2022-2023学年广西南宁市高一年级下册期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年广西南宁市高一下册期中数学试卷

(含解析)

一、单选题(本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

1.已知i为虚数单位，在复平面内，复数心的共扼复数对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.已知平面向量N=(1,2),石=(—2,y)，若./武则N+石=()

A.(-1,-2)B.(-1,6)C.(-1,3)D.(-1,1)

3.若函数即)=[蓝"乳>o,则)

A.1B.2C.3D.4

4.已知集合A={x|y=十x+3},+={工|<0},则力UB=()

A.(-3,+8)B.[-3,+a))C.(-3,3)D.[-3,3)

5.已知角a的终边经过点(-1,0，则tan(a+])+sin(2a-3兀)=()

A.|B.-JC.D.手

6.如图所示，△ABC的直观图是边长为2的等边△/TB'C',则在原图中，BC边上的高为()

/B'c7

A.2<6B.<6C.273D.C

7.若sina=2sin0,sin(a+/?)•tan(a—/?)=1,则tanatan/?=()

A.2B.1C.1D.1

8.在平行四边形ABC。中，BE=^EC,DF=2FC>设荏=N，AF=b<则前=()

A.颖+的B.轲+额C.+D.+

二、多选题(本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求)

9.已知％,yG/?,i为虚数单位，且(％+l)i-y=-1+2i,复数z=(l-。"+兀则以下结

论正确的是()

A.z的虚部为一2iB.z的模为2

C.z的共输复数为2iD.z对应的点在第四象限

10.在△ABC中，内角的对边分别为a,b,c,下列说法中正确的是（）

A.“△4BC为锐角三角形”是“sinA>cosB”的充分不必要条件

B.若sin24=sin2B,则△ABC为等腰三角形

C.命题“若A>B,则sin4>sinB”是真命题

D.若a=8,c=10,B=l，则符合条件的△ABC有两个

11.下列说法正确的是（）

A.若五•了=益々，且;3力6，则了42

B.若Z1，Z2为复数,则图-Z2|=|Z1|♦㈤

C.设5是非零向量，若位+方|=|五一石则方.了=0

D.设Z1，Z2为复数,若氏+Z2I=|Z1-Z2I，则Z1Z2=0

12.向量是近代数学中重要和基本的概念之一，它既是代数研究对象，也是几何研究对象，

是沟通代数与几何的桥梁.若向量五，石满足同=|可=2，|a+b|=273，贝女）

A.a-b——2B.益与石的夹角为5

C.|a-/?|>|a+Z?|D.万一b在b上的投影向量为一，b

三、填空题（本大题共4小题，共20分）

13.己知命题p：mx（）6R,就+2%0+aW0,命题q：Vx>0,x+：>a,若p假q真，则实数

a的取值范围为.

11—tan75°

1A4——.

15.若圆X2+y2-2ax—2by=0（a>0,b>0）被直线x+y=1平分，则：+看的最小值为

16.如图，在△ABC中，已知前=寺反，P为AD上一点,且满足而=mCA+^CB,若△ABC

的面积为V3,乙4cB=全则I函的最小值为.

BD

四、解答题(本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题12分)

设向量3、b满足回=历|=1,-@.|3a—2b\=\1~7•

(1)求N与了夹角的大小；

(2)求N+方与方夹角的大小；

(3)求瑞号的值.

18.(本小题12分)

在△4BC中，内角4,B,C的对边分别为a,b,c,设bsbiC="/WsinC+3cosC，人=会

(I)求心

(口)若BC,AC边上的两条中线4M,BN相交于P,AM=3,以P为圆心，r(0<rW1)为半径

的圆上有一个动点7,求|方+而+3元|的最大值.

19.(本小题10分)

已知Q€R,复数Z=W.

l+i

(1)若z为纯虚数，求a的值；

(2)在复平面内，若2对应的点位于第二象限，求a的取值范围.

20.(本小题12分)

已知函数/'(x)=\/~3sin2x+1-2cos2x.

(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；

(2)在锐角三角形4BC中，角4、B、C所对的边分别为a、b、c,若=a=3,B屋,

求aABC的面积.

21.(本小题12分)

已知向量苍=b=(0,-1).c=(1,73).

(1)若五12，求k的值；

(11)当/£=1时，五一焉家共线，求4的值;

(in)若际1=4向，且记与^的夹角为150。，求

\m+2c\.

22.(本小题12分)

已知可,与是平面内两个不共线的非零向量,而=2匹+与，南=-西+混，无=-2国+G，

且4,E,C三点共线.

(1)求实数；I的值；

(2)若可=(3,1),^=(-1,-2),求正的坐标；

(3)已知在(2)的条件下，若4B,C,。四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点

4的坐标.

答案和解析

1.【正确答案】D

..」=1+，一+工

IT(l-i)(l+i)22'

・••复数的共轨复数为♦一?，

1-122

复数告的共辗复数对应的点6,-3)位于第四象限.

