2022-2023学年湖北省恩施州来凤县高三年级（上）数学期末模拟测试2

来凤县2022-2023学年高三年级(上)期末模拟测试

数学

一、单项选择题(本题共8个小题，每小题5分，共40分。下列各题，每小题只有一个

选项符合题意。)

1.已知集合知={#)>l},N={Mf—2x<o},则u=()

A.(0,1)B.(1,2)C.(0,+oo)D.(2,+oo)

2.若复数=g,贝ij|+/|=()

A.25B.7C.5D.\1~5

3.六名志愿者到北京、延庆、张家口三个赛区参加活动，若每个赛区两名志愿者，则安排方式共

有()

A.15种B.90种C.540种D.720种

4."sine"是"sine=^cosa”的()

23

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.现要安排甲、乙、丙、丁四名志愿者去国家高山滑雪馆、国家速滑馆、首钢滑雪大跳台三个场

馆参加活动，要求每个场馆都有人去，且这四人都在这三个场馆，则甲和乙都没被安排去首钢滑

雪大跳台的种数为()

A.12B.14C.16D.18

6.已知点A(-1,2),B（l,0）,C（l,-2）,£)(4,2),则向量AB与CO夹角的余弦值为()

A,也BO「70D.还

U.------

10101010

7.已知椭圆E:三+马=1(。>匕〉0)的左顶点和上顶点分别为A5,若的垂直平分线过E的

a-b

下顶点C,则E的离心率为()

A.巫B.3C."D.1

3333

8.已知数列｛4｝满足：LT=）/+1）则下列说法正确的是（）

««+i«）.

A.若4>1,则数列｛4｝是单调递减数列

B.若0</<1,则数列｛4｝是单调递增数列

1c,

C.4=2时，cz„+1+——>2+4〃

«„+1

11c,

D.a,=—时，+<2+4/7

2«„+1

二.多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多个选

项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然

的象征.如图是一个半径为火的水车，一个水斗从点A。,-G）出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋

转，且旋转一周用时6秒.经过，秒后，水斗旋转到P点，设点P的坐标为（x,y）,其纵坐标满足

y=/(/)=Hsin(d+0)(fNO,3>OM<m),则下列结论正确的是()

71

A.（P--

3

B.当/e[0,3]时，函数y=/（f）单调递增

C.当re|,y时，点尸的纵坐标越来越小

D.当，=5时，|酬=2

10.某工厂研究某种产品的产量x（单位：吨）与需求某种材料y（单位：吨）之间的相关关系,

在生产过程中收集了4组数据如表所示

X3467

y34

根据表中的数据可得回归直线方程y=0.7x+a，则以下正确的是（）

A.变量x与y正相关B.y与x的相关系数厂<0

c.a=0.35D.产量为8吨时预测所需材料约为吨

11.设。>。>0,则下列不等式中一定成立的是（）

A.e“>e〃B.>lo§?

22

bb+\11

C.—<----D.----<—

aa+\a+bah

12.已知正方体ABC。—A4G2的棱长为2,p,。分别为棱AA，2G的中点，必为线段切

上的动点，则（）

A.PQ//BC

B.PQ^B.M

C.三棱锥尸一。加瓦的体积为定值

D."为做的中点时，则二面角M-PQ-耳的平面角为60°

三.填空题（共4题，总计16分）

13.已知函数〃x）=（e*+aer）ln（x+Gn）是偶函数，则4=.

14.一个盒子内装有形状大小完全相同的5个小球，其中3个红球2个白球.如果不放回依次抽取

3个球，则在第一次抽到红球的条件下，第二次抽到红球的概率为.______.

22

15.已知双曲线C：土-匕=1的左右焦点分别是£,⑸，点。是。的右支上的一点（不是顶点），

169

过K作/£阳的角平分线的垂线，垂足是材，。是原点，则|,刈=—.

16.已知P为正方体ABCO-AgCQ表面上的一个动点，AB=2，M是棱AB延长线上的一点,

且=若PM=20，则动点P运动轨迹的长为._______.

四.解答题（共6题，总计74分）

17.已知等比数列｛叫的公比为s前。项和为S,,,凡〉0,34+2%=%，凡=13%+4.

⑴求｛叫；

（2）记数列｛a,,｝中不超过正整数7的项的个数为勾，求数列｛粼｝的前100项和10n.

18.已知△46。的内角46,C的对边分别为a",c,2«cosA-4^(ccosB+bcosC),b-A/3C,a=1,

求△4笈的面积.

19.为了调查某苹果园中苹果的生长情况，在苹果园中随机采摘了100个苹果.经整理分析后发现,

苹果的重量x（单位：kg）近似服从正态分布N（0.4,4），如图所示，已知P（x<0.1）=0.1,

P(x<0.3)=0.3.

