2023年山东各地数学中考一模试题汇编含详解16 几何综合压轴

专题16几何综合压轴

一.解答题（共20小题）

1.（2023•垦利区一模）如图1,在ΔABC中，NABC=45。，AZ）I.BC于点O,在AM上取点E,使DE=Z）C,连

接BE、CE.

（1）直接写出CE与AB的位置关系；

（2）如图2,将ABED绕点。旋转，得到48ET）（点9、£分别与点8、E对应），连接C£、AB',在MED

旋转的过程中CE与AB，的位置关系与（1）中的CE与/W的位置关系是否一致？请说明理由；

（3）如图3,当ΔβE。绕点。顺时针旋转30。时，射线CE与4）、A方分别交于点G、F,若CG=FG,DC=B

求A9的长.

2.（2023•利津县一模）（1）如图1,已知：在AABC中，Zβ4C=90o,45=AC,直线机经过点A,3£＞_L直线机，

CEI.直线机，垂足分别为点。、E.证明：DE=BD+CE.

（2）如图2,将（1）中的条件改为：在ΔABC中，AB=AC,D、A＞E三点都在直线机上，并且有

NBDA=NAEC=NBAC=a,其中α为任意锐角或钝角.请问结论DE=8D+CE是否成立？如成立，请你给出证

明；若不成立，请说明理由.

（3）拓展与应用：如图3,D、E是£＞、A、E三点所在直线，"上的两动点（£＞、A、E三点互不重合），点F为

N84C平分线上的一点，且AAB尸和AAC尸均为等边三角形，连接班＞、CE,若NBD4=NAEC=NS4C,试判断

ΔDEF的形状并说明理由.

3.（2023•宁阳县校级一模）已知，ΔABC为等边三角形，点。在边BC上.

【基本图形】如图1,以AD为一边作等边三角形ΔADE,连结CE.可得CE+CZ）=AC（不需证明）.

【迁移运用】如图2,点尸是AC边上一点，以。尸为一边作等边三角ΔDEF.求证：CE+CD=CF.

【类比探究】如图3,点F是AC边的延长线上一点，以上为一边作等边三角AD£7L试探究线段CE,CD,CF

三条线段之间存在怎样的数量关系，请写出你的结论并说明理由.

图1图2图3

4.(2023♦博山区一模)在数学兴趣小组活动中，同学们对菱形的折叠问题进行了探究.如图(1),在菱形A88中，

NB为锐角，E为BC中点,连接OE,将菱形ABS沿DE折叠，得到四边形ABZED,点A的对应点为点4,点

3的对应点为点".

(1)【观察发现】A。与是什么位置关系？

(2)【思考表达】连接夕C,判断“EC与NB(CE是否相等，并说明理由；

(3)如图(2),延长DC交H9于点G,连接EG,请探究。EG的度数，并说明理由；

(4)【综合运用】如图(3),当NB=60。时，连接方C,延长QC交A夕于点G,连接EG,请写出BT,EG,

OG之间的数量关系，并说明理由.

5.(2023∙天桥区一模)如图，ΔABC和Δ∕ME的顶点3重合，ZABC=ZDBE=90。,NS4C=NBDE=30。，BC=3,

BE=2.

(1)如图1,当点。，E分别在ΛB,BC上时，可以得出结论：丝=；直线49与直线EC的位置关系是；

CE

(2)如图2,将图1中的ΔD8E绕点5顺时针旋转一周的过程中，连接4)、EC,其所在直线相交于点F,

①(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；

②当。尸的长度最大时，求线段EC的长度.

A

A∖A

6.(2023∙梁山县一模)在ΔABC中，。为BC中点，BE、C尸与射线AE分别相交于点E、F(射线ΛE不经过

点D).

(1)如图①，当8E〃CF时，连接即并延长交b于点，.求证：四边形BEC”是平行四边形；

(2)如图②，当BELAE于点E,BJ_AE于点F时，分别取A8、AC的中点M、N,连接ME、MD、NF、

ND.求证：AEMD=AFND.

线，垂足分别为点C和点。，我们定义垂足与中点之间的距离为“足中距”.

(1)［猜想验证］如图1,当点P与点O重合时,请你猜想、验证后直接写出“足中距”OC和8的数量关系是—.

(2)［探究证明］如图2,当点P是线段43上的任意一点时，“足中距"OC和OD的数量关系是否依然成立，若

成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.

(3)［拓展延伸］如图3,①当点P是线段BA延长线上的任意一点时，“足中距”OC和8的数量关系是否依然

成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由;

②若NC8=60°,求证：AC+BD=感C.

