2022-2023学年湖南省长沙市天心区长郡外国语实验中学八年级（下）第一次月考数学试卷

第1页（共1页）2022-2023学年湖南省长沙市天心区长郡外国语实验中学八年级（下）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共36分）1．（3分）要使得式子有意义，则x的取值范围是（）A．x＞2 B．x≥2 C．x＜2 D．x≤22．（3分）下列几组数据能作为直角三角形的三边长的是（）A．2，3，4 B．，， C．4，6，9 D．3，4，53．（3分）下列计算正确的是（）A．＝﹣2 B．4﹣3＝1 C．+＝ D．2＝4．（3分）矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A．两组对边分别相等 B．两组对角分别相等 C．两条对角线互相平分 D．两条对角线相等5．（3分）如图，已知△ABC中，∠C＝90°，DE是△ABC的中位线，AC＝4，则DE＝（）A． B． C．1 D．26．（3分）如图，矩形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（）A．2.5 B．2 C． D．7．（3分）如图，长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则AE的长为（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm8．（3分）如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高4.5m的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，如①图所示，人只要移至该门口4m及4m以内时，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”，如②图所示，一个身高1.5m的学生走到D处，门铃恰好自动响起，则该生头顶C到门铃A的距离为（）A．3米 B．4米 C．5米 D．6米9．（3分）已知x＝﹣2，y＝+2，则+的值为（）A．2 B．﹣4 C．4 D．﹣210．（3分）如图，AB＝AC＝13，BP⊥CP，BP＝8，CP＝6，则四边形ABPC的面积为（）A．48 B．60 C．36 D．7211．（3分）已知﹣1＜a＜0，化简的结果为（）A．2a B．﹣2a C．﹣ D．12．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别与AD，AC，BC相交于点E，O，F．下列结论正确的个数有（）①四边形AFCE为菱形；②△ABF≌△CDE；③当F为BC中点时，∠ACD＝90°．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）13．（3分）已知x、y都是实数，且y＝++3．则xy＝．14．（3分）如图，一架梯子AB长10米，底端离墙的距离BC为6米，当梯子下滑到DE时，AD＝2米，则BE＝米．15．（3分）在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，AE＝4，AF＝6，平行四边形ABCD的周长为40，则平行四边形ABCD的面积为．16．（3分）如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝4，BC＝10，则EF的长为．17．（3分）如图所示的正方形图案是用4个全等的直角三角形拼成的．已知正方形ABCD的面积为25，正方形EFGH的面积为1，若用x、y分别表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列三个结论：①x2+y2＝25；②x﹣y＝1；③xy＝12；④x+y＝40．其中正确的是（填序号）．18．（3分）如图，在△ABC中∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，P为边BC上动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则PM的最小值为．三、解答题（本大题共8小题，共66分）19．（6分）计算：（1）；（2）．20．（6分）已知：，．（1）求ab．（2）求a2+b2﹣2ab．21．（8分）在杭州西湖风景游船处，如图，在离水面高度为5m的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13m，此人以0.5m/s的速度收绳10s后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少m？（假设绳子是直的，结果保留根号）22．（8分）如图，连接四边形ABCD的对角线AC，已知∠B＝90°，BC＝1，AB＝，CD＝2，AD＝2．（1）求证：△ACD是直角三角形；（2）求四边形ABCD的面积．23．（9分）如图在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对线AC，BD相交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE∥DB交AB的延长线于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若∠DAB＝60°，且AB＝6，求OE的长．24．