2024年北师大版八年级下册数学第一章综合检测试卷及答案

第一章学情评估

一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合要求的）

1.在下列给出的四组数中，能构成直角三角形三边的是（）

A.2,2,4B.3,4,5C.6,7,8D.2小，3,6

2.若一个等腰三角形的顶角为60。，则它的一个底角的度数为（）

A.40°B.50°C.60°D.70°

3.如图，BE=CF,AE±BC,DF±BC,要根据“HL”证明RtAABE^RtADCF,则还需要添

加的一个条件是（）

A.AE=DFB.ZA=ZDC.ZB=ZCD.AB=DC

cD

4.莆田绶溪公园内的状元阁以北宋藏书楼太清楼为原型，参考结合了莆田现存的宋制建筑，

采用钢硅结构和仿宋形式进行建设.如图，状元阁的顶端可看作等腰三角形ABC,其中

AB=AC,。是边上的一点.下列条件不能说明AD是△ABC的角平分线的是（）

A.ZADB=ZADCB.BD=CD

C.BC=2A.DD.S/\ABD=SAACD

5.如图，在AA5c中，NABC和NAC5的平分线相交于点O,若NBOC=125。，则NA的度

数为（）

6.如图所示，DE±AB,DF1AC,则对于N1和N2的大小关系，下列说法正确的是（）

A.一定相等B.当3D=CD时相等

C.一定不相等D.当时相等

7.如图，在△ABC中，ZC=90°,ZA=30°,A3的垂直平分线交AC于点。，交A3于点E,

AC=6,则CD的长为（）

A.1B.2C.3D.4

8.已知用尺规作图的方法在3c上确定一点P,使出+PC=3C,则符合要

求的作图痕迹是（）

9.如图，在螳螂的示意图中，AB//DE,AABC是等腰三角形，ZABC=126°,ZCDE=72°,

则NACD的度数是（）

10.如图，在△ABC中，BD,3E分别是AC边上的高和NA3C的平分线，点R在CA的延长

线上，FHLBE交BD于G,交BC于H,下列结论：①/DBE=/F；②2/BEF=/BAF

+ZC；③/歹二义/胡。一NC；@ZBGH=ZABE+ZC,其中正确的是（）

A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④

二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）

11.命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题是,它是

（填“真”或“假”）命题.

12.如图，长为8cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和3,然后把橡皮筋的中点C向上

拉升3cm到D,则橡皮筋被拉长了________cm.

（第13题）

13.图①是两名同学玩跷跷板的场景，图②是跷跷板示意图，支柱0C与地面垂直，点。是

A3的中点，A3绕着点。上下转动.若A端落地时，NQ4c=25。，则跷跷板上下可转动

的最大角度（即N4O4）是.

14.如图，正方形的网格中，网格线的交点称为格点，已知A,3是两个格点，若点C也是格

点，且使△ABC是等腰三角形，则满足条件的点C的个数为.

A

（第16题）

15.“三等分角”大约是在公元前5世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的三等分角仪能

三等分任意一个角，这个三等分角仪由两根有槽的棒组成，两根棒在。点相连

并可绕点。转动，其中C点固定，OC=CD=DE,点、D,E可在槽中滑动，若/BDE=

75°,则NDCE的度数是.

16.如图，等边三角形A3C的边长为12,AD是3c边上的中线，”是AD上的动点，E是

AC边上的一点.若AE=4,则的最小值为.

三'解答题（本题共6小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（8分）如图，若△ABC是等边三角形，AB=6,3。是NA3C的平分线，延长3c到点E,

使CE=CD,求BE的长度.

A

BCE

18.(8分)如图，锐角三角形ABC的两条高BE,CD相交于点0,5.0B=0C.

⑴求证：△ABC是等腰三角形；

⑵判断点。是否在NA4c的平分线上，并说明理由.

19.(8分)如图，A3LCD于点3,CF交AB于点E,CE=AD,BE=BD.

⑴求证：LCBE/AABD；

(2)求证：CFLAD；

(3)当NC=30。，CE=8时，直接写出线段AE,CR的长度.

20.（8分）《淮南子・天文训》中记载了一种能够确定东西方向的方法，大意是：日出时，在地

面上点A处立一根杆，在地面上沿着杆的影子的方向取一点5,使3,A两点间的距离为

10步（步是古代的一种长度单位），在点3处立一根杆，日落时，在地面上沿着点3处杆

的影子的方向取一点C,使C,B两点间的距离为10步，在点C处立一根杆，取CA的

中点。，那么直线表示的方向为东西方向.

