2023年高考第一次模拟考数学试卷新高考Ⅱ卷A卷（解析版）

2023年高考第一次模拟考试卷(新高考II卷A卷)

数学

第I卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的。

1.已知集合4={x|l<x<2},B={x|1},则Au8=()

A.[-1,2)B.(-2)

C.[-1,3)D.[-1,2]

K答案》A

K解析》由题知，A={X|1<X<2},B={^|X2„1},

由十,1,即(x_l)(x+l)”0,解得-1融1,所以3={M-啜Ik1},

所以478=3-1,.<2}.故选：人.

2.(3-2i)(2-i)=()

A.8+7iB.8-7iC.4+7iD.4-7i

K答案DD

K解析》(3_2i)(2_i)=6_4i_3i_2=4_7i.故选：D.

3.我国《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方，如图所示，将1,2,3,…，9填入

3x3的方格内，使得三行、三列、对角线的三个数之和都等于15,便得到一个3阶幻方；

一般地，将连续的正整数1,2,3“2填入“X〃个方格中，使得每行、每列、每条对

角线上的数的和都相等，这个正方形叫作“阶幻方.记〃阶幻方的数的和(即方格内的所

有数的和)为S,,,如53=45,那么10阶幻方每行、每列、每条对角线上的数的和均为

A.555B.101C.505D.1010

R答案Hc

1QOx1+1O

R解析』由题意得：S1°=l+2+3++100=（°）=5050,

故10阶幻方每行、每列、每条对角线上的数的和均为5050+10=505.故选：C.

4.已知a=（2,-1）,6=（x+L4）,且“工〃，则忤+b卜（）

A.V5B.2后C.厢D.2屈

K答案》D

K解析》由a=（2,-l）,A=（x+L4）,〃工6得a-6=2（x+l）-4=0nx=l,

所以2a+6=（6,2）,|24+H=，62+22=2回,

故选：D.

5.某市新冠疫情封闭管理期间，为了更好的保障社区居民的日常生活，选派6名志愿者到

甲、乙、丙三个社区进行服务，每人只能去一个地方，每地至少派一人，则不同的选派方

案共有（）

A.540种B.180种C.360种D.630种

工答案』A

R解析》首先将6名志愿者分成3组，再分配到3个社区，可分为3种情况，

第一类：6名志愿者分成1+2+3,共有C：C；C；A；=360（种）选派方案,

共有坐GA：=90（种）选派方案,

第二类：6名志愿者分成1+1+4,

A2

共有笺

第三类:6名志愿者分成2+2+2,=90（种）选派方案,

A3

所以共360+90+90=540（种）选派方案,

故选：A.

6.已知sin(a+^J=§,贝!^<^[2。+三)=()

7227

A.B.C.D.

9339

K答案》D

K解析力因为sin（a+£|=g,

所以cos^2<z+^=l-2sin2^tz+^=l-2xi=^-.

故选：D..

7.如图，在三棱锥A-8CD的平面展开图中，四边形BCEO是菱形，BC=1,BF=6，则

三棱锥A-BCZ）外接球的表面积为（）

A.—B.27cC.4itD.871

3

K答案》B

K解析U三棱锥A-8C£>的直观图，如图所示，

则3c=8D=AC=Ar>=l,AB=6，

所以8加+042=432,BC-+C^=AB-,则BCJ.AC,

取A3的中点。，连接OO,OC,则。4=O8=OC=O£>,

所以。为三棱锥A-BCD外接球的球心，半径R2A8="，

22

故三棱锥A-BCD外接球的表面积S=4兀尸=2兀.

故选：B.

