2023年高考数学总复习：立体几何初步（附答案解析）

2023年高考数学总复习：立体几何初步

一.选择题（共8小题）

1.（2022春•钦州期末）如图,长方体ABCQ-Aι8∣CIDi的12条棱中与AlB异面的共有（）

A.4条B.5条C.6条D.7条

2.（2022春•伊州区校级期末）如图，在正方体ABC。-Al校CiDl中,己知M,N分别为棱

AB,ABl的中点，则异面直线4。与MN所成的角等于（）

A.90oB.60oC.45oD.30°

3.（2022•南京模拟）若相，”是两条不同的直线，α,P是两个不同的平面，则下列结论正

确的是（）

A.若mua,"uβ,a∕∕β,则团〃〃

B.若,〃〃a,则a>Lβ

C.若&_1_3，a∩β=∕n,m.Ln,贝U〃_Lp

D.若〃?_!_〃，mɪa.∕n±β,则〃〃β

4.（2022春•许昌期末）如图，在长方体A8CZ）-AiBiCiQi中，M,N分别为棱CIoi，CCi

的中点，下列判断中正确的个数为（）

①直线B∖M1BN;

②4£>J_平面CDDICI;

③BN〃平面AOM.

D1M

5.（2022春•杨浦区校级期末）小明同学用两个全等的六边形木板和六根长度相同的木棍搭

成一个直六棱柱ABCZ）E尸-AlBlClOiEiQ,由于木棍和木板之间没有固定好，第二天他

发现这个直六棱柱变成了斜六棱柱ABCOEF-AIBCiDiEig,如图所示.设直棱柱的体

积和侧面积分别为■和Si,斜棱柱的体积和侧面积分别为正和S2,则（）.

CViV2

sIs2

D.YL与b的大小关系无法确定

SlS2

6.（2022春•梅州期末）已知圆锥的侧面展图为一个半圆，则该圆锥内半径最大的球的表面

积与圆锥外接球的表面积之比为（）

A.1：9B.1：8C.1：4D.1：3

7.（2022春•江岸区期末）已知正方体ABCO-AlBIC1。1，的棱长为2,点M为线段CCl

（含端点）上的动点，AML平面α.下列说法正确的是（）

A.若点N为£>£>i中点，当AM+MN最小时,CM=2√2

cq

B.当点M与Cl重合时.若平面a截正方体所得截面图形的面积越大，则其截面周长就

越大

C.直线AB与平面a所成角的余弦值的取值范围为

D.若点M为CCl的中点，平面a过点B,则平面a截正方体所得截面图形的面积为9

2

8.（2022春•丰台区校级期末）已知直三棱柱ABC-AIBICI的六个顶点都在球。的表面上,

若AB=I,BC=2,NABC=60°,Ap4=3,则球。的体积是（）

A25兀B25兀C.后冗D13兀

6'3-6'6

二.多选题（共4小题）

（多选）9.（2022春•长沙县期末）如图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中（)

A.与EO平行B.A尸与CN垂直

C.CN与BE是异面直线D.CV与成60°角

（多选）10.（2022春•湖北期末）已知三棱锥P-A3C,PA=PB=PC,ZvLBC是边长为2

的正三角形，E为以中点，PBLCE,则下列结论正确的是（）

A.PBLAC

B.异面直线CE与AB所成的角的余弦值为逗

5

C.CE与平面ABC所成的角的正弦值为15

D.三棱锥P-ABC外接球的表面积为6π

（多选）11.（2022春•福州期末）如图，设E,（分别是长方体ABCD-A出IClDi的棱CD

上的两个动点，点E在点尸的左边，且满足2EF=DC=/BC，有下列结论（）

A.Bi£>_L平面B∖EF

B.三棱锥。-BIE尸体积为定值

C.AlA〃平面BIEF

D.平面AlADDl_L平面BIEF

（多选）12.（2022春•河南期末）坛子是我们日常生活中耳熟能详的生活用品，一般指用

陶土做胚子烧成的用来腌制菜品或盛放物品的器物.如图，某坛子的主体部分（坛身）

可以看作是由上、下两个同底的圆台烧制而成的，其中BE=2AF=2CD=2dm,BC=2AB,

且该坛子的容积为10.5π升，则（）

注：若圆台的上、下底面半径分别为r,R,高为h,母线为I,则圆台的体积

A.下圆台的体积为7π升

B.下圆台的表面积（含上下圆台同底的部分）为3√记兀dm2

C.直线EF与圆台底面所在平面所成的角为60°

D.若在该坛子内封装一个圆柱，则圆柱的侧面积最大为9π"“（不考虑能否放入和容器

厚度）

Ξ.填空题（共4小题）

13.（2022春•泉州期末）在棱长为3的正方体ABCZ）-A向ClQI中，点E,F分别在棱AB,

BC±.,BE=BF=HCH为棱上的动点.若平面EFG〃平面AeH,而=入元,

贝!）入=.

