6.7 实数 人教版数学七年级下册知识讲解

专题6.7实数（知识讲解）【学习目标】1.了解无理数和实数的意义；2.了解有理数的概念、运算法则在实数范围内仍适用.【要点梳理】要点一、有理数与无理数有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.特别说明：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式.（2）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如.要点二、实数有理数和无理数统称为实数.1.实数的分类按定义分：实数按与0的大小关系分：实数2.实数与数轴上的点一一对应.数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.要点三、实数大小的比较对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大.正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小.要点四、实数的运算有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.【典型例题】类型一、实数➽➼概念的理解✬✬分类 1．把下列各数写入相应的集合内：，，，0.26，，0.10，5.12，，．有理数集合：{

}；正实数集合：{

}；无理数集合：{

}【答案】(1)，，0.26，0.10，5.12 ，0.26，，0.10，5.12，， (3)，，，【分析】（1）根据有理数的定义进行作答即可；（2）根据正数的定义进行判断即可；（3）根据无理数的定义进行判断即可．解：(1)有理数有：，，0.26，0.10，5.12故答案为：，，0.26，0.10，5.12(2)，是负数，绝对值是正数正实数有：，0.26，，0.10，5.12，，故答案为：，0.26，，0.10，5.12，，(3)无理数有：，，，故答案为：，，，【点拨】本题考查了实数的分类，即实数分为正实数，零，负实数；实数还可以分为有理数和无理数，有理数包括正数和分数，无理数是无线不循环小数，熟练掌握有理数、无理数的定义是解题的关键．举一反三：【变式1】把下列各数填入相应的集合内．、π、－、、、、0、－、、0.3737737773…（相邻两个3之间的7逐次加1个），有理数集合{

…

}无理数集合{

…

}负实数集合{

…}【答案】(1)－，，0，(2)，π，，，，0.3737737773（3）－，，.【分析】（1）根据有理数的定义进行判定即可得出答案；（2）根据无理数的定义进行判定即可得出答案；（3）根据负实数的定义进行判定即可得出答案．解：（1）有理数集合：{－，,0，…} （2）无理数集合：{，π，，，，0.3737737773……}（3）负实数集合：{－，，…}【点拨】本题主要考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类进行求解是解决本题的关键.【变式2】把下列各数序号分别填入相应的集合内：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨，⑩0.979779777···（相邻两个9之间7的个数逐次增加1）【答案】有理数集合：②⑤⑨；无理数集合：①③④⑥⑦⑧⑩；负实数集合：④⑤⑧⑨【分析】根据实数的性质即可分类．解：有理数为，，；无理数为，，，，，，0.979779777···（相邻两个9之间7的个数逐次增加1）；负实数为，，，，∴有理数集合：②⑤⑨；无理数集合：①③④⑥⑦⑧⑩；负实数集合：④⑤⑧⑨．【点拨】此题主要考查实数的分类，解题的关键是熟知实数的分类方法及特点．类型二、实数➽➼实数性质✬✬实数与数轴➽➼运算✬✬化简2．求下列各数的相反数、倒数和绝对值．相反数倒数绝对值【分析】根据相反数、倒数、绝对值的定义依次即可得出答案．解：相反数倒数-5绝对值【点拨】本题考查实数的分类，立方根、分母有理化．对于分母中是二次根式的要分母有理化．举一反三：【变式1】实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简：－|a－b|＋|c－a|．【答案】【分析】先判断，进而得到，，再化简即可．解：由数轴上点的位置可得，∴，，∴．【点拨】本题考查了求一个数的算术平方根，化简绝对值，整式的加减运算，实数与数轴，根据数轴及运算法则判断，是解本题的关键．【变式2】我们在学习“实数”时画了这样一个图，即“以数轴上的单位长为‘1’的线段作一个正方形，然后以原点O为圆心，正方形的对角线长为半径画弧交数轴于点A”，请根据图形回答下列问题：线段OA的长度是多少?(要求写出求解过程)这个图形的目的是为了说明什么?这种研究和解决问题的方式体现了的数学思想方法(将下列符合的选项序号填在横线上)A．数形结合

