湖南省益阳市大通湖渔场学校高二数学理联考试卷含解析

湖南省益阳市大通湖渔场学校高二数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设点A（﹣2，3），B（3，2），若直线ax+y+2=0与线段AB没有交点，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣]∪[，+∞） B．（﹣，） C．[﹣，] D．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）参考答案：B【考点】两条直线的交点坐标．【分析】直线ax+y+2=0过定点（0，﹣2），直线ax+y+2=0与线段AB没有交点转化为过定点（0，﹣2）的直线与线段AB无公共点，作出图象，由图求解即可．【解答】解：直线ax+y+2=0恒过点M（0，﹣2），且斜率为﹣a，∵kMA==﹣，kMB==，由图可知：﹣a＞﹣且﹣a＜，∴a∈（﹣，），故选B．2.函数图象上关于坐标原点O对称的点有n对，则n=（）A．3 B．4 C．5 D．无数参考答案：B考点： 奇偶函数图象的对称性；分段函数的解析式求法及其图象的作法；对数函数的图像与性质．

专题： 作图题；函数的性质及应用．分析： 要求函数图象上关于坐标原点对称，则有f（﹣x）=﹣f（x），转化为方程根的个数，再用数形结合法求解．解答： 解：当x＜0时，函数f（x）=cos，则关于原点对称的图象为y=﹣cos，x＞0，作出函数的图象如图：当x=10时，y=lg11＞1，y=﹣cos=1，x＞0，则由图象可知两个图象的交点个有4个，故n=4，故选：B．点评： 本题主要通过分段函数来考查函数奇偶性的应用，同时还考查了学生作图和数形结合的能力3.若多项式，则=（

）A、509

B、510

C、511

D、1022参考答案：B4.已知函数，若f(f(0))＝4a，则实数a等于()A. B.C.2 D.9参考答案：C5.曲线在点(0,1)处的切线方程为（

）A. B. C. D.参考答案：C【分析】求得函数的导数，得到，得出切线的斜率，再利用直线的点斜式方程，即可求解，得到答案．【详解】由题意，函数，则，所以，即曲线在的切线的斜率，所以曲线在的切线方程为，即，故选C．【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解曲线在某点处的切线方程，其中解答中熟记导数的几何意义是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．6.如图所示正方形ABCD，E、F分别是AB、CD的中点，则向正方形内随机掷一点P，该点落在阴影部分内的概率为（

）A. B. C. D.参考答案：D【分析】根据正方形的对称性求得阴影部分面积占总面积的比例，由此求得所求概率.【详解】根据正方形的对称性可知，阴影部分面积占总面积的四分之一，根据几何概型概率计算公式可知点落在阴影部分内的概率为，故选D.【点睛】本小题主要考查几何概型的计算，属于基础题.7.设函数，若，则（

）A．8

B．9

C．10

D．11参考答案：D8.用反证法证明命题：“若a、b、c是三连续的整数，那么a、b、c中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是（） A．假设a、b、c中至多有一个偶数 B． 假设a、b、c中至多有两个偶数 C．假设a、b、c都是偶数 D． 假设a、b、c都不是偶数参考答案：D略9.对于小于55的自然数，积（55-n）（56-n）……（68-n）(69-n)等于A．A B.A

C.A

D.A参考答案：B10.已知，且．现给出如下结论：①；

②；

③；

④．

⑤；

⑥

其中正确结论的序号是（）A.②③⑤

B.②④⑥

C.①③⑤

D.①④⑥ 参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.△ABC中，a=2，∠A=30°，∠C=45°，则△ABC的面积S的值是

．参考答案：+1考点：三角形的面积公式．专题：解三角形．分析：由正弦定理可得，求出c值，利用两角和正弦公式求出sinB的值，由S△ABC=acsinB运算结果解答： 解：B=180°﹣30°﹣45°=105°，由正弦定理可得，∴c=2．sinB=sin（60°+45°）==，则△ABC的面积S△ABC=acsinB=×2×2×=+1，故答案为：+1点评：本题考查两角和正弦公式，正弦定理的应用，求出sinB的值，是解题的关键．12.已知正项等比数列满足，若存在两项使得，则的最小值为

