2023届高考数学模拟试题汇编解三角形 含解析

2023届优质模拟试题分类汇编(新高考卷)

解三角形

第一板块：知识梳理

一.基本结论

L正弦定理：在ΔABC中，a、b、C分别为角A、B、C的对边,，则有，_=上=_£_=2R

sinAsinBsinC

(R为AABC的外接圆的半径).

2.正弦定理的变形公式：

①a=2RsinA,Λ=27?sinB,c=27?sinC；

②SinA=a,SinB=2,SinC=工；③ɑ:b:e=SinA:sinB:SinC；④

2R2R2R

"+〃+C=IR

SinA+SinB+SinC

3、三角形面积公式：SΔΛBC=TbCSinA=gαλ>sinC=gαcsinB.

222

4、余弦定理：在AABC中，⅛β=b+c-2bccosA,

b+

推论：cosA=ɛ~—；变形：b~+C2-a1-IbccosA-

2bc

5.解三角形所涉及的其它知识

(1)三角形内角和定理

(2)三角形边角不等关系：«>/?<=>ZA>ZB<≠>sinA>sinβ<=>cosA<cosB.

6.诱导公式在ΔA8C中的应用

(1)sin(A+B)=sinC;cos(A+B)=-cosC;tan(A+B)=-tanC；

A+BCA+B

(2)sin=COS-,cos-------

222

二.对边对角

对边对角模型是解三角形中最经典的题型，在三角形中，倘若知道任意一边与该边所对角的大小，我们就

可分别利用正弦定理+三角函数或者余弦定理+均值不等式的方法找到相关范围.

1.结合余弦定理：a2=b2+c2-IbccQSA变式可得：a2=(h+c)2-2⅛c(l+cosA)此公式在已知α,A的

情况下，可得到人+c和儿的等式，配合均值不等式，这样就可实现周长或者面积的最值.

2.结合正弦定理构建周长或者面积关于角的目标函数，利用三角函数处理最值或者范围.

3.注意到其在焦点三角形中的应用.

三.射影定理与平方差公式

结论L正余弦平方差公式

sin2a-sin2β=sin(6z+∕?)∙sin(cr-β),

cos2a—sin2β=cos(a+∙cos(a-β).

a=AcosC+ccosB

结论2.射影定理：在ABC中，‹b=acosC+ccosA

c=acosB+bcosA

注：上述作为解答题均需推导，当然也很简单，第一个右边展开化简，第二个正弦定理边角转化.(请读

者自行推导)

四.爪型三角形

L爪型三角形的基本几何特征:如图，ZAPB+ZAPC=π.

2.斯特瓦尔特定理：设P为ΔA6C的BC边上异于民C的任一.点，

r∖

则有AB'PC+AC?.BP=AP2∙8C+BPPCCB./

证明：由余弦定理，可得：//

AC2AP1+PC2-2AP-PC-cosZAPC®B

AB2=AP2+PB2-2AP∙PB∙cos(τr-ZAPC)将上述两式分别乘6P,CP后相加整理，可得.

注：可以看到，斯特瓦尔特定理的证明关键是利用爪型三角形中两角互补，即：这个隐含条件，而这个

条件是处理爪型三角形的一个重要技巧.

推论1.当设P为AABC的BC边中点时，AP2=^(AB2+AC2)-^BC2.

注：该结论还可由AP=5(AB+AC)证得.

推论2.当设P为NBAC的角平分线时，AP2=AB-AC-BP-PC.

推论3.当设P满足8>=丸,Wc时，A∕j2=Λ(Λ-l)βC2+(1-λ)AB2+AAC2.

3.等面积思想.

设AM为44的平分线，则设N54M=NC4/=e,那么有等面积可得:

SΔABC-^bc-sm2θ-∙^(b+c)-AM-sinθ,

进一步可得：2机∙∙cos9=S+c)∙AM,于是可以看到，倘若我们知道角。与角平分线AM的长度，则

可得到6c—匕+c的转化关系，配合均值不等式就可得到一些范围问题.

同时，该思想在处理高线问题时亦然有效，请读者注意.