14.（2022春•汕头期末）佩香囊是端午节传统习俗之一.香囊内通常填充一些中草药，有

清香、驱虫、开窍的.因地方习俗的差异，香囊常用丝布做成各种不同的形状，形形色

色，玲珑夺目.图1的平行四边形ABC。由六个边长为1的正三角形构成.将它沿虚线

折起来，可得图2所示的六面体形状的香囊.那么在图2这个六面体中内切球半径

15.（2022春•丰台区校级期末）如图，等腰梯形ABCO沿对角线AC翻折，得到空间四边

形D∖ABC,若BC=CD=DA=AAB=1,则直线ADi与BC所成角的大小可能

2

为.（写出一个值即可）

16.（2022春•琼海校级期末）已知三棱锥A-BC。中，平面ABDJ_平面BCD,BCLCD,

BC=CD=2,AB=AD=√6＞则三棱锥A-BCD的外接球的体积为.

四.解答题（共6小题）

17.（2022春•双流区期末）如图，三棱锥P-ABC中，等边三角形aPBC的重心为O,Z

BAC=90°,AB=AC=2,B4=2√3∙E,F,M分别是棱BC,BP,AP的中点，。是线

段AM的中点.

（1）求证：MO〃平面DEFi

（II）求证：平面Z）EF_L平面PBC.

18.（2022春•珠海期末）如图，在三棱柱ABC-AlBiCI中，BCVAC,8C_LCCl,点。是

AB的中点.

(1)求证：AeI〃平面CDBi;

(2)若侧面AAIClC为菱形，求证：ACiL平面AIBe

19.(2022春•顺义区期末)如图，在四棱锥P-ABC。中附，平面ABC。，底面ABC。为

直角梯形，BC//AD,ADLAB,且∕¾=AB=BC=1,AD=2.

(I)若平面PBC与平面∕¾。相交于直线/,求证：BC//1-,

(II)求证：平面RluL平面PCD；

(III)棱尸。上是否存在点E,使得CE〃平面%B?若存在，求CE的长；若不存在，

请说明理由.

20.(2022春•南阳期末)如图，在矩形ABC。中，AB=I,BC=2,E为边AO上的动点，

将AQCE沿CE折起，记折起后力的位置为尸，且尸在平面ABS上的射影。恰好落在

折线CE上.

(1)设N3CE=a为何值时，i∆P8C的面积最小？

(2)当APBC的面积最小时，在线段BC上是否存在一点F,使平面抬尸，平面POR

若存在求出BF的长，若不存在，请说明理由.

21.(2022春•大兴区期末)如图1,四边形ABC。是矩形，将AAOC沿对角线AC折起成

ΔΛD'C,连接£>'B,如图2,构成三棱锥。-A8C.过动点。作平面ABC的垂线

垂足是0.

(1)当。落在何处时，平面A。CJ_平面A8C,并说明理由；

(2)在三棱锥Zj-ABC中，若AD'=BZ7,P为OA的中点，判断直线OP与平面BzrC

的位置关系，并说明理由：

(3)设T是4ABC及其内部的点构成的集合，AB=2,BC=I,当OeT时，求三棱锥

D'-ABC的体积的取值范围.

22.(2022春•金牛区期末)如图，正方体ABC。-AIBICIOI,棱长为a,E,F分别为A8、

BC上的点，且AE=8F=x.

(1)当X=。时，求异面直线AlE与BlF所成的角的大小；

(2)当X为何值时，三棱锥A]-BE/的体积最大？

(3)当χN∙a时，平面AlEF与棱Ci》，CIC分别相交于点M,N,求线段MN的长度.

3

2023年高考数学总复习：立体几何初步

参考答案与试题解析

选择题（共8小题）

1.（2022春•钦州期末）如图,长方体ABCBlCId的12条棱中与AlB异面的共有（）

A.4条B.5条C.6条D.7条

【考点】异面直线的判定.

【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离；逻辑推理.

【分析】根据异面直线的定义判断即可.

【解答】解：由题意，长方体ABCO-AIBCIDI的12条棱中与AlB异面的有A。，BiCi,

DC,DD∖,DiCi,CIC共6条.

故选：C.

【点评】本题考查异面直线的定义，属基础题.