8.(2023•郸城县一模)实践与探究

操作一：如图①，将矩形纸片ABCD对折并展开，折痕P。与对角线AC交于点E,连结3E,则3E与AC的数量

关系为.

操作二：如图②，摆放矩形纸片ABCD与矩形纸片ECGk,使8、C、G三点在一条直线上，CE在边CO上，连

结AF,何为AF的中点，连结。M、ME.求证：DM=ME.

拓展延伸：如图③，摆放正方形纸片438与正方形纸片ECGF,使点尸在边CD上，连结ΛF,M为ΛF的中点，

连结DM、ME、DE.已知正方形纸片ABcD的边长为5,正方形纸片ECGF的边长为2立，则ADME的面积为

图③

9.（2023•长清区一模）在学习了图形的旋转知识后，数学兴趣小组的同学们又进一步对图形旋转前后的线段之间、

角之间的关系进行了探究.

（一）尝试探究

如图1,在四边形ASCD中，AB=AD,NBAL>=60。，NABC=NAz）C=90。，点E、尸分别在线段BC、Cr）上,

ZEAF=30°,连接EF.

（1）如图2,将AABE绕点A逆时针旋转60。后得到AABE（A斤与4）重合），请直接写出NEAF=度,线

段BE、EF、包>之间的数量关系为.

（2）如图3,当点E、尸分别在线段BC、CD的延长线上时，其他条件不变，请探究线段BE、EF、FD之间的

数量关系，并说明理由.

（二）拓展延伸

如图4,在等边ΔABC中，E、尸是边8C上的两点，ZE4F=30o,BE=L将AABE绕点A逆时针旋转60。得到

△A夕E（AE与AC重合），连接EE,AF与EE交于点N,过点A作AM_LBC于点M,连接MN,求线段MN

的长度.

10∙（2023∙成武县校级一模）在习题课上，老师让同学们以课本一道习题“如图1,A,B,C,。四家工厂分别

坐落在正方形城镇的四个角上.仓库E和Q分别位于Ar)和Z)C上，且ED=QC.证明两条直路BE=AQ且

BErAQ."为背景开展数学探究.

(1)独立思考：将上题条件中的=QC去掉，将结论中的BE_LAQ变为条件，其他条件不变，那么BE=AQ还

成立吗？请写出答案并说明理由；

(2)合作交流:“祖冲之”小组的同学受此问题的启发提出：如图2,在正方形ABa)内有一点P,过点P作EFLG”，

点£、尸分别在正方形的对边4)、BCk,点G、H分别在正方形的对边Aβ、CD上，那么E/与G//相等吗？

并说明理由.

(3)拓展应用：“杨辉”小组的同学受“祖冲之”小组的启发，想到了利用图2的结论解决以下问题：

如图3,将边长为IOem的正方形纸片ABeo折叠，使点A落在QC的中点E处，折痕为MN,点N在BC边上，点

M在4)边上.请你画出折痕，则折痕MN的长是—；线段Z)M的长是—.

(图1)(图2)(图3)

11.(2023•荷泽一模)如图①，在RtΔABC中，ZB=90o,AB=5,BC=I2,CD=S,DEHAB.将A£Z)C绕点

C按顺时针方向旋转，记旋转角为a∙

(1)①当a=0。时，—=；②当α=180。时，—=

BDBD

(2)试判断：当喷h360。时，空的大小有无变化？请仅就图②的情形给出证明.

BD

(3)当ΔSZ)C旋转到A,D,E三点共线时，直接写出线段处的长.

备用图

12.(2023•泰山区校级一模)已知A4BC为等腰三角形，AB=AC,点£＞为直线BC上一动点(点。不与点3、点

C重合).以AD为边作AADE,且AZ)=AE,连接CE,NBAC=NDAE.

(1)如图1,当点。在边BC上时，试说明：®ΔABD=ΛACE;②BC=DC+CE；

(2)如图2,当点。在边3C的延长线上时，其他条件不变，探究线段3C、DC、CE之间存在的数量关系，并说

明理由.

E

BCD

图

图12

13.(2023•东明县一模)已知ΔABC是等腰三角形，AB=AC,将ΔABC绕点B逆时针旋转得到△A'BC',点A、

点C的对应点分别是点A'、点C'.

感知：如图①，当BC落在43边上时，/4'AB与NCCB之间的数量关系是(不需要证明)；

探究：如图②，当8C不落在4?边上时，N4'4?与NCC3是否相等？如果不相等，请说明理由.

14.(2023•河口区校级一模)如图1所示，边长为4的正方形A88与边长为α(0<α<4)的正方形C尸EG的顶点C

重合，点E在对角线AC上.