。参考答案：略13.已知直线和平面，若，则与的位置关系是

．参考答案：14.设幂函数的图像经过点(4,2)，则__________．参考答案：由题意得15.已知，则

▲

参考答案：16.如图所示，已知在△ABC中，∠C=90°，正方形DEFC内接于△ABC，DE∥AC，EF∥BC，AC=1，BC=2，则AF∶FC=

。参考答案：17.如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AD，AC⊥AD，∠BAC=60°，AB=AC=AD=4，点P，Q分别在侧面ABC棱AD上运动，PQ=2，M为线段PQ中点，当P，Q运动时，点M的轨迹把三棱锥A﹣BCD分成上、下两部分的体积之比等于．参考答案：【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由已知中三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AD，AC⊥AD，∠BAC=60°，AB=AC=AD=4，我们易计算出三棱锥A﹣BCD的体积，又由点P，Q分别在侧面ABC棱AD上运动，PQ=2，M为线段PQ中点，我们可以判断M的轨迹与三棱锥转成的两个几何体的体积，进而得到答案．【解答】解：∵三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AD，AC⊥AD，∠BAC=60°，AB=AC=AD=4，则棱锥A﹣BCD的体积V==又∵点P，Q分别在侧面ABC棱AD上运动，PQ=2，M为线段PQ中点，∴点M的轨迹在以A为球心以1半径的球面上则点M的轨迹把三棱锥A﹣BCD分成上、下两部分的体积之比为：：（﹣）=，故答案为．【点评】本题考查的知识点是棱锥的体积及球的体积，其中判断出M的轨迹在以A为球心以1半径的球面上是解答本题的关键．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知抛物线的焦点为F，抛物线上的点到准线的距离为．（1）求抛物线的标准方程；（2）设直线MF与抛物线的另一交点为N，求的值.参考答案：（1）由题意，消去得，因为，解得，所以，所以抛物线标准方程为.

(5分）

（2）因为，,所以,直线MF的方程为，联立方程得方程组，消去x得，解得或1，将代入，解得，由焦半径公式,又所以.（12分）19.（10分）已知数列满足：，

（1）求、；

（2）猜想的通项公式，并用数学归纳法证明.

(3)求证:

（）参考答案：（1）20.已知数列的前项和与满足：成等比数列，且，求数列的前项和参考答案：解析：由题意：

21.已知函数f（x）=，g（x）=ax+1．（e是自然对数的底数）．（Ⅰ）当x∈（1，e2]时，求函数f（x）图象上点M处切线斜率的最大值；（Ⅱ）若h（x）=f（x）+g（x）在点（e，h（e））处的切线l与直线x﹣y﹣2=0垂直，求切线l方程．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）函数f（x）图象上点M处切线斜率为，利用x∈（1，e2]，即可求函数f（x）图象上点M处切线斜率的最大值；（Ⅱ）h（x）在点（e，h（e））处的切线l与直线x﹣y﹣2=0垂直，h′（e）=a=﹣1，h（e）=1，即可求切线l方程．【解答】解：（Ⅰ）设切点M（x，f（x）），则x∈（1，e2]．函数f（x）图象上点M处切线斜率为…∵，…∴，∴…（Ⅱ）∵，，…又h（x）在点（e，h（e））处的切线l与直线x﹣y﹣2=0垂直．∴h′（e）=a=﹣1，h（e）=1，…切线l的方程为x+y﹣1﹣e=0…22.已知函数（1）当时，求证：；（2）若时，恒成立，求整数k的最大值.参考答案：（1）详见解析；（2）2.【分析】（1）构造函数，通过求导可知当，在上单调递增，可得，进而证得结论；（2）构造函数，将问题变为；求导后分别在和两种情况下讨论的单调性，从而得到最值，根据最值大于零的讨论可求得整数的最大值.【详解】（1）令当时，

在上单调递增，即在上恒成立当时，（2）令①当时，