2023年高考理科数学冲刺卷及答案(四)

2023年高考理科数学仿真冲刺卷及答案(四)

本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分,共

150分.考试用时120分钟.

第I卷

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分，共60分.在每小

题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1.设P={x|x<4},Q={x|x2<4},则()

(A)pcQ(B)QCp(C)pcCRQ(D)QCCRP

2

2.如果复数2=二位则()

(A)|z|=2

(B)z的实部为1

(C)z的虚部为-1

(D)z的共飘复数为1+i

3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S6=24,SL63,贝lj等

于()

(A)4(B)5(06(D)7

4.如图所示,在一个边长为1的正方形A0BC内，曲线

y二x“x>0)和曲线y二口围成一个叶形图(阴影部分)，向正方形

A0BC内随机投一点(该点落在正方形A0BC内任何一点是等可

能的)，则所投的点落在叶形图内部的概率是()

51

(A)12(B)6

11

(C)4(D)3

5.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,且当x三0时,f(x)二

2

log2(x+l)+2-a,贝I」满足f(X-3X-1)+9<0的实数X的取值范围

是()

(A)(-2,-1)(B)(-1,0)

(0(0,1)(D)(1,2)

a1

6.(x+H(2XT)5的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中

常数项为()

(A)-40(B)-20

(C)20(D)40

7.如图，网格纸上正方形小格的边长为1,图中粗线画出的是

某几何体的三视图，则该几何体的体积为()

248

(A)3(B)3(C)3(D)4

8.按如图所示的程序框图,若输入a-81,则输出的i等于

(A)14(B)17(019(D)21

第8题图

9.已知函数f(x)=l+2cosxcos(x+3»)是偶函数，其中0£

71

(0,2),则下列关于函数g(x)=cos(2x1)的正确描述是

()

nn

(A)g(x)在区间［-运司上的最小值为T

(B)g(x)的图象可由函数f(x)向上平移2个单位,在向右平移

n

§个单位得到

n

(C)g(x)的图象可由函数f(x)的图象向左平移§个单位得到

71

(D)g(x)的图象可由函数f(x)的图象向右平移§个单位得到

10.若点P是以A(-回,0),B(回,0)为焦点,实轴长为2$的双

曲线与圆x2+y2=10的一个交点,则IPA|+1PB|的值为()

(A)2艰(B)4淄(C)4G(D)6M

11.已知直线1与函数f(x)=ln(&x)Tn(l-x)的图象交于A,B

两点，若AB中点为点P(2,m),则m的大小为()

11

(A)3(B)2(c)l(D)2

12.已知f(x)=x3-6x2+9x-abc,a<b<c,且f(a)=f(b)=f(c)=0.

现给出如下结论:①f(0)f(l)>0;②f(0)f(l)<0;③

f(0)f(3)>0;@f(0)f(3)<0.其中正确结论的序号是()

(A)①③⑻①④(C)②③(D)②④

第n卷

本卷包括必考题和选考题两部分.第13〜21题为必考题,每

个试题考生必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求

作答.

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分，共20分.把答案

填在题中的横线上)

1坦

13.已知a=G,2),|b|=l,|a+2bl=2,贝ljb在a方向上的投影

为.

14.若x,y满足约束条件便泻器设x2+y2+4x取得最大值的

点为A,则经过点A和B(-2,-3)的直线方程为.

x2y2

15.过双曲线滔-7=1(a>0,b>0)的右焦点且垂直于x轴的直线

与双曲线交于A,B两点,与双曲线的渐近线交于C,D两点,若

3

|AB|》g|CD|,则双曲线离心率的取值范围为.

16.如图,体积为18V的正三棱锥A.BCD的每个顶点都在半

径为R的球。的球面上，球心。在此三棱锥内部，且R：BC=2：

3,点E为线段BD上一点,且DE-2EB,过点E作球0的截面，

则所得截面圆面积的取值范围是.

三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、

证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分12分)

71

如图，在4ABC中，D为AB边上一点，DA=DC,已知B=&BC=1.

->/6

(1)若aABC是锐角三角形,DC-T,求角A的大小;

1

(2)若4BCD的面积为力,求边AB的长.

18.（本小题满分12分）

如图，三棱柱ABCABC中，AiA_L平面ABC,Z

ACB=90°,AC=CB=2,M,N分别是AB,A.C的中点.

⑴求证:MN〃平面BBCC;

⑵若平面CMN_L平面BMN,求直线AB与平面B】MN所成角的

正弦值.

19.(本小题满分12分)

2017年是某市大力推进居民生活垃圾分类的关键一年,有关

部门为宣传垃圾分类知识,面向该市市民进行了一次“垃圾

分类知识”的网络问卷调查,每位市民仅有一次参与机会，通

过抽样，得到参与问卷调查中的1000人的得分数据，其频率

分布直方图如图所示：

(1)由频率分布直方图可以认为,此次问卷调查的得分Z服从

正态分布N(u,210),u近似为这1000人得分的平均值(同

一组数据用该区间的中点值作代表)，利用该正态分布,求

P(50.5<ZW94).