（1）若从苹果园中随机采摘1个苹果，求该苹果的重量在（0.5,0.7］内的概率;

（2）从这100个苹果中随机挑出8个，这8个苹果的重量情况如下.

重量范围（单位：kg）[0.1,0.3)[0.3,0.5)[0.5,0.7]

个数242

为进一步了解苹果的甜度，从这8个苹果中随机选出3个，记随机选出的3个苹果中重量在

［0.3,0.7］内的个数为X,求随机变量X的分布列和数学期望.

20.如图，一张边长为4的正方形纸片力成力，E,尸分别是力。，a1的中点，将正方形纸片沿跖对

折后竖立在水平的桌面上.

（1）求证：EFLAD；

（2）若二面角A-£F-£>的平面角为45°,4是线段CF（含端点）上一点，问是否存在点人,使

得直线与平面CW所成角的正切值为g?若存在，求出掰的长度；若不存在，说明理由.

221

21.已知椭圆Er：T+/=l（a>b>。）的离心率为5,短轴长为2G.

（1）求椭圆E的标准方程；

r2

（2）已知点A、5是双曲线二I的两个实轴顶点,点P是双曲线上异于AB的任意一

a

点，直线P4交E于M,直线PB交E于N,证明：直线的倾斜角为定值.

22.过点P（aS）可以作出曲线y=lnx的两条切线，切点分别为48两点.

(1)证明：0<a<eJ

（2）线段16的中点"的横坐标为与，比较与与a的大小关系.

来凤县2022-2023学年高三年级（上）数学期末模拟测试

参考答案及解析

单项选择题

1.【答案】：C

【解析】:由e*T>l得,T>e°,

函数y=e"R上单调递增，则％-1>0,即知="|%>1},

又由/一2%<0得0<x<2,即"={x[0<x<2},

所以MDN={X|X>0}.

故选：C.

2.【答案1C

【解析工因为2=瞿=殁心=2+4，，所以z+l=3+4i,故|z+止疹斤=5.

故选：C.

3.【答案】:B

【解析】：解：先从六名志愿者中选择两名志愿者到北京参加活动，有C；=15种方法，再从剩下

4名志愿者中选择2名志愿者到延庆参加活动，有盘=6种方法，最后从剩下的2名志愿者中选择

2名志愿者到延庆参加活动，有C；=1种方法.由乘法分步原理得共有15x6x1=90种方法.

故选：B

4.【答案】：D

ITT、冗

【解析】：由sina,可得a=—+2A肛火£Z或a=—+2%肛%cZ,

266

当a=—+2k7r,kEZ时，此时sina上心~cosa,即充分性不成立；

63

反之当sina=—'cosa时，tana=,其中。可为?，此时sina=-《，即必要性不成立，

3362

所以“sina=1”是"sina=^^cosa”的既不充分也不必要条件.

23

故选：D.

5.【答案】:B

【解析工因甲和乙都没去首钢滑雪大跳台，计算安排种数有两类办法：

若有两个人去首钢滑雪大跳台，则肯定是丙、丁，即甲、乙分别去国家高山滑雪馆与国家速滑馆,

有A；=2种;

若有一个人去首钢滑雪大跳台，从丙、丁中选，有C；=2种，然后剩下的一个人和甲、乙

被安排去国家高山滑雪馆与国家速滑馆，有C；A；=6种，则共有2x6=12种，

综上可得，甲和乙都没被安排去首钢滑雪大跳台的种数为12+2=14.

故选：B

6.【答案1B

【解析】:设A8与CO夹角为。，因为AB=（2,—2）,8=（3,4）,所以3$6=与"=—也

2V2x510

故选：B

7.【答案】：A

【解析】：由题可知A（—。,0）,8（0,。）,。（0,—与，因为的垂直平分线过E的下顶点C,所以

卜4=忸。|,则=解得：a=6b，所以E的离心率6=

故选：A

8.【答案】:C

【解析•】：由—1）.=（■+[€N*）得见J_2«向+]=a"+M+1,

aa

4+1nn+la,

即（。"+1+—）一（4,+'）=4,

所以数列｛q+,｝是以4为公差的等差数列，

a“

函数fW=X+-,

X

A项，«„>1,a„+1>1,f（x）在（1,y）上是单调递增函数，即数列｛4｝是单调递增数列，

B项，0<区,<1,/（x）在（0,1）上是单调递减函数，即数列｛%｝是单调递减数列,

1515“八“3

C项，［=2时，可知4+丁耳，%+/5+4(〃-1)=4〃-5,

135

an+}H----=4(〃+1)——=4〃+—>2+4〃，

4+i22

1151…

D项，4=7•时，4+—=7，由C知，%+1+>2+4”，

242%

故选：c.

