四川省绵阳市第四中学2022年高二数学理上学期摸底试题含解析

四川省绵阳市第四中学2022年高二数学理上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在不等式组表示的平面区域内，目标函数的最大值是（

）Ａ．

Ｂ．2

Ｃ．1

Ｄ．参考答案：C2.在△ABC中，其中有两解的是（

）

A.a=8,b=16,A=30°

B.a=30,b=25,A=150°

C

a=72,b=50,A=135°

D.a=18,b=20,A=60°参考答案：C3.已知等差数列的公差为3，若成等比数列，则等于

A． B． C． D．参考答案：D4.已知点，B(0,3)，C(0,1)，则∠BAC=（

）A．30°

B．45°

C．60°

D．120°参考答案：C由题知，则，则．5.已知双曲线E的中心为原点，P（3，0）是E的焦点，过P的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N（﹣12，﹣15），则E的方程式为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】已知条件易得直线l的斜率为1，设双曲线方程，及A，B点坐标代入方程联立相减得x1+x2=﹣24，根据=，可求得a和b的关系，再根据c=3，求得a和b，进而可得答案．【解答】解：由已知条件易得直线l的斜率为k=kPN=1，设双曲线方程为，A（x1，y1），B（x2，y2），则有，两式相减并结合x1+x2=﹣24，y1+y2=﹣30得=，从而==1即4b2=5a2，又a2+b2=9，解得a2=4，b2=5，故选B．【点评】本题主要考查了双曲线的标准方程．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．6.已知F是椭圆的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点Q(4,3)，则的最大值为A. B. C. D.参考答案：A【分析】由题意，设椭圆C的右焦点为，由已知条件推导出，利用Q，，P共线，可得取最大值．【详解】由题意，点F为椭圆的左焦点，，点P为椭圆C上任意一点，点Q的坐标为，设椭圆C的右焦点为，

，，，即最大值为5，此时Q，，P共线，故选：A．【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程、定义及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记椭圆的标准方程、定义和简单的几何性质，合理应用是解答的关键，着重考查了转化思想以及推理与运算能力。7.已知等差数列的前项和为，若、、三点共线，为坐标原点，且(直线不过点)，则等于（

）.

.

.

.参考答案：B略8.已知变量满足约束条件，则的最大值为（

）A．12

B．11

C．3

D．-1参考答案：B略9.圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心到直线ax+y﹣1=0的距离为1，则a=（）A．﹣ B．﹣ C． D．2参考答案：A【考点】圆的一般方程；点到直线的距离公式．【分析】求出圆心坐标，代入点到直线距离方程，解得答案．【解答】解：圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心坐标为：（1，4），故圆心到直线ax+y﹣1=0的距离d==1，解得：a=，故选：A．10.如图，是由一个圆、一个三角形和一个长方形构成的组合体，现用红、蓝两种颜色为其涂色，每个图形只能涂一种颜色，则三个形状颜色不全相同的概率为(

)A.

B.

C.

D.

参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.动圆的圆心的轨迹方程是

.参考答案：

解析：圆心为，令

12.过点的直线将圆分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线的斜率＝__________________参考答案：13.抛物线的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点M作l的垂线，垂足为N.设，AN与MF相交于点B，若，△ABM的面积为，则p的值为

．参考答案：314.已知一个样本容量为100的样本数据的频率分布直方图如图所示，那么样本数据落在[40，60）内的样本的频数为

；估计总体的众数为

．参考答案：15，75【考点】频率分布直方图．【分析】频率分布直方图中，频率=矩形的高×组距，先求出[40，60）内的样本频率，再乘以样本容量就可求出频数．再由众数为频率最高一组的组中得到众数．【解答】解：[40，60）内的样本频数：100×（0.005+0.01）×10=15；总体的众数为频率最高一组的组中，即[70，80）的组中75，故答案为：15，7515.数列中，已知上，则的通项公式为_____________参考答案：略16.设是公差不为0的等差数列，＝2且，，成等比数列，则的前5项和＝ .参考答案：1517.正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，O是A1C1的中点，则O到平面ABC1D1的距离为

.

