高中数学- 4 欧拉 （以欧拉为背景的高中数学考题题组训练）解析版

【高中数学数学文化鉴赏与学习】

专题4欧拉

（以欧拉为背景的高中数学考题题组训练）

一、单选题

1.1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写下公式

J=cosO+isinO,这个公式在复变函数中有非常重要的地位，即著名的“欧拉公式”,

被誉为“数学中的天桥”，据欧拉公式，则下列选项不正确的是（）

B.|e7|=1

ni_ni

7ie4+e4

D.cos—=

4

【答案】C

【解析】

【分析】

根据萨=cosO+isinO可判断ABD,根据复数的乘法运算可判断C.

【详解】

因为e®=cosO+isinO所以e?=cos—+isin—=i,故A正确

K=cos壬+isin臼=^+^i,

4422

故C错误

,故D正确

故选：C

2.数学家欧拉通过研究，建立了三角函数和指数函数之间的联系，得到著名的欧拉公

式eh=cosx+isinx（i为虚数单位），此公式被誉为“数学中的天桥''.根据欧拉公式，力表

示的复数在复平面中位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【解析】

【分析】

由题可知e"对应在复平面的点为(COS3,sin3),由1<3<乃可判断cos3和sin3的正

负，进而得到答案.

【详解】

由题,e31=cos3+isin3.其对应点为(cos3,sin3).

JI

因为一<3<乃知I,cos3<0,sin3>0,

2

所以点(cos3,sin3)在第二象限,

故选：B

3.欧拉恒等式*+1=03为虚数单位，e为自然对数的底数)被称为数学中最奇妙

的公式.它是复分析中欧拉公式e'n=cosx+isinx的特例：当自变量i=兀时，

i

e'=cos7t+isin7t=-l,得e加+1=0.根据欧拉公式，复数产在复平面上所对应的点在

第()象限.

A.—B.-C.三D.四

【答案】C

【解析】

【分析】

根据欧拉公式得到复数的代数形式，进而判断出复平面上所对应的点所在象限.

【详解】

根据题意z=e年=cos2+isin^^=-立-克i,故其在复平面内对应的点的坐标为

4422

一与'一号在第三象限，

故选：C.

4.欧拉公式*=cosx+isinx(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将

指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系，它在复变函数论

里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，方表示的复数位于复平面内

().

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【解析】

【分析】

根据欧拉公式ea=cosx+isinx,得到《伊，再利用复数的除法化简，然后利用复数的

几何意义求解.

【详解】

解：因为e亭=cos—+isin—=i,

4422

ii/72y[2.}V26.

/=^^13+丁尸一三十丁，

221

所以复数在复平面中对应的点位于第二象限，

<>

故选：B.

5.欧拉公式*=cosx+isinx（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指

数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系，它在复变函数论里

占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，詈表示的复数位于复平面内

（）.

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【解析】

【分析】

根据定义可得濯=cosW+ising=i，代入结合复数运算求解处理.

【详解】

..事兀..兀.1+i1+i,.

.e-=cos—+isin—=i,「-=—^=1T

22Mi

此复数在复平面中对应的点位于第四象限，

故选：D.

6.数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外

心、重心、垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一

半，该直线被称为三角形的欧拉线，设点0,G,〃分别为任意的外心、重心、垂

心，则下列各式一定正确的是（）

A.OG=-OHB.OH=-GH

23

「…A0+2A”「M2B0+BH

C.ACJ-L**D\j-

33

【答案】D

【解析】

【分析】

根据三点共线和长度关系可知AB正误；利用向量的线性运算可表示出AG,BG,知

CD正误.

【详解】

-.•O,G,H依次位于同一条宜线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，

.113

:.OG=-GH,:.OG=-OH,OH^-GH,A错误，B错误；

232

AG=AO+OG=AO+-OH=AO+-(AH-A0]=2A0+AH,C错误；

33、,3

BG=BO+OG=BO+-OH=BO+-(BH-BO\=^1^^-,D正确.

33、,3

故选：D.

