2024年中考数学常见几何模型全归纳（全国通用）专题27 最值模型之胡不归模型（解析版）

资料整理资料整理资料整理专题27最值模型之胡不归模型胡不归模型可看作将军饮马衍生，主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟考中常以压轴题的形式考查，学生不易把握。本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。在解决胡不归问题主要依据是：点到线的距离垂线段最短。【模型背景】从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？”看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题.知识储备：在直角三角形中锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即。【模型解读】一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1<V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使的值最小．（注意与阿氏圆模型的区分）1），记，即求BC+kAC的最小值.2）构造射线AD使得sin∠DAN=k，，CH=kAC,将问题转化为求BC+CH最小值.3）过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小．【解题关键】在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．（若k>1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。【最值原理】两点之间线段最短及垂线段最短。例1．（2023·辽宁锦州·统考中考真题）如图，在中，，，，按下列步骤作图：①在和上分别截取、，使．②分别以点D和点E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点M．③作射线交于点F．若点P是线段上的一个动点，连接，则的最小值是．【答案】【分析】过点P作于点Q，过点C作于点H，先利用角平分线和三角形的内角和定理求出，然后利用含的直角三角的性质得出，则，当C、P、Q三点共线，且与垂直时，最小，最小值为，利用含的直角三角的性质和勾股定理求出，，最后利用等面积法求解即可．【详解】解：过点P作于点Q，过点C作于点H，由题意知：平分，∵，，∴，∴，∴，∴，∴当C、P、Q三点共线，且与垂直时，最小，最小值为，∵，，，∴，∴，∵，∴，即最小值为．故答案为：．【点睛】本题考查了尺规作图-作角平分线，含的直角三角形的性质，勾股定理等知识，注意掌握利用等积法求三角形的高或点的线的距离的方法．例2．（2023·河北保定·统考一模）如图，在矩形中，对角线交于点O，，点M在线段上，且．点P为线段上的一个动点．

（1）°；（2）的最小值为．【答案】2【分析】（1）由矩形的性质得到，又由得到是等边三角形，则，即可得到答案；（2）过点P作于点E，过点M作于点F，证明，进一求解即可得到答案．【详解】解：（1）∵四边形是矩形，∴，∵，∴，∴是等边三角形，∴，∴，故答案为：．（2）过点P作于点E，过点M作于点F，

在中，由（1）知：，∴，∴，在矩形中，，∵，∴，在中，，∴，∴的最小值为2，故答案为：2．【点睛】此题考查了矩形的性质、含的直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质等知识，熟练掌握矩形的性质、含的直角三角形的性质是解题的关键．例3．（2023·陕西西安·校考二模）如图，在菱形中，，，对角线、相交于点，点在线段上，且，点为线段上的一个动点，则的最小值为．【答案】【分析】过作，由菱形，，得到为平分线，求出，在中，利用角所对的直角边等于斜边的一半，得到，故，求出的最小值即为所求最小值，当、、三点共线时最小，求出即可．【详解】解：过作，菱形，，，，即为等边三角形，，在中，，，当、、三点共线时，取得最小值，，，，在中，，则的最小值为．故答案为：．【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，以及菱形的性质，解直角三角形，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．例4．（2023·广东佛山·校考一模）在边长为1的正方形中，是边的中点，是对角线上的动点，则的最小值为___________．【答案】0【分析】作于，可得出，从而得的最小值，将变形为，进一步得出结果．【详解】解：如图，作于，∵四边形是正方形，，，的最小值为0，∵，∴的最小值为0，故答案为：0．【点睛】本题考查了正方形的性质，解直角三角形等知识，解题关键是作辅助线转化线段．例5．（2023·湖南湘西·统考中考真题）如图，是等边三角形的外接圆，其半径为4．过点B作于点E，点P为线段上一动点（点P不与B，E重合），则的最小值为．