故选：D.

2.【正确答案】4

a=(1,2),石=(-2,y)，a//b>

则y=-2x2=-4,

a=(1,2),E=(-2,-4)，

^+^=(-1,-2).

故选：A.

3.【正确答案】C

根据题意，函物3={瑟工>o,则心)=4+1=5,

贝好=log28=3.

故选：C.

4.【正确答案】B

A=(x\x>—3),B={x|l<x<3}>

故Ak)B=[—3,+8).

故选:B.

5.【正确答案】D

因为角a的终边经过点(一1,<3),

所以tana=4=—V3，

则tan(a+/)+sin(2a—3兀)=~^~~sin2a

12sinacosa

tanasin2a+cos2a

12tana_12x(-V3)_5V-3

tanatan2a+l—y/~33+16

故本题选D.

6.【正确答案】A

在直观图中，

・•・在原图中，BC上的高4。=2，石.

故选：A.

7.【正确答案】A

田、/|cos(a+/?)=cosacosp-sinasin/?

/J(cos(a-0)=cosacos/3+sinasin^1

所以sinasin/?=1[cos(a-/?)—cos(a4-£)],

所以sin(a+£)sin(a-£)=1(cos2/?-cos2a),

又sin(a+B),tan(a-£)=1,

所以sin(a+B)•=1，即sin(a+0)sin(a-0)=cos(a—/?),

所以T(cos2/?—cos2a)=cos(a-/?),

所以g(l—2s讥20-14-2sin2a)=cos(a一夕)，即s讥2a—sin2p=cos(a一夕),

又sina=2sin/?,

所以4sin2p-sin2/?=cosacos/i+sinasin^,

所以4sin2s—sin2p=cosacos/?+2str^B,

所以si712s=cosacosp,

所以gsinasin/?=cosacos/?,即sinasin/?=2cosacos夕，

又易知cosacosp=0,

所以黑翳=2,即tanatan”2.

故选4

8.【正确答案】B

如图：

因为四边形力BC。为平行四边形，

所以前=荏+而，BC=AD，DC=AB，

因为说反，而=2阮,

所以成=g前,DF=^DC,

所以荏=AB+BE=AB+1BC=AB+|AD,

,，>,2，>，>2>

AF=AD+DF=AD+^DC=AD+“B,

因为族=万，万=石,

AB+^AD=aAB^a-^b

所以^4-=^解得

而=”-颖'

所以前=AB+AD=^a-^b+^b-^a=^a+^b,

故选:B.

9.【正确答案】BC

(%+l)i-y=-1+23

则第+1=2,—y=-1,解得％=1,y=1,

故z=(1-i)2=-23

z的虚部为-2,z的模为2,故4错误，8正确；

2=23故C正确；z对应的点(0,-2)位于虚轴负半轴上，故。错误.

故选：BC.

10.【正确答案】AC

若^ABC为锐角三角形,则46(0,分,BG(0胃)，且A+B>%即4>与一B,又AG(0,Qy-BG

(0,^),则sinA>sin(1-B)=cosB；反之，若B为钝角，满足sin4>cosB,不能推出△ABC为

锐角三角形，故/正确；

由sin2A=sin2B,得2A=2B或24+2B=兀，即A=B或4+B=],所以△ABC为等腰三角形

或直角三角形，故8错误；

若A>B,则a>b,由正弦定理得即sin4>sinB成立，故C正确；

s】nAsmF

根据余弦定理得/=a2+c-2-2accosB,即产=82+1()2一2x8x10x"=84,所以b=2，五,

符合条件的△ABC只有一个，故。错误.

故选/C.

11.【正确答案】BC

若五•石=五下，且万力正则方•(石一下)=0，即方或了=/故/错误；

设Zi=a+bi,z2=c+di,(a,b,c,de/?),

2222

\zr\=Va4-b»\z2\=Vc4-d，

贝“ZiZzI=\ac-bd+(ad+bc)i\=Va2c24-Z?2d24-a2d2+b2c2=(a2+62)(c2+d2)»

2

|z1z2|=J(a2+按)«2+d),故B正确；

因为正了为非零向量，|a+b|=\a-b\r两边同时平方可得，(a+6)2=(a-6)2，

Wa2+b2+2a-b=a2+h2-2a-&-

所以方.方=0，故C项正确；

当Zi=i,Z2=l时，满足|zi+Z2I=|zi-Z2I，但不满足Zi•Z2=0,故。项错误.

故选：BC.

12.【正确答案】BD

•••|a|=\b\=2，|a+6|=2J1，

所以12=|五+石产=矛+2役•石+铲=4+22不+4，

解得,•b=2，A错误;

设N,了的夹角为a,贝iJcosa=

\^\\b\2x22

由于ae[0,TT],

二五与石的夹角为全故8正确：

\a-b\=J@_赤=ja2-2a-fe+b2=74-2a-fe+4=2<[a+b\=2/3>故错误；

a-了在了上的投影向量为逛0.X=迈式.且=_2=_与，故。正确.