五：秦九韶公式与嵌入不等式

1.秦九韶公式出现在人教版必修二教材的55页，作为中国古代数学中的优秀成果之一介绍出来，它给出

了三角形的面积和边长之间的定量关系，没有角度形式出现，这样的话，在我们的条件只有边关系时，就

可考虑从这个角度入手解题.近年来，以这方面为背景的解三角形压轴题目多次出现，应该引起各位读者

的注意.

2.再将边结构推广又可给出二次边结构和面积之间的不等关系，即嵌入不等式.

(嵌入不等式)若三角形的三边为0,b,c,面积为S,x,y,z为给定的正实数，则有：

212222222

Xd+yb+zc≥4-S∙yJxy+yz+zx,当且仅当χ∙.y.z-(b+c-a)∙.(c+a-b)

：(。~+力2—/)取等.

六.解三角形中的常见轨迹

1.阿氏圆

IPAI

定义：已知平面上两点A8,则所有满足「加=ZXWI的动点P的轨迹是一个以定比为“：〃内分和

I

0

外分定线段的两个分点的连线为直径的圆.若则圆的半径为团，圆心

ABAm,0),8S,0),IklwA

)2,1

E回。)为.

解析：设A(—c,0),B(c,0),P(X,y).因为AP=4BP(c>0,∕l>0且/l≠1)由两点间距离公式得

22222

y∣(x+c)+y^λy](x-c)+y,化简得x-^-^-c+y=(-^--c∖.

/j2+]、ɔ2

所以点P的轨迹是以——c,0为圆心，以々_c为半径的圆.

{λ2-∖)Λ2-l

2.米勒圆轨迹

米勒问题：已知点A,8是NMQN的边ON上的两个定点，点P是边OM上的动点，则

当P在何处时，使得N4PB最大？

对米勒问题有如下重要结论称之为米勒定理.

米勒定理：已知点AJB是NMQN的边ON上的两个定点，点P是边OM上的动点，

则当且仅当ΔA8P的外接圆与边OM相切于点P时，NAPB最大.

试题汇编

例1(2023届武汉9月调研)在AfiCΦ,角4,8,C所对的边分别为α,仇c,且满足“cosC+χ∕5asinC=b+2c.

(1)求角A；

(2)D为BC边上一点,DAYBA,且BD=4DC,求CoSC.

1

解析：(1)由“；="二=C八,得sinΛcosC+>/^SinASinC=Sin8+2sinC.由B=π-(4+C),故

SlrL4SinBSinC

si∏AcosC+GsinAsinC=sin(A+C)÷2sinC=sinAcosC+cosASinC+2SinC所以

百SirLASinC=CoSAsinC+2sinC,又因为C∈（0,π）,所以SinCW0,故GsinA-COSA=2.

即2sin（A、）=2,X0<A<π,所以A..

2CDb

（2）由（1）知：A=亭，所以NC4。=《~一彳=2.在-CA。中，；兀sin∕Af>C;在84£>中，

ɔ326SIn;

6

BD_c

TT=SinZAD8.又SinNAZJB=sin∕AZ）C,BD=48,代入得：C=次由余弦定理得：

sin—

2

22

a=.Ib+c-2⅛ccos-=y/lb9所以cosC="土"———=?’.

V3Iab7

例2（福建省部分地市2023届高三第一次质量检测）记_ABC的内角A,B9C的对边分别为小b,C9且

3ABAC+4BA∙BC=CA'CB∙

(i)求2；

C

(2)已知3=3CC=1,求一ABC的面积.

z21111

解析：(1)3feccosA÷UzccosB=ahcosC,代入余弦定理，3(⅛+c?一片)+4(/+c-b~^=a+b-c9

化简得：4C2=⅛2,所以2=2.

C

hQjnB

(2)由正弦定理知一=2;即Sin5=2SinC,又B=3C,故

cSinC

sinB=sin3C=sin(2C÷C)=sin2C∙cosC+cos2C∙sinC

=2sinC∙ɑ-sin2C)+Q-2sin2C)sinC=3sinC-4sin3C=2sinC,BP3-4sin2C=2,得SinC=J,故C=.

(C=fπ⅛),此时，8=3C==,b=2c=2AB=2,BC=>∕3,

62

则，ABC的面积S.βc=ɪ×1×y∣3=.