2.（2022春•伊州区校级期末）如图，在正方体ABeZ）-AIBICI。中，己知M,N分别为棱

A.90°B.60oC.45oD.30°

【考点】异面直线及其所成的角.

【专题】计算题；转化思想；综合法；空间角；数学运算.

【分析】MN为三角形ABBi的中位线，将仞V平移至ABi,将4。平移至AC,则/BiAC

为所求，然后在正三角形ABlC中，求解即可.

【解答】解：连接ABi,∙.,M,N分别为棱AB,ABI的中点，

：.MN//ABι,又AlC1〃AC,

即异面直线4G与MN所成的角等于60°,

故选：B.

【点评】本题考查异面直线所成的角，考查学生空间想象能力，属基础题.

3.（2022•南京模拟）若〃?，〃是两条不同的直线，α,β是两个不同的平面，则下列结论正

确的是（）

A.若，"ua,"U0,a//β,则，

B.若相〃a,则aJ_0

C.若a_Lβ,a∩β=m,mVn,则“J_p

D.若胆_L",，〃_La,则“〃B

【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系.

【专题】整体思想；综合法；空间位置关系与距离；逻辑推理；直观想象.

【分析】由两平行平面内两直线的位置关系判定A；由直线与平面平行的性质及直线与

平面、平面与平面垂直的判定判断8；由平面与平面垂直的性质判断C；由直线与直线、

直线与平面垂直分析线面关系判断D.

【解答］解：若"?UCt,"uβ,a∕7β,则机〃〃或机与"异面，故4错误；

若机〃a,则a内存在直线“，满足"〃机，又加_L0,.∙.“∙Lβ,可得a_L0,故B正确；

若a_L0,a∏β="3mVn,则"uβ或"〃p或"与β相交，相交也不一定垂直，故C错

误；

若/w_L”，，w_La,m_LB，则”U0或N〃0,故。错误.

故选:B.

【点评】本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定，考查空间想象能力

与思维能力，是基础题.

4.(2022春•许昌期末)如图，在长方体ABa)-A向Clz)I中，M,N分别为棱CR,CCl

的中点，下列判断中正确的个数为()

①直线BlM工BN；

②月。，平面CDD∣Ci;

③BN〃平面AOM.

A.0B.IC.2D.3

【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行；直线与平面垂直.

【专题】计算题；整体思想；综合法；立体几何；数学运算.

【分析】建立空间直角坐标系，求得相关点的坐标，利用向量的运算结合数量积的含义

即可判断①③，根据长方体的性质可判断②.

【解答】解：设长方体棱长为A8=2α,AD=2b,AAI=2c,(a>0,fc>O,c>0),

以。为坐标原点，DA,DC,分别为X,y,z轴建立空间直角坐标系，

则B∖(2b,2a,2c),M(O,a,2c),B(2b,2a,O),N(O,la,c)>

故B1N=(-2b,-a,O),BN=(-2b,O,c)

B1M-BN=(-2b,-a,O)∙(-2b,O,l)=4b^≠O)

故直线BN不成立，①不正确;

在长方体ABCD-4BelZ)I中，A。_L平面CZ)Z)IC1，②正确;

因为Ui=(-2b,a,2c),DA=(2b,O,0)，

设平面A。M的法向量为W=(χ,

n*DA=2bx=0

令y=c,则Z=-I■，则n=(0，c,—1-)>

而而=(-2b,O,c),故BNF=(-2b,O,c)-(O,c,--∣-)=-ɪ-≠o,

故BN〃平面ADM.不成立，故③错误，

故选:B.

【点评】本题考查了立体几何的综合应用，属于中档题.

5.(2022春•杨浦区校级期末)小明同学用两个全等的六边形木板和六根长度相同的木棍搭

成一个直六棱柱ABCDEF-Aι8∣C∣OIEIFI,由于木棍和木板之间没有固定好，第二天他

发现这个直六棱柱变成了斜六棱柱A8CE>EF-A山IClGElF1，如图所示.设直棱柱的体

积和侧面积分别为■和S],斜棱柱的体积和侧面积分别为於和S2,则().

S1S2

S1S2

D.上Lijb的大小关系无法确定

Sls2

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积.

【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离；数学运算.

【分析】利用空间几何体的体积与表面积的公式，以及空间几何体的性质可求解.

