2024届北京市房山区高三上学期期末数学和答案

房山区2023-2024学年度第一学期期末检测试卷高三数学本试卷共6页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回，试卷自行保存.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.A2，Bx1x0（AB1.已知集合，则）21,2{-2}2,0A.B.C.D.，则（）2.在复平面内，若复数z对应的点为1izA.2B.，C.D.2πma2,03.已知向量，且a与b的夹角为，则的值为（）333A.B.C.3D.33342xx3的展开式中的常数项是（）4.A.32B.32C.D.23ab5.已知，为非零实数，且ab，则下列结论正确的是（）11baab11A.a6.已知直线l:y2xbA.1或92b2B.C.D.abab22abC:xy2225相切，则实数b与圆（）B.1或9C.1或9D.1或9f(x)f(x)0，且在)7.已知函数f(x)满足上单调递减，对于实数a，b，则“a2b2”是f(a)fb)“”的（）A.充分不必要条件C.充要条件B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件8.保护环境功在当代，利在千秋，良好的生态环境既是自然财富，也是经济财富，关系社会发展的潜力和后劲.某工厂将生产产生的废气经过过滤后排放，已知过滤过程中的污染物的残留数量P（单位：毫米/t升）与过滤时间（单位：小时）之间的函数关系为P0et0)k，其中为常数，k0P，为原0污染物数量.该工厂某次过滤废气时，若前9个小时废气中的污染物恰好被过滤掉80%，那么再继续过滤11533小时，废气中污染物的残留量约为原污染物的（参考数据：0.585）A.12%B.C.D.6%F，P为双曲线C左支上一动点，Q2x22y22ab0)的左、右焦点分别为F，19.已知双曲线C：abPF与双曲线C的另一条渐近线平行，则双曲线1为双曲线C的渐近线上一动点，且最小时，2C的方程可能是（）y2x2Ax2211B.D.y221133xy2x2yC.2242210.数学家祖冲之曾给出圆周率的两个近似值：“约率”与“密率”.它们可用“调日法”得734到：称小于3.1415926的近似值为弱率，大于3.1415927的近似值为强率.由于，取3为弱率，4113411723710a1aa2a2为强率，计算得，故为强率，与上一次的弱率3计算得，故为强率，1123继续计算，….若某次得到的近似值为强率，与上一次的弱率继续计算得到新的近似值；若某次得到的近似25amm值为弱率，与上一次的强率继续计算得到新的近似值，依此类推.已知，则（）8A.8B.7C.6D.5第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.2y2x)11.函数的定义域是______.x的前项和，已知，，则n______.Sann1S371512.记为等差数列n213.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcaC，则A______.2F(0,2)14.已知平面直角坐标系中，动点M到的距离比M到轴的距离大2，则M的轨迹方程是x______.ABCD中，点P是线段1111BC上的动点.给出下列结论：1a15.如图，在棱长为的正方体①1；AP//ACD；11②平面ππAD,③直线AP与直线所成角的范围是；43113④点P到平面ACD的距离是a.113其中所有正确结论的序号是______.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.如图，在四棱锥P中，为等腰三角形，PDAD，22，底面ABCD是正方形，M，分别为棱NPD，BC的中点.（1）求证：MN//平面PAB；（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求条件①：CD；MN与平面所成角的正弦值.条件②：PB23.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.π2πfx2sin2x17.已知函数的图象上所有点向右平移个单位长度，所得函数图象关8于原点对称.（1）求的值；122cos2x在区间mgx，若m上有且只有一个零点，求的取值范围.gxfx（2）设18.某移动通讯公司为答谢用户，在其APP上设置了签到翻牌子赢流量活动.现收集了甲、乙、丙3位该公司用户2023年12月1日至7日获得的流量（单位：MB）数据，如图所示.