7.欧拉是18世纪最伟大的数学家之一，在很多领域都有杰出的贡献.由《物理世

界》发起的一项调查表明，人们把欧拉恒等式“建+1=0”与麦克斯韦方程组并称为“史

上最伟大的公式”.其中，欧拉恒等式是欧拉公式：/=cose+isin。的一种特殊情

况.由欧拉公式，复数z满足(e^zH+iJzn-a,则z的虚部是()

A.iB.1C.-iD.-1

【答案】D

【解析】

【分析】

根据题意，化简可得复数z的表达式，根据复数的概念，即可得答案.

【详解】

由题意得e""?"=(cos;r+isin"=(一1户"=1,

所以(e2022m+i).z=(l+i>z=_2i,

-2i-2i（l-i）

所以z=「=；=T—i,则z的虚部是-1.

故选：D

8.费马数是以法国数学家费马命名的一组自然数，具有形式为2?"+1（记做4）,其中

〃为非负数.费马对〃=0,1,2,3,4的情形做了检验，发现这组费马公式得到的

数都是素数，便提出猜想：费马数是质数.直到1732年，数学家欧拉发现片=2^+1

为合数，宣布费马猜想不成立.数列｛4｝满足4=1暇优一1），则数列｛4｝的前〃项

和5,满足S”>2020的最小自然数是（）

A.9B.10C.IlD.12

【答案】B

【解析】

【分析】

根据题意得到4=2",利用等比数列的前〃项和公式求得S“=2"”-2,进而求得

S”>2022的最小自然数，得到答案.

【详解】

由题意，可得数列｛/｝满足q=log]/；—1）=1/222"=2",

利用等比数列的前〃项和公式，可得数列｛4｝的前n项和S“=2'（1-2，，）=211+|-2,

1—2

当〃=9时，可得$9=2'°-2=1022；

当”=10时，可得ST"-2=2046,

+1

又由5„+1-5„=2"-2»=2">0,所以其单调递增,

所以S“>2022的最小自然数为10.

故选：B.

9.有一个非常有趣的数列]叫做调和数列，此数列的前〃项和已经被研究了几百

年，但是迄今为止仍然没有得到它的求和公式，只是得到它的近似公式：当〃很大

时，1+L+L+……+-«ln/7+r，其中，称为欧拉-马歇罗尼常数，

7«0.577215664901……，至今为止都还不确定7是有理数还是无理数.由于上式在〃

很大时才成立，故当〃较小时计算出的结果与实际值之间是存在一定误差的，已知

In2«0.693,ln3»1.099.用上式估算出的ln6与实际的ln6的误差绝对值近似为

()

A.0.073B.0.081C.0.122D.0.657

【答案】B

【解析】

【分析】

根据所给数据求出ln6的估计值，再根据对数的运算法则求出ln6,即可得解；

【详解】

解：依题意l+g+；+；+E+（=ln6+y

所以ln6*l+g+；+；+（+\_7=2.45一片1.8728,

又In6=ln2+ln3ao.693+1.099=1.792

所以估算出的In6与实际的In6的误差绝对值近似为1.8728-1.792=0.0808«0.081：

故选:B

10.欧拉公式e&=cosx+isinx（i为虚数单位，xeR）是由瑞士著名数学家欧拉发现

的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数之间的关系，

它被誉为“数学中的天桥“，根据此公式可知，即在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【解析】

【分析】

根据复数的几何意义，以及弧度制即可求解.

【详解】

解：e"=cos3+isin3,乂3radx3x57.3=171.9，为第二象限角，故

cos3c0,sin3>0,故e3在复平面内对应的点（cos3,sin3）位于第二象限.

故选：B.

11.欧拉是18世纪最伟大的数学家之一，在很多领域中都有杰出的贡献.由《物理世

界》发起的一项调查表明，人们把欧拉恒等式“e，"+1=0”与麦克斯韦方程组并称为“史

上最伟大的公式其中，欧拉恒等式是欧拉公式：8〃=cose+isine的一种特殊情

况.根据欧拉公式，若复数z满足（eMZM+ipznZi,则z的虚部是（）

A.1B.-1C.近D.-72

【答案】A

【解析】

【分析】

根据题意，化简可得复数Z的表达式，根据复数的概念，即可得答案.