⑵在(1)的条件下,有关部门为此次参加问卷调查的市民制

定如下奖励方案：

①得分不低于u可获赠2次随机话费,得分低于u则只有1

次；

②每次赠送的随机话费和对应概率如下:

赠送话费（单位:元）1020

21

概率

33

现有一位市民要参加此次问卷调查，记x（单位:元）为该市民

参加问卷调查获赠的话费,求X的分布列.

附:师仁14.5.若Z〜N（P,。2）,则p（P-。＜ZWp+

。）=0.6827,

P（U-2O〈ZWP+2O）=0.9545.

20.（本小题满分12分）

X2

已知FI,F2分别是椭圆C：Z+y2=l的左、右焦点.

--5

（1）若P是第一象限内该椭圆上的一点,・PF2=~l求点P的

坐标；

⑵设过定点M（0,2）的直线1与椭圆交于不同的两点A,B,且

ZA0B为锐角（其中0为坐标原点），求直线1的斜率k的取值

范围.

21.(本小题满分12分)

已知函数f(x)=ex-1+ax,a£R.

⑴讨论函数f(x)的单调区间；

(2)若VxG[1,+℃>),f(x)+lnx2a+\恒成立，求a的取值范

围.

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按

所做的第一题计分.

22.（本小题满分10分）

选修4一4:坐标系与参数方程

L-5+巴

2

已知直线1：卜=4+.（t为参数）.以坐标原点为极点,X轴的

正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为P=2cos

0.

⑴将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；

⑵设点M的直角坐标为⑸心），直线1与曲线C的交点为A,B,

求|MA|・|MB|的值.

23.(本小题满分10分)

选修4_5:不等式选讲

已知函数f(x)=|2x-a|+1x-11,aGR.

(1)若不等式f(x)^2-|x-11有解,求实数a的取值范围;

⑵当a<2时，函数f(x)的最小值为3,求实数a的值.

仿真冲刺卷(四)

1.BP={x|x<4},Q={x|X2<4}={x|-2<x<2},如图所示，

…I"T~In一

-4-3-2-1012345

可知QGP.故选B.

22(-1-i)

2.C由Z=-l+i=(T+i)(-l-i尸一l.-i,

所以IZI=z的实部为-1,虚部为T,共甄复数为-1+i.故选

C.

3.B设等差数列{小}的公差为d,因为S6=24,SL63,

6x59x8

所以6a1+2d=24,9ai+2d=63,

联立解得a,=-l,d=2,贝lja4=-l+3X2=5.故选B.

4.A可知此题求解的概率类型为关于面积的几何概型，

由图可知基本事件空间所对应的几何度量S(Q)=1,

满足所投的点落在叶形图内部所对应的几何度量

13

f2^1£

S(D)=0(\^-X3)dx=(3X-4x')10=12.

5

所以P(D)二运故选A.

5.D由题意f(0)=log2(0+1)+2°~a=0,所以a=l.

设x<0,则-x>0,

x

则f(-x)=log2(1-x)+2--l.

因为f(x)是奇函数，所以f(-x)-f(x).

x

所以f(x)=-log2(-x+D-2+l.

经分析知f(x)在R上单调递增,且f(-3)-9.

因为f(x2-3x-l)+9<0,

即f(x-3x-l)<-9=f(-3),

有X2-3X-1<-3,解得Kx<2.故选D.

6.D令x=l,则有l+a=2,得a=l,

11

故二项式为(x+x)(2x-x)5,

故其常数项为-22x4+23牖=40.故选D.

7.B由三视图可知该几何体为四棱锥P-ABCD,补成正方体如

图所示,连接BD.

11114

其体积V=VBP4D+VBPCX§X2X1X2X2+3X2X1X2X2=3.故选

B.

8.A模拟程序的运行,可得程序框图的功能是计算

S=1+2+3+…+i的值,当S>81时，输出i+1的值.由于

i(i+1)12X13

S=1+2+3+…+i=当i=12时，S=78<81,

13X14

当i=13时,=91>81,满足退出循环的条件,故输出i

的值为13+1=14.故选A.

