山西省晋中市小杜余沟中学高二数学理测试题含解析

山西省晋中市小杜余沟中学高二数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.不等式的解集为

(

)A．

B．C．D．参考答案：B2.若函数在区间内是单调递减函数，则实数的取值范围是(

)A.

B.

C.

D.参考答案：A略3.已知||=1，||=2，且与夹角为60°，则等于(

) A．1 B．3 C．2﹣ D．4﹣参考答案：B考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：将所求展开，利用已知得到数量积，可求．解答： 解：因为||=1，||=2，且与夹角为60°，则==4﹣1×2×cos60°=3；故选B．点评：本题考查了平面向量的数量积公式的运用；属于基础题．4.在△ABC中，已知，B=，A=，则等于(

)

A．

B．

C．

D．参考答案：C5.已知集合，，则如图中阴影部分所表示的集合为（

）A. B.C. D.参考答案：D【分析】由图象可知阴影部分对应的集合为，然后根据集合的基本运算求解即可.【详解】由Venn图可知阴影部分对应的集合为，或，，，即，故选D.【点睛】本题主要考查集合的计算，利用图象确定集合关系是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.6.设F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，过F1的直线?与E相交于A、B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列，则|AB|的长为（）A． B．1 C． D．参考答案：C【考点】椭圆的简单性质；等差数列的通项公式．【分析】利用等差数列的性质，结合椭圆的定义，即可求得|AB|．【解答】解：∵|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列，∴|AF2|+|BF2|=2|AB|，∵|AF2|+|AB|+|BF2|=4a=4∴3|AB|=4∴|AB|=故选C．7.等差数列中，，，且，为其前项之和，则（

）A．都小于零，都大于零B．都小于零，都大于零C．都小于零，都大于零D．都小于零，都大于零参考答案：C8.已知椭圆的长轴长是8，焦距为6，则此椭圆的标准方程是（）A．B．或C．D．或参考答案：B【考点】K3：椭圆的标准方程．【分析】分类讨论，a=4，2c=6，c=3，b2=a2﹣c2=7，即可求得椭圆方程．【解答】解：假设椭圆的焦点在x轴上，设椭圆方程（a＞b＞0），由2a=8，则a=4，2c=6，c=3，b2=a2﹣c2=7，∴椭圆的标准方程：；同理：当椭圆的焦点在y轴上，椭圆的方程：，∴椭圆的标准方程或，故选B．【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查分类讨论思想，属于基础题．9.在极坐标系中，直线被曲线截得的线段长为（

）A. B. C. D.2参考答案：C【分析】将直线与圆的极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心与半径，利用点到直线的距离公式与勾股定理可得结果.【详解】直线的直角坐标方程为，即，化为，直角坐标方程为，圆心为原点，半径为，圆心到直线的距离为，被圆截得的弦长为，故选C.【点睛】本题主要考查极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线距离公式以及圆的弦长的求法，属于中档题.求圆的弦长有两种方法：一是利用弦长公式，结合韦达定理求解；二是利用半弦长，弦心距，圆半径构成直角三角形，利用勾股定理求解.

10.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为１，点M在棱AB上，且,点P是ABCD面内的动点，且点P到直线A1D1的距离与点P到点M的距离的平方差为１，则点P的轨迹是（

）（A）抛物线

（B）双曲线

（C）直线

（D）以上都不是参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.下列四个命题：①当a为任意实数时，直线恒过定点P，则过点P且焦点在y轴上的抛物线的标准方程是；②已知双曲线的右焦点为(5,0)，一条渐近线方程为，则双曲线的标准方程是；③抛物线的准线方程为；④已知双曲线，其离心率，则m的取值范围是(－12,0).其中正确命题的序号是___________．（把你认为正确命题的序号都填上）参考答案：①②③④【分析】①先由直线方程求出点P坐标，进而可得出所求抛物线方程；即可判断①的真假；②根据双曲线的焦点坐标，以及渐近线方程得到的值，进而可得出所求双曲线方程；判断出②的真假；③由抛物线方程直接得到准线方程，从而可得③的真假；④根据双曲线方程与离心率范围，求出的取值范围，即可判断出④的真假.【详解】①因为直线可化为，由得，即，设焦点在轴上的抛物线的标准方程为，由抛物线过点，可得，所以，故所求抛物线的方程为；故①正确；②因为双曲线的右焦点为，一条渐近线方程为，所以，又，所以，故所求双曲线的方程为；故②正确；③抛物线的标准方程为，所以其准线方程为；故③正确；④因为为双曲线，所以，又离心率为，所以，解得，故④正确.故答案为①②③④【点睛】本题主要考查圆锥曲线综合，熟记圆锥曲线的方程与简单性质即可，属于常考题型.12.在平面直角坐标系xOy中，曲线x2+y2=2|x|+2|y|围成的图形的面积为．参考答案：6π+8【考点】圆的一般方程．【分析】x＞0，y＞0时，方程化为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，其面积为=+2，根据图象的对称性，可得曲线x2+y2=2|x|+2|y|围成的图形的面积．【解答】解：x＞0，y＞0时，方程化为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，其面积为=+2根据图象的对称性，可得曲线x2+y2=2|x|+2|y|围成的图形的面积为6π+8，故答案为6π+8．13.若抛物线的焦点与双曲线的左焦点重合,则的值

