2023-2024学年天津市静海区高二年级下册3月阶段性检测数学试题（含答案）

2023-2024学年天津市静海区高二下册3月阶段性检测数学试题

一、单选题

1.下列求导运算正确的是()

A.(SinX)=-COSX

C.(3'j=x3"τ

【正确答案】D

【分析】利用常见函数的导数，对选项进行逐一求导即可.

【详解】选项A.(SinX)'=cosx,故选项A不正确.

选项B.

选项C.(3，)'=In33,故选项C不正确.

选项D.,故选项D正确.

故选：D

2.若Iim/(%+ADr(XO)=则Iim/(/+2∙ʌɪ)-)等于

ASO∆x-Ax

A.2kB.kC.LkD.以上都不是

2

【正确答案】A

【详解】主要考查瞬时变化率、平均变化率以及导数的概念.

解：Iim+2=2Iimf5+2∙Δx)T0⅛)=2k,故选A

ASo∆X2«To2∆X

3.已知/(x)=x∙sin2x,则广仁)为()

A.FB.--cD.兀

2∙τ

【正确答案】A

根据导数运算,求得广(x),代入即可求解.

【详解】因为/(x)=x∙sin2x

所以由导数运算公式可得/'(x)=sin2x+2xcos2x

所以尸圉=sin(2x£］+2x卜s(2x?

=Q+πcosπ=-π

故选:A

本题考查了导数的乘法运算公式,复合函数求导的简单应用,求导数的值,属于基础题.

4.某鞋店销售a,b,c,d四种不同款式的运动鞋，甲、乙、丙三人每人任意选择一款运动

鞋购买，则不同的购买选择有()

A.24种B.48种C.64种D.81种

【正确答案】C

【分析】用分步乘法原理计算.

【详解】每人有4种不同的购买选择，总的购买选择有4x4*4=64种.

故选：C.

5.〃力=丁一3炉+2在区间［―1,1］上的最小值是()

A.1B.-2C.2D.-1

【正确答案】B

【分析】先求出函数/(χ)在区间［-15上的极值，然后比较极值和区间端点的函数值大小,

即可得到本题答案.

【详解】因为/(x)=χ3-3x'+2,^fτWf'M=3X2-6X=3X(X-2),

令/'(x)=0,解得X=0,或x=2,

当X变化时，/'(X)J(X)的变化情况如下表所示,

X[-1,0)0(0J]

/(ɪ)+0-

单调递增2单调递减

因此，当X=O时，/U)有极大值，并且极大值为/(0)=2,

又由于/(—1)=-2J⑴=0,

所以函数/(X)=d—3/+2在区间［T,l］上的最小值是-2.

故选：B

6.已知/(χ)=f+2x∙r⑴，则r(3)等于()

A.-4B.2C.1D.-2

【正确答案】B

【分析】先求导，求出r(l)=-2,得至lJ/«x)=2x-4,从而求出/⑶=6-4=2.

【详解】∕,(x)=2%+2Γ(l),令x=l得：­⑴=2+2/(1),

解得：r(i)=-2,

所以用x)=2x-4,

f'(3)=6-4=2

故选：B

7.已知函数F(X)=InX-X2+χ,则函数/(χ)的单调递增区间是()

A.(-∞,1)B.(0,1)

C.(—，1)D.(1,+oo)

2

【正确答案】B

【分析】求导/(x)=--2x+1=***1,*>0),令f(x)>0,结合定义域即可求解.

XX

【详解】f(X)=--2x+∖=~2∙r+x+1,(x>0),令f(x)>0,可得一2V+x+l>0,解得

XX

x∈(-∣,l),又x>0,所以χ∈(0,l),故选B

本题考查利用导数求函数的单调区间问题，注意不要忘记定义域，属基础题.

8.从4种蔬菜品种中选出3种，分别种植在不同土质的3块土地上，不同的种植方法共有

A.12利IB.24种C.36利ID.48种

【正确答案】B

由分步计数原理计算可得答案.

【详解】根据题意，分2步进行分析：①、先在4种蔬菜品种中选出3种，有=4种取

法，②、将选出的3种蔬菜对应3块不同土质的土地，有A；=6种情况，则不同的种植方

法有4x6=24种；故选：B.

本题考查计数原理的运用，注意本题问题要先抽取，再排列.

9.如图是y=f(χ)的导函数/(X)的图象，则下列说法正确的个数是()

①/(X)在区间［-2,-1］上是增函数；

②X=-1是/S)的极小值点；

③/W在区间［-1,2］上是增函数，在区间［2,4］上是减函数；

④X=I是/(x)的极大值点.

A.O个B.1个C.2个D.3个

【正确答案】C

【分析】由导函数/(X)的图象，可判断/U)在对应区间上的单调性与极值，对四个选项逐

一判断可得答案.