（9分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．（1）判断四边形OEFG的形状；（2）若AC＝8，BD＝6，求菱形ABCD的面积和EF的长．25．（10分）定义：若四边形有一组对角互补，有一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形定义为“郡外四边形”．（1）如下：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形，一定是“郡外四边形”的是：．（2）如图点P是正方形ABCD对角线AC上一点，点O是线段AC中点，点E是射线BC上一点，且PE＝PB，连接PD．①如图1，当点P在线段AO上时，求证：四边形PECD为“郡外四边形”；②如图2，当点P在线段CO上时，试用等式来表示PB，BC，CE的数关系，并证明．26．（10分）在平面直角坐标系中，O是原点，矩形ABCO的顶点A、C分别在x轴、y轴上，已知B点坐标为（a，b），且a，b满足a2﹣10a+25+＝0，若点M沿线段CB从C向B以每秒2cm的速度运动至B，同时动点N沿线段AO从A向O以同样的速度运动，当其中一个点停止时，另一个也停止运动，设运动时间为t秒，连接OM、BN．（1）如图1，当t为何值时，四边形OMBN是菱形？（2）如图2，将矩形OABC沿着AP折叠，点O的对应点Q′恰好落在BC边上，连接OQ′，①求Q′点坐标；②求四边形AOPQ′的面积．如图3，点P是对角线OB上一动点，点Q是OA上一动点，求AP+PQ的最小值．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，共36分）1．（3分）要使得式子有意义，则x的取值范围是（）A．x＞2 B．x≥2 C．x＜2 D．x≤2【解答】解：根据题意，得x﹣2≥0，解得x≥2．故选：B．2．（3分）下列几组数据能作为直角三角形的三边长的是（）A．2，3，4 B．，， C．4，6，9 D．3，4，5【解答】解A、∵22+32＝13，42＝16，∴22+32≠42，∴不能组成直角三角形，故A不符合题意；B、∵（）2+（）2＝7，（）2＝5，∴（）2+（）2≠（）2，∴不能组成直角三角形，故B不符合题意；C、∵42+62＝52，92＝81，∴42+62≠92，∴不能组成直角三角形，故C不符合题意；D、∵42+32＝25，52＝25，∴42+32＝52，∴能组成直角三角形，故D符合题意；故选：D．3．（3分）下列计算正确的是（）A．＝﹣2 B．4﹣3＝1 C．+＝ D．2＝【解答】解：A.＝2，故此选项不合题意；B.4﹣3＝，故此选项不合题意；C.+无法合并，故此选项不合题意；D.2＝2×＝，故此选项符合题意；故选：D．4．（3分）矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A．两组对边分别相等 B．两组对角分别相等 C．两条对角线互相平分 D．两条对角线相等【解答】解：A、矩形、平行四边形的对边都是相等的，故本选项不符合；B、矩形、平行四边形的对角都是相等的，故本选项不符合；C、矩形、平行四边形的对角线都是互相平分的，故本选项不符合；D、矩形的对角线相等，平行四边形的对角线不一定相等，故本选项符合；故选：D．5．（3分）如图，已知△ABC中，∠C＝90°，DE是△ABC的中位线，AC＝4，则DE＝（）A． B． C．1 D．2【解答】解：∵DE是△ABC的中位线，AC＝4，∴DE＝AC＝2，故选：D．6．（3分）如图，矩形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（）A．2.5 B．2 C． D．【解答】解：由勾股定理可知，∵OB＝，∴这个点表示的实数是．故选：D．7．（3分）如图，长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则AE的长为（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm【解答】解：∵长方形折叠点B与点D重合，∴BE＝ED，设AE＝xcm，则ED＝（9﹣x）cm，BE＝（9﹣x）cm，在Rt△ABE中，AB2+AE2＝BE2，即32+x2＝（9﹣x）2，解得x＝4，∴AE的长是4cm，故选：B．8．（3分）如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高4.5m的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，如①图所示，人只要移至该门口4m及4m以内时，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”，如②图所示，一个身高1.5m的学生走到D处，门铃恰好自动响起，则该生头顶C到门铃A的距离为（）A．3米 B．4米 C．5米 D．6米【解答】解：由题意可知．BE＝CD＝1.5m，AE＝AB﹣BE＝4.5﹣1.5＝3m，CE＝4m，由勾股定理得AC＝＝＝5（m），故离门5米远的地方，门铃恰好自动响起．故选：C．9．（3分）已知x＝﹣2，y＝+2，则+的值为（）A．2 B．﹣4 C．4 D．﹣2【解答】解：+＝，当x＝﹣2，y＝+2时，x+y＝﹣2++2＝2，xy＝（﹣2）（+2）＝3﹣4＝﹣1，∴原式＝＝﹣2．故选：D．10．（3分）如图，AB＝AC＝13，BP⊥CP，BP＝8，CP＝6，则四边形ABPC的面积为（）A．48 B．60 C．36 D．