【解答】解：设两个全等的六边形木板的边长之和为“，直棱柱的高为〃，斜棱柱的高为

h',

则W=S底•〃，W=S底•〃，

当变为斜棱柱时，h'<h,斜棱柱的侧面全是平行四边形，每个平行四边形边长都没有

变，

但高都发生了变化，有的四边形有原先的矩形，变为了平行四边形，有的可能还是矩形,

是平行四边形时，平行四边形的高大于等于斜棱柱的高，

的％S底hs底V2S底h'S底∙h'

Sja*haS?aihi+a2h2+B，，+a6^6（%+a?+…+%）h,

S底

∙∙f

a

故2*

S2S1

故选：A.

【点评】本题考查空间几何体的性质，考查空间几何的体积公式与表面积的计算，属中

档题.

6.（2022春•梅州期末）已知圆锥的侧面展图为一个半圆，则该圆锥内半径最大的球的表面

积与圆锥外接球的表面积之比为（）

A.1：9B.1：8C.1：4D.1：3

【考点】球的体积和表面积.

【专题】转化思想；综合法；立体几何；球；逻辑推理；直观想象；数学运算.

【分析】设圆锥的底面圆的半径为〃高为人母线长为/,由圆锥的侧面展图为一个半

圆得∕=2r,又该圆锥内半径最大的球即为圆锥的内切球，作出圆锥的轴截面SA8,根据

对称性知圆锥的内切球与外接球的球心O即为等边三角形SAB的中心，则O到等边三角

形SAB的各边中点的距离即为圆锥的内切球半径rɪ,O到等边三角形SAB的各顶点的距

离即为圆锥的外接球半径从而可得两球的半径之比，最后得两球的表面积之比.

【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为r,高为〃，母线长为/,

•••圆锥的侧面展图为一个半圆，

.二；二=兀,：.l=2r,Λ⅛=√3r-

.∙.圆锥的轴截面为等边三角形，

又该圆锥内半径最大的球即为圆锥的内切球，

如图，作出圆锥的轴截面SAB,设等边三角形SAB的中心点为0,

则0到等边三角形SAB的各边中点的距离即为圆锥的内切球半径rɪ,

0到等边三角形SAB的各顶点的距离即为圆锥的外接球半径n,

设SB的中点为£则RtZ∖S0E中NOSE=30°,OE=r∖,OS=∏,

rlOE.O1

—=T^^=sιnQ3Λ0=-z

r2OS2

Sr

.∙.两球的表面积之比一L=（-L）2上1,

$2r24

故选：C.

【点评】本题考查圆锥的内切球与外接球问题，考查圆锥与球的对称性，弧长公式，考

查空间想象力，属中档题.

7.（2022春•江岸区期末）已知正方体ABCBICIOi,的棱长为2,点M为线段CCl

（含端点）上的动点，AML平面α.下列说法正确的是（）

CM

A.若点、N为DDl中点，当AM+MN最小时,西=2√2

B.当点M与。重合时.若平面a截正方体所得截面图形的面积越大，则其截面周长就

越大

C.直线AB与平面a所成角的余弦值的取值范围为哈多

D.若点”为CCl的中点，平面α过点B,则平面α截正方体所得截面图形的面积为9

2

【考点】棱柱的结构特征；平面的基本性质及推论.

【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；逻辑推理；数学运算.

