河南省郑州市2023届高三第一次质量预测理科数学试题（解析版）

郑州市2023年高中毕业年级第一次质量预测

理科数学试题卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.设集合A川"J+4—”=伸唱（1）叫则4吟）

A.{x∣l≤x<3}B.{x∣3<x≤4}C.{x∣l<x≤3}D.{x∣3<x<4}

K答案XC

K解析》

K祥解D根据根式的定义域列出方程,解出集合A,根据对数函数性质解出对数不等式,即集合8,再求出

AryB即可.

K详析H由题知4=卜y=J-χ2+4x-31=卜卜4+4χ—3≥θ},

解得:A={x∣l≤x43},

B={Mog3（x-l）<l}={x∣O<x-l<3}={x∣l<x<4},

所以ACB={x∣l<x<3}.

故选：C.

2.已知i是虚数单位，若复数Z的实部为I,zi=4，则复数Z的虚部为（）

A.—百或GB.一厉或√i?C.T或1D.一炳或炳

K答案2A

K解析』

K祥解』设z=l+加，则3=1-从，由zS=4,列出方程求解即可.

K详析》由题意，设z=l+M,则1=1-历，

所以z∙z=（1+历）（1一历）=4,

即1+∕J2=4,所以b=—£或K，

即Z=I-6i或z=l+Gi,

所以复数Z的虚部为-6或6∙

故选：A.

X27

3.已知双曲线三y1(π>0,⅛>0)的离心率为2,则该双曲线的渐近线方程为

a

A.x±y=OB.χ±√3y=0C.√3x±j=0D.2x±y=0

K答案2C

K解析』

K详析22=杵==二i=g，渐近线方程是y=±6χo√iχ±y=0,故选C,

4.欧拉函数。(")("∈N")的函数值等于所有不超过正整数〃，且与〃互素(也称互质)的正整数的个数,

例如θ(l)=l,夕(4)=2,夕(9)=6.则()

A.数列｛°(叫单调B.°(5)<夕⑹

C.数列｛0(2")｝是等比数列D,o(6)=°(2)+。⑶

K答案Rc

K解析H

K祥解11再求出。(3),夕(5),9(6)后判断ABD,同样求得破2")后根据等比数列定义判断C.

K详析H奴3)=2,夕(4)=2,夕(〃)不单调，A错;

0(5)=4,夕(6)=2。夕(2)+0(3)=3,B错误；D错误；

易知所有偶数与2"不互素，所有奇数与2"互素，e(2")=2"τ,φ(2"+')=2n,

所以四J=2,即数列■(夕(2")|是等比数列，C正确.

夕(2")I'〃

故选：C.

x-2y+∖≤0

5∙若实数XQ满足约束条件《∙U八，则z=x+y的()

%+y-5>0

A.最大值4B,最小值为4C.最大值为5D.最小值为5

K答案》D

K解析2

K祥解』画出可行域,由z=χ+y河知Z可看作直线y=-x+z在y轴上的截距,平移直线即可得出结果.

x-2y+l≤0

K详析》解:由题知约束条件［

x+y-5≥0

画出约束条件如下:

x-2y+l=OX=3

联立《x+y-5=。可得：

y=2'

z=x+y可写为:y=—x+z,

Z可看作直线y=-X+Z在y轴上的截距,由可行域可知,

当y=-x+Z与y=-X+5重合时,Z有最小值,最小值为5.

故选:D

6.设等差数列｛4｝的前"项和为S"，q=2,S8≥S7≥S9,则公差d的取值范围是（）

2_4__241

,B.,C.D.0

7~15^7^415,4-？

K答案DA

K解析X

K祥解D方法1：等差数列通项公式的基本量代入不等式组求解即可.

方法2：等差数列前n项和公式的基本量代入不等式组求解即可.

K详析H方法1：V｛%｝为等差数列,q=2,

/.=q+(〃一l)d=2+(〃-l)d,

d≥--

STS7=Sii—S1≥O%≥On2+7<∕≥0724

S-S≤0=2+7d+2+8d≤0=n—≤d<--

S>S970+0≤O,4715

7989d<—

15

方法2：・・・｛%｝为等差数列,q=2,

≤⅛=2”+≤⅛/

.*.S=na+

nλ22

,8×7,7x6,「，2

Z-16+-----d1≥14+------dd≥—

/≥»222+7d≥07_274

.∙.<=>=><=><>——≤d<-----

SNSO…7×6IC9×8.4+15d≤0,4一715

17914+-----df≥18+------dd≤-----

[2215

故选：A.