(1)【问题发现】如图1所示，/场与防的数量关系为一；

(2)【类比探究】如图2所示，将正方形CFEG绕点C旋转,旋转角为α(0<α<3()θ),请问此时上述结论是否还成

立？若成立，写出推理过程，若不成立，说明理由；

(3)【拓展延伸】当时，正方形CFEG若按图1所示位置开始旋转，在正方形CFEG的旋转过程中，当点A、

F、C在一条直线上时，请直接写出此时线段他的长

图1图2图3

15.(2023•历下区一模)【特例感知】

(1)如图1,已知ΔAO8和ACOD是等边三角形,直接写出线段AC与的数量关系是

【类比迁移】

(2)如图2,AAOB和ACOZJ是等腰直角三角形,ZBAO=ZDCO=90°,请写出线段AC与3。的数量关系，并说

明理由∙

【方法运用】

如图3,若Λfi=6,点C是线段4?外一动点，AC=2√3,连接3C.若将CB绕点C逆时针旋转90。得到CO,连

接AD,求出AD的最大值.

图1图2

16.（2023•泰山区校级一模）如图，在正方形AfiC。中，M、N分别是射线CB和射线DC上的动点，且始终

ZMAN=45°.

（1）如图1,当点M、N分别在线段8C、DC上时，请直接写出线段创7、MN、ON之间的数量关系;

（2）如图2,当点〃、N分别在C8、OC的延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，给予证明，若不

成立，写出正确的结论，并证明;

（3）如图3,当点M、N分别在CB、ZX7的延长线上时，若CN=CD=6,设必与AM的延长线交于点P,交/VV

于Q,直接写出AQ、AP的长.

17.(2023•岱岳区校级一模)如图，ΛBAD=ZCAE=9Qo,AB=AD,AE=AC,AFLCB,垂足为

(1)求证：AABC≥AADEi

(2)求NME的度数；

(3)求证：CD=2BF+DE.

E

18.（2023•泰山区校级一模）在ΔABC中，Zfi4C=90o,AB=AC,A£>>L8C于点Q.

(1)如图1所示，点〃，N分别在线段AD,AS上，且NBMN=90。，当NAMV=30。，AB="时，求线段AM

的长；

(2)如图2所示，点K,F分别在ΛB,AC上，S,BE=AF,求证：ADE厂是等腰直角三角形；

(3)如图3所示，点M在AD的延长线上，点N在AC上，且ZBMN=900,求证：

19.(2023•东营区校级一模)如图1,在RtΔABC中，ZB=90o,AB=4,BC=2,点、D、E分别是边8C、AC

的中点，连接OE.将ACDE绕点C逆时针方向旋转，记旋转角为ɑ.

(1)问题发现

①当&=0。时，—=;

BD

②当&=180。时，—=.

BD

(2)拓展探究

试判断：当0。,,。＜360。时，Ag的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明.

BD

(3)问题解决

20.(2023•泰山区校级一模)在AABC中，AB=BC,点O是AC的中点，点P是AC上的一个动点(点P不与点A,

O,C重合).过点A,点C作直线BP的垂线，垂足分别为点E和点F,连接OE,OF.

(1)如图1,请直接写出线段OE与OF的数量关系；

(2)如图2,当NABC=90。时，请判断线段。E与OF之间的数量关系和位置关系，并说明理由

(3)^∖CF-AE∖=2,EF=2√3,当ΔPO尸为等腰三角形时，请直接写出线段。P的长.

专题16几何综合压轴

一.解答题（共20小题）

1.（2023•垦利区一模）如图1,在ΔABC中，NABC=45。，AZ）I.BC于点O,在AM上取点E,使DE=Z）C,连

接BE、CE.

（1）直接写出CE与AB的位置关系；

（2）如图2,将ABED绕点。旋转，得到48ET）（点9、£分别与点8、E对应），连接C£、AB',在MED

旋转的过程中CE与AB，的位置关系与（1）中的CE与/W的位置关系是否一致？请说明理由；

（3）如图3,当ΔβE。绕点。顺时针旋转30。时，射线CE与4）、A方分别交于点G、F,若CG=FG,DC=B

求A9的长.

【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得，ZABC=ADAB=ASO,ZDCE=ZDEC=ZAEH=45。,可得结论;

（2）通过证明ΔAT>βZSAaE,可得NZMB'=NOCE',由余角的性质可得结论；

（3）由等腰直角的性质和直角三角形的性质可得A9=6AO,即可求解.