（1）从2023年12月1日至7日中任选一天，求该天乙获得流量大于丙获得流量的概率；（2）从2023年12月1日至7日中任选两天，设X是选出的两天中乙获得流量大于丙获得流量的天数，求X的分布列及数学期望；EXs21s22s2，，试3（3）将甲、乙、丙3位该公司用户在2023年12月1日至7日获得流量的方差分别记为，s21s22s2，的大小（只需写出结论）.3比较，x22y2219.设椭圆C：ab0)的左、右顶点分别为A1，A2，右焦点为，已知F1F3，离心ab1率为.2（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知点P是椭圆C上的2P交y轴于点Q，若△1PQ的面积是△2FP2P面积的4倍，求直线的方程.1xfx20.已知函数ae.xyfx在点f1处的切线方程；（1）当a0时，求曲线（2）当a1时，求函数的单调递增区间；fx（3）若函数在区间上只有一个极值点，求的取值范围.fxaa满足：，对于，都有N*q（其中qam*nnnnm21.若无穷数列n00n具有性质“”.Q,n,q0an（1）若具有性质“，且a1a2aaa20，，aQ(4,a，求；2n356911（2）若无穷数列是等差数列，无穷数列是公比为2的等比数列，，bnc234bcc，2n11abc是否具有性质“Q，并说明理由；a，判断nnnn（3）设既具有性质“，又具有性质“，其中，Qjq2jN*，ij，求证：aQiqin1ji具有性质“aQji,iqj”.n2房山区2023-2024学年度第一学期期末检测试卷高三数学本试卷共6页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回，试卷自行保存.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.A2，Bx1x0（AB1.已知集合，则）21,2D.{-2}2,0A.B.C.【答案】C【解析】【分析】计算出集合B后由交集定义运算可得.2,0.Bx1x0xx1AB【详解】，故故选：C.，则（）2.在复平面内，若复数z对应的点为1izA.2B.C.2D.【答案】A【解析】的值.1izz【分析】利用复数的几何意义可得出复数，再利用复数的乘法可求得，由复数的几何意义可得，z【详解】在复平面内，若复数对应的点为z1i因此，1iz1i1i2.故选：A.3.已知向量，πma2,0，且a与b的夹角为，则的值为（）333A.B.C.3D.333【答案】B【解析】ababcosπa,a,bm求解出的值.【分析】先表示出，然后根据3abm21，【详解】因为ab2m，π1ababcos2m2m12所以，所以，3233解得mm或33故选：B.42xx3的展开式中的常数项是（）4.A.32B.32C.D.23【答案】B【解析】x【分析】写出二项式展开式通项，令的指数为零，求出参数的值，代入通项即可得解.4k2x24k4kk2,3,4，【详解】x3的展开式通项为k1Ck4x3xCk42kx令124k0，可得k3，TC33424832.3因此，展开式中的常数项为故选：B.ab5.已知，为非零实数，且ab，则下列结论正确的是（）11baab112A.a2b2B.C.D.abab2ab【答案】D【解析】【分析】对A、B、C举反例即可得，对D作差计算即可得.0abb【详解】对A：若，则a22，故错误；1a1bbb0，则对B：若a对C：若a，故错误；aba0，则a2b2，0，左右同除，有，故错误；b11ab11对D：由ab且，为非零实数，则ab0，即2，故正确.ab2a2ba2b2ab2ab故选：D.6.已知直线l:y2xb与圆B.1或9C:xy2225相切，则实数b（）A.1或9【答案】D【解析】C.1或99D.1或【分析】利用圆心到直线的距离等于圆的半径，可求得实数b的值.，半径为5，C2【详解】圆C的圆心为22b5因为直线l:2xyb0与圆C相切，则，即b45，解得b1或9.222故选：D.f(x)f(x)0，且在)7.已知函数f(x)满足上单调递减，对于实数a，b，则“a2b2”是f(a)fb)“”的（）A.充分不必要条件C.充要条件【答案】CB.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【解析】【分析】根据给定条件，可得函数f(x)是R上的偶函数，利用充分条件、必要条件的定义，结合偶函数性质及单调性判断即得.f(x)f(x)0，得函数f(x)是R上的偶函数，而f(x)在)【详解】由函数f(x)满足上单调递减，f(a)fb)fa|)fb|)|a|bab2，2因此f(a)fb)2”是“”的充要条件.所以“a故选：C2b8.保护环境功在当代，利在千秋，良好的生态环境既是自然财富，也是经济财富，关系社会发展的潜力和后劲.