【详解】解：由导函数/'(X)的图象可知，当-2<x<7时/'(x)<0,

当一1<x<2时:(x)>0,当2<x<4时/'(X)<0,当4<x<5时/'(X)>。，

所以f(χ)在区间上单调递减，故①错误；

在区间［T2］上单调递增，在区间［2,4］上单调递减，［4,5］上单调递增，

在X=T和x=4处取得极小值，X=2处取得极大值，故②③正确，④错误；

故选：C.

10.函数/(x)=2χ3-6x+m有三个零点，则实数加的取值范围是()

A.(-4,4)B.［-4,4］

C.(-8,-4］U［4,+∞)D.(-8,-4)U(4,+∞)

【正确答案】A

【分析】求得函数f(x)的导数，利用导数求得函数的单调性和极值，结合题意，列出不等

∕∙(-ι)>o

式组［,、八，即可求解∙

<0

【详解】由题意，函数/(x)=2d-6x+∕n,可得/'(x)=6χ2-6=6(x-I)(X+1),

当x<T时，/«x)>0,/(x)单调递增;

当Tvxvl时,∕,(x)<0,"x)单调递减;

当x>l时，制x)>O,/(x)单调递增,

所以函数/(x)在x=7处取得极大值，在x=l处取得极小值,

/(—1)=-2+6+zw>0

要使得函数/(x)有三个零点，则满足

/(1)=2-6÷.<0，解得

即实数小的取值范围是(T，4).

故选：A.

二、填空题

11.已知函数y=2",则函数在区间［1,3］上的平均变化率为.

【正确答案】3

【分析】根据平均变化率的定义即可计算.

【详解】设y=∕(x)=2v,因为/(3)=23=8,/(1)=2,

所以a/⑶T(I)=Hn

ΔΛ-3-12

故3

12.已知函数/(x)=ln(2x+l),则/'(O)=.

【正确答案】2

【分析】由复合函数的求导法则求出导函数后，可计算导数值.

2

【详解】由题意［(X)=三,所以解(O)=2.

2A-+1

故2.

13.从甲地到乙地有2条路可走，从乙地到丙地有3条路可走，从甲地到丁地有4条路可走,

从丁地到丙地有2条路可走，从甲地到丙地共有种不同的走法.

【正确答案】14

【分析】根据题意，分由甲地经乙地到丙地，由甲地经丁地到丙地两种情况，分别求解，即

可得出结果.

【详解】由题意，

如果由甲地经乙地到丙地，则有2*3=6种不同的走法；

如果由甲地经丁地到内地，则有4x2=8种不同的走法；

因此，从甲地到丙地共有14种不同的走法.

故14.

本题主要考查两种计算原理的简单应用，属于基础题型.

14.设曲线/(X)=后Y在χ=2处的切线与直线Or-y=O垂直，则。=.

【正确答案】-9

【分析】利用导数的几何意义，以及两直线垂直的关系，求实数。的值.

【详解】因为/(χ)=ι-9,所以/(X)=GT了，所以,O)=)

所以αx"=-l,即a=-9.

故-9

15.由1,2,3,4组成没有重复数字的三位数，其中奇数的个数为.

【正确答案】12

1,2,3,4组成无重复数字的三位奇数，可以看作是3个空，要求个位是奇数，其它位置无条

件限制，因此先从2个奇数中任选1个填入个位，其它3个数在2个位置上全排列即可.

【详解】由题意可得，个位是奇数有1或3,2种方法，百位与十位可从剩余的三个数中任

选2个的排列有种方法，由乘法原理可得满足条件的三位奇数共有28=12个.

故12.

本题主要考查分步计数原理及位置有限制的排列问题，属于中档题.元素位置有限制的排列

问题有两种方法：(1)先让特殊元素排在没限制的位置；(2)先把没限制的元素排在有限制

的位置.

16.函数y=/+"/+》在R上是增函数，则0的取值范围是.

【正确答案】[-√3,√3]

【分析】根据函数单调性与导数的关系，得y'=3χ2+2αr+l≥0在R上恒成立，由此求解即

可.

2

【详解】；函数y=χ3+4z√+χ,.∙,y'=3x+2ax+l,

：函数y=V+,1+尤在R上是增函数，

Λy'=3χ2+2ox+l≥0在R上恒成立,

∙∙∙Δ=402-12≤0.解得-6≤α≤5

•••实数”的取值范围是卜百,√3].

故卜内,ʌ/ŋ.

三、解答题

17.已知函数F(X)=X3-3x.

⑴求曲线y=∕(χ)在点(1,，⑴)处的切线方程：

(2)求函数“χ)的极值.