【详解】解：（1）如图1,延长CE交AB于”,

图1

ZABC=45o,ADrBC,

:.ZADC=ZADB=90°,ZABC=ADAB=ASo,

DE=CD,

ZDCE=ZDEC=ZAEH=45°,

.∙.ZBHC=ZBAD+ZAEH=90。,

,∖CE±AB↑

（2）在ABED旋转的过程中CE与A8的位置关系与（1）中的CE与Ae的位置关系是一致,

理由如下：如图2,延长CE交于〃，

ZADC=ZADB=90。,

,NCDE=ZADBf,

PCDAD

.乂=-----=1t,

DE'DB'

:.AADB'sACDE',

ZDAB,=ZDCE',

ADCE+ZDGC=90°,

.∙.ZZMB,+ZAGH=90°,

.-.ZAHC=90°,

二.CELABl：

(3)如图3,过点。作Z)"J"A?于点，,

MED绕点、。顺时针旋转30°,

.∙.ZBDB'=30o,B1D=BD=AD,

.∙.ZADB,=↑20o,ZDAB'=ZAB'D=3>0°,

DHYAS,

.∖AD=2DH,AH=y∕3DH=B1H,

:.AB'=y∣3AD,

由（2）可知：ΔAL>B,^ΔCDΓ,

..ZOCE=ZZMB'=30°,

ADLBC,CD=√3,

:.DG=\,CG=2DG=2,

.∙.CG=FG=2,

ZDAB'=30°,CEYAS,

.∙.AG=2GF=4,

.-.AD=AG+DG=4+l=5,

.∙.AB,=√3AD=5√3.

2.（2023•利津县一模）（1）如图1,已知：在ΔA8C中，Zβ4C=90o,AB=AC,直线机经过点A,BDJ"直线"，

CE_L直线机，垂足分别为点。、E.证明：DE=BD+CE.

（2）如图2,将（1）中的条件改为：在ΔABC中，AB=AC,D、A>E三点都在直线m上，并且有

NBDA=ZAEC=ZBAC=a,其中C为任意锐角或钝角.请问结论DE=BE>+CE是否成立？如成立，请你给出证

明；若不成立，请说明理由.

（3）拓展与应用：如图3,。、E是D、A、E三点所在直线机上的两动点（。、A、E三点互不重合），点F为

ZfiAC平分线上的一点，且ΔA5f和ΔAb均为等边三角形，连接6£>、CE,若ZBDA=ZAEC=ZBAC,试判断

AD所的形状并说明理由.

【分析】（1）根据BoJ_直线加，CE_1_直线机得N8D4=NCE4=90。，而N84C=90。，根据等角的余角相等得

NeAE=NAB£>,然后根据“AAS”可判断ΔADB=ACEA,AE=BD,AD=CE,于是DE=AE+AD=BD+CE；

（2）由NBZM=NAEC=Nβ4C,就可以求出NBAD=NACE,进而由A4S就可以得出ΔβAf>=AACE,就可以得

出比>=AE,DA=CE,即可得出结论；

（3）由等边三角形的性质，可以求出NBAC=120。，就可以得出ΔB">=ΔACE,就有BD=AE,进而得出

MDFMAAEF,得出ZJR=EF,ZBFD=ZAFE,而得出NQpE=60。，就有ΔDEb为等边三角形.

【详解】解：（1）如图1,双），直线，"，CE,直线机，

:.ZBDA=ZCEA=90°,

NBAC=90°,

.∖ABAD+ZCAE=9QP

Zβ4D+ZABD=90o,

.∙.ZC4E=ZABD,

在ΔΛDB和ACEA中，

ZBDA=ZCEA

,ZCAE=ZABD,

AB=AC

.∖ΔADBACEA(AAS)9

AE=BD,AD=CEf

.,.DE=AE+AD=BD+CE;

(2)如图2,ZBDA=∕BAC=a,

:,ZDBA^-ΛBAD=ZBAD+ZCAE=∖SO0-a,

.∙.ZDBA=NCAE,

在ΔΛDB和ACEA中，

ZBDA=ZCEA

,ZCAE=ZABD,

AB=AC

.∖ΔADBACEA(AAS)9

AE=BD,AD=CEf

.,.DE=AE+AD=BD+CE;

(3)如图3,由(2)可知，ΛADB^ACEA,

..BD=AE9ZDBA=ZCAE,

ΔΛBF和AACF均为等边三角形，

o

..ZABF=ZCAF=60fBF=AF,

：.ZDBA+ZABF=ZCAE+ZCAF,

.∖ZDBF=ZFAE,

在/SDBF和AE4F中，

BD=AE

,NDBF=EAF,

BF=AF

:.ADBF=AEAF(SAS),

DF=EF,ZBFD=ZAFE,

ZDFE=ZDFA+ZAFE=ZDFA+ZBFD=ωo，

.∙.ΔDE〃为等边三角形.