参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在平面直角坐标系xoy中，已知圆C1：（x+3）2+（y﹣1）2=4和圆C2：（x﹣4）2+（y﹣5）2=4（1）若直线l过点A（4，0），且被圆C1截得的弦长为2，求直线l的方程（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，求所有满足条件的点P的坐标．参考答案：【考点】直线和圆的方程的应用；直线的一般式方程．【专题】综合题．【分析】（1）因为直线l过点A（4，0），故可以设出直线l的点斜式方程，又由直线被圆C1截得的弦长为2，根据半弦长、半径、弦心距满足勾股定理，我们可以求出弦心距，即圆心到直线的距离，得到一个关于直线斜率k的方程，解方程求出k值，代入即得直线l的方程．（2）与（1）相同，我们可以设出过P点的直线l1与l2的点斜式方程，由于两直线斜率为1，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，故我们可以得到一个关于直线斜率k的方程，解方程求出k值，代入即得直线l1与l2的方程．【解答】解：（1）由于直线x=4与圆C1不相交；∴直线l的斜率存在，设l方程为：y=k（x﹣4）圆C1的圆心到直线l的距离为d，∵l被⊙C1截得的弦长为2∴d==1d=从而k（24k+7）=0即k=0或k=﹣∴直线l的方程为：y=0或7x+24y﹣28=0（2）设点P（a，b）满足条件，由题意分析可得直线l1、l2的斜率均存在且不为0，不妨设直线l1的方程为y﹣b=k（x﹣a），k≠0则直线l2方程为：y﹣b=﹣（x﹣a）∵⊙C1和⊙C2的半径相等，及直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，∴⊙C1的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距离相等即=整理得|1+3k+ak﹣b|=|5k+4﹣a﹣bk|∴1+3k+ak﹣b=±（5k+4﹣a﹣bk）即（a+b﹣2）k=b﹣a+3或（a﹣b+8）k=a+b﹣5因k的取值有无穷多个，所以或解得或这样的点只可能是点P1（，﹣）或点P2（﹣，）【点评】在解决与圆相关的弦长问题时，我们有三种方法：一是直接求出直线与圆的交点坐标，再利用两点间的距离公式得出；二是不求交点坐标，用一元二次方程根与系数的关系得出，即设直线的斜率为k，直线与圆联立消去y后得到一个关于x的一元二次方程再利用弦长公式求解，三是利用圆中半弦长、弦心距及半径构成的直角三角形来求．对于圆中的弦长问题，一般利用第三种方法比较简捷．本题所用方法就是第三种方法．19.已知左焦点为的椭圆过点，过上顶点作两条互相垂直的动弦交椭圆于两点．(1)

求椭圆的标准方程；(2)

若动弦所在直线的斜率为1，求直角三角形的面积；(3)

试问动直线是否过定点？若过定点，请给出证明，并求出该定点；若不过定点，请说明理由．

参考答案：

略20.如图，某地质队自水平地面A，B，C三处垂直向地下钻探，自A点向下钻到A1处发现矿藏，再继续下钻到A2处后下面已无矿，从而得到在A处正下方的矿层厚度为．同样可得在B，C处正下方的矿层厚度分别为，，且.过，的中点，且与直线平行的平面截多面体所得的截面为该多面体的一个中截面，其面积记为．（Ⅰ）证明：中截面是梯形；（Ⅱ）在△ABC中，记，BC边上的高为，面积为.在估测三角形区域内正下方的矿藏储量（即多面体的体积）时，可用近似公式来估算.已知，试判断与V的大小关系，并加以证明.参考答案：略21.在直角坐标系中，点P到两点，的距离之和等于4，设点P的轨迹为，直线与C交于A，B两点．（Ⅰ）写出C的方程；（Ⅱ）若，求k的值；（Ⅲ）若点A在第一象限，证明：当k>0时，恒有||>||．参考答案：（Ⅲ）

．因为A在第一象限，故．由知，从而．又，故，即在题设条件下，恒有．略22.设命题p：?x0∈（﹣2，+∞），6+|x0|=5．命题q：?x∈（﹣∞，0），x2+≥4．命题r：若|x|+|y|≤1，则≤．（1）写出命题r的否命题；（2）判断命题￢p，p∨r，p∧q的真假，并说明理由．参考答案：【考点】复合命题的真假．【分析】（1）根据否命题的定