【详解】

由题意得e2022M=（/严2=（_]产=1,

所以d>22M+i）,z=（l+i）.z=2i,

所以z=3=H;;[=l+i,则z的虚部是1.

故选：A

12.数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直线

上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧

拉线.已知A5C的顶点A（2,0）,8（0,1）,且AC=8C,则ABC的欧拉线的方程为

()

A.2%+4y-3=0B.x-2y-3=0

C.2x-y-3=0D.4x-2y-3=0

【答案】D

【解析】

【分析】

因为AC=BC,结合题意可知14BC的欧拉线即为线段AB的垂直平分线，利用点斜式

求方程.

【详解】

VAC=BC,结合题意可知，的欧拉线即为线段A3的垂直平分线

AB的中点为斜率砥8=-g.则A3垂直平分线的斜率A=2

则.ABC的欧拉线的方程为y-g=2（犬-1）,即4x-2y-3=0

故选：D.

13.欧拉公式被称为世界上最完美的公式，欧拉公式又称为欧拉定理，是用在复分析

领域的公式，欧拉公式将三角函数与复数指数函数相关联，即e'?=cose+isin，

（6wR）.根据欧拉公式，下列说法不正确的是（）

A.对任意的夕eR,卜皿卜1B.9在复平面内对应的点在第二象限

C.苧的实部为它D./与e"互为共轨复数

e2

【答案】C

【解析】

【分析】

利用复数的概念、几何意义、复数的模的概念及共规复数的含义即得.

【详解】

对于A选项，卜,=|cose+isin6|=Jcos=d+sin?。=1,A正确：

对于B选项，e2i=cos2+isin2,而cos2<0,sin2>0,故e*在复平面内对应的点

(cos2,sin2)在第二象限，B正确;

对于C选项，e苧=cos旦+isin^=-亚+也4,实部为一变，C错误；

44222

对于D选项，e'"=cos6-isin，，Xe'w=cos(-(9)+isin(-6>)=cos-isin0,故e汨与

e-泪互为共舸复数，D正确.

故选：C.

14.大数学家欧拉发现的公式d"=cose+isin。把自然对数的底数e,虚数单位i和三

角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美，这个公式被誉为“数学中的天桥若

复数Z的模是1,纯虚数马=。暧+1-2i是实数)，则|z-4的最大值是

()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】

由题目分析可求出。=1，则4=-i,Z|在复平面内对应点的坐标是(0,-1),因为复数z

的模是1,所以复数z在复平面内对应的点在单位圆上，即可求出卜-旬的最大值.

【详解】

因为复数Z的模是1,所以复数Z在复平面内对应的点在单位圆上，又

'£.、

z,=a/+-'+l-2i=a(-l+i)+l-2i=(-a+l)+(a-2)i是纯虚数，所以”=1,

\/

4=-i,4在复平面内对应点的坐标是(0,-1),所以|z-4的最大值是2.

故选：B.

15.形如居=22"+l(〃eN*)的数被称为费马数，费马完成了纭,％尸?,吊，吊的验证

后，于1640年提出猜想：费马数都是质数，但由于心及之后的费马数都实在太大了，

费马也未能完成验证及证明.直到1732年才被数学家欧拉算出丹=641x6700417不是质

数，从而宣告了费马数的猜想不成立.现设q=1。区(耳若任意

2222”

neN\使不等式一+——++——<4恒成立，则实数4的取值范围是

44〃2a34%

()

A.(l,+oo)B.[l,+oo)C.(|,+oo)D.+8)

【答案】B

【解析】

【分析】

2〃1111

由题知a,,=2"-l(〃wN"),——==-------,进而根据裂项求和得

a„a„+l2-12-1a„a„+1

2?22"I

—+——++——=，进而根据不等式恒成,》即可得答案.

%a”区,.2-1

【详解】

解：因为a,,=log?(乙一l)T(〃wN*),6=2”+l(〃wN"),

所以a“=log22"-l=2"-l("€N"),

.一2"2"_1__1_1____1_

所以江=(2"-"2向-1)=三一2"—=£一工？

2222"(11W1l}flI}

所以----1-----F4------=------+--------+•+---------

4Al+114%)(%Iqa“+J

111

因为〃eN*，zj—>0,所以1-夕」<1

2222〃

所以，对任意〃wN"使不等式---+----++-----恒成立，则421.