B

8.若对立，yeR,有*）+上）-4,则函数名曲0+小）在38,2。⑻

上的最大值和最小值的和为（）

A.4B.8C.6D.12

R答案HB

K解析』Vx,yeR.有/(x+y)=f(x)+f(y)-4,

取X=y=O,JllJ/(0)=/(0)+/(0)-4,故f(0)=4,取)=一不，贝lJ/(0)=/(x)+f(—x)—4,故

/(X)+/(-x)=8,

令〃*)=/*)-4,ljllJ/7(x)+/7(-x)=/(x)-4+/(-x)-4=8-4-4=0,故为奇函数，

2r2x

=+/W,设次x)=-^~,

k+1x2+1

?v

贝!Ig(x)=<p(x)+h(x)+4,°(-x)=—3—=-<p(x),故8(x)为奇函数，故y=*(x)+h(x)为奇函

数，故函数y在［-2018,2018］上的最大值和最小值的和是0,

而g(x)是将函数>的图像向上平移4个单位，即在［-2018,2018］上最大值和最小值均增加

4,故函数g(x)在［-2018,2018］上的最大值和最小值的和是8,

故选：B.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知a,〃>0,a+2h=ab,则下列表达式正确的是()

A.a>2,b>\B.a+6的最小值为3

C.必的最小值为8D.3-2y+(匕-1)2的最小值为4

K答案DACD

［解析U对A选项，,a,b>0,a+2b=ab,即b(“-2)=a,则6=，一,

a-2

则，_>0,且。>0,解得。>2,

a-2

a+2b=ab,则。(〃-1)=2/?,贝—>0,且6>0,解得匕>1,故A正确；

U—\

21

对B选项，;a,b>0,a+2b=ab,两边同除必得一+-=1,

ab

则。+匕=(。+〃)［2+1］=3+@+”N3+2,归迈=3+2a，

\ab)ba\ba

当且仅当f=生，且2+1=l,即a=2+应为=&+1时等号成立，故B错误；

baab

对C选项，a+2b=ah>2y/2ah,a,b>Q,解得疝42&,故

当且仅当a=2Z?,且口力=8,即。=4,〃=2时等号成立，故C正确;

对D选项，由A选项6代入得(0-2)2+3-1)2=(4-2)2+［，_一］］

a-21"2)

=(“-2)2+(二-1=(a-2)2+—二*2l(a-2)2——Z=4,

39(a-2)2N(a-2)2

当且仅当3-2)2=厂之，心2,即q=2+/时，此时6=0+1时，等号成立，

(a-2)-

故D正确.

故选：ACD.

10.设圆。:』+产=4,直线/:2x+y+5=0,P为/上的动点.过点尸作圆。的两条切线

PA,PB,切点为A,B,则下列说法中正确的是()

A.直线/与圆。相交

B.直线AB恒过定点

C.当P的坐标为(-2,-1)时，/加归最大

D.当|Pq-|A8|最小时，直线A5的方程为2x+y+4=0

R答案DBCD

K解析X圆0：/+尸=4的半径r=2.

对于B：P为/：2x+y+5=0上的动点，可设P(m,-2加-5).

因为以，PB为过点尸作圆O的两条切线，所以抬_LOA,PB，OB.

所以O,AP,B四点共圆，其中OP为直径.

设OP的中点为。（［5m,

所以圆O为卜一葭j+［y+^^j=（晟j+］一^1^j，即幺-ttvc+y2+（5+2〃z）y=0.

所以直线A3为圆。和圆O的相交弦，两圆方程相减得：TH¥+（5+2m）y+4=0.

即直线AB：一机（x+2y）+5y+4=0.

8

x=-

x+2y=0,,

由5y+4=。解得：所以直线48恒过定点故B正确；

丁=一

5

对于C：因为「％和△OP8为直角三角形，且|08=|0",|。4|=|。闿,所以％三0总,

所以NOR4=NO尸3,所以NAP3=2NOPA.

要使NAPB最大，只需NOPA最大.

nA2

在直角QE4中，s\nZOPA=——=——.

OPOP

要使NOPA最大，只需|。日最小，所以当OP，/时，|。尸|=4=石最小，此时心.为=-1,

所以所以直线。P：y=gx.

'Jfx=_2

由）一5、，解得：1_］，即当P的坐标为（-2,—1）时，/AP6最大.故C正确；

对于D：因为直线AB为圆。和圆。的相交弦，所以ABJ_OP,且A8被OP平分.

