黑龙江省哈尔滨市清华中学高二数学理测试题含解析

黑龙江省哈尔滨市清华中学高二数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.随机抛掷一枚硬币，正面向上或反面向上是等可能的，则下列两种说法：①随机抛掷一次，正面向上的概率为；②随机抛掷次，足够大时正面向上的频率接近；这两种说法A.都正确

B.都不正确

C.仅①正确

D.仅②正确参考答案：A略2.函数的零点所在的大致区间是 ( )A．

B．

C．

D．参考答案：B略3.设离散型随机变量满足，，则等于

（

）

A．27

B．24

C．9

D．6参考答案：D4.如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AA1=2，AC=BC=1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】异面直线及其所成的角．【分析】由AC∥A1C1，知∠C1A1B是异面直线A1B与AC所成角（或所成角的补角），由此能求出异面直线A1B与AC所成角的余弦值．【解答】解：连结BC1，∵AC∥A1C1，∴∠C1A1B是异面直线A1B与AC所成角（或所成角的补角），∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AA1=2，AC=BC=1，∴AB=，，BC1==，A1C1=1，∴cos∠C1A1B===，∴异面直线A1B与AC所成角的余弦值为．故选：D．【点评】本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．5.把函数y=sinx（x∈R）的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再把所得图象上所有点向左平移个单位长度，得到图象的函数解析式为（）A．y=sin（2x﹣） B．y=sin（2x+） C．y=sin（x+） D．y=sin（x+）参考答案：C【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律即可求得答案．【解答】解：∵函数y=sinx（x∈R），图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到y=sinx，图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到y=sin（x+）=sin（x+），x∈R．故选：C．6.已知ξ的分布列如下：1234

并且，则方差（

）

Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．参考答案：A略7.在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若bsinA﹣acosB=0，且b2=ac，则的值为（）A． B． C．2 D．4参考答案：C考点： 正弦定理；三角函数中的恒等变换应用；余弦定理．专题： 解三角形．分析： 先由条件利用正弦定理求得角B，再由余弦定理列出关于a，c的关系式，然后进行合理的变形，求得的值．解答： 解：△ABC中，由bsinA﹣a?cosB=0，利用正弦定理得sinBsinA﹣sinAcosB=0，∴tanB=，故B=．由余弦定理得b2=a2+c2﹣2ac?cosB=a2+c2﹣ac，即b2=（a+c）2﹣3ac，又b2=ac，所以4b2=（a+c）2，求得=2，故选：C．点评： 本题考查正弦定理、余弦定理得应用．解题先由正弦定理求得角B，再由余弦定理列出关于a，c的关系式，然后进行合理的变形，求得的值，属于中档题．8.给出下列结论：①命题“?x∈R，sinx≠1”的否定是“?x∈R，sinx=1”；②命题“α=”是“sinα=”的充分不必要条件；③数列{an}满足“an+1=3an”是“数列{an}为等比数列”的充分必要条件．其中正确的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③参考答案：A【考点】命题的真假判断与应用．【分析】利用命题的否定判断①的正误；充要条件判断②的正误；等比数列的定义判断③的正误．【解答】解：对于①，命题“?x∈R，sinx≠1”的否定是“?x∈R，sinx=1”；满足命题的否定形式，所以①正确．对于②，命题“α=”是“sinα=”的充分不必要条件；前者能够说明后者成立，sinα=成立则α=不一定成立，所以②正确；对于③，数列{an}满足“an+1=3an”是“数列{an}为等比数列”的充分必要条件错误．例如：数列是常数列{0}，则满足“an+1=3an”，数列不是等比数列，所以③不正确；故选：A．9.直线过抛物线的焦点，且交抛物线于两点，交其准线于点,已知,则（

）A．

B．

C．2

D．

参考答案：A略10.设椭圆的离心率为，右焦点，方程的两个实根分别为，则点

（A）必在圆内

（B）必在圆上

（C）必在圆外

（D）以上三种情况都有可能参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知x，y满足约束条件，则的最大值为__________．参考答案：2【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.【详解】画出约束条件表示的可行域，如图，将变形为，平移直线，由图可知当直经过点时，直线在轴上的截距最大，的最大值为，故答案为.【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.12.已知f（x）=x3﹣6x2+9x﹣abc，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0．现给出如下结论：①f（0）f（1）＞0；②f（0）f（1）＜0；③f（0）f（3）＞0；④f（0）f（3）＜0．其中正确结论的序号是