所以，实数2的取值范围是

故选：B

16.若正整数小、〃只有1为公约数，则称加、”互质.对于正整数〃，剃〃）是小于或

等于w的正整数中与w互质的数的个数.函数e（〃）以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉

函数，例如：夕⑶=2,以7）=6,9（9）=6,则下列说法正确的是（）

A.^（12）=7

B.数列｛“3"）｝是等差数列

9

C.log7<z>（7）=9+log76

D.数列■的前”项和为5,，则S,,<4

【答案】D

【解析】

【分析】

利用题中定义可判断A选项；利用特殊值法可判断B选项；求出夕（7）的值，结合对

数的运算性质可判断C选项；计算出利用错位相减法可求得S“，可判断D选

项.

【详解】

对于A选项，在不超过12的正整数中，与12互质的正整数有：1、5、7、11,故

姒12）=4,A错；

对于B选项，因为奴3）=2,9（9）=6,以27）=18,显然以3）、夕（9）、/（27）不成

等差数列，B错；

对于C选项，7为质数，在不超过79的所有正整数中，能被7整除的正整数的个数为

781

所有与79互质的正整数的个数为79—7,所以，9（79）=79-78=78（7-1）=6x78,

98

因此，log7^（7）=log7（6x7）=8+log76,C错；

对于D选项，因为2为质数，在不超过2"的正整数中，所有偶数的个数为2'i，

所以，9（2"）=2"-2"T=2"T,所以，京阡=券，

…123n

则S“=矛+球+中++而，

1u12〃-1n

所以，is-=F+F++¥T+F,

1_J_

2

上述两个不等式作差可得;s“=1+；+妥+++-白=-彳---^=-^r>

乙乙乙N/乙

1------

2

所以，邑=4一〃+斤2<4,口对―

故选：D.

17.在数学和许多分支中都能见到很多以瑞士数学家欧拉命名的常数、公式和定理，

如：欧拉函数。(〃)(neN,)的函数值等于所有不超过正整数〃且与〃互素的正整数

的个数，(互素是指两个整数的公约数只有1),例如：研1)=1;9⑶=2(与3互素

有1、2)；火9)=6(与9互素有1、2、4、5、7、8).记5.为数列｛〃词3")｝的前〃项和，则

I二()

A.^x3'«+lB,23”,+1C.1^x3"4D.空x3“+」

22224444

【答案】A

【解析】

【分析】

根据欧拉函数定义得出夕(3"),然后由错位相减法求得和5„,从而可得兀.

【详解】

因为与3"互素的数为1,2,4,5,7,8,10,11,L,3"-1,共有2x3”、所以

3(3")=2x3”一，则〃・夕(3")=2nx,

于是S“=2x3°+4x3\6x32+.+2"3吁’①，

23

3Sn=2x3'+4x3+6X3++2〃x3"②，

1_

由①-②得一2s“=2x30+2x3+2x3?++2x3,,_,-2nx3'=2----2〃x3”,

“1-3

则S"=竽3+:于是小号X3”.

故选：A.

18.欧拉是十八世纪伟大的数学家，他巧妙地把自然对数的底数e,虚数单位i,三角

函数cos。和sin。联系在一起，得到公式y=cos6+isin。，这个公式被誉为“数学的天

桥”.根据该公式，可得小+e号的最大值为()

A.1B.6C.2D.2币1

【答案】C

【解析】

【分析】

利用题目所给公式写出表达式，然后利用复数的模长公式以及辅助角公式及正弦函数

的性质即可得到最值.

【详解】

.X

e'+e3=cos0+<sin0+cos—+/sin—

33

=^cos^+cosy^+卜in0+sin=^2+cos0+y/3sin0=j2+2sin^+^<2

.••最大值为2,

故选：C.