7.记函数/(x)=Sin(S+胃(。〉0)的最小正周期为τ.若兀<丁<2兀，且y=∕(x)的图象的一条对

TT

称轴为X=W，关于该函数有下列四个说法：

6

Φ2<tυ<3；

②佃=。；

ITJT

③/(X)在-U上单调递增；

L66_

④为了得到g(x)=sin的的图象，只需将/(x)的图象向右平移十个单位长度.

以上四个说法中，正确的个数为()

A.1B.2C.3D.4

K答案UB

R解析』

'ʃlJlTVJi

K祥解D利用周期公式求出0的范围可判断①；由x=2为一条对称轴得乌3+2='+桁伏eZ),结合

6642

。的范围可求得①，从而得出/'O)的K解析》式，求值/(擀)可判断②；利用正弦函数的单调性可判断

③；利用三角函数图象平移的规律可判断④.

2TT

K详析』由T=—且π<T<2兀，故1VGV2,故①错误；

ω

TrTiTiTifIi3

因为X=-为一条对称轴，故一<υ+—=一+kι(kwZ),ω=6∖k+~∖.由于1<°<2,故<υ=二，则

6642I4J2

/(x)=sinf∣x+ɪ∖所以/(5)=sin(gx]+()=sin7r=O,故②正确；

ππɔʃrITJP

当x∈时,-x÷√eθ,~，则/(x)在一上单调递增，故③正确;

6,624266

将/(x)的图象向右平移ɪ个单位长度得y=Sin的图象，而

3

(x)=Sin-X,故④错误.

所以，正确的有②③，共2个.

故选：B.

8.河南博物院主展馆的主体建筑以元代登封古观星台为原型，经艺术夸张演绎成“戴冠的金字塔”造型，冠

部为“方斗”形，上扬下覆，取上承“甘露”、下纳“地气”之意.冠部以及冠部下方均可视为正四棱台.已知一

个“方斗，，的上底面与下底面的面积之比为1：4,高为2,体积为学，则该“方斗”的侧面积为()

3

1一

A.24B.12C.24√5D.12√5

K答案2D

K解析H

K祥解》根据题意得正四棱台的侧面为四个等腰梯形，先计算侧面的高，然后利用梯形的面积公式代入计

算即可.

K详析H由题意可知，记正四棱台为A8CD—A4GA，其底面为正方形,

侧面为四个等腰梯形，把该四棱台补成正四棱锥如图，

设M是底面ABCD±.AC与3。的交点，N是底面A1ɑi上4G与MA的交点

则PM是正四棱锥P—ABCD的高，MN为正四棱台ABcD-AAGA的高,

设4d=α,AB=b,则上、下底面的面积分别为/、

由题意〃：尸=1：4,所以〃=2α,

在,.RS中，空=4"所以Al为Rl的中点，

PAAB2

PAPN1I

在，RU/中，」=——=—,所以MN=-PM=2,所以？M=4,

PAPM22

又%BCD-ABC场=gx(∕+αx人+b*)x2=^^=三，解得α=2,b=4,

所以∕¾=yjPM2+AM2=742+(2√2)2=2√6，

所以侧棱长AA是遥，由勾股定理可得侧面的高为h=√(√6)2-l2=√5，

所以侧面积为S=4xgx(2+4)x6=126.

故选：D

9,记一ABC的内角A,B,C的对边分别为。，。，c,已知角C=W,。Sin[：+A)—asin[：+B

则角B=()

πCJt-5兀C无

A.-B.-C.—D.一

8683

K答案Xc

K解析H

K祥解》先由正弦定理把边转化为角，再展开化简求得8与A的关系，进一步计算得出结果.