【分析】利用展开图判断A,M,N三点共线，进而利用相似三角形判定选项4通过两

个截面的面积不相等且周长相等判定B；直线AB与平面a所成角的正弦值，即为直线

48与平面a的垂线AM所成角的余弦值，通过AM的取值范围，判断C：利用空间垂直

的转化可以得到平面a与正方体的截面为BDEF,其中E为A∣D∣的中点，F为BiAi的

中点，判断其为等腰梯形，进而计算其面积，从而判断D

【解答】解：对于A,将矩形ACCl4与正方形CGUD展开到一个平面内，如图，

若AM+MN最小,则A、M、N三点共线，

；CCi/∕DD∖,；.蚂=嘈=2-√2,

DNAD2√2+2

.∙.MC=(2-√2)DN=2一&CCi,

2

.•.」£_=21返_=1-Yɪ,故A错误；

CC122

对于B,当点M与点CI重合时，连接Al。、BD、AiB.AC,AC∖,如图,

在正方体ABCD-AiBiClQl中，CCI_L平面ABa),

BPc5FffiABCD,ΛBD±CC∣,

∖'BD±AC,且ACnCCl=C,,BC平面ACCι,

VAC∣⊂5FffiACCi,.∙.BD1AC∖,

同理可证4DL4C∣,

,：AiDΓ∖BD=D,.,.AC平面480,

由题意知AAiBD是边长为2√］的等边三角形，

其面积为SAARn=aX(2√2)2=2√3-周长为K历*3=6收，

ʌɪʌɪIJV4

设E,F,Q,N,G,H分别是AID1,A∖B∖,BBi，BC,CD,的中点，

由题意知六边形EFONGH是边长为&的正六边形，且平面EFQNGH〃平面AiBD,

正六边形EF。NGH的周长为6&,面积为6X近X(√2)2=3ν3«

6

则44BO的面积小于正六边形EFQNGH的面积，它们的周长相等，故B错误；

对于C,直线AB与平面α所成角的正弦值，

即为直线AB与平面a的垂线AM所成角的余弦值，即cosZBAM,

如图，连接

在正方体中，AB±¥®BCCi,BMU平面8CG，J.ABLBM,

在RtZ∖4BM中，CoSNBAM=-^-t

AM

点M为线段CCl（含端点）上的动点，故ACW4MWACι,B[J2√2<M<2√3>

.∙.COS/BAM=地曰亚，—]>

AM23

.∙.直线AB与平面a所成角的正弦的取值范围为［Y2,α］,故C错误;

23

对于力，取OG中点M连接MN,AN,则MN〃C£>,

设平面a与侧面A。ClAI的交线为OE,E为平面a与DMi的交点,

：CCJ_平面AOO1A1,J.CDLDE,：.MNLDE,

平面α,OEU平面a,/.AMIDE,

YMNCAN=N,.∙.OEJL平面AMMJ.DE±AN,

又在正方形ADDIAl中N为。5的中点，...E为AIG的中点，

设平面a与侧面ABBiAi的交线为DF,F为平面a与BiAi的交点，

同理得尸为BNi的中点，连接EF,得到截面为BDEF,

22=

BA）=√4+4=2√2>EF=yJ1+1=√2-DE=BF=^ββ1+B1F√4+l=Vδ>

.∙.截面8DE广为等腰梯形，

CBD-B1D1

底边上的局为〃=JDE2-(...1~-

...截面BDEF的面积为S=/×（√2+2√2）X考Z=故。正确.

故选：D.

【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础

知识，考查运算求解能力，是中档题.

8.（2022春•丰台区校级期末）已知直三棱柱ABC-4B∣Cι的六个顶点都在球。的表面上,

若AB=1,BC=2,NABC=60°,44=3,则球。的体积是（）

A25兀B25兀C13后冗DI?兀

6-3-6,6

【考点】球的体积和表面积.

【专题】计算题；对应思想；分析法；球；数学运算.

【分析】易得ACLA8,将三棱柱ABC-A4∣C∣补全为长方体，再根据长方体的体对角

线即为其外接球的直径，求出外接球的半径，再根据球的体积公式即可得解.

【解答】解：在aABC中，AB=∖,BC=2,ZABC=GOo,

则AC=VAB2+BC2-2AB-BCcos60°=J1+4-2×1×2×y=√3，

则AC2+AB2=BC2,所以AClAB,

如图将三棱柱ABC-AIBlCI,补全为长方体，其长，宽，高分别为我，1,3,

1+3+9

则外接球的半径r=^=2⅛φ-,

3

所以球O的体积是匡πR=曲值冗.

36

【点评】本题考查球的体积，考查学生的运算能力，属于中档题.

二.多选题（共4小题）

（多选）9.（2022春•长沙县期末）如图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中（）

B.AF与CN垂直

C.CN与BE是异面直线D.CN与成60°角

【考点】异面直线及其所成的角；异面直线的判定：空间中直线与直线之间的位置关系;

表面展开图.

【专题】综合题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离；逻辑推理.

【分析】把平面展开图还原原几何体，再由棱柱的结构特征及异面直线定义、异面直线

所成角逐一核对四个命题得答案.

【解答】解：把平面展开图还原原几何体如图:

由正方体的性质可知，BM与Ez）异面且垂直，故A错误；

易得EB〃CN,又EBLAF,所以AFLCN,故8正确.

CN与BE平行，故C错误；

连接BE,则8E〃CMNEBM为CN与BM所成角,连接EM,可知EM为正三角形,

则/EBM=60°,故。正确.

故选：BD.

【点评】本题考查异面直线，直线与平面的位置关系，几何体的折叠与展开，属基础题.

（多选）10.（2022春•湖北期末）已知三棱锥尸-ABC,PA=PB=PC,zλABC是边长为2

的正三角形，E为∕¾中点，PBVCE,则下列结论正确的是（）

A.PBLAC

B.异面直线CE与A8所成的角的余弦值为叵

C.CE与平面48C所成的角的正弦值为15

D.三棱锥P-ABC外接球的表面积为6n

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角；直线与平面所成的角.