所以四边形。4PB的面积为S=g|POHAB］.

而四边形Q4PB的面积还可以表示为

OPA=2X^\PA\-\OA\=yl\OPf-\OAf-1OA|=J|O叶-2。-2

所以S=Jp0|.|A3|=m^F2

要使归。・|48|最小，只需|PO|最小，即。尸取时，得到P的坐标为

所以圆D:x2+2x+y2+y=0,

两圆相减得到直线A3：2x+y+4=0.故D正确.

故选：BCD.

11.如图，正四棱锥E-ABCD的底面边长与侧棱长均为。，正三棱锥尸-的棱长均为

a,()

EFIBC

正四棱锥E-ABCD的内切球半径为

C.E,F,A,8四点共面

D.平面E4£)〃平面BEC

K答案2ACD

K解析》对于A,取AO的中点G,连接EG,FG,则ADLEG,AD±FG,

又EG,FGu平面EFG,EGFG=G,所以AQ_L平面EFG,

因为防u平面EFG,所以4)JL防，又ADHBC,所以防，BC,故A正确.

G?/

对于B,设内切球半径为『，易求得四棱锥E-ABCD的一个侧面的面积为

12.兀62仃「［“12312.1\/32

8=—a-sin—=——a,9『以一aa=­a-r+4------------a~♦r，

23432334

解得」4码",故B错误.

对于C,取AE的中点“，连接，归，FH,BH,DB,易知AE_LFH,AE±DH,

AE±BH,所以NDHF,分别是二面角。-M-尸，二面角D-A£-3的平面角,

易求得DH=FH=BH=®a,所以cos/DHF=DH?+FH?DF2’,

22DH-FH

C°S/DHB=DH2+BH，」

XZDHF,ZDHBe［O,n\,所以NDHF与/DHB互补,所以E,F,A,B共面，故C

正确；

因为E,F,A,B共面，又EF=AB=AF=BE,所以四边形ABE尸为平行四边形，所以

AF//BE,BEu平面8EC,4F<Z平面BEC,所以A尸〃平面8EC,

同理AQ〃平面8EC,又AO,AEu平面ADE,ADAF=A,所以平面E4Q〃平面

BEC,故D正确.

故选：ACD.

A./(x)的定义域为RB./(x)的值域为R

C.“X)是偶函数D./(力在区间［0,+8)上是增函数

K答案》ACD

K解析》因为函数〃x)=ln(e2，+l)-x,

所以函数/(x)的定义域为R,故A正确；

因为〃x)=ln(e2"+l)-x=ln(e2*+l)-lne*=In-7—=In(e'+e'x),

又e'+e--2,当且仅当e*=e,即x=0取等号，所以〃x)21n2,故B错误；

因为f(-x)=ln(eT+e')=/(x),所以是偶函数，故C正确；

因为函数/=/在［。,+8)上单调递增，且£=/21，根据对勾函数的性质可知"=f+；在

年1上单调递增，

又函数y=ln”为增函数，故函数〃x)在区间［0,+8)上是增函数，故D正确.

故选：ACD.

第D卷

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.设随机变量XN(2,〃)，若尸(X>4)=0.2,则P(0<X<2)=.

3

K答案》6

K解析11因为XN(2,〃)，P(X>4)=0.2,所以对称轴为x=2,

所以尸(X<0)=0.2,

P(0<Xv2)=0.5-0.2=0.3.

故K答案》为：言3

14.已知x>0,y>0,且x+y=6,则(l+x)(l+y)的最大值为

K答案》16

K解析U因为x>0,y>0,且x+y=6,

所以(l+x)(l+y)=l+x+y+孙=7+号47+=16,

当且仅当x=y=3时等号成立.

故R答案》为：16

15.1766年，德国有一位名叫提丢斯的中学数学老师，把数列0,3,6,12,24,48,

96...........经过一定的规律变化,得到新数列：0.4,0.7,1,1.6,2.8,5.2,10..............科

学家发现，新数列的各项恰好为太阳系行星与太阳的平均距离，并据此发现了“天王星”、

“谷神星，，等行星，这个新数列就是著名的“提丢斯-波得定则”.根据规律，新数列的第8项

为.