K详析H已知角C=囚，∕?SinIm∙+A]-QSinIE+B]=C,

4U)U

由正弦定理可得SinBSinI+Λj-sinAsinfɪTl+Bj=sinC,

4

√7号,即Sin(B—A)=1,

整理得-^-(SinBcosA-sinAcosB)=

因为A,B∈[θ,ιJ,所以B-AG[-ZJ,7J,所以B-A=方.

371

又8+4=7'所以8

故选：C.

10.在如图所示的实验装置中，两个正方形框架ABCD,的边长都为1,且它们所在的平面互相垂

直.活动弹子M,N分别在正方形对角线AC和所上移动，且CM和BN的长度保持相等，记

CM=BN={0<”血）.则下列结论埼送的是（）

B.当α=L时，MN的长度最小

A.该模型外接球的半径为

22

C.异面直线AC与防所成的角为60。D.MN//平面BCE

K答案』B

K解析』

K祥解》把图形补形成一个正方体，根据正方体性质求解判断各选项：正方体的对角线是其外接球直径,

从而易得外接球半径，判断A；过M作MP//AB交BC于P,过N作NQ//AB交BE于Q,证明MPQN是

平行四边形，用。表示出MN的长，求得最小值，判断B；求出异面直线所成的角判断C；由线面平行的判

定定理证明线面平行判断D.

K详析Il如图，把该模型补成一个以ABC。和AfiEF为相邻面的正方体，

正方体的对角线是其外接球直径，而正方体对角线长为√L因此球半径为且，A正确；

2

过M作MP//AB交BC于P,过N作NQ//AB交5E于。，连接尸Q,则MP//NQ,

NOBNCMMP

又以=吧L=JLAB=EF，所以MP=NQ,则MPQN是平行四边形，MN=PQ,

EFBFCAAB

MN//PQ,

另一方面S="=网=些抬CP=BQ√26z√2

—,BP=∖-CP^∖--a

CBCABFBE22

ʌ^)2=∣a2-∕2a+=2

22-^-+(1-∖∖∖J(α-~~)+ɪ>

PQ=y∣BP+BQ=

所以α=交时，PQ取得最小值，B错误;

2

正方体中易得3f7∕C7∕,NAC”或其补角是异面直线AC与M所成的角，=ACH是等边三角形,

ZACH=60°,因此异面直线AC与所所成的角是60。，C正确;

由MN/∕PQ,MNN平面BCE,PQU平面BCE,.;MV//平面BCE,D正确.

故选：B.

11.已知直线/与抛物线丁=2川(〃>0)交于A,B两点,。为坐标原点，OALOB,0"，AB交AB于

点H，点H的坐标为(2,2),则/7的值为()

35

A.-B.2C.-D.3

22

K答案』B

K解析》

K祥解』写出直线”8的方程，联立直线/8的方程与抛物线方程可得不W与Xy2,代入。A∙OB=0可得

P的值.

K详析D∙∙∙H(2,2),OHlAB,

^OH=^Σ—ʌ=ɪ,^ABXk°H=-1，

2-U

•e•ZAB二-1

.∙.直线18的方程为：y-2=-(x-2),即：y=-χ+4,

设4(X]j),B(x2,y2),

y=-x+41ʌ

H=2px=五旷+>”。,

ʌ=l÷τ-=ɪ-1—>θ,y↑y二一8〃,

2pP2

∙*∙x∖x2ɪɪʃi2,-^3Z22=7ɪ7《乂%)2=τ^τ,(~8P)2=16,

2〃2p4〃4〃

又・・・Q4J_g

・•・0408=0，

x1x2+y]y2=16-8p=0,

.∖p=2.

故选：B.

12.己知函数〃X)定义域为R,/(x+l)为偶函数，/(x+2)为奇函数，且满足了⑴+"2)=2,则

2£023/(A)=()

k=∖

A.-2023B.0C.2D.2023

K答案》B

K解析H

K祥解H由已知条件结合函数奇偶性的定义可求得函数/(x)的周期为4,利用赋值法可得

/(1),/(2),/(3),/(4),再结合周期可求得结果.