图2

图1

3.（2023♦宁阳县校级一模）已知，ΔABC为等边三角形，点。在边BC上.

【基本图形】如图1,以4）为一边作等边三角形AADE,连结CE∙可得CE+CD=AC（不需证明）.

【迁移运用】如图2,点尸是AC边上一点，以DF为一边作等边三角ADEF.求证：CE+CD=CF.

【类比探究】如图3,点尸是AC边的延长线上一点，以。尸为一边作等边三角ADEF.试探究线段CE,CD,CF

三条线段之间存在怎样的数量关系，请写出你的结论并说明理由.

图1图2图3

【分析】【基本图形】证明AC鱼三ΔBAD,根据全等三角形的性质得到CE=9，证明结论；

【迁移运用】过点。作DG//A8,交AC于点G,证明=得到CE=GF,证明结论;

【类比探究】过点。作QG//AC,交ΛB于点G,仿照【迁移运用】的证明方法证明即可.

【详解】【基本图形】证明：AABC与AAOE都是等边三角形，

.-.AB=AC=BC,ZBAC=60o,AD^AE,ZQAE=60°,

.∙.NDAE-ZCAD=NBAC-ZCAD,即NCAE=ZBAD,

在z∖C4E与ABAD中，

AB=AC

<ZCAE=NBAD,

AE=AD

.'.ACAEABAD(SAS),

.*.CE=BD，

CE+CD=BD+CD=BC，

AC=BC,

,∖CE+CD=AC;

【迁移运用】证明：如图2,过点。作DG//A8,交AC于点G,

图2

ΔABC是等边三角形，

o

.∙.ZACB=ZA=ZB=60f

DGHAB9

.∙.ZCGD=ZA=60o,NeDG=ZB=60。，

「.△CDG为等边三角形，

..CD=DG=CG,

ΔDEF为等边三角形，

.∙.DE=DF,ZED尸=60。，

/CDG-/EDG=/EDF-NEDG,即NeDE=NFDG,

在ACOE与AGO/中，

DC=DG

<ZCDE=ZGDF,

DE=DF

・•.ACDE"GDF(SAS),

JCE=GF,

∙∙.CE+CD=GF+CG=CF；

【类比探究】CD+CF=CE,

理由如下：如图3,过点。作Z)G//AB,交AC于点G,

G

E

图3

ΔABC是等边三角形，

・•.ZAcB=ZA=ZB=60。，

DGHAB,

.∙.NCGO=ZA=60。，ZCDG=ZB=60o,

「.△8G为等边三角形，

.,CD=DG=CG,

ΔDEF为等边三角形，

.∖DE=DF,ZFDE=GOo,

.ZGDC+ZCDF=ZEDF+ZCDF9即NGDF=NCDE,

在ACDE与AGD/中，

DC=DG

,NCDE=NGDF,

DE=DF

.∙.ACDE=AGDF(SAS),

CE=GF,

GF=CF+CG=CF+CD,

:.CD+CF=CE∙

4.(2023∙博山区一模)在数学兴趣小组活动中，同学们对菱形的折叠问题进行了探究.如图(1),在菱形ABCo中，

NB为锐角，E为8C中点，连接DE,将菱形ABcD沿DE折叠，得到四边形ABZED,点A的对应点为点4,点

3的对应点为点夕.

(1)【观察发现】AD与是什么位置关系？

(2)【思考表达】连接夕C,判断NDEC与"CE是否相等，并说明理由；

(3)如图(2),延长Z)C交A用于点G,连接EG,请探究Nz5EG的度数，并说明理由；

(4)【综合运用】如图(3),当NB=60。时，连接夕C,延长少C交左片于点G,连接EG,请写出用C,EG,

OG之间的数量关系，并说明理由.

【分析】(1)利用翻折变换的性质判断即可；

(2)结论：ZDEC=ZB'CE.证明∕)E∕∕CQ即可；

(3)证明GC=G9，推出召G_LCB/,即可解决问题.

(4)结论：DG2=EG2+-B,C2-如图(3)中，延长OG交所的延长线于点T,过点。作。R_LGA交GA的延

16

长线于点R.想办法证明OE=NC夕，可得结论.

4

【详解】解：(1)如图(1)中，由翻折的性质可知，ADHBE.

故答案为：ND/IBE.,

(2)结论：ZDEC=/BCE.

理由：如图(2)中，连接明.

EB=EC=EBr,

.∙.ZBBzC=90°,

∙∙.BB上BC,

由翻折变换的性质可知BBfLDE,

,

.∖DE∕∕CBf

..ZDEC=/BCE;

(3)结论：NDEG=90。.