【答案】6【分析】过点P作，连接并延长交于点F，连接，根据等边三角形的性质和圆内接三角形的性质得到，，然后利用含角直角三角形的性质得到，进而求出，然后利用代入求解即可．【详解】如图所示，过点P作，连接并延长交于点F，连接

∵是等边三角形，∴∵是等边三角形的外接圆，其半径为4∴，，∴∴∵∴∴∵，∴∴∴的最小值为的长度∵是等边三角形，，∴∴的最小值为6．故答案为：6．【点睛】此题考查了圆内接三角形的性质，等边三角形的性质，含角直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．例6．（2023·广东深圳·校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，若P是x轴上一动点，点在y轴上，连接，则的最小值是．

【答案】【分析】过作，过作．再由得，根据垂线段最短可知，的最小值为，求出即可．【详解】解：连接，过作，过作，

令，即，解得或1，，，，，，．，根据垂线段最短可知，的最小值为，，，，的最小值为．故答案为：．【点睛】本题考查胡不归问题，二次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是将求的最小值转化为求的最小值．属于中考选择题中的压轴题．例7．（2023·江苏宿迁·统考二模）已知中，，则的最大值为．

【答案】【分析】过点C作，垂足为D，取，即可说明是等腰直角三角形，求出，进一步求出，继而将转化为，推出点D在以为直径的圆上，从而可知当为等腰直角三角形时，最大，再求解即可．【详解】解：如图，过点C作，垂足为D，取，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵，而一定，∴当的面积最大时，最大，∵，∴点D在以为直径的圆上，∴当D平分时，点D到的距离最大，即高最大，则面积最大，此时，则为等腰直角三角形，∴，故答案为：．

．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，含30度的直角三角形的性质，圆周角定理，解题的关键是添加辅助线，将最值转化为的长．例8．（2023·四川自贡·统考中考真题）如图，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点D是线段AB上一动点，点H是直线上的一动点，动点，连接．当取最小值时，的最小值是．

【答案】【分析】作出点，作于点D，交x轴于点F，此时的最小值为的长，利用解直角三角形求得，利用待定系数法求得直线的解析式，联立即可求得点D的坐标，过点D作轴于点G，此时的最小值是的长，据此求解即可．【详解】解：∵直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，∴，，作点B关于x轴的对称点，把点向右平移3个单位得到，作于点D，交x轴于点F，过点作交x轴于点E，则四边形是平行四边形，此时，，∴有最小值，作轴于点P，