B．代入

C．换元

D．归纳【答案】(1)OA=；(2)数轴上的点和实数是一一对应关系；(3)A【分析】（1）首先根据勾股定理求出线段OB的长度，然后结合数轴的知识即可求解；（2）根据数轴上的点与实数的对应关系即可求解；（3）本题利用实数与数轴的对应关系即可解答．解：(1)OB2＝12+12＝2∴OB＝∴OA＝OB=数轴上的点和实数是一一对应关系(3)这种研究和解决问题的方式，体现的数学思想方法是数形结合．故选A【点拨】本题主要考查了实数与数轴之间的关系，此题综合性较强，不仅要结合图形，还需要熟悉平方根的定义．也要求学生了解数形结合的数学思想．类型三、实数➽➼估算✬✬无理数的整数（小数）部分✬✬➽➼运算✬✬化简3．[阅读材料]∵＜＜，即2＜＜3，∴1＜﹣1＜2∴﹣1的整数部分为1∴﹣1的小数部分为﹣2填空：的小数部分是．已知a是的整数部分，b是的小数部分，求代数式（﹣a）3＋（b＋4）2的值．【答案】(1)﹣9 (2)-43【分析】（1）估算出的范围，可得到的整数部分，进而得到的小数部分；（2）估算出的范围，可得到的整数部分，进而得到的小数部分，从而得到a，b的值，再求代数式的值即可．(1)解：∵，∴，∴的整数部分是9，∴的小数部分﹣9，故答案为：﹣9；(2)解：∵，∴4＜＜5，∴的整数部分是4，小数部分是﹣4，∴a＝4，b＝﹣4，∴原式＝（﹣4）3+（-4+4）2＝﹣64+21＝﹣43．∴代数式的值为．【点拨】本题考查了实数的大小比较，代数式求值，无理数估算知识．解题的关键在与正确的计算求值．举一反三：【变式1】比较下列各组数的大小：（1）与6； （2）与； （3）与．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）直接化简二次根式进而比较得出答案；（2）直接估算无理数的取值范围进而比较即可；（3）直接估算无理数的取值范围进而比较即可．解：（1）∵，∴；（2）∵，∴；（3）∵，∴，∵，∴，∴．【点拨】本题主要考查了实数比较大小，正确估算无理数取值范围是解题关键．【变式2】阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而1＜＜2，于是可用﹣1来表示的小数部分．请解答下列问题：（1）的整数部分是，小数部分是；（2）如果5＋的小数部分为a，5﹣的整数部分为b，求a＋b的值．【答案】（1）5，﹣5；（2）3﹣2【分析】（1）估算的近似值，即可得出的整数部分和小数部分；（2）求出a、b的值，再代入计算即可．解：（1）∵＜＜，∴5＜＜6，∴的整数部分为5，小数部分为﹣5，故答案为：5，﹣5；（2）∵2＜＜3，∴7＜5＋＜8，∴5＋的小数部分a＝5＋﹣7＝﹣2，∵2＜＜3，∴﹣3＜﹣＜﹣2，∴2＜5﹣＜3，∴5﹣的整数部分为b＝2，∴a＋b＝﹣2＋2＝3﹣2.【点拨】本题考查了无理数的估算，正确估算无理数的取值范围是解题的关键．类型四、实数➽➼实数的混合运算➼运算✬✬化简4．计算：（1）；

（2）．【答案】（1）；（2）．【分析】直接利用立方根的性质及平方根的性质分别化简，然后根据实数的运算法则求得计算结果解：（1）原式=，=，=（2）原式=，=，=【点拨】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．举一反三：【变式1】计算题：