/I∕JC22

例3（福建省泉州市2023届高三毕业班质量检测一）在ABC中，角A,B,C所对的边分别是α,b,c.已

,2cosAcosBcosC

知FTFF

(1)求A；

（1）若α=√L求,ΛSC的周长的取值范围.

me、2cosAcosBcosC-一,人工十心人∙≡3

解析：(z1)一：---=——+-----,.t.2acosA4=CeosB+bcosC由正弦定理rt得:

beabac9

；,Ae(O,兀)

2sinAcosA=sinCcosB÷sinBcosC=sinA,又SinAW0,所以COSA二

所以A=?.

b_c_a_ʌ/ɜ_

(2)由正弦定理得：sinBsinCsinAʌ/ɜ，

~2~

所以b+c=2sin8+2sinC=2sin8+2sin(B+2)=2sin8+sinB+GcosB=26sin(B+-)9BW(0,—),

36ɜ

所以Sin(B+g)e0,l

∙∙.B+[建,等),,所以HCe（62可

OOOo12

所以周长α+6+cw(2百,36].

例4（广东省佛山市2023届高三教学质量检测一）在锐角三角形一ABC中，角A,B,C的对边分别为α,

b,c,Co为CA在CB方向上的投影向量，且满足2csin8=后「4

(1)求CoSC的值;

(2)若。=G，a=3ccosB,求.,ABC的周长.

解析：(D由Co为CA在C8方向上的投影向量，则∣c4=8cosC,即2csinB=√⅛cosC,

根据正弦定理，2sinCsinB=#SinBcosC»在锐角一A3C中，B∈(°，5[,则SinB>0,即2sinC=∖∣5cosC»

由Ce[O,g],则cos2C+si∕C=l,整理可得cos?C+^cos?C=1,解得CoSC=

I2；43

(2)由α=3ccos5,根据正弦定理，可得SinA=3sinCcos5,在.ASC中，A+B+C=π9贝Ij

sin(B+C)=3sinCcosB,sinBcosC+cosBsinC=3sinCcosB,sinBcosC=2sinCcosB,

由(1)可知COSC=sinC=√l-cos2C=-,贝!JsinB=GcosB,

33

由sin?B+cos?B=1,贝!Heos?3+cos?3=1,解得CoSB=SinB='羽，根据正弦定理，可得

66

=则C=型5匕=3,a=-c=∖[39故ASC的周长CABC=α+人+c=2百+及.

sinBsinCSinB2

例5(广东省深圳市2023届高三第一次调研)记ABC的内角48,。的对边分别为〃力,0,已知

b+c=2asinfC+^.

(1)求A；

(2)设43的中点为。，若CD=a,且〃-c=l,求/BC的的面积.

解析：(1)由已知得，Z?+C=GaSinC+αcosC,由正弦定理可得，sin8+sinC=GsinAsinC+sinAcosC,因为

A+B÷C=π,

所以SinB=Sin(A+C)=SinAcosC+cosAsinC,

代入上式，整理得CoSASinC+sinC=√f3sinAsinC,又因为C£(0,兀)，SinCH0,

所以GSinA-CoSA=1,即SinfA-舟二，又因为A∈(0,π),所以

ko√z6OO

所以A-/?解得A=》

663

(2)在AeD中，由余弦定理得，CD-=b2+--2b-cosA.而A=1,CD=a,^a2=b2+---,

42342

①在ABC中，由余弦定理得，〃242+c2—反，②由①@两式消去。，得3。2=2历，所以/2=,,又人C=I,

解得〃=3,c=2.所以.√WC的面积S=L力CSinA=.

22

例6(广州市2023届高三一模)在ABC中，内角C的对边分别为。也。，c=2⅛,2si∏Λ=3si∏2C.

(1)求SinC；

(2)若ABC的面积为辿，求A3边上的中线CO的长.