72【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC于D，在Rt△BPC中，由勾股定理得，BC＝，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴AD是△ABC的中线，∴BD＝CD＝，在Rt△ABD中，由勾股定理得，AD＝＝＝12，∴S＝60，∵S＝24，∴四边形ABPC的面积＝S△ABC﹣S△BPC＝60﹣24＝36，故选：C．11．（3分）已知﹣1＜a＜0，化简的结果为（）A．2a B．﹣2a C．﹣ D．【解答】解：＝﹣＝||﹣||，当﹣1＜a＜0时，原式＝a﹣+＝2a．故选：A．12．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别与AD，AC，BC相交于点E，O，F．下列结论正确的个数有（）①四边形AFCE为菱形；②△ABF≌△CDE；③当F为BC中点时，∠ACD＝90°．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD，∠B＝∠D，AB∥CD，∴∠EAC＝∠FCA，∵EF垂直平分AC，∴OA＝OC，EA＝EC，∴∠EAC＝∠ECA，∴∠FCA＝∠ECA，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF，∴四边形AFCE为平行四边形，∵EF垂直平分AC，∴平行四边形AFCE是菱形，①正确；∴AE＝CF，∴BF＝DE，在△ABF和△CDE中，，∴△ABF≌△CDE（SAS），②正确；∵四边形AFCE是菱形，∴AF＝CF，∵F为BC的中点，∴BF＝CF，∴AF＝CF＝BC，∴∠BAC＝90°，∵AB∥CD，∴∠ACD＝∠BAC＝90°，③正确；正确的个数有3个，故选：D．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）13．（3分）已知x、y都是实数，且y＝++3．则xy＝6．【解答】解：∵x﹣2≥0，2﹣x≥0，∴x＝2，∴y＝3，∴xy＝2×3＝6．故答案为：6．14．（3分）如图，一架梯子AB长10米，底端离墙的距离BC为6米，当梯子下滑到DE时，AD＝2米，则BE＝2米．【解答】解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，可得：AC＝＝＝8（米），∴DC＝AC﹣AD＝8﹣2＝6（米），在Rt△DCE中，CE＝＝＝8（米），∴BE＝CE﹣BC＝8﹣6＝2（米），故答案为：2．15．（3分）在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，AE＝4，AF＝6，平行四边形ABCD的周长为40，则平行四边形ABCD的面积为48．【解答】解：∵平行四边形ABCD的周长为40，∴BC+CD＝20，设BC为x，∵S平行四边形ABCD＝BC•AE＝CD•AF，∴4x＝（20﹣x）×6，解得x＝12，∴平行四边形ABCD的面积为12×4＝48．故答案为48．16．（3分）如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝4，BC＝10，则EF的长为3．【解答】解：∵DE为△ABC的中位线，∴DE＝BC＝5，∵∠AFB＝90°，D是AB的中点，∴DF＝AB＝2，∴EF＝DE﹣DF＝3，故答案为：3．17．（3分）如图所示的正方形图案是用4个全等的直角三角形拼成的．已知正方形ABCD的面积为25，正方形EFGH的面积为1，若用x、y分别表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列三个结论：①x2+y2＝25；②x﹣y＝1；③xy＝12；④x+y＝40．其中正确的是①②③（填序号）．【解答】解：由题意可得小正方形的边长＝1，大正方形的边长＝5，x2+y2＝斜边2＝大正方形的面积＝25，故①正确；∵小正方形的边长为1，∴x﹣y＝1，故②正确；∵小正方形的面积+四个直角三角形的面积等于大正方形的面积，∴1+2xy＝25，∴xy＝12，故③正确；（x+y）2＝x2+2xy+y2＝25+24＝49．x＞0，y＞0，∴x+y＝7，故④不正确．综上可得①②③正确．故答案为：①②③．18．（3分）如图，在△ABC中∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，P为边BC上动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则PM的最小值为2.4．【解答】解：连接AP，如图所示：∵∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，∴，∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴四边形AFPE是矩形，∴EF＝AP，EF与AP互相平分，∵M是EF的中点，∴M为AP的中点，∴，根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，即AP⊥BC时，AP最短，同样PM也最短，∴当AP⊥BC时，由△ABC的面积计算公式（等积法）可得，，∴AP最短时，AP＝4.8，∴当PM最短时，．故答案为：2.4．三、解答题（本大题共8小题，共66分）19．（6分）计算：（1）；（2）．【解答】解：（1）原式＝1+2+2﹣+16＝19+；（2）原式＝22﹣（）2+（）2﹣2×+（）2＝4﹣3+3﹣2+2＝6﹣2．20．