（1）

（2）．【答案】（1）-3；（2）11【分析】（1）根据有理数的乘方，求一数的立方根和算术平方根进行计算；（2）根据求一数的立方根和算术平方根，化简绝对值，进行实数的混合运算．解：（1）原式；（2）．【点拨】本题考查了实数的混合运算，求一数的立方根和算术平方根，掌握实数的运算法则是解题的关键．【变式2】计算：(2)【答案】(1)5(2)【分析】对于（1），由，，，再计算即可；对于（2），由，(-1)2022=1，，，再计算即可．解：(1)原式=；(2)原式=．【点拨】本题主要考查了实数的运算，求出各数的平方根和立方根是解题的关键．类型五、实数➽➼实数的运算➼程序设计✬✬新定义5．一个数值转换器，如图所示：当输入的x为81时．输出的y值是_________；若输入有效的x值后，始终输不出y值，请写出所有满足要求的x的值；若输出的y是，请写出两个满足要求的x值．【答案】(1)；(2)，1；(3)，（答案不唯一）【分析】（1）根据运算规则即可求解；（2）根据0的算术平方根是0，1的算术平方根是1即可判断；（3）根据运算法则，进行逆运算即可求得无数个满足条件的数．（1）解：当时，取算术平方根，不是无理数，继续取算术平方根，不是无理数，继续取算术平方根得，是无理数，所以输出的y值为；（2）解：当，1时，始终输不出y值．因为0，1的算术平方根是0，1，一定是有理数；（3）解：4的算术平方根为2，2的算术平方根是，∴，都满足要求．【点拨】本题考查了算术平方根的计算和无理数的判断，正确理解给出的运算方法是关键．举一反三：【变式】思考与探究：（1）在如图所示的计算程序中，若开始输入的数值是4，则最后输出的结果是___________．（2）在如图所示的计算程序中，若最后输出的结果是58，则开始输入的数值是___________．（3）按下面的程序计算，若开始输入的值x为正数，最后输出的结果为1621，则满足条件的x的不同值最多有多少个？【答案】（1）17；（2）6或－10；（3）6个【分析】（1）根据程序运算图可得算式4×3+5，按运算顺序进行求解即可；（2）设输入的数字为m，根据题意可得关于x的方程，解方程即可求得答案；（3）根据最后输出的结果，可计算出它前面的那个数，依此类推，可将符合题意的正数求出．解：（1）由题意得：4×3+5=17，故答案为：17；（2）设输入的数字为m，则有（m+2）2-6=58，解得：m=6或m=-10，故答案为：6或--10；（3）∵最后输出的数为1621，∴4[(x+5)-(-2)2]-3=1621，解得：x=405>0，又∵4[(x+5)-(-2)2]-3=405，解得：x=101>0，又∵4[(x+5)-(-2)2]-3=101，解得：x=25>0，又∵4[(x+5)-(-2)2]-3=25，解得：x=6>0，又∵4[(x+5)-(-2)2]-3=6，解得：x=>0，又∵4[(x+5)-(-2)2]-3=，解得：x=>0，又∵4[(x+5)-(-2)2]-3=，解得：x=<0，（不符合题意）∴符合题意的正数最多有6个.【点拨】本题考查了程序运算，涉及了一元一次方程，利用平方根的解方程等知识，正确审题，弄清程序运算中的运算顺序，熟练掌握相关和运算法则和解题方法是解此类问题的关键．6．对于两个不相等的实数a、b，定义一种新的运算如下，，如：，求的值．【答案】1【分析】根据已知条件先求出5*4的值，再求出6*（5*4）的值即可求出结果．解：∵，∴，∴．【点拨】此题主要考查实数的运算，解题的关键是根据新定义运算法则进行求解．举一反三：【变式】定义新运算：对于任意实数a，b，都有，例如．（1）求的值．（2）求的平方根．【答案】（1）21；（2）±4【分析】（1）根据定义新运算即可求的值；（2）根据定义新运算求的值，再计算平方根即可得出答案．解：（1）由定义新运算得：；（2）由定义新运算得：，∴的平方根为．【点拨】本题考查新定义的有理数运算，掌握新定义的运算法则是解题的关键．类型六、实数➽➼实数的运算➼实际运用✬✬规律7．数学阅读是学生个体根据已有的知识经验，通过阅读数学材料建构数学意义和方法的学习活动，是学生主动获取信息，汲取知识，发展数学思维，学习数学语言的途径之一．请你先阅读下面的材料，然后再根据要求解答提出的问题：问题情境：设a，b是有理数，且满足，求的值．解：由题意得，∵a，b都是有理数，∴也是有理数，∵是无理数，∴，∴，∴解决问题：设x，y都是有理数，且满足，求的值．【答案】8或0【分析】根据题目中例题的方法，对所求式子进行变形，求出x、y的值，从而可以求得x+y的值．解：∵，∴（x2-2y-8）+（y-4）=0，∴x2-2y-8=0，y-4=0，解得，x=±4，y=4，当x=4，y=4时，x+y=4+4=8，当x=-4，y=4时，x+y=（-4）+4=0，即x+y的值是8或0．【点拨】本题考查实数的运算，解题的关键是明确题目中例题的解答方法，然后运用类比的思想解答所求式子的值．举一反三：【变式】如图1，有5个边长为1的小正方形组成的纸片，可以把它剪拼成一个正方形．（1）拼成的正方形的面积是，边长是；（2）仿照上面的做法，你能把下面这十个小正方形组成的图形纸，剪开并拼成一个大正方形吗？若能，在图2中画出拼接后的正方形，并求边长；若不能，请说明理由．【答案】（1）5；