K详析H因为/(x+D为偶函数，所以∕(-x+l)=∕(x+I),所以f(-x+为=f(x),

因为/(x+2)为奇函数，所以/(-%+2)=-f(X+2),

所以/(x+2)=-/(X),所以/(X+4)=-f{x+2)=f(x),

所以/(x)是以4为周期的周期函数，

由/(τ+2)=-Λx+2),令χ=0,得/⑵=一>⑵，则/⑵=0,

又/(l)+∕(2)=2,得/(1)=2,

由/(τ+2)=-y∙(x+2),令χ=l,得/。)=-/(3),则/⑶=一2,

由Ir(X+2)=-F(X),令χ=2,得/(4)=-/(2)=0,

则/Q)+/⑵+/(3)+/(4)=0,

2023

所以£/伏)=[/(1)+/(2)+/(3)+/(4)]X505+/(1)+/(2)+/(3)=0X505+2+(-2)=0.

Jl=I

故选：B.

二、填空题(每题5分，满分20分.)

13.fX2--I的展开式中的X项系数为___________;

IX)

K答案D-80

K解析H

K祥解》在二项展开式的通项公式中，令X的幕指数等于1,求出，•的值，即可求得展开式中X的系数.

K详析]解：J=G(X2广[一=(—2)'CXgf

令10—2〃一〃=0,则尸=3,

所以(一2)3XG=—80.

故R答案』为：—80.

14.已知四边形ABCO是边长为2的正方形，若BC=3DE,且口为BC的中点，则E4∙EF=

K答案』—

9

K解析H

K祥解』以｛ABA。｝为基底表示E4,ER,进而求得E4∙M∙

K详析》依题意，在正方形ABCD中，8C=3OE且尸为BC的中点，

所以E4=-AE=-(Ao+OE)=-(AO+(6C)=—(AO+gA0)=-gAO,

145

EF=AF-AE=AB+BF+EA=AB+-AD——AD=AB——AD,

236

所以£4.防=—@4£>//18—340]=-±4£)48+340：;=3*22=竺.

3I6J3999

40

故K答案X为：—

9

15∙经过点P(l,l)以及圆Y+y2-4=0与无2+y2—4尤+4y-12=()交点的圆的方程为

K答案HX2+y2+x-y-2^0

K解析，

R祥解》求出两圆的交点坐标，设出所求圆的一般方程，将三点坐标代入，解出参数，可得K答案〉

%2+j2-4=O

K详析』联立《整理得y=χ+2,

X2+y2-4x+4>,-12=0

代入尤2+9_4=0,得/+2%=0,解得尤=0或X=-2,

贝IJ圆χ2+丁—4=0与炉+9—4χ+4),-12=0交点坐标为(0,2),(-2,0),

22

设经过点P(l,1)以及(0,2),(—2,0)的圆的方程为x+y+Dx+Ey+F=Gy

'2+D+E+F^0[0=1

则<4+2E+∕7=0,解得<E1=-I,

4-2Z)+F=0[F=-2

故经过点P(U)以及圆χ2+V-4=0与炉+>2-4%+4)，-12=0交点的圆的方程为

%2+V+χ-y-2=0,

故K答案11为：√+∕+x-y-2=0

16.已知函数/(x)=e2*—e-2*—公，若/(x)有两个不同的极值点％,x2,且0<无?一看<皿2,则a的

取值范围为.

K答案H(4,5)

K解析』

K祥解力先求得函数/(x)的导函数/'(X),则方程2e2'+2e3-α=0有两个异号零点玉，々，且

0<x2-x,<ln2,构造新函数MX)=2e2'+2e-2χ,利用导数求得其单调性，进而求得。的取值范围.

K详析》f(x)^e2x-e2x-ax,贝IJr(X)=2e2*+2e3-α

令h(x)=2e2r+2e-2x,由h(-x)=2e-2x+2e2x=h(x),可得h(x)为偶函数，

4.一1)

贝IJh,(x)=4(e2jt-e2x)=1？，)

则当X>0时，h'(x)>0,A(X)单调递增;

当x<0时，//U)<0,∕z(x)单调递减,

又A(O)=4,h(一一In2)=Λ(-In2)=2eln2+2e^ln2=4+1=5

22

由题意得方程2e2'+2eH-α=0有两个互为相反数的零点不々，且0＜马一玉＜山2

则。的取值范围为(4,5)

故K答案》为：(4,5)

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题,

每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题，考生根据要求作答.

(一)必考题：每题12分，共60分.