9.C因为函数f(x)=l+2cosxcos(x+3。)是偶函数，其中。

TL

e(0,2),

所以f(-x)=l+2cos(-x)cos(3夕-x),

即cos(x+3。)=cos(3@-x),

展开整理可得sinxsin3夕=0,则sin3。=0,

所以39=kJi,k£Z,

71

又夕£(0,2),

3

所以3,£(0,2兀)，所以3夕二兀,

n

所以f(x)=l+2cosxcos(x+n)=l-2cos2x=-cos2x=cos(Jr

-2x);

cos(2x-n),

71

所以函数g(x)=cos(2x-夕)=COS(2x-3).

nnnnn

因为-诵WxWG,所以-5W2x-

所以OWg(x)Wl.因此A不正确;

Tin

故函数f(x)的图象向左平移3个单位得到y=cos[2(x+3)-

n

冗]=COS(2x-3)=g(x)的图象.故选C.

10.D由题意知2a=2典C=A/IO,

所以a=W,b2=c2-a2=l0-2=8,

x2y2

所以双曲线方程为爹-豆=1.

不妨设点P在第一象限，

(\PA\-\PB\=2a=2y/2,

22

则由题意知1仍用2+\PB\=(2c)=40,

所以(|PAHPB|)2=|PA/+|PB|2-2|PA||PB|,

解得2|PA||PB|=32,

所以(闻|+闻|)2二小人|2+电|2+2期|同|二72,

所以|PA|+|PB|=m=6或,故选D.

11.B由已知条件有f(x)=ln&+lnx-ln(l-x),

f(l-x)=lnVe+ln(l-x)-lnx,则f(x)+f(l-x)=l,

111

当x=5时，f⑵+f⑵=1,

1i

所以f⑵上.故选B.

12.C因为f(x)=x3-6x?+9x-abc,

所以f'(X)=3X2-12X+9=3(X2-4X+3)=3(x-l)(x-3).

令*(x)=0得Xi=l,X2=3,

由f'(x)>0得x>3或x〈l,

所以f(x)的单调递增区间是(3,+8),

由f'(x)<0得l〈x<3,

所以f(x)的单调递减区间是(1,3),

又a<b<c,f(a)=f(b)=f(c)=0,

所以f(x)与x轴有三个不同的交点，即有三个零点a,b,c.

f(x)的大致图象如图：

可判出f(l)=l-6+9-abc=4-abc>0,

f(3)=27-54+27-abc=-abc<0,

又f(0)=-abc,

所以f(0)<0,

所以f(0)f(1)<0,f(0)f(3)>0,故选C.

i0

13.解析:a=G,2),|b|=l,|a+2b|=2,

可得|a|=l,|a+2b『=4,

即为a2+4a,b+4b2=4,即有l+4a,b+4=4,a,b=-4,可得b在a

a-b1

方向上的投影为向二-4

1

答案T

%>1,

%Iy_30

14.解析:画出约束条件％-丫1320表示的平面区域,如图所

示.

则z=x2+y2+4x=(x+2)2+y2-4,

表示平面区域(阴影部分)内的点P(x,y)到点C(-2,0)的距离

的平方减去4,它的最大值在x-y-3=0,x+y-3=0的交点处取

得，

fx+y-3=0,

由|~y-3=0解得A⑶0),

所以经过点A和B(-2,-3)的直线方程为

y-0x-3

-3-o=-2-3,化为一般形式为3x-5y-9=0.

答案：3x-5y-9=0

x2y2

15.解析:设双曲线滔-”二1(a>0,b>0)的右焦点为(c,0),

/b2

当X=C时代入双曲线a2-川=1得y=±a,

则A(c,«),B(c,-«),

2b2bbe

则|AB|=a，将x=c代入y=土ax得y=±«,

bebe

则C(c,«),D(c,-«),

2

2bc32b32bc3

则|CD|二",因为|AB|eW|CD|,所以・匹即b2，c,

2

916£25

则b2=c2-a2^^c2,即元c22a2,则e2=^^,

5

贝！JeA.

5

答案：［4+8)

16.解析:设BC=3a,则R=2a,

因为体积为18抬的正三棱锥A.BCD的每个顶点都在半径为R

的球0的球面上，

1£24

所以§XWX9a2加18两所以h=«2,

因为R2=(h-RT+(病产，

24

所以4a2=(/-ZaV+Ba?,所以a=2,

所以BC=6,R=4,

因为点E为线段BD上一点，且DE=2EB,

3

所以AODB中，0D=0B=4,DB=6,cosZODB=4

I3

~116+16-2X4X4X-

所以OE—J4=2也,

截面垂直于0E时，截面圆的半径为8口=2&截面圆面积为8

冗，

以0E所在直线为直径时,截面圆的半径为4,截面圆面积为

16几，

所以截面圆面积的取值范围是［8R，16冗］.

答案：［8冗，16r］

兀施

17.解：⑴在4BCD中，B=&BC=1,DC=X由正弦定理得

BCCD

sin乙BDCMm,

解得sinNBDC=3=2,

n2n

则NBDC=§或可.

nn7

当NBDC=§时，由DA=DC,得A=%,则ZACB=i2n,此时^ABC为

钝角三角形,不合题意；

27rn

当NBDC二不时，由DA=DC,得A=§,

5

则NACB=适n,AABC为锐角三角形，

n

综上,A=3.

n1

⑵由于B=4,BC=1,ABCD面积为%,

1兀1J2

则E•BC•BD,sin4=6｝解得BD=3.