多选题

9.【答案】：CD

【解析工因为A（l,—6）,所以%=-?,|。4|=2,

因为旋转一周用时6秒，所以角速度0=?2TT=g7T,

63

所以％=%+四="JT一J(T，

/JT7T

所以根据三角函数的定义可得y=/Q）=2sin%=

所以夕=-?，所以A错误，

对于B,当/w[0,3]时，则函数在此区间上不单调，所以B错误，

511TTTCTT34511

对于C,当fe时，所以函数在上单调递减，所以点P的纵坐

_乙乙_/DD乙_乙乙_

标越来越小，所以C正确，

对于D,当，=5时，6>p=yx5-y=y,所以尸（一1,一百），因为人（1,一6）,所以1PAi=2,所

以D正确，

故选：CD

10.【答案】:ACD

3+4+6+7「2.5+3+4+5.9

【解析】：X=5，y=------；------=3.85,

4

3.85=0.7x5+a,a=3.85—0.7x5=0.35,

所以y=0.7x+0.35.

所以变量X与y正相关，y与X的相关系数r>0,a=0.35,产量为8吨时预测所需材料约为

0.7x8+0.35=5.95吨.

所以ACD选项正确，B选项错误.

故选：ACD

11.【答案】：AC

【解析】：依题意。>。>0,

由于y=e，在R上递增，所以e">eJA选项正确.

由于>在(0,+“)上递减，所以logyUogl”,B选项错误.

b+\ba(6+l)-6(a+l)a-bbb+\八、小皿丁「五

—7—=7—八—=-7—n>0，所以一<—，C选项正确.

4+1a研。+1)仆+1)aa+1

对于D选项，4=3,2=2,----=—,—=—,---->—,D选项错误.

a+b5ab6a+bab

故选：AC

12.【答案1BC

【解析】：由正方体的性质可知BC〃4G，PQ与BC不平行，故A错误;

由正方体的性质可知PQ，4A，PQJ.qB,又BRcB]B=Bi，

PQ±平面BRDB,又B]Mu平面BRDB,

PQ±B{M,故B正确;

由题可知必到平面4G的距离为定值02,三角形PQBX的面积sPQB、为定值，所以

==

^P-QMBt^M-PQB,3^PQB、d为定值，故C正确；

如图建立空间直角坐标系，则尸(l,0,2),Q(0,l,2),M(l,l,0),

.•.PQ=(T,l,0),QM=(l,0,-2),

设平面闻叶的法向量为m=(x,y,z),则

m-PQ=-x+y=0

令z=1则机=（2,2,1）,

m-QM=x-2z=0

平面的法向量可取n=(0,0,1),

设二面角M—P。-4的平面角为a,则

cosa=故D错误.

故选：BC.

填空题

13.【答案】:-1

【解析】：/(-x)=(e-1+ae*)In卜x++])=心力+ae*)In(Jf+]_1)

由〃x)为偶函数,则/(x)=/(r)

即(e“+恁-，)111(1+&+l)=(e-^+aex)ln(&+i-%)

2

即(e"+加-")】n(x+[x+1)=-⑹，+ae")In+1+X

所以e'+ae-*=-97+加")，则e*+e-*+e)故a=-l

故答案为：-1

14.【答案】：y.

【解析】：记事件A:第一次抽到红球，记事件8:第二次抽到红球，

aC?Qp(A3)351

贝厅(A)=，P(AB)=-^=-,因此，所求概率为P(B|A)=磊亲=而、4=子

。1^51Ur1vJz,

故答案为：

15.【答案苔4

【解析】：延长交PF；于Q,由于PM是N片“2的角平分线，6MlpM,

所以三角形QP《是等腰三角形，所以|尸。|=归司，且反是。鸟的中点.

根据双曲线的定义可知|P耳|一|「勾=2。，即\QF{\=2a,

由于。是£月的中点，所以M0是三角形06%的中位线,

所以|MO|=；|Q用=a=4.

故答案为：4

16.【答案】：(夜+1)万.

【解析工因为AB=2，M是棱AB延长线上的一点，且AB=8M，所以8M=2，

由勾股定理，可知MC=4M=20,

因为加=20，所以点P的轨迹是以“为球心，2&为半径的球与正方体表面的交线，如下如

所示：

所以动点P运动轨迹在平面A8CD上的交的弧线是以M为圆心，MC=2行为半径的圆弧，其中

该圆弧所对圆心角为f；在平面AAB片上的交的弧线是以M为圆心，加4=2血为半径的圆弧，

41

TT

其中该圆弧所对圆心角为:；在平面34G。上的交的弧线是以8为圆心，BC=2为半径的圆弧，

4

7T

其中该圆弧所对圆心角为二；

2

所以动点尸运动轨迹的长为2x?x2收+]x2=(夜+1)万.