则，，∵，∴，∴，∴，即，∴，则，设直线的解析式为，则，解得，∴直线的解析式为，联立，，解得，即；过点D作轴于点G，直线与x轴的交点为，则，∴，∴，∴，即的最小值是，故答案为：．【点睛】本题考查了一次函数的应用，解直角三角形，利用轴对称求最短距离，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．例9．（2023.重庆九年级一诊）如图①，抛物线y＝﹣x2+x+4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D为线段AC的中点，直线BD与抛物线交于另一点E，与y轴交于点F．（1）求直线BD的解析式；（2）如图②，点P是直线BE上方抛物线上一动点，连接PD，PF，当△PDF的面积最大时，在线段BE上找一点G，使得PG﹣GE的值最小，求出点G的坐标及PG﹣GE的最小值；【答案】（1）y＝x+1；（2）点G（，），最小值为；【分析】（1）令-x2+x+4=0，可求出点A和点B的坐标，令x=0，可求出点C的坐标，再根据点D时AC的中点，可求出点D的坐标，利用待定系数法求直线解析式即可．（2）求三角形的面积最值可以转化为求线段长度的最大值，利用点坐标表示线段长度，配方求最值，求PG-GE的最小值，可将不共线的线段转换为共线的线段长度．【详解】解：（1）令﹣x2+x+4＝0，解得x1＝﹣2，x2＝4，∴B（﹣2，0），A（4，0），令x＝0，y＝4，∴C（0，4），∵D为AC的中点，∴D（2，2），设直线BD的解析式为y＝kx+b（k≠0），代入点B和点D，，解得，∴直线BD的解析式为y＝x+1．（2）如图所示，过点P作y轴的平行线，交BE交于点H，设点P的坐标为（t，﹣t2+t+4），则点H为（t，t+1），∴PH＝﹣t2+t+4﹣（t+1）＝﹣（t﹣）2+，当t＝时，PH最大，此时点P为（，），当PH最大时，△PDF的面积也最大．∵直线BD的解析式为y＝x+1，令x＝0，y＝1，∴点F（0，1），在Rt△BFO中，根据勾股定理，BF＝，∴sin∠FBO＝过点E作x轴的平行线与过点G作y轴的平行线交于点M，∴∠MEG＝∠FBO，∴MG＝EG•sin∠MEG＝EG，∴PG﹣GE＝PG﹣MG，当P、M、G三点共线时，PG﹣MG＝PM，否则都大于PM，∴当P、M、G三点共线时，PG﹣MG最小，此时点G与点H重合，令﹣x2+x+4＝x+1，解得x1＝3，x2＝﹣2，∴点E（3，），∴PM＝﹣＝，∴点G（，），∴点G（，），PG﹣GE的最小值为．【点睛】本题考查二次函数求最值问题，线段的和差求最值问题，找等腰三角形的分类讨论，综合性较强．课后专项训练1．（2023·重庆·九年级期中）如图所示，菱形的边长为5，对角线的长为，为上一动点，则的最小值为A．4 B．5 C． D．解：如图，过点作于点，过点作于点，连接交于点．四边形是菱形，，，，，，，，，，，，，的最小值为4，故选：．2．（2023·山东淄博·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点C的坐标是，点是x轴上的动点，点B在x轴上移动时，始终保持是等边三角形（点P不在第二象限），连接，求得的最小值为（

