南京市2022届高三年级学情调研数学试卷

南京市2022届高三年级学情调研

数学

注意事项：

1.本试卷共6页，包括单项选择题（第1题〜第8题）.多项选择题（第9题〜第12题）、填空题（第

13题〜第16题）、解答题（第17题〜第22题）四部分.本试卷满分为150分，考试时间为120分钟.

2.答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考生号填涂在答题卡上指定的位置.

3.回答选择题时•，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

一、选择题.本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.已知集合4={%|%2一9<o},B={X|2%-4>0},则A3=

A.（-oo,-3]B.L-3,+oo）C.[-3,2）D.（2,3]

【答案】D

2.已知9是纯虚数，其中i为虚数单位，则实数

2-i

A.—2B.—C.—D.2

22

【答案】C

3.“机=1”是“直线4x+3y+机=0与圆％2+V-2%=0相切”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

4.已知a,b为单位向量，且（4a—A）_L（a+3b）,则a,方夹角的余弦值为

【答案】B

5.将4名志愿者全部安排到某社区参加3项工作，每人参加1项，每项工作至少有1人参加,

则不同的安排方式共有

A.24种B.36种C.60种D.72种

【答案】B

2,,2

6.在平面直角坐标系xOy中，双曲线C看一2=l（a>0力>0）的左、右焦点分别为斗鸟,

1

过招且垂直于1轴的直线与。交于P,Q两点，耳。与y轴的交点为A,F}Q±PR,则C的

离心率为

A.V2B.6C.2D.75

【答案】B

7.取一条长度为1的线段，将它三等分，去掉中间一段，留剩下的两段；再将剩下的两段分

别三等分，各去掉中间一段，留剩下的更短的四段；……；将这样的操作一直继续下去，直至

无穷，由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多，长度越来越小，在极限的情

况下，得到一个离散的点集，称为康托尔三分集.若在第九次操作中去掉的线段长度之和不小

于,，则八的最大值为（参考数据：怆2。0.301（）,怛3。0.4771）

60

A.6B.7C.8D.9

【答案】C

12

【解析】第1次操作去掉的线段长度上，第2次操作去掉的线段长度三，

39

4

第3次操作去掉的线段长度上，

27

1（2丫t

第九次操作去掉的线段长度一•一

313）

邛邪」」邪」

（3人3）6020

二lg1|)之舄，(〃一DQg2-lg3)>-(lg2+lglO)

5-1)(0.3010-0.4771)>-(0.3010+1),:.n-\<——°3010+1—

0.3030-0.4771

二〃一147.39,"W8.39,/4lnixaA=8，选C.

8.已知a,Z?,ce(0,1),且"-21na+1=e,b~-21nZ?+2=e2,c2-21nc+3=e3,其

中e是自然对数的底数，则

A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a

【答案】A

22r2_2

【解析】令/(%)=%2—21n%,_f(x)=2x——=------<0,

XX

2

.•"(%)在(0,1)“而/(a)=e—1，f(h)=e2-2,/(c)=e3-3,

e-l<e2-2<e3-3,f(a)<f(h)<,

:.a>b>c,选A.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.房地产市场与城市经济发展密切相关,更与百姓的生活密切相关.按照房地产市场经济理论,

房屋销售量与房价有密切关系.下图是某城市过去一年中七个楼盘的新房成交均价与成交面积

折线图，则下列结论中正确的是

A.这七个楼盘中，每个楼盘的成交均价都在［88,8,120.0］内

B.这七个楼盘中，楼盘2的成交总额最大

C.这七个楼盘，成交面积的平均值低于200

D.这七个楼盘，成交面积与成交均价呈负相关

【答案】BD

10.已知根，〃是两条不同的直线，。，夕/是三个不同的平面.下列说法中正确的是

A.若tna,inu0,a/3-n,则根n

B.若〃2n,ma,则〃/a

C.若a-0=n,a,则〃_L7

D.若〃zJ_a,根_L.夕,2则y

【答案】ACD

11.设正实数满足2%+y=l,则

3

B.工+工的最小值是9

A.孙的最大值是一

4%y

C.4d+y2的最小值为_LD.JM+J］的最小值为2

2

【答案】BC

【解析】1=2x+y22,2孙,l>8xy,:.xy<~,B|J(A)；)max=-,A错;

88

21(22y2%|、一八

—+—=-+—(2-x+y)=4+—+——+125+4=9,

%y1%yj%y

(2iA

即一+士=9,B对；

1%"in

4d+y2=Q%+y)2_4盯21_4x：=：,即(4%2+y2%n=4，C对；

822

(^2x+y[y)2=2x+y+2yl2xy<\+2^=2,

:.y/2x+y[y<42,D错，选BC.

