2023-2024学年浙江金华市第五中学八年级数学第一学期期末监测试题含解析

2023-2024学年浙江金华市第五中学八年级数学第一学期期末

监测试题

监测试题

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;

非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题(每小题3分,共30分)

1.下列各多项式从左到右变形是因式分解，并分解正确的是()

A.m2-n2+2=(m+n)(m-n)+2B.(x+2)(x+3)=x2+5x+6

C.4a2-9b2=(4a-9b)(4a+9b)D.(a-b)3-b(b-a)2=(b-a)2(a

-2b)

2.计算卜2/5)3的结果是()

A.-6a5b3B.6abb3C.-Sa5b3D.-806b3

3.下列命题中，是真命题的是()

A.同位角相等

B.全等的两个三角形一定是轴对称

C.不相等的角不是内错角

D.同旁内角互补，两直线平行

4.如图，8。是NABC的角平分线，DE±ABς^E,AABC的面积是15C%2,AB=9cm,

BC=Gcm,贝I]DE=()cm.

C.3D.4

c.e

6.如图，ΔABE与ACoE是两个全等的等边三角形，EAlED9下列结论不正确的

是（）

B.直线£»垂直平分CO

C.ADHBCD.四边形ABCD是轴对称图形

7.用反证法证明“在AABC中，如果N6≠NC,那么AB≠AC“时，应假设（）

A.AB=ACB.ZB=ZCC.AB≠ACD.ZB≠ZC

8.如图，已知AABCgZVlDC,ZB=30o,NBAC=23。，则NACD的度数为（）

A.120°B.125°C.127°104°

9.把式子(2+1)(22+1)(24+1)08+1)…Q256+1)化筒的结果为()

A.2l024-1B.2l024+1C.2512-lD.25'2+l

10.下列各式从左到右的变形正确的是（)

B-25a2b_5

∖0ab2c2Iabc2

b-aa-bm2-91

C.---------=--------n

一b—cia+bm-3"?+3

二、填空题（每小题3分,共24分）

11.如图，AABC中，AB=AC,ZBAC=120o,AD±AC交BC于点D,AD=3,则

BC=________

12.如图，NAoB=30。，点尸是它内部一点，OP=2,如果点。、点R分别是O4、OB

上的两个动点，那么尸Q+QR+RP的最小值是

13.计算：卜2|-我=

14.若402+⅛2-4a+2⅛+2=0,贝11ab=.

15."x的:与X的和不超过5”用不等式表示为一.

O

16.若x?+y-=5,xy=2,贝IJ(X—y)-=.

17.在AABC中，NA=60。，ZB=ZC,则NB=.

18.用12根火柴棒(等长)拼成一个三角形，火柴棒不允许剩余、重叠和折断，则能

摆出不同的三角形的个数是个.

三、解答题(共66分)

19.(10分)如图1,AABC中，AD是NBAC的角平分线,若AB=AC+CD.那么NACB

与NABe有怎样的数量关系？小明通过观察分析，形成了如下解题思路：

如图2,延长AC至IJE,使CE=CD,连接DE,由AB=AC+CD,可得AE=AB,又因为AD是

NBAC的平分线，可得AABDgZkAED,进一步分析就可以得到NACB与NABC的数

量关系.

(1)判定AABD与AAED全等的依据是(SSS,SAS,ASA,AAS从其中选

择一个)；

(2)ZACB与NABC的数量关系为:

X3

20.(6分)解分式方程：

x-1X2-4

21.(6分)仔细阅读下面例题,解答问题：

例题:已知二次三项式4x+加有一个因式是(x+3),求另一个因式以及〃2的值，

解:设另一个因式为(x+〃)，得：X2-4x+m^(x+3)(x+n),

则x-4x+m=x2+("+3)x+3”

n+3=-4

m=3n

解得：n=-7,m=-2l

∙∙.另一个因式为（无一7）,加的值为一21,

问题:仿照以上方法解答下列问题：

已知二次三项式2/—5x-Z有一个因式是（2%一3）,求另一个因式以及A的值.