）A． B．4 C． D．2【答案】C【分析】如图1所示，以OA为边，向右作等边△AOD，连接PD，过点D作DE⊥OA于E，先求出点D的坐标，然后证明△BAO≌△PAD得到∠PDA=∠BOA=90°，则点P在经过点D且与AD垂直的直线上运动，当点P运动到y轴时，如图2所示，证明此时点P的坐标为（0，-2）从而求出直线PD的解析式；如图3所示，作点A关于直线PD的对称点G，连接PG，过点P作PF⊥y轴于F，设直线PD与x轴的交点为H，先求出点H的坐标，然后证明∠HCO=30°，从而得到，则当G、P、F三点共线时，有最小值，即有最小值，再根据轴对称的性质求出点G在x轴上，则OG即为所求．【详解】解：如图1所示，以OA为边，向右作等边△AOD，连接PD，过点D作DE⊥OA于E，∵点A的坐标为（0，2），∴OA=OD=2，∴OE=AE=1，∴，∴点D的坐标为；∵△ABP是等边三角形，△AOD是等边三角形，∴AB=AP，∠BAP=60°，AO=AD，∠OAD=60°，∴∠BAP+∠PAO=∠DAO+∠PAO，即∠BAO=∠PAD，∴△BAO≌△PAD（SAS），∴∠PDA=∠BOA=90°，∴点P在经过点D且与AD垂直的直线上运动，当点P运动到y轴时，如图2所示，此时点P与点C重合，∵△ABP是等边三角形，BO⊥AP，∴AO=PO=2，∴此时点P的坐标为（0，-2），设直线PD的解析式为，∴，∴，∴直线PD的解析式为；如图3所示，作点A关于直线PD的对称点G，连接PG，过点P作PF⊥y轴于F，连接CG，设直线PD与x轴的交点为H，∴点H的坐标为，∴，∴∠OCH=30°，∴，由轴对称的性质可知AP=GP，∴，∴当G、P、F三点共线时，有最小值，即有最小值，∵A、G两点关于直线PD对称，且∠ADC=90°，∴AD=GD，即点D为AG的中点，∵点A的坐标为（0，2），点D的坐标为，∴AG=2AD=2OA=4，∵AC=4，∠CAG=60°，∴△ACG是等边三角形，∵OC=OA，∴OG⊥AC，即点G在x轴上，∴由勾股定理得，∴当点P运动到H点时，有最小值，即有最小值，最小值即为OG的长，∴的最小值为，故选：C．【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的性质与判定，一次函数与几何综合，轴对称最短路径问题，解直角三角形等等，正确作出辅助线确定点P的运动轨迹是解题的关键．3．（2023.重庆九年级期中）如图，在中，，，，若是边上一动点，则的最小值为A． B．6 C． D．3解：过点作射线，使，再过动点作，垂足为点，连接，如图所示：在中，，，，当，，在同一直线上，即时，的值最小，最小值等于垂线段的长，此时，，是等边三角形，，在中，，，，，，，，的最小值为3，故选：．4．（2022·河北·九年级期中）如图，在△ABC中，∠A＝15°，AB＝2，P为AC边上的一个动点（不与A、C重合），连接BP，则AP+PB的最小值是（）A． B． C． D．2【解答】解：如图，在△ABC内作∠MBA＝30°过点A作AE⊥BM于点E，BM交AC于点P，∵∠BAC＝15°，∴∠APE＝45°∴EP＝AP当BP⊥AE时，则AP+PB＝PE+PB的值最小，最小值是BE的长，在Rt△ABE中，∠ABE＝30°，AB＝2∴BE＝AB•cos30°＝．∴AP+PB的最小值是．故选：B．5．（2023·安徽合肥·校联考一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，点D、F分别是边AB，BC上的动点，连接CD，过点A作AE⊥CD交BC于点E，垂足为G，连接GF，则GF+FB的最小值是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由FB联想到给FB构造含30°角的直角三角形，故把Rt△ABC补成等边△ABP，过F作BP的垂线FH，故GF+FB＝GF+FH，易得当G、F、H成一直线时，GF+FB最短．又由于点G为动点，易证点G在以AC为直径的圆上，求点G到PB的最短距离即当点G在点O到BP的垂线段上时，GQ的长度．【详解】延长AC到点P，使CP＝AC，连接BP，过点F作FH⊥BP于点H，取AC中点O，连接OG，过点O作OQ⊥BP于点Q，∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AB＝4∴AC＝CP＝2，BP＝AB＝4∴△ABP是等边三角形∴∠FBH＝30°∴Rt△FHB中，FH＝FB∴当G、F、H在同一直线上时，GF+FB＝GF+FH＝GH取得最小值∵AE⊥CD于点G∴∠AGC＝90°∵O为AC中点∴OA＝OC＝OG＝AC∴A、C、G三点共圆，圆心为O，即点G在⊙O上运动∴当点G运动到OQ上时，GH取得最小值∵Rt△OPQ中，∠P＝60°，OP＝3，sin∠P＝

∴OQ＝∴GH最小值为故选C．【点睛】本题考查了含30°直角三角形性质，垂直平分线性质，点到直线距离，圆上点与直线距离，最短路径．解题关键是找到点G运动到什么位置时，GH最小，进而联想到找出点G运动路径再计算．6．（2023上·广东深圳·九年级校考期中）如图，在中，，，.，分别是边，上的动点，且，则的最小值为．【答案】【分析】作，连接，过B点作的延长线与G点．根据相似三角形的性质可得，因此，根据两点之间线段最短可知当B、E、F三点共线时，，此时的值最小，为BF．再证四边形是矩形，由矩形的性质可知，，在中根据勾股定理可求出的长，即可知的最小值．【详解】如图，作，连接，过B点作的延长线与G点，，且，，，．，∴当B、E、F三点共线时，，此时的值最小，为．，．又，，∴四边形是矩形，，，，．故答案为：【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握以上知识，构造相似三角形是解题的关键．7．（2023上·四川成都·八年级校考期中）已知在等腰中，，．，连接，在的右侧做等腰，其中，，连接E，则的最小值为(用含的代数式表示)．