【正确答案】(i)y+2=0

⑵极大值为/(T)=2,极小值为/°)=-2

【分析】(1)先求导函数,再根据几何意义求解即可；

(2)令/'(x)=O,解得x=±l,再列表，根据导数符号与极值的关系求解即可.

【详解】(1)因为x∈R,/'(x)=3χ2-3,所以/'(1)=0,

又因为f(l)=2所以曲线y=f(x)在点(IJ⑴)处的切线方程为y+2=0(x-1),

即：y+2=0.

(2)令f'(x)=O,解得x=±l.

所以列表如下:

X(-00,-1)-1(Tl)1(1，问

r(ɪ)+O—O+

/(χ)单调递增极大值单调递减极小值单调递增

所以，当X=T时，"x)有极大值，并且极大值为"-1)=2；

当x=l时，"x)有极小值，并且极小值为/(l)=-2.

18.已知χ=2是函数/(x)=V-加-8x+l的一个极值点.

(1)求实数。的值；

⑵求函数f(x)在［T3］匕的最大值和最小值.

【正确答案】(1)1；

(2)最大值为7,最小值为-IL

【分析】(1)求出函数的导函数，依题意/'(2)=0,即可得到方程，解得即可，再检验即

可；

(2)求出函数的导函数，即可得到函数的单调性，从而得到函数的极值，再计算出区间端

点值，即可得到函数在闭区间上的最值.

【详解】(1)因为/(x)=∙√-加-8x+l,所以〃力=3幺-2依-8,

因为x=2是f(x)的一个极值点,所以f'(2)=0,

所以广⑵=12-4α-8=0,

=经检验，。=1符合题意.

(2)由(1)可知/(x)=V—幺—8%+l,.∙./'(x)=(x—2)(3x+4),

令用x)>0,解得x<-g或x>2,

令r(x)<0,解得T<x<2,

因为Xw-1,3］,所以〃x)在(-1,2)上单调递减，(2,3)上单调递增，

所以/(X)在x=2处取得极小值，

又因为"T)=7,/(2)=-ll,/(3)=-5,

所以/(x)的最大值为7,最小值为-11.

19.已知函数/(x)=InX+Ur(α∈R).

(D若曲线y=∕(x)在x=l处的切线与直线2χ-y+3=0平行，求。的值及函数的单调性;

(2)当x∈(0,÷=o)时，f(x)<O恒成立,求。的取值范围.

【正确答案】⑴a=l,"x)在(0,+8)上单调递增

【分析】(1)利用导数的几何意义求参数取值并利用导数判断函数的单调性；

(2)由不等式恒成立入手，分离参数转化为求最值可求得参数范围.

【详解】(1)直线2x-y+3=0的斜率为％=2,因为/(X)='+",所以由导数的几何意义

X

知，/⑴=2,所以l+α=2,解得α=l.

此时/(x)=lnx+x(x>0),则f'(x)=J+l>O,所以〃x)在(0,+8)上单调递增.

(2)x∈(0,+∞)时，"x)<0恒成立，转化为。<(与濡即可.

设g(x)=-邛(x>0),因为g'(=I,

由g'(x)>O得x>e,由g'(x)<O得O<χ<e;所以g(x)在(e,÷w)上单调递增，在(0,e)上

单调递减；

从而g(x)min=g(e)=-∕∙所以α<-g,即。的取值范围为b8,-j.

结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：

一般地,已知函数y=∕(x),xe[α,可，y=g(x),x∈[c,d]

⑴若％∈[α,可,Vj⅛∈[c,d],总有/(∙xi)<g(x2)成立,故/(x)a<g(x2)mta;

XC

(2)若办∈[α,可,32∈[,J],有/(%)<g(x2)成立，故/(x)max<g(w)max;

⑶若*∈[α,b],3x2e[c,d],有/&)<g(&)成立,故/(x)min<g(%)mkl；

(4)若％∈[α,可,3x2e[c,d],有"χ)=g(w),则/(x)的值域是g(x)值域的子集.

20.已知函数/(x)=2InX+gx?,g(x)=3x+力一L

⑴求曲线y=∕(x)在点(IJ⑴)处的切线方程；

⑵设F(X)=/(x)-g(x),

(i)求函数y=∙F(χ)的单调区间；

(ii)若方程/(X)=O有3个不同的实数根，求实数匕的取值范围.

【正确答案】⑴6x-2y-5=0

3

⑵①单调递增区间为(0,1)和(2,+∞)；单调递减区间为(1,2)；(ii)21n2-3<⅛<-∣.

【分析】(1)求导数，可得切线斜率，进而得出曲线y=/W在点(1,7■⑴)处的切线方程：

(2)⑴求导数，利用导数的正负，即可求函数产尸⑺的单调区间；(ii)方程P(X)=O有3个

不同的实数根，则极大值大于0