22.（8分）如图1,∆ABCφ,AB=AC,ZBAC=90o,C。平分N4C8,BEA.CD,

垂足E在CO的延长线上.请解答下列问题：

（1）图中与NOBE相等的角有：；

（2）直接写出BE和CD的数量关系；

（3）若AABC的形状、大小不变，直角三角形5EC变为图2中直角三角形8E。，NE

=90°,且NEDB=；NC,OE与AB相交于点凡试探究线段BE与KD的数量关系，

并证明你的结论.

23.（8分）如图，某小区有一块长为（3α+Z>）米，宽为33b）米的长方形空地，计

划在中间边长（«+*）米的正方形空白处修建一座文化亭，左边空白部分是长为“米，

宽为《J米的长方形小路，剩余阴影部分用来绿化.

（1）请用含。、》的代数式表示绿化面积S（结果需化简）；

（2）当α=30,Z>=20时，求绿化面积S.

24.（8分）如图①，在二A6C中，NABC和NAeB的平分线交于点。过点。作

EF//BC交AB于E,交AC于F.

EO

b①C

(1)求证:Eo是等腰三角形∙

(2)如图①，猜想:线段EE与线段3石、C户之间有怎样的数量关系？并说明理由.

(3)如图②，若A8C1中NASC的平分线80与三角形外角的平分线CC)交于。,

过。点作OEHBC交AB于点E,交AC于点F,这时图中线段EF与线段BE、CF

之间的数量关系又如何？直接写出答案，不说明理由.

（2）√48-^∣+√12

⑶R+（6一1）（百+1）一（一2）'

2x+3y=5,

(4)解方程组＜

2Λ-7Ʃ=-15.

26.(10分)如图，已知点B在线段AE上，分别以AB,班:为边长在AE上方作正

方形ABC。，BEFG,点P为AB中点，连接C77,CP,FP,设AB=4,BE=b.

(1)若a=2b,请判断_CPE的形状，并说明理由;

(2)请用含。，b的式子表示-CPE的面积；

(3)若工下厂的面积为6,AE=6,求AB的长.

参考答案

一、选择题(每小题3分,共30分)

1、D

【分析】直接利用因式分解的定义进而分析得出答案.

【详解】解：A、m2-n2+2=(m+n)(πι-n)+2,不符合因式分解的定义，故此选项错误.

B、(x+2)(x+3)=χ2+5x+6,是整式的乘法运算，故此选项错误；

C、4a2-9b2=(2a-3b)(2a+3b),故此选项错误；

D、(a-b)3-b(b-a)2=-(b-a)3-b(b-a)2

=(b-a)2(a-2b),是因式分解，故此选项正确；

故选：D.

【点睛】

此题主要考查了因式分解的意义，正确把握因式分解的定义是解题关键.

2、D

【分析】根据嘉的乘方：底数不变，指数相乘；以及积的乘方：等于把积的每一个因式

分别乘方，再把所得的塞相乘，进行运算，即可求解.

【详解】解：(-2a2⅛)3=(-2)3∙(«2)3∙/?3=-8∙a2x3-b3=-Sabb3,

故选D.

【点睛】

本题考察积的乘方以及幕的乘方运算，较容易，熟练掌握积的乘方以及塞的乘方运算法

则是顺利解题的关键.

3、D

【分析】根据平行线的性质对A进行判断；根据轴对称的定义对B进行判断；根据内

错角的定义对C进行判断；根据平行线的判定对D进行判断.

【详解】解：A、两直线平行，同位角相等，所以A选项为假命题；

B、全等的两个三角形不一定是轴对称的，所以B选项为假命题；

C、不相等的角可能为内错角，所以C选项为假命题；

D、同旁内角互补，两直线平行，所以D选项为真命题.

故选D.

考点：命题与定理.

4、B

【分析】过D作DFjLBC于F,由角平分线的性质得DE=DF,根据

SAAISC=SMHΠ+SABa,=g8C∙r>∕+gAB-DE即可解得DE的长•

【详解】过D作DFJ_BC于F,

T5。是NABC的角平分线，DE±AB^E,

ΛDF=DE,

TAA5C的面积是15CWJ2,AB=9cm,BC=6cm,

又SAABC=SMBD+SABCD=3BC*DF+—AB-DE,

.,.∖5^-×6∙DE+-×9∙DE,

22

解得：DE=2,

【点睛】

本题主要考查角平分线的性质定理、三角形的面积公式,熟练掌握角平分线的性质定理,

作出相应的辅助线是解答本题的关键.