19.对正整数a,函数夕①)表示小于或等于a的正整数中与〃互质的数的数目，此函

数以其首位研究者欧拉命名，故称为欧拉函数.例如：因为1,357均和8互质，所以

奴8)=4.基于上述事实，<pf—I―+2lg5+lg8-lgl4^=()

log,10

A.8B.12C.16D.24

【答案】C

【解析】

【分析】

先由对数的运算计算(」一+21g5+lg8-lgl41

,再由欧拉函数的定义求解即可.

(log?10J

【详解】

(1Y

---+21g5+lg8-lgl4

(1%1。)

5

=(lg7+2lg5+31g2-lg2-lg7)

=(21g5+21g2)5=25=32

•••小于或等于32的正整数中与32互质的实数为1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,

25,27,29,31,共有16个，

：.(P—^―+2lg5+lg8-lgl4=火32)=16.

(1呜10)J

故选：C

20.1614年纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明对数；1637年笛卡尔开

始使用指数运算：1770年，欧拉发现了指数与对数的互逆关系，指出：对数源于指

数，对数的发明先于指数，称为数学史上的珍闻，对数函数与指数函数互为反函数，

即对数函数"x)=log“x(“>0且力1)的反函数为尸(x)=a*(〃>0且力1).已

知函数g(x)=e',F(x)=^+kg~'(x),则对于任意的弓>0,有

""A"")〉2022恒成立，则实数左的取值范围为()

电一玉

1f\112、

A.(YO,2]B.[2,+CO)C.(1011,+co)D.——,+«?

L2J

【答案】D

【解析】

【分析】

依据题意构造函数〃(力=犬+0旧-2022》为增函数，并利用导数得到关于实数人的不

等式，进而求得实数&的取值范围

【详解】

由题意,g(x)=e，的反函数gT(x)=lnx.

对于任意的弓>占>0,有’色)二,G)>2022,

七一%

即尸（9）-F（王）>2022（天一百），可转化为F（x,）-2022x2>F（x,）-2022x,,

则函数y=F（x）-2022x=犬+Wnx-2022x在（0,+s）上单调递增.

设//（x）=f+A：］nr-2022x,则〃（x）=2x+g-2022W0在（0,+s）上恒成立

即k>-2x2+2022x在（0,+8）上tH成立

.,"2JioiiYioii2^.IOH2ion2

乂-2x“+2022x=-2x-----4--------W-----,则k之-----，

I2J222

故选：D.

21.伟大的数学家欧拉28岁时解决了困扰数学界近一世纪的“巴赛尔级数”难题.当

时，T"=^^][1一意"）1一^'又根据泰勒展开式可以

得至ljsinx=x-±-+土+•+,根据以上两式可求得

3!5!

1111z

产+"++T=（）

2222

A.二B.土C.二D.二

6384

【答案】A

【解析】

【分析】

由sinx+…同时除以Xi再利用展开式中V的系数可求

出.

【详解】

VX5

由sinx=x------F----F两边同时除以X，

3!5!

展开式中V的系数为-，■（*+*+?++/"+

,1f111111

所以一同记+w+/+J3;

1111JI'

协CC|以1|--I—7—7+•H-7+,=---•

I2223216

故选：A.

二、填空题

22.欧立公式ei"=cose+isin6（i为虚数单位，e为自然底数）是瑞士著名数学家欧拉

发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，在复变函数论中占有非常重要的地位，

被誉为“数学中的天桥”，若将其中。取作兀就得到了欧拉恒等式/+1=0,它将两个超

越数——自然底数e,圆周率兀，两个单位一虚数单位i,自然数单位1,以及被称为

人类伟大发现之一0联系起来，数学家评价它是“上帝创造的公式”.由欧拉公式可知，

若复数z=®-'i,则z3=.

22

【答案】-i

【解析】

【分析】

本题可以根据复数乘法运算，也可以使用复数三角表示处理.

【详解】

1.11技

—1=------------1

2/22

..上1.11.11

角符去—.：・z-------i=cos—兀+sin—n

2266

.311..II

..z'=cos—兀+isin—兀=-i

22

故答案为：-i.

