数据的离散程度

4数据的离散程度1．极差定义：一组数据中的最大数据与最小数据的差叫做这组数据的极差，即极差＝最大值－最小值．极差反映了这组数据的波动范围．谈重点极差(1)极差是最简单、最便于计算的一种反映数据波动情况的量，极差能够反映一组数据的波动范围；(2)在对一组数据的波动情况粗略估计时经常用到极差；(3)极差仅仅反映了数据的波动范围没有提供数据波动的其他信息，且受极端值的影响较大；(4)一组数据的极差越小，这组数据就越稳定．【例1】在一次体检中，测得某小组5名同学的身高分别是170,162,155,160,168(单位：cm)，那么这组数据的极差是__________cm.解析：根据极差的概念，用最大值减去最小值即可，170－155＝15(cm)．答案：152．方差(1)定义：设有n个数据x1，x2，x3，…，xn，各数据与它们的平均数的差的平方分别是(x1－eq\x\to(x))2，(x2－eq\x\to(x))2，(x3－eq\x\to(x))2，…，(xn－eq\x\to(x))2，用它们的平均数来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差．(2)方差的计算公式：通常用s2表示一组数据的方差，用eq\x\to(x)表示这组数据的平均数．s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\x\to(x))2＋(x2－eq\x\to(x))2＋(x3－eq\x\to(x))2＋…＋(xn－eq\x\to(x))2]．(3)标准差：标准差就是方差的算术平方根．谈重点方差(1)方差是用来衡量一组数据的波动大小的重要的量，方差反映的是数据在它的平均数附近波动的情况；(2)对于同类问题的两组数据，方差越大，数据的波动越大，方差越小，数据的波动越小；(3)一组数据的每一个数据都加上(或减去)同一个常数，所得的一组新数据的方差不变；(4)一组数据的每一个数据都变为原来的k倍，那么所得的一组新数据的方差将变为原数据方差的k2倍．【例2】两组数据分别为：甲：42,41,40,39,38；乙：40.5,40.1,40,39.9,39.5.计算这两组数据的方差．解：eq\x\to(x)甲＝eq\f(1,5)×(42＋41＋40＋39＋38)＝40，seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,5)×[(42－40)2＋…＋(38－40)2]＝2.eq\x\to(x)乙＝eq\f(1,5)×(40.5＋40.1＋40＋39.9＋39.5)＝40，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,5)×[(40.5－40)2＋…＋(39.5－40)2]＝0.104.3．极差与方差(或标准差)的异同相同之处：(1)都是衡量一组数据的波动大小的量；(2)一组数据的极差、方差(或标准差)越小，这组数据的波动就越小，也就越稳定．不同之处：(1)极差反映的仅仅是数据的变化范围，方差(或标准差)反映的是数据在它的平均数附近波动的情况；(2)极差的计算最简单，只需要计算数据的最大值与最小值的差即可，而方差的计算比拟复杂．【例3】甲、乙两支仪仗队队员的身高如下(单位：cm)：甲队：178,177,179,178,177,178,177,179,178,179乙队：178,179,176,178,180,178,176,178,177,180(1)将下表填完整：身高(cm)176177178179180甲队(人数)340乙队(人数)211(2)甲队队员身高的平均数为_________cm，乙队队员身高的平均数为_________cm；(3)这两支仪仗队队员身高的极差、方差分别是多少？解：(1)甲队从左到右分别填：0,3，乙队从左到右分别填：4,2；(2)178,178；(3)经过计算可知，甲、乙两支仪仗队队员身高数据的极差分别为2cm和4cm，方差分别是0.6和1.8.4.运用方差解决实际问题方差是反映一组数据的波动大小的统计量，通过计算方差，可以比拟两组数据的稳定程度，进而解决一些实际问题．对于一般两组数据来说，可从平均数和方差两个方面进行比拟，平均数反映一组数据的一般水平，方差那么反映一组数据在平均数左右的波动大小，因此从平均数看或从方差看，各有长处．方差的计算可用一句话“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的程度．方差的单位是原数据的平方单位，方差反映了数据的波动大小，在实际问题中，例如长得是否整齐一致、是否稳定等都是波动表达．点技巧方差反映波动情况在实际问题中，如果出现要求分析稳定性的问题，因为方差是反映数据的波动大小的量，所以一般就要计算出各组数据的方差，通过方差的大小比拟来解决问题．【例4】某工厂甲、乙两名工人参加操作技能培训．现分别从他们在培训期间参加的假设干次测试成绩中随机抽取8次，记录如下：甲9582888193798478乙8392809590808575(1)请你计算这两组数据的平均数、中位数；(2)现要从中选派一人参加操作技能比赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪名工人参加适宜？请说明理由．解：(1)eq\x\to(x)甲＝eq\f(1,8)(95＋82＋88＋81＋93＋79＋84＋78)＝85，eq\x\to(x)乙＝eq\f(1,8)(83＋92＋80＋95＋90＋80＋85＋75)＝85.这两组数据的平均数都是85.这两组数据的中位数分别为83,84.(2)派甲参赛比拟适宜．理由如下：由(1)知eq\x\to(x)甲＝eq\x\to(x)乙，seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,8)[(95－85)2＋(82－85)2＋(88－85)2＋(81－85)2＋(93－85)2＋(79－85)2＋(84－85)2＋(78－85)2]＝35.5，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,8)[(83－85)2＋(92－85)2＋(80－85)2＋(95－85)2＋(90－85)2＋(80－85)2＋(85－85)2＋(75－85)2]＝41，∵eq\x\to(x)甲＝eq\x\to(x)乙，seq\o\al(2,甲)＜seq\o\al(2,乙)，∴甲的成绩较稳定，派甲参赛比拟适宜．5．运用用样本估计总体的思想解决实际问题统计学的根本思想是用样本估计总体，它主要研究两个根本问题：一是如何从总体中抽取样本，二是如何通过对所抽取的样本进行计算和分析，从而对总体的相应情况作出推断．用样本估计总体是统计的根本思想，正像用样本的平均数估计总体的平均数一样，考察总体方差时，如果所要考察的总体包含很多个体，或考察本身带有破坏性，实际中常常用样本的方差来估计总体的方差．方差是反映数据的波动大小的一个量．在日常生活中，有时只用平均数、中位数和众数难以准确地分析一组数据时，就要用方差来评判．但是并不是方差越小越好，要根据问题的实际情况灵活运用数据分析问题，作出正确的判断．注：在解决问题或决策时，应运用统计思想，搞清楚特殊和一般的关系，具体问题具体对待．全方位、多角度地分析与评判是关键．【例5】某运动队欲从甲、乙两名优秀选手中选一名参加全省射击比赛，该运动队预先对这两名选手进行了8次测试，测得的成绩如下表：次数选手甲的成绩(环)选手乙的成绩(环)19.69.529.79.9310.510.3410.09.759.710.569.910.3710.010.0810.69.8根据统计的测试成绩，请你运用所学过的统计知识作出判断，派哪一位选手参加比赛更好？为什么？解：eq\x\to(x)甲＝eq\f(1,8)(9.6＋9.7＋…＋10.6)＝10.0，eq\x\to(x)乙＝eq\f(1,8)(9.5＋9.9＋…＋9.8)＝10.0.seq\o\al(2,甲)＝0.12，seq\o\al(2,乙)＝0.1025.结果甲、乙两选手的平均成绩相同，seq\o\al(2,甲)＞s