17.已知数列｛a,,｝("∈N)满足£+墨+

+A”-2+击.

(1)求数列｛%｝的通项公式;

(2)若"=atl∙cosfiπ,求数列也｝前2〃项和成.

n

K答案，(1)an=2-2

2∙4),-2

(2)

K解析H

K祥解Il(I)用数列中前〃项和S“与项％的关系求解：

(2)先写出奇数项、偶数项的通项公式，再按奇数项、偶数项分组求和.

K小问1详析U

由题意色+∙⅛+-+—=n-2+-^-i-.

2222n2"~'

当〃=1时,，β∣=0;

当〃≥2时，y+-^f-++^⅛="-3+止，

两式相减得墨=〃-2+*一(〃-3+/T)=I一击，

所以”,,=2"-2,当〃=1时也成立.

所以数列｛4｝的通项公式=2"-2.

K小问2详析』

2-2"〃为奇数

根据题意，得a=α,,.cos〃兀=(2"-2)cos〃兀=〈'ʌ,,

〔2"-2,”为偶数

所以入“=4+瓦+4+…+b2n.l+b2n

=(-2,+22-23+...-22"-'+22n)+(2-2+2-...-2+2)

=-2l+22-23+...-22n^l+22n

-2∏-(-2)2W]_2-4"-2

1-(-2)~~

24-2

所以耳

3

18.如图，正四棱锥P-ABCD的底面边长和高均为2,E，尸分别为PZ)，PB的中点.

P

若点M是线段PC上的点，且PM=LPC,判断点”是否在平面AE尸内，并证明你的结论；

(1)

3

(2)求直线PB与平面AEf'所成角的正弦值.

K答案H(1)点M在平面AE尸内，证明见K解析》

2

(2)

3

1解析H

K祥解Il(I)连接AC、BD交于O，连接。P，以。为坐标原点，OA,OB、OP为x、y、Z轴建立

,22

空间直角坐标系，求出AE、AF`AM＞即可得到AAf=§4£+§力/，从而得到A、M、E、尸四

点共面，即可得证；

(2)利用空间向量法计算可得

K小问1详析)

解：连接AC、BD交于O，连接OP,由正四棱锥性质可得PO1平面ABCD,底面ABC。为正方形,

则ACJ.8。，

所以以0为坐标原点，0A,OB、OP为x、y、Z轴建立空间直角坐标系，

ZM

则4(力,0,0),仇0,0,0),/)(0,0,2),。(一夜,0,0),。(0,—g,0),E(0,--,0)，F(0,-,1)，

22

所以AE=(—a,—亚,1),AF=(-√2,-,1),

22

1一----1A-4____L

又PM=—PC,得Av=AP+-PC=(——√r2,0,-),AE+AF=(-2√Σ,0,2),

3333

22

所以AM=—AE+—AF,

33

所以A、M,E、F四点共面，即点M在平面AEE内.

K小问2详析』

解：由(1)可得PB=(O,√Σ,-2),

-V∑x——-γy+z=0

H∙AE=0

设平面A的法向量"=(χ,y,z)由,得

“AF=O

-∖∣2x+y+z=0

令x=l,则z=√∑,y=o,所以〃=(1,(),0),

PBn-2√22

∣∕,β∣∙∣∕2∣^√6∙√33,

2

所以直线PB与平面AEE所成角的正弦值为

19.世界杯足球赛淘汰赛阶段的比赛规则为：90分钟内进球多的球队取胜，如果参赛双方在90分钟内无法

决出胜负(踢成平局)，将进行30分钟的加时赛，若加时赛阶段两队仍未分出胜负，则进入“点球大战'’.点

球大战的规则如下：①两队各派5名队员，双方轮流踢点球，累计进球个数多者胜；②如果在踢满5球前,

一队进球数已多于另一队踢5球可能踢中的球数，则该队胜出，譬如：第4轮结束时，双方进球数比2:(),

则不需踢第5轮了；③若前5轮点球大战中双方进球数持平，则采用“突然死亡法”决出胜负，即从第6轮起，

双方每轮各派1人踢点球，若均进球或均不进球，则继续下一轮.直到出现一方进球另一方不进球的情况，

进球方胜.现有甲乙两队在淘汰赛中相遇，双方势均力敌，120分钟(含加时赛)仍未分出胜负，须采用“点

球大战”决定胜负.设甲队每名球员射进的概率为J,乙队每名球员射进的概率为.每轮点球结果互不影

响.