（2）【分析】（1）一共有5个小正方形，那么组成的大正方形的面积为5，边长为5的算术平方根；（2）一共有10个小正方形，那么组成的大正方形的面积为10，边长为10的算术平方根，在所给图形中截取两条长为的且互相垂直的线段，进而拼合即可．解：（1）拼成的正方形的面积是：5，边长为：．（2）如图所示，能，正方形的边长为．【点拨】本题考查了图形的剪拼、勾股定理、正方形的面积和正方形的有关画图，巧妙地根据网格的特点画出正方形是解此题的关键.8．阅读下列材料：设：，①则.②由②-①，得，即.所以.根据上述提供的方法.把和化成分数，并想一想.是不是任何无限循环小数都可以化成分数？【答案】，.任何无限循环小数都可以化成分数.【分析】设①则，②；由，得；由已知，得，所以任何无限循环小数都可以这样化成分数.解：设①则，②由②-①，得，即.所以.由已知，得，所以.任何无限循环小数都能化成分数.【点拨】考核知识点：无限循环小数和有理数.模仿，理解材料是关键.举一反三：【变式】（2020春·山西太原·八年级太原师范学院附属中学校考阶段练习）阅读下列解题过程：；；；…（1）________．（2）按照你所发现的规律，请你写出第个等式：________．（3）利用这一规律计算：【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）仿照已知等式确定出所求即可；（2）归纳总结得到一般性规律，写出即可；（3）原式变形后，仿照上式得出结果即可．解：（1）；故答案为：；（2）观察上面的解题过程，发现的规律为：，故答案为：；（3）．【点拨】本题考查了实数的运算，规律型：数字的变化类，弄清题中的规律是解本题的关键．中考真题专练【1】（2020·重庆·统考中考真题）在整数的除法运算中，只有能整除与不能整除两种情况，当不能整除时，就会产生余数，现在我们利用整数的除法运算来研究一种数——“差一数”．定义：对于一个自然数，如果这个数除以5余数为4，且除以3余数为2，则称这个数为“差一数”．例如：，，所以14是“差一数”；，但，所以19不是“差一数”．（1）判断49和74是否为“差一数”？请说明理由；（2）求大于300且小于400的所有“差一数”．【答案】（1）49不是“差一数”，74是“差一数”，理由见分析；（2）314、329、344、359、374、389【分析】（1）直接根据“差一数”的定义计算判断即可；（2）解法一：根据“差一数”的定义可知被5除余4的数个位数字为4或9，被3除余2的数各位数字之和被3除余2，由此可依次求得大于300且小于400的所有“差一数”；解法二：根据题意可得：所求数加1能被15整除，据此可先求出大于300且小于400的能被15整除的数，进一步即得结果．解：（1）∵；，∴49不是“差一数”，∵；，∴74是“差一数”；（2）解法一：∵“差一数”这个数除以5余数为4，∴“差一数”这个数的个位数字为4或9，∴大于300且小于400的符合要求的数为304、309、314、319、324、329、334、339、344、349、354、359、364、369、374、379、384、389、394、399，∵“差一数”这个数除以3余数为2，∴“差一数”这个数的各位数字之和被3除余2，∴大于300且小于400的所有“差一数”为314、329、344、359、374、389．解法二：∵“差一数”这个数除以5余数为4，且除以3余数为2，∴这个数加1能被15整除，∵大于300且小于400的能被15整除的数为315、330、345、360、375、390，∴大于300且小于400的所有“差一数”为314、329、344、359、374、389．【点拨】此题主要考查了带余数的除法运算，第（2）题的解法一是用