再由余弦定理得CD=BC2+BD-2BC-BD-cosZ

2巫巫g

=1+9-2XTXT=9,

A/5p+#

故CD二三又由AB=AD+BD=CD+BD=^>,

4+洲

故边AB的长为3.

18.(1)证明：连接AG,BG,则N为AG的中点,

又因为M为AB的中点，所以MN〃BG,

又BGu平面BBCC,MN4平面BBCC,

故MN〃平面BBCC.

(2)解：由AiAJ_平面ABC,CG〃AAi,得AC±CCbBCJ_CG.

又NACB=90°,即AC_LBC,

以C为原点,分别以CB,CG,CA所在直线为x轴，y轴，z轴建

立如图所示的空间直角坐标系，

设CCF2X(X>0),

—

则M(l,0,l),N(0,入，1),Bi(2,2入，0),。河二(1,0,1),

—>

MN=(-1,入，0),-1=(2,X,-1).

设平面CMN的法向量为m=(x,y,z),

TT，口J才十Z5

由CM•m=0,MN・m=0得1_x+4y=o,

令y=l,得m=（入，1,-入）,

同理可得平面BMN的一个法向量为n=（入，1,3入）,

因为平面CMN_L平面B.MN,

所以m•n=入2+1-3入J。，

■-3-

解得入=2,得n=（2,1,h），

又6二⑵0,-2）,

设直线AB与平面BMN所成角为0,

—>—>

则sin9=|cos<n,|=\n\\AB\=6.

A/6

所以，直线AB与平面BMN所成角的正弦值是否.

19.角军：(1)E(Z)=35X0.025+45X0.15+55X0.2+65X0.25+

75X0.225+

85X0.1+95X0.05=65,

所以P=65,a=^210^14.5,

所以P(50.5VZW79.5)=06827,

P(36<Z<94)=0.9545,

0.9545-0.6827

所以P(79.5<Z^94)=2=o.1359,

所以P(50.5<ZW94)=P(50.5<ZW79.5)+P(79.5<ZW

94)=0.6827+0.1359=0.8186.

1

⑵P(Z〈u)=P(Z>H)=5,

X的可能取值为{10,20,30,40},

121

P(X=10)=2X3=3,

111227

P(X=20)=2X3+2X3X3=18,

1211122

P(X=30)=2X3X3+2X3X3=9,

1111

P(X=40)=2X3X3=18.

所以X的分布列为

X10203040

1721

p

318918

20.解：(1)因为椭圆方程为Z+y2=l,所以a=2,b=l,c=#,

可得Fl(-A0),F2cA0),设P(x,y)(x>0,y>0),

--5

贝卜「1•12=(-龌—x,-y),(抬-x,-y)=x，y2-3=-4

%2=1,

2_2£

解得F一了.0即P(l,2~).

⑵显然x=0不满足题意,可设1的方程为y=kx+2,

A(xbyi),B(x2,y2),

,2

—+y2=i，

4

联立ly=Ax+2,=(l+4k2)x2+16kx+12=0,

3

由A=(16k)2-4(l+4k2)・12>0,得k?北.

16k12

Xi+X2=-1+4k2,X]X2=1+4k2.

->—>

又NAOB为锐角，即。4•。8>0,

即XiX2+yiy2>0,XiX2+(kxi+2)(kx2+2)>0,

12

2

(1+k)xix2+2k(xi+x2)+4=(1+必)i+加+

16k4(4-k2)

2k(T+4k2)+4=1+4/〉0,

33

可得k2<4.又k2>4即为其k2<4,

解得k£(-2,-T)u解,2).

21.解：⑴*(x)=e-+a,

①a20时,1(x)〉0,f(x)在R上单调递增；

②a<0时，令f'(x)=0,解得x=ln(-a)+l,

故x>ln(-a)+1时,f(x)单调递增,x<ln(-a)+1时,f(x)单调递

减；

综上,a^O时,f(x)的单调递增区间为(-8,+oo)；

a<0时,f(x)的单调递增区间为(In(-a)+1,+8),单调递减区

间为

(-8,ln(-a)+l).

⑵令a=T,由(1)得f(x)的最小值是f(l)=0,

故eX〔x20,即exH^x,

f(x)+lnx2a+l恒成立与f(x)+lnx-aT巳0恒成立等价,

令g(x)=f(x)+lnx-a-1,

即g(x)=e^'+a(x-1)+lnx-l,(x》l),

1

则g'(x)=ex-1+x+a,

11n