故答案为：(8+1)乃.

17【答案】：

(1)4=3"T

(2)384

【解析工

【小问1详解】

由3a2+24=%得3a2+2。24=”2。2，则d-2夕一3=0,

因。”>0,则“>0,q=3,

又8=13%+4,q(l3'')=g+4,],

1-31

所以4=3"，

【小问2详解】

(2)由题设及(1)得仇=1,且当3"T<加<3"时，bm=n,即

瓦=2=1,2="=…=々=2,bg—b、o=…=b26=3,

%=%==%)=4,%i=%=-b100=5,

所以工oo=1x2+2x6+3x18+4x54+5x20=384.

18【答案】：

【解析】：

解：因为2优054=6(«:058+反05。)，由正弦定理得：2sinAcosA=6(sinCcos3+sinBcosC),

即2sinAcosA=Gsin(B+C)

即2sirt4cosA=J§sinA，又因为4为内角，sinA>0»所以cosA="

2

因为A«0,»),所以A=f.

6

根据余弦定理/=〃+。2-2)ccosA及Z?=6c，a=l,A=^,得1=3<?+c?一zgc?.且，

62

即。2=1，即C=l,b=也.

所以△力a'的面积S^ABC=；bcsinA=^x>/3xlx^=

19【答案】:

(1)0.2；

9

(2)分布列答案见解析，数学期望为J.

4

【解析】：

【小问1详解】

解：已知苹果的重量x(单位：kg)近似服从正态分布N(0.4,er?),

由正态分布的对称性可知，

P(0.5<x<0.7)=P(0.1<x<0.3)=P(x<0.3)-P(x<0.1)=03-0.1=0.2,

所以从苹果园中随机采摘1个苹果，该苹果的重量在(0.5,0.7］内的概率为0.2.

【小问2详解】

解：由题意可知，随机变量X的所有可能取值为1、2、3,

2

皆r'C3C2cl15c[A

P(X=1)=P(X=2)=-^P(X=3)=

28J28C；14

所以，随机变量X的分布列为:

X123

3155

P

诋314

9

3cl5c5

所以E(X)=1x----F2x----F3x—4-

282814

20【答案】：

(1)证明见解析

(2)存在；次的长度为2

【解析】：

小问1详解】

因为EF上AE，EFLDE，AEDE=E,

所以所，平面ADE.

因为ADu平面力比；所以

【小问2详解】

方法一：

因为£F_LAE,EF±DE,所以NAED是二面角4一所-〃的平面角，即NAED=45°.

因为所，平面ADE,所以平面CDEF_1_平面/龙.

过力作AGLOE,垂足为G,因为平面CDEF।平面4)£=。£,

所以AGJ_平面磁汽

连结的，则NAKG为/4与平面CW所成的角，即tan4KG=!.

3

在Rt.-AGE中，因为A£=2,NA£D=45°,所以AG=及.

AG1

在RtZ^AGK中，因为tan/AKG=—；=-,所以KG=30.

KG3

设KF=《0WT2),过K作KH_LDE于凡则G"=|夜—4

在R3KG”中，由KH'GH?=KG?，得4?+(及一，

解之得f=0或.=20(舍)，所以仔'=0，即CK=2.

方法二：因为ERLAE，所，小，所以NAED是二面角/一厮一〃的平面角，即NA£D=45。.

建立如图所示的空间直角坐标系，设K/=《0«fW2),则

(6,立、.(6夜1

A(2,0,0),K—,AK=—t-2,—t,4

I22JI22)

设直线4人与平面而印所成角为夕，则tan6=!，从而sin。=2.

设平面CW法向量为“=(x,y,z),直线44的方向向量与平面CW法向量所成的角为万，则

因为EE=(0,0,4),£D=(V2,V2,0),

[u-EF=4z=0,、

所以「厂，令,=-1,则“=(1,一1,0)

[“•后。=缶+丹=0

此时，点《为点尸，成的长度为2.

21【答案1

(2)证明见解析.

【解析1

【小问1详解】

c1

a2a=2

22

解：由题意得＜2。=26,解得，b=B所以，椭圆£的标准方程为工+匕=

,43

cr=b2+c2C=1

【小问2详解】

22

解：由(1)知，双曲线方程为±-±=1.

43

设尸(七,％),则3片—4y；=12,则巾=芯片一4),

因为A(—2,0)、8(2,0),所以即

x0+2x0-2x0-44

设直线PA的方程为〉=左(％+2),

y=k(x+2)

联立消去了得(3+4公)》2+16公%+16《2-12=0,

<3X2+4/=12,

16k2-126-8k2

由韦达定理可