(1)设甲队踢了5球，X为射进点球的个数，求X的分布列与期望；

(2)若每轮点球都由甲队先踢，求在第四轮点球结束时，乙队进了4个球并刚好胜出的概率.

K答案？(1)分布列见K解析』，E(X)=-

2

⑵-

9

K解析』

K祥解Il(I)由题意知X8(5,L),由二项分布求出X的分布列与期望；

2

(2)由题意知甲乙两队比分为1：4或2：4,求出相应的概率再相加即可：

K小问1详析』

由题意知，XB(54)，X可能的取值为0，1，2,3,4,5.

2

P(X=O)=Gy=LP(X=I)=C心5=三，

232232

P(X=2)=CU-)5=-=-,P(X=3)=Ch-)5=—=—,P(X=A)=CU-)5=—

5232165232165232

P(X=5)=(g)51

32

所以X的分布列为

X012345

155551

P

323216163232

E(X)=5x那

K小问2详析］

设“第四轮点球结束时，乙队进了4个球并胜出“为事件4

由题意知，甲乙两队比分为1：4或2：4,设“甲乙两队比分为1：4”为事件％,“甲乙两队比分为2：4”为

事件4,

若甲乙两队比分为1：4,则乙射进4次,

若甲乙两队比分为2：4,则乙射进4次,

所以P(A)=P(4)+P(A,)=」+/=上

27279

即在第四轮点球结束时，乙队进了4个球并胜出的概率为

9

20.已知椭圆C：∖+5=l(0>b>0)的离心率为也，且过点P(2,l).

a~b"2

(1)求椭圆C的方程;

(2)设不过点P的直线/与椭圆。交于A,B两点，A关于原点的对称点为。，记直线/,PB,P。的斜

率分别为k,K,k2,若勺∙％2=g,证明直线/的斜率后为定值.

r22

K答案D(1)4+匕v=1

(2)证明见K解析』

K解析H

K祥解D(1)根据离心率和过点p(2,l),求出椭圆C方程；

(2)根据题意求出女小«„,=—g,进而右1+3a=0,韦达定理带入求出&=1.

K小问1详析》

由题设得,+5=1,e=£="Z，

a~b-a2

解得/=66=3.

所以C的方程为三+21=1.

63

K小问2详析』

22

设直线/的方程为y=履+机，代入[∙+∖=l得(1+2攵2)f+4kmx+2m2-6=0.

Δ=16Λ2m2-4(1+2k2)(2m2-6)=402公-2m2+6)>0,

设A(X],χ),以孙必)，则。(一斗，一乂)，于是西+工2=--4?：;中2=2"；?.

1十乙K1I乙K

χ2

kk_y_])i+]_3(16)1_1,又k∙k,=g,所以MA=-%∣.

KPAKPD-ɔ一二~~~7-2―：—一彳2

x∣—2x∣+2玉-4Xj—42

y1-1V9-1ʌ

即原八+即B=O.T+T=0-即(％—1)(々-2)+(%—1)(玉一2)=0,

X∣一Z%2一2

(Ax1+m-l)(x2.2)+(kx2+m-l)(x1-2)=0,

+(加一机

2⅛X1X21-2k)(xl÷x2)-4(-1)=0,

4km2m2—6

将玉+X=一--------7,XlM

2l+2⅛2,-l+2⅛2

代入整理得2&2—3Λ÷1÷mk-m=0，即-1)(2⅛—1÷m)=0,

当24一1+加=0,加=1一2左，直线)="+加过点P(2,l),舍去，

所以Z=L

Kr点石成金普方法『点石成金』：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：

(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；

(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系.

21.已知函数/(%)=XSinX+cosx,x∈[-π,π].

(1)求/(x)的单调区间与最值；

(2)若存在Λo∈[0,π∣,使得不等式“∕)≥α(片+1)成立，求实数。的取值范围.