【专题】计算题；整体思想；综合法；立体几何；数学运算.

［分析］对于A：取AC的中点F,连接PF,BF,证明出ACl面PBF,即可得到AC±

PB；对于8、C：先证明出尸PBLPC,PCYPA,可以以P为原点，pʌ,pβ,pɑ

为XyZ轴正方向建立空间直角坐标系利用向量法求解；对于。：把三棱锥P-ABC补形为

正方体，则三棱锥的外接球即为正方体的外接球，即可求解.

【解答】解：对于A：

在三棱锥P-A8C,PA=PB=PC,Z∖A8C是边长为2的正三角形，取AC的中点F,连

接P凡BF,则4C_LPF,AClBF,

又PFCBF=F,所以ACJ_面28尸，所以ACJ_PB,故A正确；

P

对于8：因为ACJPBLCE,AC∩CE=C,所以尸8，面∕⅜C,所以尸8L∕¾,PB

LPC,

在三棱锥P-ABC,PA=PB=PC,Z∖ABC是边长为2的正三角形，所以三棱锥P-ABC

为正三棱锥，所以尸CL∕¾,

所以PA=PB=PC=&，

可以以P为原点，直，7B,正为孙Z轴正方向建立空间直角坐标系，

P(0,0,0),A(√2,0,0),B(0,√2,0),C(0,0,√2),E(竿，0,0)

所以标=(3,√2.0).≡=(2y-.0,-√2)^

设异面直线CE与AB所成的角为θ,θ∈(0,,则

I瓦•况I=∣-ι+o+?I=√Iδ

cosθ=Icos*CAB，CE)I=

IABlXICEl.2+2+0X祗+0+210

即异面直线CE与AB所成的角的余弦值为逗，故B错误;

10

对于C：AB=(-√2,√2,O),AC=(√2,O,√2),

AB∙n=-V2x+V2y+0z=0-r.4..n,

设平面ABC的一个法向量为W=(χ,yjz＞则，,→',不妨设X

AC∙n=-V2x+0y+V2Z=O

=1，则TI=(1,1,1)，

设CE与平面ABC所成的角为B,B∈(0,ɪ］，则

况I∣-y-+0-√2I

SinB=ICosC，CE〉I=

ι∏ι×ι≡Γ√τ∏zτ×

即CE与平面ABC所成的角的正弦值为H,故C错误.

15

对于D：把三棱锥P-ABC补形为正方体，则三棱锥的外接球即为正方体的外接球,

故选：AD.

【点评】本题考查了立体几何的综合应用，属于中档题.

（多选）11.（2022春•福州期末）如图，设E,F分别是长方体ABCQ-4B1C∣Q1的棱Cn

上的两个动点，点E在点F的左边，且满足2EF=DC=1^B0有下列结论（）

A.BiOL平面B∖EF

B.三棱锥。LBiEF体积为定值

C.AIA〃平面BIEF

D.平面AiAODiJL平面BlEF

【考点】平面与平面垂直.

【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；逻辑推理；数学运算.

【分析】根据线面位置关系、面面位置关系判断命题①③④，由棱锥体积公式判断②.

【解答】解：由题意BiQ与£>iG不垂直，而E尸〃ClO1，

.♦.81Dl与E尸不垂直，；.BiOL平面BiEF是错误的，故A错误;

对于B,L禺EF=VB「D,EF,三棱锥限。声中'平面。呼即平面血£,

Bl到平面CDDiCl的距离为BiCi是定值，Z∖O∣EF中，EF的长不变,

Q到EF的距离不变，面积为定值，.∙.三棱锥体积是定值，故B正确；

对于C,平面BlEF就是平面Bι4OC,而AAI与平面BiAiOC相交，故C错误;

对于D,长方体中CD-L平面A∖D∖DA,C£>u平面B∖A∖DC,

平面A∣OlD4"L平面BIAlDC,即平面4AOD∣J"平面BIE/，故。正确.

故选：BD.

【点评】本题考查命题真假判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知

识，考查运算求解能力，是中档题.

（多选）12.（2022春•河南期末）坛子是我们日常生活中耳熟能详的生活用品，一般指用

陶土做胚子烧成的用来腌制菜品或盛放物品的器物.如图，某坛子的主体部分（坛身）

可以看作是由上、下两个同底的圆台烧制而成的，其中BE=IAF=ICD=Idm,BC=IAB,

且该坛子的容积为10.5π升-，则（）

注：若圆台的上、下底面半径分别为r,R,高为h,母线为I,则圆台的体积

Kh(r2+R2+rR),侧面积S=π∕(R+r)∙

A.下圆台的体积为7口升

B.下圆台的表面积(含上下圆台同底的部分)为出/五兀dm2

C.直线E尸与圆台底面所在平面所成的角为60°

D.若在该坛子内封装一个圆柱，则圆柱的侧面积最大为9π而?(不考虑能否放入和容器

厚度)

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；旋转体(圆柱、圆锥、圆台).