【答案】【分析】过点作交延长线于，过点作于，作的垂直平分线交于，连接，利用证明，可得，进而可得，则由含度角的直角三角形的性质得到，，故当、、三点共线时，为最小值，当、、三点共线时，，即，可得，再运用解直角三角形即可求得答案．【详解】解：如图，过点作交延长线于，过点作于，作的垂直平分线交于，连接，，，，，，，，，，，，在中，，，，，，当、、三点共线时，为最小值，当、、三点共线时，，，，与重合，，，，，，是等腰三角形，，的垂直平分线交于，，，，在中，，即的最小值故答案为：．【点睛】本题字要考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角用的推质，勾服定理，三角形内角和定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题关键．8．（2023·黑龙江绥化·九年级校联考阶段练习）如图，在矩形中，，对角线、相交于点O，．点E是的中点，若点F是对角线上一点，则的最小值是．【答案】【分析】过点F作于点G，证明为等边三角形，推出，则，，进而得出，当点E、F、G在同一条直线上时，取最小值，证明，根据相似三角形对应边成比例，即可求解．【详解】解：过点F作于点G，如图，∵四边形为矩形，∴，，∵，∴为等边三角形，∴，，∴，．∵，∴，，∴，当点E、F、G在同一条直线上时，取最小值，∵点E是的中点，∴，则，∵，∴，∴，∴，解得：，综上：的最小值为，故答案为：．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确作出辅助线，找出．9．（2023上·四川成都·九年级校考期中）如图，在矩形中，，，点E，F分别在边上，且，沿直线翻折，点A的对应点恰好落在对角线上，点B的对应点为，点M为线段上一动点，则的最小值为．【答案】/【分析】作于H，作于L，首先利用勾股定理得的长，再根据，求出的长，再利用，得，则当E、M、L三点共线时，最小，最小值为的长，进而解决问题．【详解】解：如图，作于H，作于L，在矩形中，，，，，，∵沿直线翻折，点A的对应点恰好落在对角线上，∴，，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴当E、M、L三点共线时，最小，最小值为的长，∴，∴的最小值为，故答案为：．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，翻折的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的运用，垂线段最短等知识，熟练掌握最短路径的计算方法是解题的关键．10．（2023·新疆·九年级期中）如图，在△ACE中，CA＝CE，∠CAE＝30°，半径为5的⊙O经过点C，CE是圆O的切线，且圆的直径AB在线段AE上，设点D是线段AC上任意一点（不含端点），则ODCD的最小值为_____．【答案】【分析】作OF平分∠AOC，交⊙O于F，连接AF、CF、DF，易证四边形AOCF是菱形，根据对称性可得DF=DO．过点D作DH⊥OC于H，易得DH=DC，从而有CD+OD=DH+FD．根据两点之间线段最短可得：当F、D、H三点共线时，DH+FD（即CD+OD）最小，后在Rt△OHF中运用三角函数即可解决问题．【详解】解：作OF平分∠AOC，交⊙O于F，连接AF、CF、DF，如图所示，∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC=30°，∴∠COB=60°，则∠AOF=∠COF=∠AOC=（180°-60°）=60°．∵OA=OF=OC，∴△AOF、△COF是等边三角形，∴AF=AO=OC=FC，∴四边形AOCF是菱形，∴根据对称性可得DF=DO．过点D作DH⊥OC于H，则DH=DC，∴CD+OD=DH+FD．根据两点之间线段最短可得，当F、D、H三点共线时，DH+FD（即CD+OD）最小，∵OF=OA=5，∴，∴即CD+OD的最小值为．故答案为：．【点睛】本题主要考查了圆半径相等的性质，等边三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、两点之间线段最短、等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，把CD+OD转化为DH+FD是解题的关键．11．（2023·山东·九年级专题练习）如图，直线y＝x﹣3分别交x轴、y轴于B、A两点，点C（0，1）在y轴上，点P在x轴上运动，则PC＋PB的最小值为___．【答案】4【详解】思路引领：过P作PD⊥AB于D，依据△AOB是等腰直角三角形，可得∠BAO＝∠ABO＝45°＝∠BPD，进而得到△BDP是等腰直角三角形，故PDPB，当C，P，D在同一直线上时，CD⊥AB，PC+PD的最小值等于垂线段CD的长，求得CD的长，即可得出结论．答案详解：如图所示，过P作PD⊥AB于D，∵直线y＝x﹣3分别交x轴、y轴于B、A两点，令x＝0，则y＝﹣3；令y＝0，则x＝3，∴A（0，﹣3），B（3，0），∴AO＝BO＝3，又∵∠AOB＝90°，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠BAO＝∠ABO＝45°＝∠BPD，∴△BDP是等腰直角三角形，∴PDPB，∴PC+PB（PCPB）（PC+PD），当C，P，D在同一直线上，即CD⊥AB时，PC+PD的值最小，最小值等于垂线段CD的长，此时，△ACD是等腰直角三角形，又∵点C（0，1）在y轴上，∴AC＝1+3＝4，∴CDAC＝2，即PC+PD的最小值为，∴PC+PB的最小值为4，故答案为：4．