⑴上述方法中，杆在地面上的影子所在直线及点A,B,C的位置如图所示.使用直尺和圆规,

在图中作CA的中点。（保留作图痕迹）；

（2）在上图中，确定了直线。3表示的方向为东西方向.根据南北方向与东西方向互相垂直，可

以判断直线C4表示的方向为南北方向，完成如下证明.

证明：在△ABC中，'：BA=,。是CA的中点，

：.DB±CA（）（填推理的依据）.

•.•直线表示的方向为东西方向，

直线C4表示的方向为南北方向.

21.（10分）如图，在△ABC中，ZB=90°,AB=16cm,BC=12cm,AC=20cm,P,Q>AABC

边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A-3方向运动，且速度为1cm/s,点。从点5

开始沿3-C-A方向运动，且速度为2cm/s,P,。两点同时出发，设运动时间为fs.

Q）BP=（用含t的代数式表示）.

（2）当点。在边上运动时，经过几秒后，△PQ3是等腰三角形？

（3）当点Q在边CA上运动时，经过_______s后，ABCQ是以3c或BQ为底边的等腰三角形？

备用图

22.（10分）在△A5C中，ZA=90°,AB=AC=4,点。为的中点.

(1)如图①，若E,R分别为边A3,AC上的点，1.DE1DF,试探究3E和AR之间的数量关

系，并说明四边形AEDR的面积是否为定值，若是，请求出；若不是，请说明理由；

(2)如果E,歹分别为A3,C4延长线上的点，5.DELDF,那么3E和AR之间的数量关系是

什么？请利用图②说明理由.

答案

一、l.B2.C3.D4.C5.A6.D7.B8.D

9.B思路点睛：延长ED交AC于R先根据等腰三角形的性质得出NA=NAC3=27。，再根

据平行线的性质得出NCRD=NA=27。，最后由三角形外角的性质即可求得NACD的度

数.

10.B

二、11.两个锐角互余的三角形是直角三角形；真

12.213.50°14.815.50°

16.4币点拨：如图，在A3上截取AE=AE=4,连接C£,交AD于点易知此时

+CM的值最小，最小值为线段CE的长度.过点C作CfUAB,垂足为E

：△ABC是等边三角形，

.".AF=^AB=6,

：.CF=ylAC2-AF2=6木,E'F=AF-AE'=2,

：.CE'=^CF2+E'F-=4币.

三、17.解：•.'△ABC是等边三角形，：.AB=BC=AC=6.

•.,3。是NABC的平分线，

CD=AD=1AC=1X6=3.

"：CE=CD,：.CE=3,：.BE=BC+CE=6+3=9.

18.(1)证明："：OB=OC,：.ZOBC=ZOCB.

'：BE,CD是△ABC的两条高，AZBDC=ZCEB=90°.

又,：BC=CB,:.ABDC2ACEB,

：.ZDBC=ZECB,：.AB=AC,即△ABC是等腰三角形.

(2)解：点。在NA4c的平分线上.

理由：由(1)知△3DC注△CEB,：.DC=EB.

"：OB=OC,：.OD=OE.

X'：OD±AB,OELAC,

.•.点。在NA4c的平分线上.

19.(1)证明："JABLCD,：.ZCBE=ZABD=90°.

CE=AD,

在RtACBE和RtAABD中，1

[BE=BD,

：.RtACBE^RtAABD(HL).

(2)证明：VRtACBE^RtAABD,：.ZC=ZA.

又,:ZAEF=ZCEB,

，易得NAFE=NCBE=90。,：.CF±AD.

(3)解：AE=44一4,CF=6+2小.

20.解：⑴如图，点。即为所求作.

(2)BC；等腰三角形的底边上的中线及底边上的高线互相重合

21.解：(1)(16—7)cm

(2)当点Q在边3c上运动，且是等腰三角形时，有BP=BQ,

即16—t=2t,解得片号，

••・当点。在边3c上运动时，经过与s后，△PQB是等腰三角形.

(3)11或12点拨：①当△BCQ是以为底边的等腰三角形时，CQ=BQ,如图①所示,

则NC=NC3Q.

ZABC=90°,

：.ZCBQ-\-ZABQ=9Q°,ZA+ZC=90°,

/.ZA=ZABQ,：.BQ=AQ,

/.CQ=AQ=10cm,J.BC+CQ=22cm,

・•・1=22:2=11；

②当△3CQ是以3Q为底边的等腰三角形时，QC=3C=12cm,如图②所示，则3C+CQ

=24cm,.,"=24+2=12.

22.解：(1)BE=AF,四边形AEDR的面积为定值.

理由：如图①，连接