（6分）已知：，．（1）求ab．（2）求a2+b2﹣2ab．【解答】解：（1）把a＝+2，b＝﹣2代入得：ab＝（+2）（﹣2）＝（）2﹣22＝5﹣4＝1；（2）当a＝+2，b＝﹣2时，a2+b2﹣2ab＝（a﹣b）2＝[（+2）﹣（﹣2）]2＝42＝16．21．（8分）在杭州西湖风景游船处，如图，在离水面高度为5m的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13m，此人以0.5m/s的速度收绳10s后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少m？（假设绳子是直的，结果保留根号）【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，BC＝13m，AC＝5m，∴（m），∵此人以0.5m/s的速度收绳，10s后船移动到点D的位置，∴CD＝13﹣0.5×10＝8（m），∴（m），∴）（m）．答：船向岸边移动了）m．22．（8分）如图，连接四边形ABCD的对角线AC，已知∠B＝90°，BC＝1，AB＝，CD＝2，AD＝2．（1）求证：△ACD是直角三角形；（2）求四边形ABCD的面积．【解答】（1）证明：∵∠B＝90°，BC＝1，AB＝，∴AC＝，∵CD＝2，AD＝2，∴AC2+CD2＝AD2，∴△ACD是直角三角形；（2）解：∵AB＝，BC＝1，∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝．23．（9分）如图在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对线AC，BD相交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE∥DB交AB的延长线于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若∠DAB＝60°，且AB＝6，求OE的长．【解答】（1）证明：∵AB∥DC，∴∠CAB＝∠ACD，∵AC平分∠BAD，∴∠CAB＝∠CAD，∴∠CAD＝∠ACD，∴DA＝DC，∵DA＝AB，∴AB＝DC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形；（2）解：由（1）得：四边形ABCD是菱形，∵∠DAB＝60°，∴∠OAB＝30°，∠AOB＝90°，∵AB＝6，∴，∵，∴四边形DBEC是平行四边形，∴，∴；24．（9分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．（1）判断四边形OEFG的形状；（2）若AC＝8，BD＝6，求菱形ABCD的面积和EF的长．【解答】解：（1）四边形OEFG是矩形．在菱形ABCD中，DO＝BO，又∵E是AD的中点，∴AE＝DE，OE∥AB，∴OE∥FG，又∵OG∥EF，∴四边形OEFG是平行四边形．∵EF⊥AB，∴∠EFG＝90°，∵四边形OEFG是矩形．（2）菱形的面积＝．∵四边形ABCD是菱形，∴，∴AB＝5．由（1）知，四边形OEFG是矩形，∴EF＝OG，OG⊥AB．∴，∴，∴．25．（10分）定义：若四边形有一组对角互补，有一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形定义为“郡外四边形”．（1）如下：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形，一定是“郡外四边形”的是：④．（2）如图点P是正方形ABCD对角线AC上一点，点O是线段AC中点，点E是射线BC上一点，且PE＝PB，连接PD．①如图1，当点P在线段AO上时，求证：四边形PECD为“郡外四边形”；②如图2，当点P在线段CO上时，试用等式来表示PB，BC，CE的数关系，并证明．【解答】（1）解：平行四边形：相等邻边的夹角不是直角，故平行四边形不是“郡外四边形”；矩形：没有一组邻边相等，故矩形不是“郡外四边形”；菱形：相等邻边的夹角不是直角，故菱形不是“郡外四边形”；正方形：有一组对角互补，有一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，故正方形是“郡外四边形”；故答案为：④；（2）证明：①∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，∴BC＝DC，∠BCP＝∠DCP＝45°，∵PC＝PC，∴△BCP≌△DCP（SAS），∴PB＝PD，∠PBC＝∠PDC，∵PE＝PB，∴PD＝PE，∠PBC＝∠PEB，∴∠PEB＝∠PDC，∴∠PEC+∠PDC＝180°，由四边形PECD内角和为360°，∴∠DPE+∠DCE＝180°，∵∠DCE＝90°，∴∠DPE＝90°，∴PD⊥PE且PD＝PE，∴四边形PECD为“郡外四边形”；证明：②BC2+CE2＝2PB2；∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，∴BA＝DA，∠BAP＝∠DAP＝45°，∵PA＝PA，∴△BAP≌△DAP（SAS），∴PB＝PD，∵PE＝PB，∴PD＝PE；（i）当点E与点C重合时，点P恰好在AC中点处，此时，PD⊥PE，CE＝0，则由勾股定理有：2PB2＝BC2；（ii）当点E在BC的延长线上时，如图，∵△ADP≌△ABP，∴∠ABP＝∠ADP，∴∠CDP＝∠CBP，∵PE＝PB，∴∠CBP＝∠PEC，∴∠PEC＝∠PDC，∵