jx0WxW1

12.已知/(%)是周期为4的奇函数，且当0<xW2时，f(x)=]'一—'设

[2-x,i<x<2.

g(x)=/(%)+/(x+D，则

A.函数y=g(%)为周期函数

B.函数y=g(%)的最大值为2

C.函数y=g(%)在区间(7,8)上单调递增

D.函数y=g(x)的图象既有对称轴又有对称中心

【答案】ACD

【解析】g(x+4)=f(x+4)+f(x+5)=/(x)+f(x+1)=g(x),

二g(%)是周期函数，A对；

10<^<1

3-2xl<x<2

g(%)=<・••g(X)max=1，B错;

—12<x<3

2x-73<x<4

g(x)在(3,4)，8(幻周期为4,二仪工)在(7,8)\C对;

4

g(%)+g(3-x)=f(x)+f(x+1)+f(3-x)+/(4-x)

=/(%)+f(x+l)+/(-l-x)+-(%)+f(x+l)-/(x+l)-/(x)=0,

・,.g(x)关于3,o］对称，，g(x)有对称中心.

12J

g(l-x)=f(l-x)+f(2-x)=-f(x-l)-f(x-2),/(%)周期为4,

/./(x+2)=-f(x),/./(x-2)=-f(x),/(x-l)=-/(x+l),

g(l-％)=于(x+1)+f(x)+g(x).

二g(%)关于X=g对称，,g(x)有对称轴，D对；

；.选ACD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.将函数丁=(：05%的图象向右平移0(0>0)个单位长度，所得图象与y=sin%的图象重合,

则夕的一个可能的值为.(写出一个正确答案即可)

71

【答案】-(答案不唯一)

2

(1V,

14.已知1+—%5eN*)的展开式中％2的系数是7,则〃=_________；若，与

I2J

£+i(rcN)的系数相等，则「=.

【答案】8；2

15.如图1所示，抛物面天线是指由抛物面(抛物线绕其对称轴旋转形成的曲面)反射器和位

于其焦点上的照射器(馈源，通常采用喇叭天线)组成的单反射面型天线，广泛应用于微波和

卫星通讯等，具有结构简单、方向性强、工作频带宽等特点.图2是图1的轴截面，A,3两点

关于抛物线的对称轴对称，尸是抛物线的焦点，NAF8是馈源的方向角，记为。.焦点厂到

顶点的距离/与口径d的比值上称为抛物面天线的焦径比，它直接影响天线的效率与信噪比

d

等.如果某抛物面天线的焦径比等于0.5,那么馈源方向角e的正切值为.

5

图1Sz

【答案】一2*4

7

29

16.在三棱锥P-ABC中，AABC和APBC都是边长为2g的正三角形，24=30.若M

为三棱锥产一ABC外接球上的动点，则点M到平面A3c距离的最大值为

【答案】V5+1

【解析】方法一:

取24中点N,连BN,CN,则5N=CN=X?

设△PA3,△尸AC外接圆圆心分别为Q，

cosAPBA=12+^-1^-=-,sinZPBA=^-

2-2V3-2V344

6

外接圆半径为八，则2外=出=拽02730

1巫5

4

..叵_亚=叵，同理照二场.

12510210

设0。|=OO2=m,cosNQ]N2=：，则cosNOQO2=，

△ABC外接圆圆心为Q,，△ABC外接圆半径弓,

2弓=半=4,”=2,OQ=1，

T

M到平面ABC距离最小值=75+1.

方法二：

取8C中点Q,.•.AD=PO=3,

又•.Q4=30,.•.NP0A=9O。，

,P3C_L平面ABC,作图如下，

取△ABC的外心M,过用作MN_L平面A3C,

AM=2,MD=\,则三棱锥P—A3c外接球球心O一定在MN上，设=

由OA=OPnf+4=（3-%）2+inx=i,

/.M到平面ABC距离的最大值为V5+1.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）已知正项等比数列｛4｝的前〃项和为S“，$3=74,且q,4+2，生成等差

数列.

（1）求｛%｝的通项公式；

为奇数，Z）

<2）若打:“沙田剁求数列也｝的前2〃项和耳.

为偶数，

【解析】

7

(1)由题意知q+%q+%q~=7qq~+Q—6=0,

(q-2)(夕+3)=0=>q=2,q,%+2,%成等差数列，

1,,+1

.1.4+q=2(4+2)=>a1+4q=2(2q+2)=q=4,/.an=4-2"=2.

(2)《"=4+用++b2n7+b2+b4++b2n

=223+24++22,,+2+4++2n

4(1—4")(2+2办〃i、,i、

1-423

.4J3

18.(12分)请在①AB-AC=2；②sin8=’一；③a+b=5这三个条件中任选一个，补

7

充在下面问题中，并作答.