网\b\2\b\\b\2

故选：BD.

13.【正确答案】(1,2)

命题P：由题意可得/=4-4aN0,解得a41；

命题q：由题意只需a<(x+又当x>0时，x+：22,当且仅当x-1是取等号，所以a<2,

因为P假q真，则｛：：；，所以l<a<2,

即实数a的范围为(1,2).

故(1,2).

14.【正确答案】—苧

后Ttan450-tan75°垢/m。、V3

原式=l+tan450xtan75。=tan(-30)-V

15.【正确答案】3+2VI

由/4-y2-2ax—2by=0=>(%—a)24-(y-b)2=a2+Z?2,

所以该圆的圆心坐标为(a,b),

因为圆工2+y2—2ax—2by=0被直线x+y=1平分，

所以圆心(Q,b)在直线%+y=1上，

因此有a+b=1,i+|=(-+b(a+b)=3+-+^>3+2>[2,

7

ab'ab八ab

当且仅当卜与时，Q=JI—1，b=2—。时取等号，

故工+(的最小值为3+2y/~2-

ab

故3+2/2.

16.【正确答案】g

设族=AAD，则而=CA+AAD=CA+A(CD-C4)=(1-X)CA+|ACF.

_,_,4_,(1-A=m1

又CP=ma4+3C8,则《4_2],解得血=，

9匕=543

所以丽=3琳+9而，令|5|=X，I荏I=y，

则SZ^BC=||C7|x\CB\xsin^ACB=苧xy=<3>

所以%y=4,且无>0,y>0.

所以而F=#+枭2+捺孙=皋2+第2+■22j次嗒y2+荔=半

当且仅当#=监丫2,即3x=4y,即3|两=4|函时等号成立，

所以|函的最小值为去

17.【正确答案】⑴回=历|=1.且囱-2了|=77,

即有画-21)2=7.

即9a2-12a-b+4b2=7，

9—12x1xcos<a9~b>+4=7»

即有cos<a,h>=i,

由0<<a,b><71，

可得力与方夹角为全

(2)由0+了)不=互4+方2=：+1=5,

|a4-6|=-Ja2+b+2a-6=「1+1+1=y/~39

则cos<a+b>-b>=("¥>!=-2=r=

|a+6|-|Z>|^32

由于0<<a+b-b><71，

即有无+了与石夹角为亲

(3)|3a+d|2=9a2+6a-b+h2=9+6x|+l=13,

即有囱+E|=713，

|3a—b|2=9a2—6a-h+h=9—6xg+l=7,

即有13万—b|=V-7，

故而^一〒，

18.【正确答案】(I)由正弦定理及bsinC=V^sinC+3cosC,A=冷得。5讥8=V3sinC+3cosC,

・•・csin(C+A)=2y/~3(^sinC+ycosC)，

・•・csin(C+1)=2csin(C+1),

•・,Cw(0,亨)C+?E(/加)，二sin(C+?)H0,

・•・c=2AA3.

(n)以4为坐标原点，AC所在直线为%轴，建立如图所示的直角坐标系，

则4(0,0),8(0,3),设C(t,O),；.T|4"|=3,二t=2门，。(2门,0),

又rP为三角形的重心，.1),

・••圆P：(x—V3)24-(y—I)2=r2(0<r<1),设T(rcos8+V_3,rsind+1),

TA=(—rcosd-A/~3,—rsind-1)，TB=(—rcosd,2—rsin。)，TC=(V3—rcosd,-1—

rsind),

:.TA+TB+3TC=(2V-3—Srcosd,—2—5rsin8)，

\TA+TB+3TC\2=(2/3-Srcosd)2+(-2-SrsinB)2==164-25r2+4Orsin(0—^)<

25r2+40r+16<25xl2+40x1+16=81,

\TA+TB+3TC\max=9.

B

4.NC

19.【正确答案】⑴z=：+：=；：+强b(7

因为z为纯虚数，所以与1=0,且一早芋0,则a=l.

(2)由(1)知，2=等+竽口则点(芋，竽)位于第二象限，

所以｛♦；弊得

所以Q的取值范围是(一1,1).

20.【正确答案】(1)因为函数/(%)=>J~3sin2x+1-2cos2x=y/~3sin2x-cos2x=2sin(2x-^),

所以函数/*(%)的最小正周期T=7T.

令一、+2kn<2x—+2kji(kEZ),得—―4-kn<x<^+kji(kEZ),

所以函数/*(%)的单调递增区间为［Y+g尹而］,kez.

(2)因为f(A)=y/~3所以2sin(2A—^)=V~3,即sin(24—7)=?，

f062

又4e(0j),所以2(_"(一%当,

乙666

所以2A—W或手所以或招，

当4=印寸，=n-l-^=^,不符合