5,C

【分析】根据轴对称图形的性质，分别进行判断，即可得到答案.

【详解】解：根据题意，A、B、D中的图形不是轴对称图形，C是轴对称图形；

故选：C.

【点睛】

本题考查了轴对称图形的定义，解题的关键是熟记定义.

6、A

【分析】根据ΔABE与AC。E是两个全等的等边三角形，可得到AE=Ec>,

BE=CE,NBAE=ABE=ZAEB=/EDC=/DCE=NDEC=6«,然后结合

EALED,先计算出NEBC的大小，便可计算出ZEBC的大小，从而判定出AD与

BC的位置关系及BE与DC的关系，同时也由于AEZ）与ABEC是等腰三角形，也

容易确定四边形ABCD的对称性.

【详解】（1）；AABE与ACOE是两个全等的等边三角形

AE=ED,BE=CE,

ZBAE=ZABE=ZAEB=ZEDC=ZDCE=ZDEC=60°

：.NEBC=ECB

,：EALED

AZAfiD=90°

二NBEC=360°-90°-60°X2=150°，NEAD=NEDA=45°

.∙.NEBC=NECB=∣（180°-NBEC）=15°,所以选项A错误；

（2）由（1）得：ZABC=NABE+NE8C=60°+15°=75'

ZBAD=ZBAE+NDAE=60"+45°=105°

二ZABC+ZBAD=75°+105°=180°

ΛADHBC,所以选项C正确；

（3）延长BE交CD于点F,连接BD.

•：ZEBC=ZECB=15°,NECD=60°

：.NBCD=IS

二ZBFC=180°—75°-15°=90°

.∙.BF±CD

即BEJ_Cz）

NBED=180°-ZCED-NBEC=360°-60°-150°=l50°=ZBEC

在-EBC与AEBD中

BE=BE

<NBEC=NBED

CE=DE

.∙.EBCmEBD

：.BC=BD

：.DF=CF,综上，BE垂直平分CD,所以答案B正确；

(4)过E作仞N_LA£>,由AD/∕3C得MV_LBC

而ΔADE和ΔBEC是等腰三角形，则MN垂直平分AD、BC,所以四边形ABCD是剌j

对称图形，所以选项B正确.

故选：A

【点睛】

本题考查的知识点主要是等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，平行四边形的

判定及其轴对称图形的定义，添加辅助线构造全等三角形是本题的难点.

7、A

【分析】第一步是假设结论不成立，反面成立，进行分析判断即可.

【详解】解：反证法证明“在AABC中，如果N5≠NC,那么ABWAC"时，应假设AB

=AC,

故答案为A.

【点睛】

本题考查的是反证法，理解反证法的意义及步骤是解答本题关键.

8、C

【分析】ffi∆ABC^∆ADC,得出NB=ND=30。，NBAC=NDAC=LZBAD=23o,

2

根据三角形内角和定理求出即可.

【详解】解：：在AABC和aADC中

AB=AD

<AC=AC

BC=CD

Λ∆ABC^∆ADC,

ΛNB=ND=30。，ZBAC=ZDAC=—ZBAD=—×46o=23o,

22

ΛZACD=180o-ZD-ZDAC=180o-30o-23o=127o,

故选C.

【点睛】

本题考查了全等三角形的性质和判定和三角形内角和定理的应用，注意：全等三角形的

对应角相等.

9、C

【分析】添一项2-1后，与第一个括号里的数组成平方差公式，依次这样计算可得结果.

【详解】解：(2+1)(I2+1)(24+l)(28+l)...(2256+l),

=(2-1)(2+1)(22+l)(24+l)(28+l)...(2256+l),

=(22-l)(22+l)(24+l)(28+l)...(2256+l),

=(24-l)(24+l)(28+l)...(2256+l),

=(28-l)(28+l)...(2256+l),

=(2'6-l)(2l6+l)...(2256+l),

=2512-l.