某工厂将生产产生的废气经过过滤后排放，已知过滤过程中的污染物的残留数量P（单位：毫米/t升）与过滤时间（单位：小时）之间的函数关系为P0et0)k，其中为常数，k0P，为原0污染物数量.该工厂某次过滤废气时，若前9个小时废气中的污染物恰好被过滤掉80%，那么再继续过滤11533小时，废气中污染物的残留量约为原污染物的（参考数据：0.585）A.12%B.C.D.6%【答案】A【解析】1151Pe9kP03【分析】根据题意可得，解得e3k，从而求得关于残留数量与过滤时间的函数关系50式，再将t12代入即可求得答案.151【详解】因为前9个小时废气中的污染物恰好被过滤掉，所以Pe9kP0e9k,，即所以051153e3k．再继续过滤3小时，废气中污染物的残留量约为411e3k4P030.585P12%P00Pe12kP0．505故选：A.9.已知双曲线C：x2y22ab0)的左、右焦点分别为F，1F，P为双曲线C左支上一动点，Q2a2bPF与双曲线C的另一条渐近线平行，则双曲线1为双曲线C的渐近线上一动点，且最小时，2C的方程可能是（）y2x2A.x2211B.D.y221133xy2x2yC.224【答案】C【解析】2Qa,b的关系即得.，由对称性不妨令点P在第二象限，x22y22bxay0ab0)的渐近线为【详解】双曲线C：abPQPF|PQ||PF|2a|FQ|2aFQ与双曲线的交点时1由双曲线定义得取等号，，当且仅当P为线段2112的最小值为|Q|FQ与渐近线0垂直时，1因此的最小值与2a的和，显然当bxay0b|Q|PF1，取得最小值，而平行于渐近线，于是双曲线的两条渐近线互相垂直，即1ax22y221的渐近线方程为xy0，显然选项ABD不满足，C满足，则双曲线abx2y21.所以双曲线C的方程可能是22故选：C22710.数学家祖冲之曾给出圆周率的两个近似值：“约率”与“密率”.它们可用“调日法”得34到：称小于3.1415926的近似值为弱率，大于3.1415927的近似值为强率.由于，取3为弱率，4113411723710a1aa2a2为强率，计算得，故为强率，与上一次的弱率3计算得，故为强率，1123继续计算，….若某次得到的近似值为强率，与上一次的弱率继续计算得到新的近似值；若某次得到的近似25amm值为弱率，与上一次的强率继续计算得到新的近似值，依此类推.已知，则（）8A.8B.7C.6D.5【答案】B【解析】【分析】根据题意不断计算即可解出．3110331013aπa33.1415927a3【详解】因为为强率，由可得，，即为强率；213431331316ππππa3.14159273.14159273.1415927a4由由由由可得，，即为强率；41413416531619a5a5可得，可得，可得，，即为强率；1351915631922a6a6，即为强率73.1253.1415926a7m7，，即为弱率，所以17178故选：B.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.2y2x)11.函数的定义域是______.x12【答案】,0【解析】【分析】由真数大于零及分母不等于零计算即可得.1【详解】由题意可得12x0、x0，故xx0且，212故该函数定义域为,0.1,0故答案为：.2的前项和，已知，，则n______.Sann1S371512.记为等差数列n【答案】2n9【解析】n【分析】由等差数列及其前项和的性质计算即可得.aan1d7n1d，则Sad21d15，31【详解】设n1a72n12n9.nd2即，故故答案为：2n9.213.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcaC，则A______.2π【答案】【解析】4【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦公式求解即得.22caC及正弦定理，得sinBsinCsinAC，【详解】在中，由b2222sinCsinAC，整理得cosAsinCsinC，而sinC0，则sin(AC)222π因此A，又0Aπ，所以A.24π故答案为：4F(0,2)14.已知平面直角坐标系中，动点M到的距离比M到轴的距离大2，则M的轨迹方程是x______.28y(y0)或x0(y0)x【答案】【解析】【分析】设出点M的坐标，利用已知列出方程化简即得.，即，x2(y2)2|y|2，整理得x24(|y|y)M(x,y)|||y|2【详解】设点，依题意，28y(y0)或x0(y0).x的所以M轨迹方程是28y(y0)或x0(y0)x故答案为：ABCD中，点P是线段1111BC上的动点.给出下列结论：1a15.