［答案H19.6

K解析》原数列，从第3项起，每一项是前一项的两倍，所以其第8项为96x2=192,

新数列，是将原数列的对应的项：先加4,然后除以10所得，

所以，新数列的第8项为(192+4)+10=19.6.

故R答案H为：19.6

22

16.已知椭圆*•+专■=l(a”>0)与抛物线y2=4px(p>0)有相同的焦点厂，点A是两曲

线的一个公共点，且AF_Lx轴，则椭圆的离心率是.

K答案UV2-1

22

K解析力由题意知：E(",0)是椭圆二+与=1(4＞。＞0)的焦点，.•./=〃+p2；

a~b~

.AF_Lx轴，，A(p,2p)或A(p,-2p),

代入椭圆方程得：耳+雪=1,：.(+皓J=l,

ab2aa-p'

242A2

又椭圆的离心率e=L,；.与+,'，=e"+;---T-1＞

aaa~-p~i-e

解得：e?=3±2&=(1±0),又ee(O,l),；.e=&-l.

故K答案》为：V2-1.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

17.已知数列｛4｝为公差不为0的等差数列，%=3,且logeq,log2a3,log?生成等差数

列.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)若数列也｝满足斗=」一,求数列｛漫｝的前"项和.

anan+\

解：(1)：log?4，log2a3，log2a7成等差数列，

2log2%=log2q+log2%=log2ata7,

a；=axa-j,

设数列｛4｝的公差为d(dwO)，

(a,+2d)'=4(q+6d),

2

/.4atd+4d=6atd,

:"wo,解得：a｝=2d,

*.*%=4+d=3d=3,

J=1,a｝=2d=2,

an=a]+(/?-1)J=2+n—l=n+l；

,1111

(2),:"、=-----=,T7，

44+i(〃+lv)(〃+2)n+\n+2

•••数列｛4｝的前〃项和为

,7711111111n

b.+仇+LT+b=------+----+LT+----------=--------=-----

〃2334〃+1H4-22〃+22〃+4

18.在_ABC中，A,B,C所对的边为“，b,c,满足62+02一"=机.

（1）求A的值;

TT

（2）若〃=2,B=一,则ABC的周长.

4

解：（1）由52+。2一々2=儿,

b2+c2-a2he_1

cosA=

2hc2h^~2

jr

Ae(0,^-),/.A=—.

7171

(2)A=—,B=一,

34

.一.(5兀、.，兀兀、.兀71兀.兀

smC=sin——=sin—+—=sin—cos—+cos—sm—=

U2j164J64644

2_Z?_c

根据正弦定理-：—I=，=.,得gV26+0，

sinAsmBsinC

224

解得b=迷，c=6+g

33

因此三角形周长为a+b+c=2+也+夜+也=2+及+6.

33

19.2022年国际篮联女篮世界杯已经落下帷幕，中国女篮获得亚军，时隔28年再次登上

大赛领奖台，追平队史最好成绩，中国观众可以通过中央电视台体育频道观看比赛实况，

某机构对某社区群众观看女篮比赛的情况进行调查，将观看过本次女篮世界杯中国女篮4

场比赛的人称为“女篮球迷”，否则称为“非女篮球迷”，从调查结果中随机抽取50份进行分

析，得到数据如下表所示：

女篮球迷非女篮球迷总计

男2026

女14

总计50

（1）补全2x2列联表，并判断是否有99%的把握认为是否为“女篮球迷”与性别有关？

（2）现从抽取的“女篮球迷”人群中，按性别采用分层抽样的方法抽取6人，然后从这6人

中，随机抽取2人，记这2人中男“女篮球迷”的人数为X,求X的分布列和数学期望.

