北京市重点中学2023-2024学年高三年级上册期末模拟考试数学试题

北京市重点中学2023-2024学年度第一学期期末模拟测试

高三年级数学学科（考试时长：120分钟）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的

一项。

1.设全集U={-2,-集合4={-1,2},

8=[*以2—4*+3=0|,贝!IUB）=（）

A.{1,3}B.{0,3}C.{-2,0}D.[-2,1}

2.复数z=言，在复平面内z的共枕复数2对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.已知向量4=（2,1）/=（苍2）,若6+39〃伍J）,则实数'=（）

A.5B.4C.3D.2

4.已知a=log34,Z?=log072,c=,则a,b,c的大小关系是（）

A.a>b>cB.a>c>bC.c>b>aD.c>a>b

5.在锐角△ABC中，”tanA>l”是“A不是最小内角”的（）

A.充要条件B,充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

6.风筝又称为“纸莺”，由中国古代劳动人民发明于距今2000多年的东周春秋时期，相传墨

翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源.如图，是某高一年上级学生制作的

一个风筝模型的多面体为的中点，四边形瓦DC为矩形，且

DF±AB,AC==2,ZACB=120,

当短_L鹿时，多面体ABCEF的体积为()

A.巫B.立C.BD.76

333

22

7.已知双曲线C：5-与=1（〃>0/>0）的离心率为石，双曲线。的一条渐近线与圆

ab

(x—2)2+(y—3)2=1交于4B两点,贝！|1明=()

1

A.—B.C.D.撞

5555

8.设函数/(x)=sin］s-j(o>0),若/(%2)|=2时，区-马|的最小值为3•则下列选

项正确的是()

A.函数〃尤)的周期为(

B.将函数〃尤)的图像向左平移:个单位，得到的函数为奇函数

C.当xe［,。的值域为［卓1］

D.方程〃力=。在区间卜兀,兀］上的根的个数共有6个

9.北宋著名文学家苏轼的诗词“日啖荔枝三百颗，不辞长作岭南人”，描述的是我国岭南地区

著名的水果荔枝.为了利用数学模型预测估计某果园的荔枝产量，现根据在果实成熟期，荔枝的

日产量呈现''先递增后递减”的规律和该果园的历史观测数据，对该果园的荔枝日产量给出模

型假设：前10天的每日产量可以看作是前一日产量的2倍还多1个单位；第11到15天，日产

量与前日持平；从第16天起，日产量刚好是前一天的一半，直到第25天，若第1天的日产量

为1个单位，请问该果园在不计损耗的情况下，估计这25天一共可以收获荔枝单位个数为(精

确到整数位，参考数据：*=1024)()

A.8173B.9195C.7150D.7151

10.拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一，定理内容如下：如果函数f(x)在闭区间［a,⑸上

的图象连续不间断，在开区间(a，b)内的导数为f'a),那么在区间(a,b)内至少存在一点c,使得

〃a)=f(c)(。-a)成立，其中c叫做〃x)在句上的“拉格朗日中值点”.根据这个定

理，可得函数f(x)=(X-1)5*在口2］上的“拉格朗日中值点”的个数为()

A.0B.1C.2D.3

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

11.已知点4(1,通)在抛物线&y2=2p”上，则4到。的准线的距离为.

2

/Q\n

12.若x--的展开式的奇数项的二项式系数和为16,则展开式中/的系数为________.

IX）

13.若圆d+y2—2勿=0（a>o,b>0）被直线龙+y=1平分，

则人+1的最小值为____.

ab

14.已知定义在｛x£R|x于0｝上的函数具备下列性质，①/'（X）是偶函数，②f（x）在（。,+8）上

单调递增，③对任意非零实数X、y都有/（孙）=/（x）+〃y）,写出符合条件的函数“尤）的一个解

析式（写一个即可）.

15.已知正方体48（力的棱长为4,〃为勿的中点，〃为4腼所在平面上一动点，此

为48G2所在平面上一动点，且恻_L平面侬刀，则下列命题正确的是

①若磔与平面4位力所成的角为%则点儿的轨迹为圆

②若三棱柱NAD-儿4〃的表面积为定值，则点儿的轨迹为

椭圆

③若点儿到直线能与直线比的距离相等，则点儿的轨迹

为抛物线

jr

④若〃W与48所成的角为则点〃的轨迹为双曲线

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

JT

16.在AABC中，ZB=-,AB=15,点。在边5。上，CD=1,

cosZADC=—.

26

(1)求sinNSAD；

(2)求AABC的面积.

3

17.如图在几何体ABCDFE中，底面A3CD为菱形,

ZABC=60°,AE//DF,AE±AD,AB=AE=2DF=2.

(1)判断AD是否平行于平面CEF,并证明;

(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求:

(i)平面ABC。与平面C跖所成角的大小；

(ii)求点A到平面CEF的距离.

条件①：面E4B上面ABCD

条件②：BD1CE

条件③：EF=CF

注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.

4

18.为了解某地区居民每户月均用电情况，采用随机抽样的方式，从该地区随机调查了100户

居民，获得了他们每户月均用电量的数据，发现每户月均用电量都在50〜350kW・h之间，进行

适当分组后(每组为左闭右开区间)，得到如下频率分布直方图：

⑴记频率分布直方图中t频率

从左到右的分组依次为

第1组，第2组，...，第0.0048

0.0036

从第5组，第6组中任取

0.0008

2户居民，求他们月均用

O50100150200250300350月均用电量/(kW,h)

电量都不低于3OOkW-h

的概率；

⑵从该地区居民中随机抽取3户，设月均用电量在50~150kW-h之间的用户数为X,以频率估

计概率，求X的分布列和数学期望E(X)；

(3)该地区为提倡节约用电，拟以每户月均用电量为依据，给该地区月均用电量不少于wkW-h的

居民用户每户发出一份节约用电倡议书，且发放倡议书的数量为该地区居民用户数的2%.请根据

此次调查的数据，估计w应定为多少合适？(只需写出结论).

5

19.已知椭圆C:[+==l(a>A>0)的离心率是也，点A(—2,0)在C上.

ab3

⑴求C的方程；

⑵过点(-2,3)的直线交C于P,Q两点，直线ARAQ与了轴的交点分别为KN,证明：线段肱V的

中点为定点.

6

20.设函数/1(x)=e*—ax—2-

⑴若曲线y=/'(x)在点(O,f(O))处的切线斜率为1,求实数"的值；

(2)求/(x)的单调区间；

⑶若a=l，〃为整数，且当x>0时，(*一+x+l>0恒成立，求〃的最大值.

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21.设数列｛%｝的前"项