12．（2023·陕西宝鸡·统考二模）如图，在矩形中，，，点是对角线上的动点，连接，则的最小值为______．【答案】【分析】直接利用已知得出，再将原式变形，进而得出最小值，进而得出答案．【详解】过点A作，过点D作于点H，交于点，∵在矩形中，，∴，∴，则，∵，此时最小，∴的最小值是．故答案为：．【点睛】此题主要考查了胡不归问题，正确作出辅助线是解题关键．13．（2023·湖南湘西·八年级统考阶段练习）如图，已知菱形ABCD的边长为4，点是对角线AC上的一动点，且∠ABC=120°，则()的最小值是____________．【答案】【分析】作DE⊥AB于E点，连接BD，根据垂线段最短，此时DE最短，即PA+PB+PD最小，根据菱形性质和等边三角形的性质即可求出DE的长，进而得出结论．【详解】解：如图，作DE⊥AB于E点，连接BD∵菱形ABCD中，∠ABC＝120°∴∠DAB=60°，则△ABD为等边三角形∴∠PAE=30°∴AP=2PE∵PD=PB∴PA+PB+PD=2PE+2PD=2DE根据垂线段最短，此时DE最短，即PA+PB+PD最小∵菱形的边长为4∴AB=4，AE=2∴DE=∴2DE=∴PA+PB+PD最小值为故答案为：【点睛】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定与性质，掌握菱形的性质，将多条线段转化是解题关键．14．（2023·四川宜宾·校考模拟预测）如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P为边CD上的一动点，则的最小值等于________．【答案】【分析】过点P作PQ⊥AD于点Q，由于∠PDQ=60°，因此，由此可知当B、P、Q三点共线时有最小值，然后利用解直角三角形的知识进行求解即可.【详解】过点P作PQ⊥AD，垂足为Q，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC//AB，∴∠QDP=∠DAB=60°，∴PQ=PD•sin∠QDP=PD，∴=BP+PQ，∴当点B、P、Q三点共线时有最小值，∴的最小值为，故答案为：3.【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解直角三角形，线段之和最短问题，正确添加辅助线，灵活运用相关知识是解题的关键.15．（2023·成都市·九年级课时练习）点E为正方形ABCD的AB边上的一个动点，AB=3，如图1，将正方形ABCD对折，使点A与点B重合，点C与点D重合，折痕为MN．思考探索(1)如图2，将正方形ABCD展平后沿过点C的直线CE折叠，使点B的对应点B′落在MN上，折痕为EC．①点B'在以点E为圆心，的长为半径的圆上；②B'M=______；拓展延伸(2)当AB=3AE时，正方形ABCD沿过点E的直线l（不过点B）折叠后，点B的对应点B'落在正方形ABCD内部或边上，连接AB'．①△ABB'面积的最大值为______；②点P为AE的中点，点Q在AB'上，连接PQ，若∠AQP=∠AB'E、求B'C+2PQ的最小值．【答案】(1)①BE；②(2)①3；②B'C+2PQ的最小值为．【分析】（1）①由折叠的性质知，点B'在以点E为圆心，BE的长为半径的圆上，②由折叠的性质得出BE=BE′，BC=B′C，MA=MB=NC=ND=AB=，∠B=∠EB′C，进而求解；（2）①△ABB'面积的最大时，只要AB边上的高最大即可，故当B′E⊥AB时，△ABB'面积的最大，进而求解；②证明PQ是△AEB′的中位线，故E、B′、C三点共线时，B'C+2PQ取得最小值为CE，即可求解．（1）解：由折叠的性质知，BE=B′E，BC=B′C，MA=MB=NC=ND=AB=，∠B=∠EB′C，①由题意得，点B'在以点E为圆心，BE的长为半径的圆上；②MB′=MN-NB′=MN-；故答案为：①BE；②；（2）解：①∵AB=3AE=3，∴AE=1，BE=2，∵点B'在以点E为圆心，BE的长为半径的圆上，如图1，∴△ABB'面积的最大时，只要AB边上的高最大即可，∴当B′E⊥AB时，△ABB'面积的最大，∴△ABB'面积=×AB×B′E=×3×2=3，故答案为：3；②∵∠AQP=∠AB'E，∴PQ∥B′E，∵P是AE的中点，∴PQ是△AEB′的中位线，如图2，∴PQ=B′E，即B'C+2PQ=B′C+B′E，∴E、B′、C三点共线时，B'C+2PQ取得最小值为CE，则CE=，即B'C+2PQ的最小值为．【点睛】本题是几何变换综合题，考查了正方形的性质，折叠的性质，等边三角形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．16．（2023上·重庆沙坪坝·九年级校考阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，直线经过点，与x轴交于点，点C为中点，反比例函数刚好经过点C．将直线绕点A沿顺时针方向旋转得直线，直线与x轴交于点D．