2

解析：(1)因为2sinA=3sin2C,所以2sinA=6sinCcosC,所以2a=6ccosC,即a=3ccosC,

所以cosC=9由余弦定理及c=3得…C=%卢='言a2-3b2

Iab

所以M=八昉，即"斗。，

又COSC=F=4,A2

3c6b

3√2,_0,所以SinC=JI-COS°C=Jl-=~^~

—b

Ca2

cosC=—=———

6b6b

(2)由SMe=JaAsinC=Jfek//?~2~,所以。"=60，由(1)a=~~~^9

所以∕7=2,α=3√∑,因为Co为48边上的中线，所以Co=g(C4+CB),所以

∣∣2∣∣211

^(CA+CB÷2CA∙Cβ=—×+a1+-X4+18+2×2×3√2

44

=7,所以「4=4,所以A8边上的中线C。的长为：√7.

例7(湖北省武汉市2023届高三下学期二月调研)在ABC中，AB=2,。为AB中点，CD=O.

(1)若BC=夜，求AC的长；

(2)若ZBAC=2ZBCD,求AC的长.

BD2+CD2-BC21+2-2√2

解析：(1)在BQC中,cosNBDC=

2BDCD2×1×√2^4

则CoSNA。C=-COSNBOC=-走，在∆ADC中，AC2=AD2+CD2-2ADCD-cosZADC

4

=1+2-2近χ(-J)=4,所以AC=2.

4

(2)设AC=X,8C=y,在AWC和.BDC中，由正弦定理得，

缶=嬴品'嬴无=占？'又SinWC=Sin/皿，得懈I=华，在-BDC

V2+2-1

中，CGS∕BCD=∖O,由NBAC=2ZBCf>,WsinZBAC=2sinZBCDCOSZBCD,所以

冬=2•虚1,整理得：2yJχ(∕+l),①

l+2-x21+2-/

又由cosZADC=-cos/BDC,,,整理得：x2+∕=6,②

2√22√2

联立(D@得，√-2X2-7Λ+12=0,BP(X-3)(X2+X-4)=0.,解得x=3或X=T翌

上叵，所以AC=土姮

X√2-1<Λ<√2+1.故X=

22

例8(江苏省南通市2023届高三下学期第一次调研测试)在ΛBC中，A8,C的对边分别为

a,b,c,^cosB-2acosC=(2c-⅛)cosA.

1.3cTtTr

，因I为Bw,所以tan8e

例10(山东省济南市2022∙2023学年高三下学期开学考试)已知AfiC中，A9B9C所对的边分别为

bfc9且(a+人)(SinA—SinB)=bsinC.

(1)证明：A=2b;

(2)若α=3,b=2,求.ABC的面积.

解析:(1)因为①+与(SinA—sin3)=8SinC,所以(〃+勿①一份=反，即/一从=儿,

cosB=a+(——生=妇上,2sinA∞sβ=sinβ+sinC,2sinAcosS=sinB÷sin(A÷β),

lac2a'7

Sin(A-B)=SinB,所以A-B+B=2Λπ÷π^Λ-β-B=2Λπ,keZ9XAB∈(θ,π),

所以A=23;

222

(2)由⑴.2—户=机.，又”=3,。=2,所以。=：,由余弦定理可得a+b-c32+2j(j9,

2cosC=---------------=----------------=—

2ab2×3×216

因为C∈(0,π),所以Sine=川—cos?。=平,

所以ABC的面积S=，〃力SinC=Lχ3χ2χ∙^=

221616

例U(温州市2023届高三一模)记锐角，ABC的内角AdC的对边分别为。也c,已知

sin(A-B)_Sin(A-C)

cosBcosC

(1)求证：B=C;

(2)若αsinC=l,求二+5的最大值.

.,-/＜、、十”sin(A-B)sin(A-C)

解τx析r：(1)证明：由题知==所以Sin(A-8)cosC=sin(A-C)cosB,

cosBcosC

所以SinAcosBcosC-cosAsinBcosC=sinAcosCcosB-cosAsinCcos5,所以

CoSASin8cosC=cosAsinCcos3因为A为锐角，即COSAWO，所以SinBCoSC=SinCCoS5,所以

tanB=tanC,所以8=C.

(2)在ΔA8C中，由正弦定理=，一=—L=-^=—也

sinAsinBsin28sinB

aba1n,冗冗、

=>----------------=-------=>h1=----------=----------------,B∈(―,—)

2sinBcosBsinβ2cosβ2sinBcosfi42

.∙.-V+4=si∏2B+4sin2Bcos2B=Sin2B+4sin2B(l-sin2