【专题】数形结合；综合法；立体几何；数学运算.

【分析】由已知结合几何体的体积求得AB,BC,再求出下圆台的体积与表面积判断A

与B；直接求出直线EF与圆台底面所在平面所成的角的大小判断&求出圆柱侧面积的

最大值判断D

【解答】解：由圆台的体积公式可得,

22

该坛子的容积v]ττ∙AB∙(AF2+AF∙BE+BE2)÷∣-π∙BC∙(CD<D∙BE+BE)=

10.5πd∏P,

∙/BE=IAF=2CD=2dm,BC=IAB,

.∖AB=I.5dm,BC=3dm.

工下圆台的体积为工兀∙BC∙(CD2-CDwBE+BE2)=7^^3,故A正确；

3

DE=√l2+32=√10dir

...下圆台的表面积为Tr(CD2+CD∙DE+BE∙DE+BE1)=(5+3√Iθ)冗揄3,故B错误;

由图可知，直线E尸与圆台底面所在平面所成的角为NFEB,

则tanNFEB=AB上盘，故C错误；

BE-AF102

设该圆柱的底面半径为，，则圆柱高∕ι=AC-Cr-CD)tanZBED-(∕∙-ΛE)tanZFEB

3Q

=4.5-3(r-l)-ɪ(r-l)=9^ɪr,

圆柱侧面积S=2π√%=9π(2r-J)≤9π(2×1-1×1)=9π<⅛n2,故O正确.

故选：AD.

【点评】本题考查旋转体的结构特征，考查圆台体积与侧面积的求法，考查运算求解能

力，是中档题.

三.填空题（共4小题）

13.（2022春•泉州期末）在棱长为3的正方体ABCD-AlBleI5中，点E,F分别在棱AB,

BC上，BE=BF=X,点G,”为棱OG上的动点.若平面EFG〃平面AC”，而=海,

贝I］入=3.

-2-

【考点】平面与平面平行.

【专题】计算题；对应思想；分析法；空间位置关系与距离；数学运算.

【分析】建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，再利用W”：，求出入即可.

【解答】解：以A为原点，AB,AD,A4所在直线分别为X,y,z轴，建立坐标系，如

图所示：

则A(0,0,0),E(2,0,0),F(3,1,0),C(3,3,0),D(0,3,0),

设G(0,3,f),由而=λ而可得H(0,3,，

1÷λt)

设平面ACH的一个法向量为

tII入

,

n=(x,y9z),AC=(3,3,O)9AH=(0,3、［十六t)

令y=7,则［=(1,-1,W¥”:)；

ʌt

设平面EFG的一个法向量为1=(a,b,c),EF=(1,1,0),而=(-2,3,t>

ta=-b

π,lfmAC=a+b=0

则_____,即《2a~3b,

mfcAH=-2a÷3b+tc=0C=~t-

令6=-1，则。(1,-1,5»

因为平面EFG〃平面ACH,

所以n"IT，

所以5=3(l+λ),即3(l+λ),解得人=旦，

tλt'λ2

故答案为：3.

2

【点评】本题考查面面平行，考查学生的运算能力，属于中档题.

14.(2022春•汕头期末)佩香囊是端午节传统习俗之一.香囊内通常填充一些中草药，有

清香、驱虫、开窍的.因地方习俗的差异，香囊常用丝布做成各种不同的形状，形形色

色，玲珑夺目.图1的平行四边形ABCn由六个边长为1的正三角形构成.将它沿虚线

折起来，可得图2所示的六面体形状的香囊.那么在图2这个六面体中内切球半径为

Æ,体积为宜出兀,

9——729—

【考点】球的体积和表面积.

【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离；逻辑推理；数学运算.

【分析】首先利用转换关系，把平面图形转换为直观图.进一步利用两个同底且棱长都

为1的正三棱锥构成的几何体求解.

【解答】解：如图所示：

易知该几何体是侧棱长为1,以边长为1的等边三角形4ABO为底的两个正三棱锥组成,

。为AABO的中心，即内切球的球心，M为私的中点，连接HM,

作ONLHM,则ON为内切球的半径，

因为C）M=HM=^~,HO=VHM2-OM2=ɔγ~,

所以SAOT夺小0后压印6‘

所以内切球的半径为R=ON=里%=近，

HM9

内切球的体积为y=ATTR3二兀，

3729

故答案为：Æ,固也兀.

