6.3.1平面向量基本定理3题型分类（原卷版）

6.3.1平面向量基本定理3题型分类一、平面向量基本定理1.平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.2.基底：若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.二、基底的性质(1)不共线性平面内两个不共线的向量才可以作为一组基底.由于零向量与任何向量共线，所以零向量不可以作为基底．(2)不唯一性对基底的选取不唯一，平面内任一向量a都可被这个平面的一组基底{e1，e2}线性表示．(3)如果对于一组基底e1，e2，有a=λ1e1+λ2e2=μ1e1+μ2e2，则可以得到．（一）平面向量的基底考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否不共线.此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来.题型1：平面向量基底的判断11．（2023下·上海浦东新·高一校考期末）若向量与是平面上的两个不平行向量，下列向量不能作为一组基底的是（

）A．与 B．与C．与 D．与12．（2023下·江苏苏州·高一江苏省震泽中学期中）设是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的一组是（

）A．和 B．和C．和 D．和13．（2023·高一课时练习）如果是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是（

）A．与 B．与C．与 D．与14．（2023下·江西·高一校联考期中）如图所示，每个小正方形的边长都是1，则下列说法正确的是（

）A．，是该平面所有向量的一组基底，B．，是该平面所有向量的一组基底，C．，不是该平面所有向量的一组基底，D．，不是该平面所有向量的一组基底，（二）用基底表示向量1．用基向量表示向量的三个依据(1)向量加法的三角形法则和平行四边形法则；(2)向量减法的几何意义；(3)数乘向量的几何意义．2．关于基底的一个结论设e1，e2是平面内的一个基底，当λ1e1＋λ2e2＝0时，恒有λ1＝λ2＝0.题型2：用基底表示向量21．（2023上·北京顺义·高三牛栏山一中校考期中）在平行四边形中，是边的中点，与交于点．若，，则（

）A． B． C． D．22．（2023下·陕西渭南·高一统考期末）如图，在平行四边形中，、分别为、的中点，设，，则向量=（

）A． B．C． D．23．（2023下·山东聊城·高一山东聊城一中校考期中）我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，已知，则（

）A． B． C． D．24．（2023·高一课时练习）如图，已知分别是矩形的边，的中点，与交于点G，若，，用基底，表示.（三）平面向量基本定理的应用利用平面向量基本定理解题的策略：（1）先选择一组基底，并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成该基底的线性组合，再进行向量的运算．（2）在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便，另外，要熟练运用线段中点的向量表达式．题型3：平面向量基本定理的应用31．（重庆市铜梁区20222023学年高一下学期期末数学试题）在中，点线段上任意一点，点满足，若存在实数和，使得，则（

）A． B． C． D．32．（2023下·云南红河·高一统考期末）如图，分别是边上的中线，与交于点F，设，，，则等于（

）A． B． C． D．33．（2023下·上海嘉定·高一校考期末）如图，三角形ABC中，，D是线段BC上一点，且，F为线段AB的中点，AD交CF于点M，若，则.34．（2023上·山东潍坊·高三统考阶段练习）锐角三角形ABC中，D为边BC上一动点（不含端点），点O满足，且满足，则的最小值为（

）A． B． C．3 D．35．（2023上·吉林四平·高三四平市第一高级中学校考阶段练习）在平行四边形中，，，点E是BC的中点，，则（

）A． B． C．2 D．636．（2023·山东济宁·统考二模）如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为（

）.

A． B． C． D．37．（2023上·辽宁沈阳·高一东北育才学校校考期中）点P是所在平面上一点，若，则与的面积之比是（

）A． B．3 C． D．一、单选题1．（2023下·湖南·高一湖南师大附中校考期中）如图，在中，D为AB的中点，E为CD的中点，设，，以向量，为基底，则向量（

）A． B． C． D．2．（2023高一练习）设是平面内的一个基底，则下面的四组向量不能作为基底的是（

）A．和 B．和C．和 D．和3．（2023下·四川南充·高一统考期末）如图所示，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若，则λ＋μ等于（

）A．1 B．－1 C． D．4．（2023上·广东·高三校联考阶段练习）如图，已知，则（

）A． B． C． D．5．（2023下·上海普陀·高一曹杨二中校考期末）在四边形中，，若，且，则（

）A． B．3 C． D．26．（2023上·福建·高三校联考阶段练习）在中，点在边上，.记，则（

）A． B． C． D．7．（2023下·福建三明·高一三明一中校考阶段练习）已知向量是平面内的一组基底，则下列四组向量中也能作为平面向量的一组基底的是（

）A． B． C． D．8．（2023·四川南充·统考一模）如图，在中，，则（

）A． B．C． D．9．（2023下·重庆巴南·高一重庆市实验中学校考期末）在中，，，若点满足，以为基底，则（

）A． B． C． D．10．（2023下·河南新乡·高一新乡市第一中学校考阶段练习）已知，是平面内一组不共线的向量，则下列四组向量中，不能做基底的是（

）A．与 B．与C．与 D．与11．（2023·河北石家庄·统考二模）在平行四边形中，分别是的中点，，，则（

）A． B． C． D．12．（2023下·内蒙古赤峰·高一统考期末）如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若，则等于（

）A．1 B． C． D．13．（江苏省徐州市邳州市20222023学年高一下学期期中数学试题）如图所示，已知AD，BE分别为的边BC，AC上的中线，=，=，则（