理由：如图(2)中，连接DB,DB'

由翻折的性质可知ZBDE=ZBfDE,

设ZBDE=∕BDE=x,ZA=ZA,=y,

四边形A88是菱形，

.∙.ZADB=ZCDB=ZBfDA,

：.ZADG=ZBDB=2x,

o

ZDGA!=↑80-2x-yf

ZBEB=ZEBD+NEBfD+ZBDB,

:.ZBE^=180o-γ÷2x,

EC=EB,

,,o

.∙.ZEBC=/ECB'=ɪZBEB=90--y+x9

22

,,,,ooo

.∙.ZGBC=ZABE-ZEBC=∖S0-y-(90-^y+x)=90-^y-χf

.λZCGA=2ZGB,C,

ZCGA=NGBC+ZGCBf，

:./GBC=/GCB,

:.GC=GB，

EB=EC,

.∖EGYCB,

DE/ICB,

:.DE工EG,

.∙.ZDEG=90o;

(4)结论：DG2=EG2+-BfC2∙

16

理由：如图(3)中，延长。G交房的延长线于点T,过点。作。RJ_GA交G4,的延长线于点/?.

设GC=GB=X,CD=A!D=AB^=2a,

/3=60。，

・•.NA=NQA以=120。，

.∙.NZMR=600,

.∙.A^=A,Dcos60o=tz,DR=岛,

在RtADGR中，JJ1∣JW(2a+x)2=(√3tz)2+(3a-x)2,

4

.∖x=-a，

5

46

.∙.GB'=-a,A,G=-a,

55

TBIlDN,

.TB,GB,

~DA~~GA,

4

TB,5a

/.——=-7—，

2a6

—a

5

4

.∙.TB,=-a,

3

CRUDE,

4

CB'TB，3''_4

,^DE~1T~J-7

a+-a

3

7

.∙.DE=-CB',

4

ZJDEG=骄，

222

.∖DG=EG+DEf

图(2)

5∙（2023∙天桥区一模）如图，AABC和ΔEW3E的顶点B重合，ZABC=NDBE=90。,ABAC=ZBDE=30。,BC=3,

BE=2.

（1）如图1,当点。，E分别在AS,BC上时，可以得出结论：丝=；直线"）与直线EC的位置关系是；

CE

（2）如图2,将图1中的ΔD3E绕点5顺时针旋转一周的过程中，连接4）、EC,其所在直线相交于点F,

①（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；

②当DF的长度最大时，求线段EC的长度.

A

A∖A

【分析】(1)解直角三角形求出EC,AD,可得结论;

(2)结论不变，证明ΔAB8ACBE,推出四=四=百，ZADB=ZBEC,可得结论;

ECBC

(3)因为ADJ.CE,推出“在：=90。，推出。尸,,DE=4,推出当。「与JDE重合时，。尸的值最大，分两种情形

分别求解即可.

【详解】解：(1)在RtΔABC中，ZB=90°,BC=3,ZA=30°,

.∙.AB=KBC=36,

在RtΔBDE中，ZBDE=30°,BE=2,

.∙.BD=√3βE=2√3,

..EC=∖,AD=B

∆n-

——=√3r,此时4)"LEC,

EC

故答案为：√3,垂直；

(2)结论成立.

理由：∙,ZABC=NDBE=90。,

.∙.ZABD=NCBE,

AB=yβBC,BD=^BE,

.ABDB

~BC~~EB'

.∙.ΔΛBD^ΛCBE，

ΛΓ)ΛUR-

：.—=—=√3,ZADB=ZBEC,

ECBC

ZADB+NCDB=180。,

:.ZCDB+ZBEC=180°,

.∙.ZDBE+ZDCE=180。，

ZDBE=90。,

.∙.ZDCE=90。,

.∖AD±EC;

o

(3)如图2中，ZDBE=90fBE=2,NBDE=30。，

.∙.DE=2BE=4,

ADLCE,

:.ZDFE=90°,

.∙.DF,,DE=4,

・•.当分与QE重合时，。产的值最大,

o

ZABC=90。，BC=3,ZBAC=309

AC=2BC=6，

AC2=AE2+EC2,

.∙.62=(4+>∕3x)2+X2,

解得X=2√Σ-6(负根已经舍去)，

.∙.FC=2√2-√3

如图4中，设EC=y,≡AD=y∕3y,则6?=丁+(岛-4)2,

解得y=C+2V2，

.∙.EC=y∣3+2y∕2.

综上所述，EC的值为G+2√5或2√5-√5.