9729

【点评】本题考查的知识要点：平面图形和直观图之间的转换，球的半径的求法，球的

体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题.

15.（2022春•丰台区校级期末）如图，等腰梯形ABCo沿对角线AC翻折，得到空间四边

形。IABC,若BC=CO=DA=LlB=I,则直线A5与BC所成角的大小可能为90°

2

（只需写出［60°,90°1内的角度即可）.（写出一个值即可）

【考点】异面直线及其所成的角.

【专题】计算题；转化思想；分割补形法；空间角：直观想象；数学运算.

【分析】由题意，补全等腰梯形ABC。为正三角形A8E,则直线AoI与与BC所成角的

大小为直线AE与BC所成角，再根据线线角的范围求解即可.

【解答】解：由题意，补全等腰梯形ABCO为正三角形A8E,则直线AZ）I与BC所成角

的大小为直线AE与BC所成角，

易得当等腰梯形ABC。沿对角线AC翻折时，AE的轨迹为以A为顶点，AC为高的圆锥

侧面，

设NBCF=90°,在CF上取G使得EG〃BC,则直线AQl与BC所成角即NAEG,故

EG

COSNAEGɔT

AE

因为AE=2,EGC[O,1],故CoSNAEGE[O,ɪ].

故NAEGe[60°,90°],

故只需写出[60°,90°]内的角度即可，如90°,

故答案为：90°（只需写出[60°,90°]内的角度即可）.

【点评】本题考查了异面直线所成角的范围问题，属于中档题.

16.(2022春•琼海校级期末)已知三棱锥A-BCC中，平面ABO，平面BCZ),BCVCD,

BC=CD=2,AB=AD=√6.则三棱锥4-BCO的外接球的体积为_9兀_.

-2-

【考点】球的体积和表面积.

【专题】转化思想；综合法；立体几何；球；逻辑推理；直观想象；数学运算.

【分析】先根据对称性找到三棱锥A-8C。的外接球的球心位置，再通过已知条件建立

球的半径的方程，再求出球的半径，最后代入球的体积公式即可求解.

【解答】解：如图，取3。的中点E,连接AE,∙.FB=AD,

.".AELBD,又平面48。_L平面BCD,

又ΛE⊂jPffiABD,平面ABorl平面BCD=BD,

；.AE_L底面BCD,

又8C_LC£>,BC=CD=2,：.BD=Mi，

又E为BO中点，：.EB=EC=ED=近,

在AE上取点。使得OA=OB,又易证RtΛθBE^Rt∆OCE^Rt∆ODE,

：.OA=OB=OC=OD,

点0即为三棱锥A-BCD的外接球的球心，外接球的半径R=OA=OB=OC=OD,

又AB=AD=&，EB=M,.*.Λf=5y⅛β2-βg2=√β-2=2-

在RtAOfiE中由勾股定理可得EB2+EO2=OB1,

.∙.2+(2-R)2=炉，.∙.R=2，

2

二三棱锥A-BCD的外接球的体积为《■兀R3=9X兀X3)3=_|_兀,

3322

故答案为：旦兀.

2

【点评】本题考查三棱锥的外接球问题，空间想象力，球的体积公式，属中档题.

四.解答题（共6小题）

17.（2022春•双流区期末）如图，三棱锥P-ABC中，等边三角形APBC的重心为O,Z

BAC=90o,AB=AC=2,∕¾≈2√3∙E,F,M分别是棱BC,BP,AP的中点，。是线

段AM的中点.

（I）求证：M。〃平面。EF；

（II）求证：平面OEF_L平面PBC.

【考点】平面与平面垂直；直线与平面平行.

【专题】证明题；转化思想：综合法：空间位置关系与距离；数学运算.

【分析】（/）由己知可得更=F范=2,可得OM〃£>E,可证M。〃平面。EF；

OEDM

（//）利用余弦定理可得OM,可证OM_LPE,进而证明平面RIE_L平面尸8C,可证OM

，平面P8C,可证平面。E凡L平面P8C.

【解答】证明：（/）连接PE,则。在PE上，且弛=2,

OE

M是AP的中点，£>是线段AM的中点.目∙=2,

DM

..&=更=2,：.OM//DE,

OEDM

：OMC平面Z)EF,DEc5FffiDEF,MO〃平面QEa

(〃)VZBAC=90o,AB=AC=2,ΛBC=2√2,