故选：C

【点睛】

本题考查了利用平方差公式进行计算，熟练掌握平方差公式是解题的关键.

10、C

【分析】由分式的加法法则的逆用判断A,利用约分判断B,利用分式的基本性质判断

C,利用约分判断D.

【详解】解：由《土ɪ=^+!=^+',所以A错误，

aaaa

1

l-25ab-Sab∙5a

由;^^~所以错误,

2-ʒ,B

10Q∕ΓC~-5ab∙(-2bc)2bc-

b-a-(b-d)a-b

由石P所以C正确,

-b-a-(-b-a)

,m2-9(m+3)(171-3)CIC■、0

由------=-------------=m+3,所以DM错t误.

m-3m-3

故选C∙

【点睛】

本题考查分式加减运算的逆运算与分式的基本性质，掌握运算法则与基本性质是关键,

二、填空题（每小题3分,共24分）

11、9

【分析】根据勾股定理求出AB,再利用相似即可求解.

【详解】VAB=AC,ZBAC=120o

二ZC=30o,

XVAD±AC,AD=3

ΛZDAC=90o,CD=6

勾股定理得AC=AB=3G，

由图可知4ABDSA1BCA,

ΛBC=9

【点睛】

本题考查了勾股定理和相似三角形，属于简单题.证明相似是解题关键.

12、1

【分析】先作点P关于的对称点P,P”,连接P7>”,由轴对称确定最短路线问

题,P'P"分别与OA,OB的交点即为Q,R,ZkPQR周长的最小值=PP”,由轴对称的性质，

可证NPOA=NP'ON,NPO5=NP''O8,OP'=OP''=OP=1,NP'OP''=INAOB=IX30°=60°,

继而可得40P7j”是等边三角形,即PP-=OP-=I.

【详解】作点P关于OAQB的对称点PIP”,连接P'P",

由轴对称确定最短路线问题,PT"分别与OA,OB的交点即为Q,R,

△PQK周长的最小值=PP”,由轴对称的性质，

NPOA=NP'ON,NPoB=NP''O8,OP'=OP''=OP=1,

所以,NP'OP"=lNAOB=lx30°=60°,

所以,40PP”是等边三角形，

所以,PPP=L

故答案为：1.

【点睛】

本题主要考查轴对称和等边三角形的判定,解决本题的关键是要熟练掌握轴对称性质和

等边三角形的判定.

13、O

【分析】先化简绝对值，以及求立方根，然后相减即可.

【详解】解：卜2|一圾=2-2=0；

故答案为0.

【点睛】

本题考查了立方根和绝对值的定义，解题的关键是正确进行化简.

14、-0.5

【分析】利用完全平方公式进行因式分解得到2个完全平方式，通过平方的非负性质推

导出，〃个非负项相加为0,则每一项为0.

【详解】解：∙∙∙4∕+∕72一4α+2∕>+2=0,

.∙.(2α-lf+e+l)2=0,

2。-1=0

∙p+l=0

解得a=g,b=-l,

2

,1

ab=—.

2

故答案为：-7∙

2

【点睛】

利用完全平方公式因式分解，通过平方非负的性质为本题的关键.

15、—x+x≤1.

8

【分析】理解题意列出不等式即可.

【详解】“x的1与X的和不超过1”用不等式表示为！χ+χWl,

88

故答案为：—x+x≤1.

8

【点睛】

此题主要考查了不等式的表示，解题的关键是正确理解题意.

16、1

【解析】将原式展开可得Y-2知+/，代入求值即可.

【详解】当V+y2=5,冲=2时，

(x-y)--X2-2xy+y2-xl+y2—2xy=5—4=1.

故答案为：1.

【点睛】

此题考查了完全平方公式，熟练掌握公式是解题的关键.

17、60°

【分析】根据条件由三角形内角和可得NA+NB+NC=180。；接下来根据NA=60。，

NB=NC,进而得到NB的度数.

【详解】解：,：八、NB、NC是AABC的三个内角，

：.ZA+ZB+ZC=180o.