.参考答案：414.下列命题中，真命题的有________.（只填写真命题的序号）①若则“”是“”成立的充分不必要条件；②若椭圆的两个焦点为，且弦过点，则的周长为③若命题“”与命题“或”都是真命题，则命题一定是真命题；④若命题：，，则：．参考答案：①③④15.命题“在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。”的逆命题是______________命题（填“真”或“假”）．参考答案：真略16.命题：__________.参考答案：略17.观察下列等式：，，，……由以上等式推测到一个一般的结论：对于n∈，

；参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分10分，第1问4分，第2问6分）已知

（1）求；

（2）当为何实数时,与平行,平行时它们是同向还是反向？参考答案：解：（1），………………2分∴==.……………4分（2），…………5分设，即…………7分∴

.………………9分故时，它们反向平行。……………10分

略19.在平面直角坐标系xOy中,曲线C1过点,其参数方程为（t为参数，），以O为极点,x轴非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为．(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；(2)已知曲线C1和曲线C2交于A，B两点，且，求实数a的值．参考答案：（1）,；（2）或.【分析】(1)直接消参得到曲线C1的普通方程，利用极坐标和直角坐标互化的公式求曲线C2的直角坐标方程；（2）把曲线C1的标准参数方程代入曲线C2的直角坐标方程利用直线参数方程t的几何意义解答.【详解】C1的参数方程为消参得普通方程为x－y－a＋1＝0，C2的极坐标方程为ρcos2θ＋4cosθ－ρ＝0，两边同乘ρ得ρ2cos2θ＋4ρcosθ－ρ2＝0，得y2＝4x．所以曲线C2的直角坐标方程为y2＝4x．(2)曲线C1的参数方程可转化为(t为参数，a∈R)，代入曲线C2：y2＝4x，得＋1－4a＝0，由Δ＝，得a>0，设A，B对应的参数分别为t1，t2，由|PA|＝2|PB|得|t1|＝2|t2|，即t1＝2t2或t1＝－2t2，当t1＝2t2时，解得a＝；当t1＝－2t2时，解得a＝，综上，或．【点睛】本题主要考查参数方程、极坐标方程和直角坐标方程的互化，考查直线参数方程t的几何意义解题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20.已知a∈R，函数f(x)＝4x3－2ax＋a．(1)求f(x)的单调区间；(2)证明：当0≤x≤1时，f(x)＋|2－a|＞0．参考答案：由题意得f′(x)＝12x2－2a．当a≤0时，f′(x)≥0恒成立，此时f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)．当a＞0时，，此时函数f(x)的单调递增区间为和．单调递减区间为．证明：由于0≤x≤1，故当a≤2时，f(x)＋|a－2|＝4x3－2ax＋2≥4x3－4x＋2．当a＞2时，f(x)＋|a－2|＝4x3＋2a(1－x)－2≥4x3＋4(1－x)－2＝4x3－4x＋2．设g(x)＝2x3－2x＋1,0≤x≤1，则g′(x)＝6x2－2＝，于是在x∈(0,1)上，当x变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如下表：x01g′(x)

－0＋

g(x)1单调递减极小值单调递增1所以，g(x)min＝＞0．所以当0≤x≤1时，2x3－2x＋1＞0．故f(x)＋|a－2|≥4x3－4x＋2＞0．21.（本小题满分12分）等比数列中，已知.(1)求数列的通项公式；(2)若分别为等差数列的第3项和第5项，试求数列的通项公式及前项和参考答案：(1)设{an}的公比为q.由已知得16＝2q3，解得q＝2.∴an＝a1qn－1＝2n.………………4分

(2)由(1)得a3＝8，a5＝32，则b3＝8，b5＝32.设{bn}的公差为d，则有从而bn＝－16＋12(n－1)＝12n－28.………………8分所以数列{bn}的前n项和22.(本小题满分14分)设分别为椭圆C：=1（a＞b＞0）的左右焦点。（1）设椭圆C上的点到两