如图，在棱长为的正方体①1；AP//ACD；11②平面ππAD,③直线AP与直线所成角的范围是；43113④点P到平面ACD的距离是a.113其中所有正确结论的序号是______.【答案】①②④【解析】【分析】建立空间直角坐标系后逐个分析即可得.【详解】以D为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则有D0,0,0、、、、、、Ba,a,a1Aa,0,0Aa,0,aBa,a,0D0,0,a11、，Ca,0Ca,a1BCa,0,aBDa,a,aACa,a,0ADa,0,a则、、、、11111ADa,0,00,0,a，、ABa,a、1111BPBC，则BPa,a,aa，1设，111APBDa2a2a2a0，故1，故①正确；21nx,y,z，设平面ACD的法向量为11ACn0axay011，即，取，则，x1n1则有axaz0ADn01有APnaaa0，故APn，又平面ACD，则AP//ACD平面，故②正确；1111APAD00000时，有APa,a1D，即，1当，此时11πAD即此时直线AP与直线所成角为，故③错误；112n1，a,a,a，由11PAnaaa31则da，故④正确.n33故答案为：①②④.【点睛】关键点睛：对空间中线上动点问题，可设出未知数表示该动点分线段所得比例，从而用未知数的变化来体现动点的变化.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.如图，在四棱锥P中，为等腰三角形，PDAD，22，底面ABCD是正方形，M，分别为棱NPD，BC的中点.（1）求证：MN//平面PAB；（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求条件①：CD；MN与平面所成角的正弦值.条件②：PB23.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）证明见解析3（2）6【解析】1）由线面平行的判定定理即可得；（2）选①，由题意及CD去推导得到PDCDAD、、两两垂直，即可建立空间直角坐标系解决问题；选②，由题意及PB23结合勾股定理的逆定理去推导得到PDCDAD、、两两垂直，即可建立空间直角坐标系解决问题.【小问1详解】连接点B与AP中点E、连接，又M，分别为棱NPD，BC的中点，12ABCD是正方形，故故//AD、，又底面1BNADME//BN且BNBN//AD、，故，2故四边形为平行四边形，故//EB，又EB平面PAB，平面PAB，故MN//平面PAB；【小问2详解】选条件①：CD，AD且由PD为等腰三角形，故，又22，2故PDAD222，有PDADABBCCD2，2由CD，CDADAD，、PAD，PAADA平面，故CD平面，又PDPAD，故平面，PAD故PD、CD、AD两两垂直，故可以D为原点，建立如图所示空间直角坐标系，有D0,0,0、、、、、，P2B2,0C2,0MN2,0则MN、PB2,2,2、PC2，，nx,y,z令平面的法向量为PBn02x2y2z02y2z0y1n则有，即，令，则，PCn0n21141113,n则故，6n3MN.与平面所成角的正弦值为6条件②：PB23，AD且由PD为等腰三角形，故，又22，2故PDAD222，有PDADABBCCD2，22PA2AB2，故PAAB//CD，又由PB23，则PB，，、故CD，又CDADADPAD，PAADA平面，故CD平面，又PDPAD，故平面，PAD故PD、CD、AD两两垂直，故可以D为原点，建立如图所示空间直角坐标系，有D0,0,0、、、、、，P2B2,0C2,0MN2,0则MN、PB2,2,2、PC2，，nx,y,z令平面的法向量为PBn02x2y2z02y2z0y1n则有，即，令，则，PCn0n21141113,n则故，6n3MN.与平面所成角的正弦值为6π2πfx2sin2x17.已知函数的图象上所有点向右平移个单位长度，所得函数图象关8于原点对称.（1）求的值；122cos2x在区间mgx，若m上有且只有一个零点，求的取值范围.gxfx（2）设π【答案】（1）4π5π,（2）1212【解析】1）求出平移后所得函数的解析式，根据正弦型函数的奇偶性，结合的取值范围可求得的值；12gxsin2x0xm02x2m可得，结合题意可得出关（2）利用三角恒等变换化简得出，由m于的不等式，解之即可.【小问1详解】π2πfx2sin2x解：将函数的图象上所有点向右平移个单位长度，8y2sin2xπ8π2sin2x可得到函数，4π4πy2sin2x为奇函数，则Zπk，由题意可知，函数4πππ可得Z，又因为.