四川省南充市阆中东风中学校2023-2024学年高二上学期第二次段考数学试题

四川省阆中东风中学校20232024学年度上期高二年级第二次段考数学试题考试时间：120分钟试卷满分：150分一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.已知直线过、两点，则直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用两点坐标求得直线的斜率，进而求得直线的倾斜角.【详解】因为直线过、两点，所以直线的斜率为，设直线的倾斜角为，则，又，所以直线的倾斜角.故选：B.2.直线：与直线：互相垂直，则（）A.0 B.1 C.2 D.1【答案】C【解析】【分析】根据两条直线垂直的条件求解即可.【详解】因为直线与直线互相垂直，所以，解得.故选：C.3.如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现．我们来重温这个伟大发现，圆柱的表面积与球的表面积之比为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据圆柱的表面积公式和球的表面积公式求解．【详解】设球半径为，则圆柱底面半径为，高为，所以圆柱的表面积与球的表面积之比为，故选：C．4.圆和圆，则这两圆的位置关系是（）A.相交 B.相离 C.内切 D.外切【答案】C【解析】【分析】求出圆心距与半径的和差比较可得．【详解】由已知两圆心坐标分别为，半径分别为1，6，，两圆内切．故选：C．5.通过椭圆的焦点且垂直于x轴的直线l被椭圆截得的弦长等于（）A. B.3 C. D.6【答案】B【解析】【分析】根据椭圆方程写出一条过焦点且垂直于x轴的直线，代入椭圆方程求交点纵坐标，即可得弦长.【详解】由题设，不妨设过焦点且垂直于x轴的直线，代入椭圆方程得，可得，故被椭圆截得的弦长等于.故选：B6.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是C1D1的中点，则异面直线DE与AC所成角的余弦值为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量求异面直线DE与AC所成的角的余弦值.【详解】设正方体棱长为1，以D为原点建立空间直角坐标系如图所示，则D(0,0,0)，E(0，，1)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，所以＝(0，，1)，＝(－1,1,0)，则,则异面直线DE与AC所成角的余弦值为.故选：B.【点睛】本题考查关键是建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量计算求解，属基础题.7.已知点是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为、，且，则的面积为（）A.6 B.12 C. D.【答案】C【解析】【分析】设，，由椭圆定义得，由余弦定理求出，从而利用三角形面积公式求出答案.【详解】由椭圆，得，，.设，，∴，在中，由余弦定理可得：，可得，得，故.故选：C.8.若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由方程确定直线过定点，曲线是半圆，作出图形后，由图形易得参数范围．【详解】由已知直线过定点，曲线是以为圆心，2为半径的圆的左半部分弧，，作出它们的图形，如图，直线的斜率为，当直线斜率不存在时，它与该半圆相切，由图可知，它们有两个交点时，，故选：C．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知向量，则下列结论中正确的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】利用空间向量的相关运算即可得解.【详解】因为向量，，所以，故A正确；，故B错误；因为，所以，故C正确；，故D错误.故选：AC.10.常数，椭圆的长轴长是短轴长的3倍，则a的值为（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】由椭圆方程得出其长轴与短轴长，再由已知可得参数值．【详解】由已知椭圆标准方程是，若，则由已知得，，若，则，，故选：BC．11.已知圆，直线过点，则下列说法正确的是（）A.圆的半径为 B.圆的圆心坐标为C.直线被圆截得的最短弦长为 D.直线被圆截得的最长弦长为4【答案】ACD【解析】【分析】由圆的标准方程和直线与圆的位置关系判断．【详解】由已知圆的标准方程是，圆心为，半径为2，A正确，B错误；记点为，，当时弦长最短，最短弦长为，当直线过圆心时，弦长最长，最长弦长为直径长4，CD均正确．故选：ACD．12.在如图所示的直四棱柱中，底面是边长为2的正方形，．点是侧面内的动点（不含边界），，则与平面所成角的正切值可以为（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】根据题意确定点的轨迹，利用线面角定义可得与平面所成角即为，利用圆的几何性质确定的范围，即可求出线面角正切值的范围，从而得出正确选项.【详解】由题意建系如图，因为底面是边长为2的正方形，，则，，设，可得，，由题意得，故，可得，故点轨迹是以为圆心，1为半径的圆在正方形内的部分（不含边界），由题可知为的中点，如图，根据圆几何性质可得：当共线时，取得最小值为，而，所以，因为平面，所以与平面所成角即为，所以，所以正确选项有AD.