TrTrTrTr

K答案II(I)单调递增区间为(—兀,—2),(0苫)，单调递减区间为(-2，O),(-,π),

2222

"x)maχ=∕∕(x)min=T

(2)(-∞,1]

K解析X

K祥解D(1)对/(χ)求导后研究了'(X)的正负，确定/(χ)的单调性与最值；

(2)设F(X)=XSinX+cosX-α(χ2+l),x∈[O,π],由题意知F(x)≥O有解,分类讨论F(x)的单调性并求

E(X)最大值即可.

K小问1详析F

/'(X)=sinx+xcosx-sin元=XCOSX,

7Γ7Γ

所以在（一兀,一一），（0,-）±,∕,（X）＞O,/（X）单调递增,

22

在（一四，。），（四，兀）上，r（χ）＜o,/（X）单调递减,

22

所以/（χ）单调递增区间为（一兀一色），（0,-）.单调递减区间为（一三,O），（ɪπ）.

2222

一]]=1，/（_兀）=/（兀）=_1'"°）=i'

.∙.∕(x)Jj(X).=-1.

K小问2详析H

设F(x)=XSinX+cosx-Q(X2+l),x∈［O,πJ,

Fr(x)=xcosX-2cιx=X(CoSx-2a),

当2a≤T,即。<一，时，尸'(x)2θ,尸(X)在［0,π］上单调递增，

2

,11

F(x)=F(π)=-1-iz(π^+1)>O,a≤一一-——，所以α≤—一成立；

π2+l2

当az≥l,即α≥;时，F'(%)≤0,F(X)在［0,兀］上单调递减，Enax(x)=F(O)=l-α≥O,即α≤l,

所以'≤α<l;

2

当一;<αvg时，3x0∈(0,π),cosx0=Ia,

f

当X∈(O,x0),cosX>2a,F(x)>O,F(x)单调递增,

当尤∈(x0,æ),cosx<2a,尸(X)V0,JF(X)单调递减，

所以EnaX(X)=尸(/)=⅞SinX0+CoSx0-a(x^+1)

12

cos

¾sinx0+cos⅞-2⅞(⅞+D

令O(X)=XSinX+,COSX--^-COSX,x∈(0,乃)，

Ir21

(X)=_SinJr4----sinx>O,所以°(x)>O(O)=一,∕7(x))≥0成立.

222t

综上，〃的取值范围为(F,l]∙

Kr点石成金曾关键点『点石成金』：函数求导后的计算方向：

(1)求导后不要急于求/'(X)=O的根，因为有时候会无根，无根的原因是广。)出现恒正或恒负，所以要

先考虑了'O)会不会出现恒正或恒负的情况，这时候要看了'(X)的最大值小于等于零或最小值大于等于零.

(2)当/'(X)有正有负时/'(X)=O才会有根可求，求根时可以直接解方程，或者猜根，或者使用零点存在

定理证明有根.

(二)选考题：共10分.请考生在第22,23题中任选一题作答，在答题卷上将所选题号涂黑，

如果多做，则按所做的第一题计分.

1

X=-------,

CoSaTi

22.在直角坐标系XQy中，曲线C的参数方程为｛r(α为参数，a≠kπ+-∖以坐标原点

√3sina2

y~，

Icosa

(乃、

。为极点，尢轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为夕CoSe+可=1.

∖ʒ√

(1)求曲线C的普通方程和直线/的直角坐标方程；

(2)已知点P(2,0),若直线/与曲线。交于4B两点,求占-占的值.

∖PA∖∖PB∖

2

K答案R(I)C：χ2-^-=l,直线/：x-√3y-2=0

3

⑵-

3

K解析』

X=夕COSe

K祥解》(1)用消参数法化参数方程为普通方程，由公式〈.八化极坐标方程为直角坐标方程；

y=psɪnθ

(2)化直线方程为P点的标准参数方程，代入抛物线方程利用参数几何意义结合韦达定理求解.

R小问1详析H

1

X=

曲线C的参数方程为〈悭Sa(α为参数，a≠kπ+-),

√3sina2

y---------，

COSa

2•222

所以尤2=_^_ysina

所以公一2L=L即曲线C的普通方程为/―匕=].

-9，

cosa3COS-a33

π、

直线/的极坐标方程为夕CoSe+g=1