(1)求反比例函数解析式；(2)如图2，点Q为射线以上一动点，当取最小值时，求的面积；(3)将沿射线方向进行平移，得到且刚好落在y轴上，已知点M为反比例函数上一点，点N为y轴上一点，若以M，N，B，为顶点的四边形为平行四边形，直接写出所有满足条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．【答案】(1)反比例函数解析式为(2)的面积为(3)N点坐标为，或，过程见解析【分析】（1）过点A作于点E，过点C作于点F，根据平行线分线段定理可得，从而求得，再利用待定系数法求反比例函数解析式即可；（2）由锐角三角函数求得，再由三角形内角和求得，从而求得，根据等腰三角形的性质可得，从而求得，作直线，可得，过点Q作于点H，则，可得当D，Q，H三点共线时，取最小值，此时Q与A重合，再利用求解即可；（3）由平移的性质可知，设，，分类讨论：当为对角线、为对角线或为对角线时，利用中点坐标公式求解即可．【详解】（1）解：过点A作于点E，过点C作于点F，∵，∴，点C为中点，∵，，∴，，∴，∴，∴反比例函数解析式为；

（2）解：∵，，∴，∵将直线顺时针旋转得到直线，∴，∴，∴，∴，∴，作直线，∴，过点Q作于点H，∴，∴当D，Q，H三点共线时，取最小值，此时Q与A重合，∴，∴的面积为；（3）解：N点坐标为，或，理由如下：由题可知，，设，，当为对角线时，，解得：，∴，当为对角线时，如图，∵，解得，∴，