附:n=a+b+c+d

(a+.)(c+d)(a+c)(l+d)'

P(K*0)0.050.010.001

k。3.8416.63510.828

解：(1)列联表如下:

女篮球迷非女篮球迷总计

男20626

女101424

总计302050

KJ50X(20XI10X6)：6464<6.635,

26x24x30x20

没有99%的把握认为是否为“女篮球迷”与性别有关.

(2)从抽取的“女篮球迷”人群中，按性别采用分层抽样的方法抽取6人，这6人中男“女

篮球迷，，有4人，女“女篮球迷”有2人，

X的可能值是0,1,2,

「21plp1Q02)

尸(X=0)=N=,，p(x=l)=*=S,P(X=2)=W=』

c：15C15c；5

X的分布列为:

X012

182

P

15157

E(X)=0x—+1XA+2X-=--

151553

20.如图，在四棱锥P-A8C。中，底面ABC。是矩形，。是8c的中点，PB=PC=6

PD=BC=2AB=2.

(1)求证：平面P8cl平面ABC。；

(2)求直线AO与平面尸CQ所成角的正弦值.

(1)证明：因为PB=PC,。是8c的中点，所以PO1BC,

在直角△POC中，PC=6,OC=1,所以PO=0.

在矩形ABC。中，AB=\,BC=2,所以。。=口.

又因为尸。=2,所以在POD中,PD2=PO2+OD2,即POLOZ),

而3CcOQ=O,BC,OOu平面ABC。，所以PO上平面ABC。，

而POu平面PBC,所以平面PBC_L平面A8CD.

(2)解：由Q)知，PO,平面A8C。，取AO中点。，连接OQ,易知OQ,OC,OP

两两相互垂直，

如图，分别以a2,OC,OP为x,y,z轴建立空间直角坐标系，

则410),C(0,l,0),0(1,1,0),尸((),(),伪，

A£>=(0,2,0),C£>=(1,0,0),C尸=(0,-1,夜).

设平面PC£>的法向量为根=(笛y,z),

mCD=0,x=

则rr令Z=1则y=应所以，”=（o,夜,1）,

mCP=0,-y+j2z=0,

ADm2A/2V6

所以cos<AD,tn>=

„时2x^33

所以直线AD与平面FCQ所成角的正弦值为逅.

3

21.己知《，6椭圆C:%+g=l（a>b>0）的两个焦点，椭圆上的任意一点尸使得

附|+陶=4,且忸制的最大值为2+点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若直线/与椭圆C交于A,B两点（A,8不是左右顶点），且以AB为直径的圆经过

椭圆的右顶点.求证直线/过定点，并求出该定点的坐标.

解：（1）依题意，|叫+|明=4=2a,a=2,

由于|P4|的最大值为〃+c=2+V2.所以c=VL

22

所以沙=/7=？=夜，所以椭圆的标准方程是:+5=1.

（2）椭圆的右顶点为。（2,0）,

当直线/的斜率不存在时，设直线/的方程为x=《-2<f<2）,

x=t

得丁=2［一］=2%

由，"7

42

设则火=2-；,

由于以AB为直径的圆经过椭圆的右顶点。（2,0）,

所以A。，町上.』一三1一1，解得

t-2t-262）23

所以直线/过《，0）.

当直线/的斜率存在时，设直线/的方程为），=履+机,

y=kx+m

由“fy2消去y并化简得（1+2Z~）厂+4如a+2机2—4二。，

142

△=16公帆2-4（1+2&2）（2机2-4）=32产一8加：!+16>0,

即4公-租2+2>0①.

-4km2m2-4

设4（百,y）,3（七,%），贝!|司+工2=

\+2k'，X'X2~1+2A:2

由于以AB为直径的圆经过椭圆的右顶点。（2,0）,

乂丫2X)‘2

所以AQLBQ,

—2x2—2(x-2)(w-2)

yxy2=-(^-2)(%2-2),(依+〃z)(优+根)=_(玉-2)(9_2),

2

k2%%+Am(X]4-A;)+m=2(西+x2)-x]x2-4,

俨+1）王羽+（