．参考答案：②③【考点】命题的真假判断与应用；函数在某点取得极值的条件．【专题】综合题．【分析】f（x）=x3﹣6x2+9x﹣abc，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0，确定函数的极值点1，3及a、b、c的大小关系，由此可得结论【解答】解：求导函数可得f′（x）=3x2﹣12x+9=3（x﹣1）（x﹣3）∵a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0．∴a＜1＜b＜3＜c设f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（x﹣c）=x3﹣（a+b+c）x2+（ab+ac+bc）x﹣abc∵f（x）=x3﹣6x2+9x﹣abc∴a+b+c=6，ab+ac+bc=9∴b+c=6﹣a∴bc=9﹣a（6﹣a）＜∴a2﹣4a＜0∴0＜a＜4∴0＜a＜1＜b＜3＜c∴f（0）＜0，f（1）＞0，f（3）＜0∴f（0）f（1）＜0，f（0）f（3）＞0故答案为：②③【点评】本题考查函数的零点、极值点，考查解不等式，综合性强，确定a、b、c的大小关系是关键．13.将两枚质地均匀透明且各面分别标有1，2，3，4的正四面体玩具各掷一次，设事件A＝{两个玩具底面点数不相同}，B＝{两个玩具底面点数至少出现一个2点}，则P（）＝

。参考答案：略14.函数在处的切线方程为________________________________.参考答案：15.如图,函数的图像在点P处的切线方程是,则=

参考答案：216.程序框图如右图所示，若，输入，则输出结果为______________参考答案：

17.在空间直角坐标系中，已知点A关于平面的对称点为,关于轴的对称点为B，则线段AB的长度等于

．参考答案：6三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图,在平面直角坐标系中,已知椭圆经过点,椭圆的离心率.（1）求椭圆的方程；（2）过点作两直线与椭圆分别交于相异两点、.若的平分线与轴平行,试探究直线的斜率是否为定值？若是,请给予证明；若不是,请说明理由.参考答案：解：（1）由，得，故椭圆方程为，又椭圆过点,则，解之得，因此椭圆方程为(2)设直线的斜率为，，由题，直线MA与MB的斜率互为相反数，直线MB的斜率为，联立直线MA与椭圆方程：，整理得，由韦达定理，，，整理可得，又所以为定值.略19.已知函数f（x）=lnx﹣．（1）若a＞0，证明f（x）在定义域内是增函数；（2）若f（x）在上的最小值为，求a的值．参考答案：【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，判断导函数的符号，得到函数的单调性即可；（2）由f（x）=lnx﹣，知f′（x）=+，令f′（x）=0得x=﹣a，以﹣a在内，左，右分为三类来讨论，函数在上的单调性，进而求出最值，求出a的值，由范围来取舍，得出a的值．【解答】解：（1）f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=+=，由a＞0，得f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）递增；（2）∵f（x）=lnx﹣，∴f′（x）=+，由f′（x）=0，得x=﹣a．令f′（x）＜0得x＜﹣a，令f′（x）＞0，得x＞﹣a，①﹣a≤1，即a≥﹣1时，f（x）在上单增，f（x）最小值=f（1）=﹣a=，a=﹣＜﹣1，不符题意，舍；②﹣a≥e，即a≤﹣e时，f（x）在上单减，f（x）最小值=f（e）=1﹣=，a=﹣＞﹣e，不符题意，舍；③1＜﹣a＜e，即﹣e＜a＜﹣1时，f（x）在上单减，在上单增，f（x）最小值=f（﹣a）=ln（﹣a）+1=，a=﹣满足；综上a=﹣．20.（本小题满分12分）已知等差数列的前项和为，且.（Ⅰ）求数列的通项公式;（Ⅱ）设,求数列的前项和为.参考答案：（Ⅰ）由题意得公差

3分所以通项公式为

6分（Ⅱ）数列是公比为2,首项为2的等比数列,

9分所以

12分21.已知命题p：4﹣x≤6，q：x＞a﹣1，若p是q的充分不必要条件，求a的取值范围．参考答案：【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】不等式的解法及应用．【分析】先由一元一次不等式4﹣x≤6解得x＞﹣2；再由p是q的充分不必要条件，知x＞﹣2?x＞a﹣1，而反之不可，则可求出a的取值范围．【解答】解：由题意得：p：x≥﹣2，又q：x＞a﹣1，因为p是q的充分不必要条件，所以a﹣1＜﹣2，即a＜﹣1．故a的取值范围a＜﹣1．【点评】本题考查一元一次不等式的解法，充分条件、必要条件的定义等，属于基础题．22.（1）求曲线y=在点（1，1）处的切线方程；（2）运动曲线方程为S=+2t2，求t=3时的速度．参考答案：【考点】6H：利用导数研究曲