6.(2023∙梁山县一模)在ΔΛBC中，。为BC中点，BE、C尸与射线AE分别相交于点E、F(射线ΛE不经过

点D).

(1)如图①，当3E//C产时，连接ED并延长交B于点求证：四边形BEeH是平行四边形；

(2)如图②，当LAE'于点E,C产_LAE于点F时，分别取A3、AC的中点M、N,连接ME、MD、NF、

ND.求证：AEMD=AFND.

［分析］(ɪ)根据两直线平行内错角相等求得ZDBE=ZJDCH,然后依据AAS求得ΔBDE≡ACDH得出Eo=，

最后根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形求得.

(2)连接FD、ED,延长ED交C尸于点H,根据直角三角形斜边的中线定理和三角形的中位线定理求得ME=DN,

MD=NF,进而根据SSS即可证明ΔMED=ΔΛW,最后根据全等三角形的对应角相等求得NEMz)=NRvD.

【详解】证明：(1)如图①，。为BC的中点，

.*.BD—CD,

BE//CF,

:.ZDBE=ZDCH,

在ΔβQE与AcD”中,

NDBE=NDCH

ZBDE=ZCDH,

BD=CD

∙∙.MDE=ACDH(AAS),

ED=HD,

.∙.四边形BECH是平行四边形；

(2)如图②连接/T＞、ED,延长田交C产于点”，

BELAE,CFLAE,

..BEI/CF,

由(1)可知Er)=HD,又.CF.LAE,

,ED=FD(直角三角形斜边的中线等于斜边的一半),

在0ΓΔAEβ中，M是钻的中点，

：,ME=-AB,

2

在ΔABC中，D、N分别是5C、AC的中点，

:.DN=-AB

2f

：.ME=DN,

同理，MD=NF,

在AMED与AND尸中，

ED=FD

ME=DN,

MD=NF

..AMED=ANDF(SSS)f

,/EMD=/FND.

图②

A

H

BɔC

图①

7.(2023∙新泰市一模)已知点O是线段ΛB的中点，点P是直线/上的任意一点，分别过点A和点8作直线/的垂

线，垂足分别为点C和点。，我们定义垂足与中点之间的距离为“足中距”.

(1)［猜想验证］如图1,当点P与点O重合时，请你猜想、验证后直接写出“足中距”OC和8的数量关系

是.

(2)［探究证明］如图2,当点尸是线段AB上的任意一点时，“足中距"OC和QD的数量关系是否依然成立，若

成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.

(3)［拓展延伸］如图3,①当点P是线段3A延长线上的任意一点时，“足中距"OC和OD的数量关系是否依然

成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；

②若NCa)=60。，求证：AC+BD=MOC.

【分析】(1)猜想：OC=OD.证明RtAAOC=ABOD(AAS),可得结论.

(2)结论成立.过点。作直线防/∕cr>,交AC的延长线点E,证明AeoE=。OF(5AS),可得结论.

(3)①结论成立.如图3中，延长Co交比>于点E,证明Co=OE,再利用直角三角形斜边中线的性质解决问题

即可.

②利用等边三角形的判定和性质以及全等三角形的性质证明即可.

【详解】(1)解：猜想：OC=OD.

理由：如图1中，ACYCD,BDYCD,

:.ZACO=-ZBDO=90°,

,点O是线段ΛB的中点，

.-.OA=OB,

在AAOC与ABOD中,

NACo=ZBDo

<ZAOC=ZDOB,

OA=OB

.∙.ΔAOC≡Δβ∞(AAS),

.∙.OC=OD，

故答案为：OC-OD；

（2）解：“足中距"OC和OD数量关系依然成立.

理由：如图，过点O作直线EF//CD,交AC的延长线于点石，交BD于F,

E

EFHCD,

:.ZDCE=ZE=ZCDF=90°，

.∙.四边形C£7X>为矩形，

.∙.ZOFD=90o,CE=DF,

由(1)同理得，OE=OF,

在ACoE与NDOF中，

CE=DF

<ZCEO=ZDFO,

OE=OF

:.ACoE合DOF(SAS),

.∖OC=OD；

（3）①解：“足中距"OC和Or）的数量关系依然成立.

理由：如图3中，延长CO交03的延长线于点石，

图3

AC上CD,BDtCD,

.∖AC1∕BD,

.∙.ZACO=ZE,

，点O为AB的中点，

.,.AO=BOf

又ZAOC=ZBOEF

.∙.ΔAOC≡ΔB（9E（A45）,

CO=OE，

/CDE=90。,

：.OD=LcE=OC;

2

②证明：如图3中，NCOD=60。，OD=OC9

:.ACOD是等边三角形，

:.CD=OC,NoeO=60。，

NCDE=90。,

“cDE

.’.tan60=，

CD

DE=∙J3CD,

ΛAOC=ΛBOE,

AC=BE，

.∙.AC+BD=BD+BE=DE=辰D,

：.AC+BD=同C.