在△A8C中，角A,8,C所对的边分别为Q,0,C.已知sin(A—C)+sin6=sinA,c=2,

,若该三角形存在，求该三角形的面积；若该三角形不存在，请说明理由.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【解析】

sin(A—C)+sin3=sinAnsin(A-C)+sin(A+C)=sinAn2sinAcosC=sinA

cosC=—

2

兀

­.CG(0,zr),,\C=-

3

C_2_473

sinCV33

T

选①，ABAC=2,:.hccosA=2,即bcosA=l

▽bc473,473.

又----=-----=----,:.b=------sinBD

sinBsinC33

4\/3.an-/4n\八6

sinBcosA=1,BPsin(A+—)cosA=-^-

7C

.-.2sin(2A+-)=0

7171

:.2A+-=7T,即A='

33

8

rr

.•.A=3=C=—,即A43C为正三角形

3

即SAAHC=gx2x2x*=6

选②，sin8=------

7

b473,16

/.—产=-----,:.b-——

4G37

/.cosB=±-

7

当cosB=」时，sinA=sin(B+C)=X—+—X

7727214

c11605G40G

AABC271449

%n1H47311V3373

当cosB=——时，sinA=sin(B+C)=-----x-------x——=------

7727214

c_116_373_24V3

SA=­x—x2x-----=--------.

MABRC271449

选③，sin(A-C)+sin8=sinA=>sin(A-C)+sin(A+C)=sinA,

..1JI

2sinAcosC=sinAcosC=—,C=—.

23

.c=2,.'.a2+h~-2ab-=4(a+Z>)2—3ab=4nM=7,

“力可看作一元二次方程%2-5x+7=0的两实根，显然方无实根，故不存在.

19.(12分)科研小组为提高某种水果的果径，设计了一套实验方案，并在两片果园中进行对

比实验.其中实验园采用实验方案，对照园未采用.试验周期结束后，分别在两片果园中各随机

选取100个果实,按果径分成5组进行统计：[21,26),[26,31),[31,36),[36,41),[41,46]

(单位：mm).统计后分别制成如下的频率分布直方图，并规定果径达到36mm及以上的为

“大果”.

9

（1）请根据题中信息完成下面的列联表，并判断是否有99.9%的把握认为“大果”与“采用

实验方案”有关;

采用实验方案未采用实验方案合计

大果

非大果

合计100100200

（2）根据长期种植经验，可以认为对照园中的果径X服从正态分布NO，。?），其中〃近似

为样本平均数。。5.5.请估计对照园中果径落在区间（39,50）内的概率.（同一组中的数

据以这组数据所在区间中点的值作代表）

2

附：①/n(ad-be)

(q+b)(c+d)(a+c)(b+d)

产（％2之％。）0.1000.0500.0100.0050.001

xo2.7063.8416.6357.87910.828

②若X服从正态分布,则尸（〃一。<X<〃+b）=0.683，

P(/z-2cr<X<//+2G=0.954,P(pi-3。<X<〃+3cr)=0.997.

【解析】

(1)

采用实验方案未采用实验方案合计

大果403090

非大果4070110

合计100100200

200x(4200-1200)-^18182>10828>

90x110x100x100

有99.9%的把握认为“大果”与“采用实验方案”有关.

10

(2)〃=%=23.5x0.1+28.5x0.2+33.5x0.4+38.5x0.2+43.5x0.1=33.5,

P(39<X<50)=尸(〃+cr<X<〃+3b)

尸(4一3。<X<〃+3cr)-尸(〃一cr<X<4+cr)0.997-0.683„.__

---------------------------------------------------------------=------------------=0.13/.

22

20.(12分)

22

21.(12分)在平面直角坐标系中，椭圆C：J+:=l(a>/?>0)的左、右顶点分别为

ab

A,3.b是椭圆。的右焦点，且AF=3必，AFFB=3.

(1)求椭圆C的方程;

(2)不过点A的直线/交椭圆C于两点，记直线/,AM,AN的斜率分别为£匕,右.若

k(k]+k2)=1,证明直线/过定点，并求出定点的坐标.

【解析】

a+c=3(Q-c).

a=2f/

(1)由题意知4(a+c)(a—c)=3n<L椭圆C的方程为一+2-=L

b=643

a2-b1+c2

(2)设直线/的方程为X=祖>+/(m。0),Af(X|,y),N(%2，%)，A(-2,0),

X=my+t,,、,、,、

、r+厂)+4y~=12=>(3//r+4)»+6/肛y+3厂-12=0

2

3%+4/=12

1、

y,%=ln-------=m

m%+2%+2,my{+t+2my2+t+2