当为对角线时，如图，，解得，∴，综上，N点坐标为，或．【点睛】本题考查平行线分线段定理、用待定系数法求反比例函数解析式、等腰三角形的判定与性质、平行四边形的性质、旋转的性质及平移的性质、中点坐标公式，熟练掌握相关的性质是解题的关键．17．（2023·江苏·中考模拟）如图，抛物线与直线交于，两点，交轴于，两点，连接，，已知，．（Ⅰ）求抛物线的解析式和的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）条件下：（1）为轴右侧抛物线上一动点，连接，过点作交轴于点，问：是否存在点使得以，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．（2）设为线段上一点（不含端点），连接，一动点从点出发，沿线段以每秒一个单位速度运动到点，再沿线段以每秒个单位的速度运动到后停止，当点的坐标是多少时，点在整个运动中用时最少？解：（Ⅰ）把，代入，得，解得：．抛物线的解析式为联立，解得：或，点的坐标为．如图1．，，，，，，，是直角三角形，，；（Ⅱ）方法一：（1）存在点，使得以，，为顶点的三角形与相似．过点作轴于，则．设点的横坐标为，由在轴右侧可得，则．，，．若点在点的下方，①如图2①，当时，则．，，，．．则．把代入，得，整理得：解得：（舍去），（舍去）．②如图2②，当时，则．同理可得：，则，把代入，得，整理得：解得：（舍去），，，；若点在点的上方，①当时，则，同理可得：点的坐标为．②当时，则．同理可得：点的坐标为，．综上所述：满足条件的点的坐标为、，、，；方法二：作的“外接矩形”，易证，，以，，为顶点的三角形与相似，或，设，，，①，，，，②，，，（舍，满足题意的点的坐标为、，、，；（2）方法一：过点作轴于，如图3．在中，，即，点在整个运动中所用的时间为．作点关于的对称点，连接，则有，，，，．根据两点之间线段最短可得：当、、三点共线时，最小．此时，，四边形是矩形，，．对于，当时，有，解得：，．，，，，点的坐标为．方法二：作点关于的对称点，交于点，显然，作轴，垂足为，交直线于点，如图4，在中，，即，当、、三点共线时，最小，，，，，，，，，，，，为的中点，，，．方法三：如图，5，过作射线轴，过作射线轴，与交于点．，，．，，，，．．当且仅当时，取得最小值，点在整个运动中用时最少为：，抛物线的解析式为，且，可求得点坐标为则点横坐标为2，将代入，得．所以．18．（2022·广东广州·统考中考真题）如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，AB=6，连接BD．(1)求BD的长；(2)点E为线段BD上一动点（不与点B，D重合），点F在边AD上，且BE=DF，①当CE丄AB时，求四边形ABEF的面积；②当四边形ABEF的面积取得最小值时，CE+CF的值是否也最小？如果是，求CE+CF的最小值；如果不是，请说明理由．【答案】(1)；(2)①四边形ABEF的面积为；②最小值为12【分析】（1）证明△ABC是等边三角形，可得BO=，即可求解；（2）过点E作AD的垂线，分别交AD和BC于点M，N，根据菱形的面积可求出MN=，设BE=，则EN=，从而得到EM=MN-EN=，再由BE=DF，可得DF=，从而得到四边形ABEF的面积s=S△ABD-S△DEF，①当CE⊥AB时，可得点E是△ABC重心，从而得到BE=CE=BO=，即可求解；②作CH⊥AD于H，可得当点E和F分别到达点O和点H位置时，CF和CE分别达到最小值；再由，可得当，即BE=时，s达到最小值，从而得到此时点E恰好在点O的位置，而点F也恰好在点H位置，即可求解．【详解】（1）解∶连接AC，设AC与BD的交点为O，如图，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA=OC，AB∥CD，A