4,6,8,10,12共5个，而%=5,所以具有性质P

②&：2,4,8,16,32,任意两项和的结果有6,10,12,18,20,24,34,36,40,48共10个，而生=32,

所以不具有性质P.

(II)对于数列4：2,4,8,16,32,m,任意两项和不同的取值最多有15个，所以加<15.而4：2,4,

8,16,32中任意两项和的结果有10个，且全是偶数.

(1)当机为奇数时，勾+7〃(1<，<5)都是奇数，与前5项中任意两项和的值均不相同，则4：2,4,8,

16,32,机中所有弓+%(14/</<6)的值共有15个，所以m=15.

(2)当机为偶数时，勾+加(1〈，〈5)都是偶数，所以10<相<15.

所以mw{10,12,14}.

加=10时，10+32=42在前5项中任两项和的结果中未出现，

所以A：2,4,8,16,32,优中任意两项和的不同值的个数大于10,即加>10,矛盾.

m=12时，12+32=44,12+16=28,12+2=14这三个结果在前5项中任意两项和的结果中未出现，所以4：2,

4,8,16,32,加中任意两项和的不同值的个数大于12,即m>12,矛盾.

m=1