VZA=60o,NB=NC,

.∙.ZB=60o,

故答案为：60°.

【点睛】

本题主要考查了三角形内角和定理的运用，解题时注意三角形内角和等于180°.

18、3

【详解】设摆出的三角形的的三边有两边是X根，y根，

则第三边是12-x-y根，

根据三角形的三边关系定理得出：x+y12-x-y,12-x-yy,

所以X6,y6,x+y6

又因为x,y是整数，

所以同时满足以上三式的X,y的值的是;2,5;3,4;3,5;4,4;4,5;5,5.

则第三边对应的值是5,5,4,4,3,2;

因而三边的值可能是：2,5,5或者3,4,5或者4,4,4共有三种情况，

则能摆出的不同三角形的个数是3

【点睛】

本题属于对三角形三边关系的基本性质和大小的考查，需要考生对三角形三边关系熟练

运用

三、解答题（共66分）

19、SASZACB=2ZABC

【解析】试题分析：（1）根据已知以及作法可知可以利用SAS判定AABD与AAED全

等；

（2）根据AABDWAAED,可得NB=NE,由作法可知CE=CD,从而得NE=NCDE,再利

用三角形外角的性质即可得NACB=2NABC.

试题解析：（1）延长AC到E,使CE=CD,连接DE,

VAB=AC+CD,AE=AC+CE,ΛAE=AB,

又「AD是/BAC的平分线，ΛZBAD=ZCAD,

又AD是公共边，Λ∆ABD^△AED(SAS),

故答案为SAS；

(2)V∆ABD^∆AED,ΛZB=ZE,

VCD=CE,ΛZE=ZCDE,

VZACB=ZE+ZCDE,

ΛZACB=2ZB,

故答案为NACB=2NB.

【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质、三角形的外角等，

正确添加辅助线是解题的关键.

20、X=」

2

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到X的值，经检验即可

得到分式方程的解.

【详解】解：去分母得:x2+2x-x2+4=3,

解得：X=--,

经检验X=-ɪ是分式方程的解.

【点睛】

本题考查了分式方程的解法，解分式方程时注意检验.

21、另一个因式为(X-1),女的值为一3

【分析】设另一个因式为(x+n),得2χ2-5x-k=(2x-3)(x+n)=2x2+(2n-3)x-3n,可

知2n-3=-5,k=3n,继而求出n和k的值及另一个因式.

【详解】解：设另一个因式为(x+n),得:2x2-5x-k=(2x-3)(x+n)

贝(]2x2-5x-k=2x2+(2n-3)x-3n,

2〃一3=—5

k=3n

解得：〃二-1,攵二一3

，另一个因式为(x—l),k的值为—3,

【点睛】

本题考查因式分解的应用，正确读懂例题，理解如何利用待定系数法求解是解本题的关

键.

22、(1)NACE和/3C。；

、1

(z2)BE=-CD;

2

(3)BE=ɪDF,证明见解析

【分析】(1)根据三角形内角和定理得到NOBE=NACE,根据角平分线的定义得到

NBCD=NACE,得到答案；

(2)延长BE交。!延长线于R证明ACEFgACEB,得到尸E=BE,证明

∆ACD^∆ABF,得到CD=BF,证明结论；

(3)过点。作OG〃CA,交BE的延长线于点G,与AE相交于"，分别证明

ABGH义ADFH∖ABDE义AGDE,根据全等三角形的性质解答即可.