πk，则424【小问2详解】π4fx2sin2x解：由（1）可知，sin2xcos2x，121122cos2xsin2xgxfxsin2xcos2x1cos2x则，20xm02x2m因为，则，1由gx0，可得sin2x，2π5ππ5π因为在区间m上有且只有一个零点，则2m，解得m.gx661212π5π1212m,因此，实数的取值范围是.18.某移动通讯公司为答谢用户，在其APP上设置了签到翻牌子赢流量活动.现收集了甲、乙、丙3位该公司用户2023年12月1日至7日获得的流量（单位：MB）数据，如图所示.（1）从2023年12月1日至7日中任选一天，求该天乙获得流量大于丙获得流量的概率；（2）从2023年12月1日至7日中任选两天，设X是选出的两天中乙获得流量大于丙获得流量的天数，求X的分布列及数学期望；EXs21s22s2，，试3（3）将甲、乙、丙3位该公司用户在2023年12月1日至7日获得流量的方差分别记为，s21s22s2，的大小（只需写出结论）.3比较，27【答案】（1）4Ex（2）X的分布列见解析，7s231222（3）【解析】1）利用古典概型计算公式进行求解即可；（2）利用古典概型计算公式，结合数学期望公式进行求解即可.（3）根据数据的集中趋势进行判断即可.【小问1详解】由图可知，七天中只有1日、2日乙获得流量大于丙获得流量，2所以该天乙获得流量大于丙获得流量的概率为；7【小问2详解】由（1）可知七天中只有1日、2日乙获得流量大于丙获得流量，X2因此，CC21021CC22271101100，2，PX，PX527PX1121212121所以X的分布列如下图所示：X012102110211P211010147EX012；212121【小问3详解】根据图中数据信息，甲、乙七天的数据相同，都是1个50,2个30,1个10,3个5；而且丙的的数据最分散，s2312s22所以，.x22y2219.设椭圆C：ab0)的左、右顶点分别为A1，A2，右焦点为，已知F1F3，离心ab1率为.2（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知点P是椭圆C2P交y轴于点Q，若△1PQ的面积是△2FP2P面积的4倍，求直线的方程.x2y21【答案】19.433x2y6020.【解析】1）由题意计算即可得；（2）设出直线，联立曲线，得到P、Q【小问1详解】两点的纵坐标，结合面积公式计算即可得.c121Fac3，e，解得a2，c1，故bac由223，ax2y2即椭圆C的标准方程为1；43【小问2详解】x2y20、、，A2,0F1,0由椭圆C1，则A1的标准方程为2432P斜率存在且不为0，设l:x2，由题意可得直线2P22mx0yQ令，则，故，mx2m24y12my012mx，消去得222联立xy，，143m24y12my0y0或y即，故，m4212mm24由，故A2,0yP2121SSS4y4y2QyP，QP则1AAQAAP212121yPyP21y2QyP42yP又S2，即，P222QyPyP即，12m2QyQ2y2若，则，即，PPmm42422412m2，即m2，则m，即m93QyyyyPQ0，即，不符，故舍去，若，则PPQ223m，故l:xy2即，2P32P的方程为3x2y60即直线.1xfx20.已知函数ae.xyfx在点f1处的切线方程；（1）当a0时，求曲线（2）当a1时，求函数的单调递增区间；fx（3）若函数在区间上只有一个极值点，求的取值范围.fxaye【答案】（1）1551,、,（2）22（3）【解析】1）当a0时，求出、f1f1的值，利用导数的几何意义可求得所求切线的方程；（2）当a1时，求出，利用函数的单调性与导数的关系可求得函数的单调递增区间；fxfx（3）令gxax2x1，分析可知，函数gx在上有且只有一个异号零点，对实数的取值进aaa行分类讨论，结合题意可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围.【小问1详解】exxex解：当a0时，fx，则fx，所以，，fe，f0xx2yfx在点f1ye0处的切线方程为ye，即.故当a0时，曲线【小问2详解】xex1x，该函数的定义域为xx0解：当a1时，fx1ex，xxx21exx2ex1exxfx，x2x21551f(x)>0x10xx或由，即x2，解得，、221551因此，当a1时，函数的单调递增区间为fx,.,22【小问3详解】axxe1x2x11xx2fx解：因为aex，则fxae，xx2令gxax2x1，因为函数fx在上有且只有一个极值点，则函数在上有一个异号零点，gxxgxx10，不合乎题意；，当a0时，对任意的时，函数gxaxx1在上单调递增，2a0当因为g010g1a0，只需，合乎题意；1当0时，函数的图象开口向下，对称轴为直线gxx0，2a因为g010，不合乎