23.欧拉恒等式:建+1=0被数学家们惊叹为“上帝创造的等式”.该等式将数学中几个重

要的数咱然对数的底数e,圆周率乃，虚数单位i、自然数1和0完美地结合在一起，

它是由欧拉公式:/=cos8+isinO（geR）,令。=乃得到的.根据欧拉公式，e"在复平

面内对应的点在第象限.

【答案】二

【解析】

【分析】

利用欧拉公式，结合三角函数在各个象限的符号，即可得到答案.

【详解】

根据欧拉公式，e2i=cos2+isin2.

因为cos2c0,sin2>0,

所以e"在复平面内对应的点在第二象限.

故答案为：二

24.欧拉公式：ew=cosx+isinx（i是虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，

它将指数函数的定义域扩大到复数，建立起三角函数和指数函数之间的联系，被誉为

“数学中的天桥”.根据欧拉公式，求尸-1|的最大值为

【答案】2

【解析】

【分析】

根据欧拉公式和复数模的计算公式，求得|*-1卜j2-2cosx,进而求得其最大值.

【详解】

由欧拉公式e"=cosx+isinx，可得一"=|cosx+isinx-l|=|(cosx-1)+isinx|

=J(cosx-1尸+sin2x=j2-2cosx,

当cosx=-l时，上“-1|取得最大值，最大值为2.

故答案为：2.

25.据记载，欧拉公式*=cose+isine(eeR)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它

将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，该公式被

誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式复数S的虚部为__________.

/-C

【答案】B

2

【解析】

【分析】

由题意可得e至=cos工+isinC,代入三角函数值即可得出结果.

33

【详解】

因为e冶=cos6+isine(6£R),

匚匚i、।Rn..冗1^3.

加以e-$=cos—+1sin—=—+——1，

3322

故z-e守虚部为3.

z—c2

故答案为：且

2

26.数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于1640年提出了

行=(2)'+l(〃eN*)是质数的猜想，直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算

出.月=641x6700417,也就是说月不是质数，这个猜想不成立.设

%=公?4(居一1)(〃€“)，5”是数列｛q｝前〃项和，若2机4s“对〃wM恒成立，则，"

的最大值是.

【答案】g##。5

【解析】

【分析】

根据条件化简得%=2"T,再求前〃项和，根据不等式恒成立可求解.

【详解】

由题意可知，a“=log4(2)"=2"xg=2"T,2m<^~=2n-\,显然当〃=1时，，〃取

到最大值为g.

故答案为：g

27.数学家欧拉于1765年在其著作《三角形中的几何学》首次指出：△ABC的外心

0,重心G,垂心H,依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离

的一半，该直线被称为欧拉线.若AABC中，43=4,AC=2,则下列各式中正确的

序号是.

®2GO+GH=0®AGBC=4®AOBC=-6④

OH=OA+OB+OC

【答案】①③④

【解析】

【分析】

根据欧拉线定理可判断①；利用向量的加、减运算可判断②；利用向量的数量积可判

断③；利用向量的加法运算以及欧拉线定理可判断④.

【详解】

解：对于①，由题意得GO=-1G〃，即2GO+G”=0,故①正确；

对于②，由G是ABC的重心，设M为中点，可得

AG=-AM=-(-AB+-AC)=-AB+-AC,

332233

^VXAGBC=^AB+AC')(AC-AB)=g(AC。一AB?)=Y,故②错误；

对于③，过ABC的外心。分别作48,AC的垂线，垂足为£>,E,如图,

D

易知。，E分别是A8，AC的中点,

则A0-8C=A0-（AC-A8）=AO-AC-QAB

=|AO||AC|cosNOAE-1AO||AB|cosZOAD

=\AE\\AC\-\AD\\AB\=^\AC^^\AB\l=-6,故③正确：

对于④，因为G为3ABe的重心，

所以G4+GB+GC=0，

^OA+OB+OC=(OG+GA)+(OG+GB)+(OG+GC)=3OG+GA+GH+GC=3OG,

所以由欧拉线定理可得OH=3OG，

所以O〃=OA+OB+OC，故④正确，

故答案为：①③④.

28.瑞士数学家欧拉(Euler)1765年在所著的《