故选：AD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知两直线与之间的距离为_________．【答案】##0.4【解析】【分析】由两直线间距离公式计算．【详解】由题意所求距离为．故答案为：．14.已知点P(1，1)在圆(x+2)2+y2=m的外部，则实数m的取值范围是_____.【答案】【解析】【分析】由点与圆的位置关系可得关于实数m的不等式，即可求出其取值范围.【详解】由题意，得(1+2)2+(1)2>m，即m<10.又m>0，故m的取值范围是(0，10).故答案为:.【点睛】本题考查了由点与圆的位置关系求参数的取值范围，属于基础题.15.若平面的一个法向量为，，，，则点到平面的距离为_________．【答案】【解析】【分析】根据向量法求点面距离公式求解即可.【详解】设点到平面的距离为，则，故答案为：16.油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节，活动中将油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为的圆，圆心到伞柄底端距离为，阳光照射油纸伞在地面形成了一个椭圆形影子(春分时，北京的阳光与地面夹角为)，若伞柄底端正好位于该椭圆的焦点位置，则该椭圆的离心率为_______．【答案】##【解析】【分析】作出示意图，利用正弦定理解三角形求出椭圆的长半轴长，以及半焦距，即可求得椭圆离心率.【详解】由题意知伞的伞沿与地面的接触点B是椭圆的长轴上的一个端点，伞沿在地面上最远的投影点A为椭圆长轴的另一个端点，O为伞所在圆的圆心，F为伞柄底端即为椭圆的左焦点，设椭圆的长半轴长为a，半焦距为c，由，得，在中，，则，由正弦定理得，即，而，故，则，故，故答案为：四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知直线；（1）证明：直线l过定点；（2）已知点，当点到直线l的距离最大时，求实数m的值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）直线方程整理为关于的方程，然后由恒等式知识得结论；（2）利用过定点与的直线和直线垂直时，距离最大可得．【小问1详解】由直线方程可得，，，直线l过恒过定点.【小问2详解】由题意可知，点到直线l的距离的最大值为点到定点的距离，此时直线l与过点与定点的直线垂直，则过与定点的直线的斜率为，所以，所以．18.在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为，动点P满足（1）求动点P的轨迹C的方程（2）若直线l过点且与轨迹C相切，求直线l方程.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）设，根据动点满足，再用两点间距离公式列式化简作答.（2）讨论直线的斜率，设出直线l的方程，由圆心到直线的距离等于圆的半径求解作答.【小问1详解】设，由，得，化简得，所以P点的轨迹的方程为.【小问2详解】由（1）知，轨迹：表示圆心为，半径为2圆，当直线l斜率不存在时，方程为，圆心到直线l的距离为2，与相切；当直线l的斜率存在时，设，即，于是，解得，因此直线的方程为，即，所以直线l的方程为或.19.如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧棱底面，点E是的中点，．（1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量判定线面平行；（2）利用空间向量研究平面夹角即可.【小问1详解】易知，又底面底面，，故可以为中心，建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，设平面的一个法向量为则．取，则．所以是平面的一个法向量．因为，且平面，所以平面．【小问2详解】由（1）可知，又因为平面，所以平面．所以是平面的一个法向量．设平面与平面的夹角为，则，所以平面与平面夹角的余弦值为.20.已知椭圆，左右焦点分别为，，直线与椭圆交于A，两点，弦被点平分．（1）求直线的方程；（2）求弦的长．【答案】（1）（2）5【解析】【分析】（1）利用点差法计算直线的斜率，再用点斜式求直线方程即可；（2）利用弦长公式计算即可.小问1详解】设交点坐标，因为弦被点平分，所以又，两式相减得：），所以直线的斜率，故直线的方程为【小问2详解】由（1）可知，与椭圆方程联立，所以，由弦长公式可知.21.在直角梯形中，，O为中点，如图（1）．把沿翻折，使得平面平面，如图（2）；（1）求证：；（2）若M为线段的中点，求与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用面面垂直的性质判定线面垂直再证线线垂直；（2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算线面角即可.【小问1详解】在中，，且O为中点，则，平面平面，平面平面平面，所以平面，且平面，所以；【小问2详解】在直角梯形中，，所以，则，∴，又∵O、M分别为、的中点，∴，∴，以O为原点，以所在直线分别为x，y，z轴，建立如图空间直角坐标系，则，可得，令平面的一个法向量为，由，令，则，可得，令与平面所成角为，则，即与平面所成角的正弦值为．22.已知的两个顶点A，B的坐标分别是且直线PA，PB