高考数学一轮复习-22-函数的单调性与最值课件-新人教A必修1-

最新考纲

1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；2.会运用函数图象理解和研究函数的单调性．第2讲函数的单调性与最值1．函数的单调性 (1)单调函数的定义知识梳理增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1＜x2时，都有_____________，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1＜x2时，都有___________，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数f(x1)＜f(x2)f(x1)＞f(x2)图象描述自左向右看图象是_______自左向右看图象是_______上升的下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是_______或_______，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，_______叫做函数y＝f(x)的单调区间．增函数减函数区间D2．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意x∈I，都有_________；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.(3)对于任意x∈I，都有________；(4)存在x0∈I，使得________.结论M为最大值M为最小值f(x)≤Mf(x)≥Mf(x0)＝M诊断自测√×××2．(2014·北京卷)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是 (

)答案A3．函数y＝x2－6x＋10在区间(2，4)上是 (

) A．递减函数

B．递增函数

C．先递减再递增

D．先递增再递减

解析作出函数y＝x2－6x＋10的图象(图略)，

根据图象可知函数在(2，4)上是先递减再递增．

答案

C4．(2013·安徽卷)“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax－1)x|在区间(0，＋∞)内单调递增”的 (

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件 C．充要条件

D．既不充分也不必要条件答案C考点一确定函数的单调性或单调区间所以x2－x1＞0，x1－1＜0，x2－1＜0，故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，函数f(x)在(－1，1)上递减；当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，函数f(x)在(－1，1)上递增．规律方法判断函数单调性的常用方法：(1)定义法和导数法，注意证明函数单调性只能用定义法和导数法；(2)图象法，由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集：二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．深度思考解决函数的单调性问题一般有两种解法：定义法和导数法，你不妨都试一试．考点二利用函数的单调性求参数范围【例2】(1)如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是 (

)答案

(1)D

(2)C规律方法已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间[a，b]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．解析

(1)作出函数f(x)的图象如图所示，由图象可知f(x)在(a，a＋1)上单调递增，需满足a≥4或a＋1≤2，即a≤1或a≥4，故选D.又函数f(x)在(－∞，－1)上是减函数，所以f(x1)－f(x2)>0.由于x1<x2<－1，∴x1－x2<0，x1＋1<0，x2＋1<0，∴a＋1<0，即a<－1.故a的取值范围是(－∞，－1)．答案

(1)D

(2)(－∞，－1) (1)证明设x1＞x2，

则f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2＋x2)－f(x2)

＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2)＝f(x1－x2)．

又∵当x＞0时，f(x)＜0，

而x1－x2＞0，∴f(x1－x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，

∴f(x)在R上为减函数．(2)解

∵f(x)在R上是减函数，∴f(x)在[－3，3]上也是减函数，∴f(x)在[－3，3]上的最大值和最小值分别为f(－3)与f(3)．而f(3)＝3f(1)＝－2，又函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，∴令x＝y＝0，得f(0)＝0，再令y＝－x，得f(－x)＝－f(x)，∴f(－3)＝－f(3)＝2.∴f(x)在[－3，3]上的最大值为2，最小值为－2.规律方法利用函数的单调性求函数的最大(小)值，即如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减，则函数y＝f(x)在区间[a，c]上的最大值是f(b)；如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增，则函数y＝f(x)在区间[a，c]上的最小值是f(b)．答案

C[思想方法]1．利用定义判断或证明函数的单调性

注意定义的如下两种等价形式：设任意x1，x2∈[a，b]，那么2．求函数的单调区间

首先应注意函数的定义域，函数的单调区间都是其定义域的子集；其次掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间．常用方法：根据定义、利用图象和单调函数的性质、利用导函数．3．复合函数的单调性

对于复合函数y＝f[g(x)]，若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或者(g(b)，g(a))上是单调函数，若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相同(同时为增或减)，则y＝f[g(x)]为增函数；若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相反，则y＝f[g(x)]为减函数．

简称：同增异减．[易错防范]1．函数的单调性是通过任意两点的变化趋势来刻画整体的变化趋势，“任意