）A．+ B．+ C． D．+14．（2023·河南·平顶山市第一高级中学校联考模拟预测）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且，则（

）A． B． C． D．15．（2023下·湖南株洲·高一校联考期中）已知是平面内两个不共线的向量，下列向量中能作为平面的一个基底的是（

）A． B．C． D．16．（2023下·河南商丘·高一校联考期末）已知D为△ABC所在平面内一点，AD交BC于点E，且，则（

）A． B． C． D．17．（2023下·河北邢台·高一沙河市第二中学校联考阶段练习）若，是平面内的一组基底，则下面的四组向量中不能作为一组基底的是（

）．A．和 B．和C．和 D．和18．（2023下·高一课时练习）已知，是不共线向量，则下列各组向量中，是共线向量的有（

）①，；②，；③，．A．①② B．①③ C．②③ D．①②③19．（2023上·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨市第四中学校校考开学考试）如果表示平面内所有向量的一个基底，那么下列四组向量，不能作为一个基底的是（

）A． B．C． D．20．（2023下·重庆·高一统考学业考试）在梯形中，且为上靠近点处的三等分点，则向量（

）A． B．C． D．21．（2023·江苏·高一专题练习）如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点，则等于（

）A． B． C． D．22．（2023·江苏·高一专题练习）若是平面内的一个基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是（

）A．， B．，C．， D．，23．（2023上·吉林·高三吉化第一高级中学校校考阶段练习）《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象.如图1所示的是八卦模型图，其平面图形图中的正八边形，其中为正八边形的中心，则下列说法不正确的是（

）A． B． C． D．和能构成一组基底24．（2023下·安徽芜湖·高一统考期末）如图，O是△ABC的重心，D是边BC上一点，且，，则（

）A． B． C． D．25．（2023下·山东·高一阶段练习）已知G是的重心，点D满足，若，则为（

）A． B． C． D．126．（2023下·山西运城·高一统考阶段练习）在平行四边形中，分别是的中点，交于点，则（

）A． B．C． D．27．（2023上·辽宁沈阳·高一东北育才学校校考阶段练习）如图，中，，，，，，则（

）A． B． C． D．28．（2023下·安徽宣城·高一统考期末）中，点为上的点，且，若，则（

）A． B． C． D．29．（2023·重庆江北·校考一模）如图，在中，点D是边AB上一点且，E是边BC的中点，直线AE和直线CD交于点F，若BF是的平分线，则（

）A．4 B．3 C．2 D．30．（2023上·湖北·高三校联考阶段练习）在平行四边形中，､分别在边､上，，与相交于点，记，则（

）A． B．C． D．31．（2023上·江苏苏州·高三统考阶段练习）在中，，为线段的中点，为线段上靠近点的三等分点，两条直线与相交于点，则=（

）A． B． C． D．32．（2023下·江苏南京·高一南京市第一中学校考期中）在给出的下列命题中，错误的是（

）A．设是同一平面上的四个点，若，则点必共线B．若向量是平面上的两个向量，则平面上的任一向量都可以表示为，且表示方法是唯一的C．已知平面向量满足，则为等腰三角形D．已知平面向量满足，且，则是等边三角形33．（2023下·福建龙岩·高一统考期末）在中，为线段的中点，为线段上的一点且，若，，则的值为（

）A．12 B．6 C． D．34．（2023下·甘肃酒泉·高一统考期末）梯形ABCD中，，，，，，点E在线段BD上，点F在线段AC上，且，，则（

）A． B． C． D．二、多选题35．（2023下·广东深圳·高二校考期中）已知是平面内的一组基底，则下列说法中正确的是（

）A．若实数m，n使，则B．平面内任意一个向量都可以表示成，其中m，n为实数C．对于m，，不一定在该平面内D．对平面内的某一个向量，存在两对以上实数m，n，使36．（2023下·广东湛江·高一校考阶段练习）已知向量，是两个不共线的向量，且向量与共线，则实数的可能取值为（

）A． B． C．4 D．337．（2023下·吉林长春·高一长春吉大附中实验学校校考期末）设是已知的平面向量，向量在同一平面内且两两不共线，下列说法正确的是（

）A．给定向量，总存在向量，使；B．给定向量和，总存在实数和，使；C．给定单位向量和正数，总存在单位向量和实数，使；D．若，存在单位向量和正实数，使，则.三、填空题38．（2023上·河南安阳·高三统考期中）在平行四边形中，，，若，，三点共线，则实数.39．（2023·高一课时练习）已知是不共线的向量，若，则用与表示为.40．（2023下·四川眉山·高二仁寿一中校考阶段练习）已知下列四个命题：①若，，则；②设是已知的平面向量，则给定向量和，总存在实数和，使；③第一象限角小于第二象限角；④函数的最小正周期为.正确的有.41．（2023·全国·高一专题练习）平面向量基本定理如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2，使＝.我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.42．（2023下·吉林长春·高一统考期末）如图，在长方形ABCD中，M，N分别为线段BC，CD的中点，若，则43．（2023上·安徽·高三石室中学校联考阶段练习）在三角形ABC中，已知D，E分别为CA，CB上的点，且，，AE与BD交于O点，若，则mn的值为.四、解答题44．（2023高一练习）20232023学年高一数学系列（人教A版2023必修第二册））设是两个不共线的非零向量，且．（1）证明：可以作为一个基底；（2）以为基底，求向量的分解式．45．（2023