【详解】解：(1)'：BELCD,

：.NE=90。，

.,.ZE=ZBAC,又NEDB=乙WC,

ΛZDBE=ZACE,

TCO平分NAaB,

.∙.NBCD=ZACE,

：.ZDBE=ZBCD,

故答案为：NACE和N8CD；

(2)延长BE交。1延长线于F,

：C。平分NAC5,

.∙.NFCE=NBCE,

在ACE户和ACE8中，

ZFCE=ZBCE

CE=CE,

ZCEF=ZCEB

：.ACEFmACEB(As4),

：.FE=BE,

在AACD和AAM中,

ZACD=ZABF

AC=AB,

ZCAD=ZBAF=90°

；・AACD冬AABF(ASA),

CD=BF9

：.BE=—CD；

2

(3)BE=—DF

2

证明：过点。作OG〃CA,交BE的延长线于点G,与AE相交于

9

：DG//AC9

：・NGDB=NC,NBHO=NA=90。,

•：NEDB=—NC,

2

：.ZEDB=NEDG=—ZC,

2

9

：BELED9

ΛZBED=90o,

,/BED=NBHD,

•：NEFB=NHFD,

：.NEBF=NHDF,

t

JAB=AC9NBAC=90。，

ΛZC=ZABC=45o,

9

：GD//AC9

工NGDB=NC=45。,

ΛNGDB=NABC=45。,

：.BH=DH9

在AbG"和△£＞户”中，

ZHBG=ZHDF

<BH=DH

ZBHG=ZDHF=90°

：.ABGH义ADFH(ASA)

：.BG=DF,

,:在ABDE和AGDE中,

ZBDE=ZGDE

<DE=DE,

NBED=NGED=90°

：.ABDE义AGDE(ASA)

：.BE=EG,

：.BE=-BG=-DP.

22

【点睛】

本题考查了三角形内角和定理,角平分线的意义,三角形全等的判定和性质等相关知识，

解决本题的关键是：①熟练掌握三角形内角和定理，理清角与角之间存在的关系；②正

确理解角平分线的性质③熟练掌握三角形全等的判定方法。

23、（1）S=2/+2廿+_^_（平方米）；（2）S=7340（平方米）

【分析】（D绿化面积=矩形面积-正方形面积-小矩形面积，利用多项式乘多项式法则

及完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果；

（2）将a与b的值代入计算即可求出值.

【详解】（D依题意得：

S=（3ci+b）（α+3。）—（o+b）^—=2>cι^+9ab+cιb+3b^-cι^-2ab-b^—j-ʒ-

C279Qb

=2a~+2厅+—I。（平方米）.

ʌQ9ab

答：绿化面积是（2/+2^0+云-）平方米；

（2）当α=30,8=20时，

79Xɜnɔn

S=2X3（）2+2X2（）2+y-x-=1800+800+4740=7340（平方米）.

10

答：绿化面积是7340平方米.

【点睛】

本题考查了多项式乘多项式，完全平方公式以及整式的化简求值，解题的关键是明确整

式的混合运算的法则和代数求值的方法.

24、（1）详见解析；（2）M=BE+CT7,详见解析；（3）EF=BE-CF

【分析】（1）根据角平分线的定义可得NABo=NeSO,然后根据平行线的性质可得

ZBOE=ZCBO,从而得出ΛABO=ZBOE,根据等角对等边即可证出结论；

（2）根据角平分线的定义可得N48O=NCBO,然后根据平行线的性质可得

NBOE=NCBO,从而得出NABO=N8OE,根据等角对等边可得BE=QE;同理

证出CF=0F,从而证出结论；

（3）根据角平分线的定义可得NABO=NC80,然后根据平行线的性质可得

NBOE=NCBO,从而得出NABO=ZBQE,根据等角对等边可得BE=O£；同理

证出CF=OF,从而证出结论.

【详解】（1）求证：Bo平分NABC,

.∙.ZABO=ZCBO,

EFHBC,

:.NBOE=NCBO,

.-.ZABO=ZBOE,

,VBEO是等腰三角形

（2）猜想：EF=BE+CF,

理由如下：

8。平分NABC,

.∙.ZABO=ZCBO,

QEF//BC,

：.NBOE=NCBO,

：.ZABO=ZBOE,

BE=OE,

同理可得C∕=0f∖

.∖EF=OE+OF=BE+CF.

（3）EF=BE-CF,理由如下

BO平分ZABC,

:.ZABO=ZCBO,

QEF//BC,

：.NBoE=NCBO,

：.ZABO=ZBOE,

BE=OE,

同理可得b=0∕7,

.∙.EF=OE-OF=BE-CF.

【点睛】

此题考查的是角平分线的定义、平行线的性质和等腰三角形的判定，掌握角平分线的定

义、平行线的性质和等腰三角形的判定是解决此题的关键.

25、(1)2；(2)