8.（2023•郸城县一模）实践与探究

操作一：如图①，将矩形纸片ASCr）对折并展开，折痕PQ与对角线AC交于点E,连结3E,则座与AC的数量

关系为.

操作二：如图②，摆放矩形纸片ABCD与矩形纸片ECGF,使8、C、G三点在一条直线上，CE在功Ce）上，连

结ΛF,”为AF的中点，连结。W、ME.求证：DM=ME.

拓展延伸：如图③，摆放正方形纸片A88与正方形纸片ECG尸，使点F在边C/）上，连结AF,M为AF的中点，

连结DM、ME、DE.已知正方形纸片ABCO的边长为5,正方形纸片ECGF的边长为2√Σ,则ΔDME'的面积为

【分析】操作一：由折叠可知M=BE,AE=EC,则可得BE=EC=AE,即可求得BE」AC；

2

操作二：延长EM与4)交于点N,通过证明ΔAMN=AFME(AAS),推导出DW=ME：

拓展延伸：连接AC,利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半,推导出AfiME是等腰直角三角形,求出ME=叵,

2

即可求面积.

【详解】操作一：解：由折叠可知，AE=BE,

P是Cf)的中点，PEHAD,

.∙.E是AC的中点，

.*.AE=EC，

.'.BE=EC=AEf

'.BE=-AC

2f

故答案为：BE=-AC；

2

操作二：证明：延长EM与AD交于点N,

四边形ABeD是矩形，

.-.ZADE=90°,

四边形ECG尸是正方形，

.∙.∕FEC=90°,

.∙.ZDEF=90o,

.∖ZADE=ZDEF,

..AD//EF,

..ZDAM=ZMFE,ZANM=ZFENf

M是AF的中点，

:.AM=MF,

.∙.ΔAMN≡AFME(AAS),

.∙.MN=ME,

/NDE=90°,

.∙.DM=LNE=MN=ME,

2

:.DM=ME；

拓展延伸：解：连接AC,

.∙.ZDC4=45o,

NECF=45。,

.∙.E点在AC上,

.∙.NFE4=90°,

在RtAADF中，M是AF的中点，

..AM=MF=DM,

.∖ZDAM=ZADM,

.∖ZDMF=2ZDAM,

在RtAAEF中，M是AF的中点，

..AM=FM=ME,

:.DM=ME,

ZMAE=ZMEAf

.∙.ZFME=2ZMAE,

：./DME=2ZDAM+2ZMAE=90°,

.∙.ΔDME是等腰直角三角形，

AD=5，

:.AC=5y∕2,

EC=2y∣2,

.∙.AE=3√2,

22

在RtAAEF中，AF=λ∕(3√2)+(2√2)=√26,

2

1a

.∙.ΔΩWE的面积为上，

4

故答案为：

4

G

图②

9.（2023•长清区一模）在学习了图形的旋转知识后，数学兴趣小组的同学们又进一步对图形旋转前后的线段之间、

角之间的关系进行了探究.

（一）尝试探究

如图1,在四边形ABCL）中，AB^AD,44£>=60。，NABC=NAz）C=90。，点、E、尸分别在线段BC、CDl.,

ZEAF=30°,连接所.

（1）如图2,将A4BE绕点A逆时针旋转60。后得到△AλTE（∕V8，与AD重合），请直接写出NEyAF=度,线

段BE、EF、FD之间的数量关系为.

（2）如图3,当点E、尸分别在线段8C、8的延长线上时，其他条件不变，请探究线段破、EF、尸D之间的

数量关系，并说明理由.

（二）拓展延伸

如图4,在等边ΔABC中，E、尸是边BC上的两点，ZE4F=30o,BE=L将AABE绕点A逆时针旋转60。得到

△4夕E（AE与AC重合），连接EELAF与EE交于点、N,过点A作AW_L8C于点M,连接MV,求线段MN

的长度.

【分析】（一）（1）根据图形旋转前后对应边相等,对应角相等，判定AAE/三AAEF,进而根据线段的和差关系

得出结论；

（2）先在BE上截取BG=OF,连接AG,构造A4BG三ΔAQF,进而利用全等三角形的对应边相等，对应角相等,

判定AG4E=M4E,最后根据线段的和差关系得出结论；

（二）先根据旋转的性质判定A4EE是等边三角形，进而利用等边AAfiC、等