2024届安徽省蚌埠市高二数学第一学期期末经典模拟试题含解析

2024届安徽省蚌埠市高二数学第一学期期末经典模拟试题

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类以及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现从中

抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测.若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数

之和是（）

A.4B.5

C.6D.7

22

2.已知耳、居分别是椭圆二+乙=1的左、右焦点，A是椭圆上一动点，圆C与耳A的延长线、耳心的延长线以

43-

及线段相切，若为其中一个切点，则（）

A.t=2B.%>2

C.t<2D.1与2的大小关系不确定

3.已知直线4：瓜—y—1=0,若直线与4垂直，则的倾斜角为（）

A.30°B.60°

C.120°D.15O0

4.若等比数列｛。“｝满足4+%=3,4+%=81,则数列｛。“｝的公比为（）

A.-2B.2

C.-3D.3

5.已知圆0:必+/=25,直线/:y=Ax+l—左，直线/被圆。截得的弦长最短为。

A.2A/22B.2V23

C.8D.9

6.函数/（%）=依-Inx在［1,+8）单调递增的一个必要不充分条件是。

A.k>2B.k.A

C.k>lD.k>Q

7.已知双曲线—三=1（。〉°力〉°）的离心率e=4,点P是抛物线V=4x上的一动点，P到双曲线C的

上焦点耳（O,c）的距离与到直线l=-1的距离之和的最小值为"，则该双曲线的方程为

22

AX-^=IB.^--%2=1

234

2X222

Cr.y----=1D上-土=1

-432

8.下列说法正确的有（)

①向量a，b，c，（a/，。=外力勺不一定成立；

②圆G：%?+y?=4与圆C2:%?++6x—4y=0外切

③若Z?2=ac，则数》是数〃，。的等比中项.

A.lB.2

C.3D.0

9.现从4名男医生和3名女医生中抽取两人加入“援鄂医疗队”，用A表示事件“抽到的两名医生性别相同”，5表示

事件“抽到的两名医生都是女医生”，则P（6|A）=（）

10.若直线/1：2x-3y-3=0与（互相平行，且4过点（2」），则直线4的方程为（）

A.3x+2y-7=0B.3x-2y+4=0

C.2%—3y+3=0D.2x—3y—1—0

11.设/(x)=xlnx.若/[％)=2,则/=()

1ln2

A.—B.——

22

C」n2D.e

12.若指数函数＞=相(a＞0且awl)与三次函数＞=/的图象恰好有两个不同的交点，则实数a的取值范围是()

,3、,2、

A.l,e=IB.l,ee

c.（l,e）D.（e,+co）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知圆M过A（、历，-J5）,3（10,4）,且圆心M在直线丁=龙上.

（1）求圆拉的标准方程；

（2）过点QT）的直线机截圆M所得弦长为4指，求直线机的方程；

2r-7

14.不等式一^Kl的解集是.

X—1

22

15.已知椭圆土+匕=1的左焦点为点P在椭圆上且在左轴的上方，若线段PF的中点在以原点。为圆心，|。耳

9511

为半径的圆上，则直线尸尸的斜率是.

22

16.椭圆q_+g=l的左、右焦点分别为耳，F2,过焦点耳的直线交该椭圆于A,3两点，若ABF2的内切圆面积

为兀，A3两点的坐标分别为（不，无），（苞，％），贝！J43月的面积S=,|必一%|的值为-

r

*H

z，zX

（,j^\|^C-A.\.rx

■H二4>7,j.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）已知等差数列｛4｝中，q=6,前5项的和为§5=90,数列也｝满足4=1,—勿=2"eN*）

（1）求数列｛4｝,｛2｝的通项公式；

⑵记c”=瓦—包|,求数列｛%｝的前“项和Tn

22

18.（12分）如图片，工分别是椭圆C：++/=1（。〉5〉0）的左，右焦点，点尸在椭圆C上，尸耳，x轴，点

A是椭圆与x轴正半轴的交点，点3是椭圆与y轴正半轴的交点，且A5〃OP,|尸耳|+归耳|=2后.

(I)求椭圆C的方程；

(2)已知M,N是椭圆C上的两点，若点：,o],QMQN=-^,试探究点M,耳，N是否一定共线？说明

理由.

19.(12分)在矩形ABC。中，E是的中点，H是AD上,AEcBH=G,且如图，将八4£»沿

AE折起至AEF：

(1)指出二面角F—AE—。的平面角，并说明理由；

(2)若FHLGH,求证：平面平面AEC。；

(3)若L是线段。P的中点，求证：直线LC//平面AE/；

20.(12分)一项“过关游戏”规则规定：在第"关要抛掷一颗正六面体骰子〃次，每次掷得的点数均相互独立，如果这

九次抛掷所出现的点数之和大于2"，则算过关.

(1)这个游戏最多过几关？

(2)某人连过前两关的概率是？

(3)某人连过前三关的概率是？

22A

21.(12分)已知。：VxeR,4%>771(X+1),q：3x0eR,+2x0-m+m+3=0,且。4为真命题，求实

数加的取值范围.

22.(10分)求下列函数的导数：

(1)/(x)=sinx+x；

(2)/(%)=3x2+xcosx.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C

【解析】按照分层抽样的定义进行抽取.

【详解】按照分层抽样的定义有，粮食类：植物油类：动物性食品类：果蔬类=4:1:3:2,抽20个出来，

则粮食类8个，植物油类2个，动物性食品类6个，果蔬类4个，

则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是6个.

故选：C.

2、A

【解析】由题意知，圆C是AAK心的旁切圆，点/&0）是圆C与x轴的切点，设圆C与直线耳A的延长线、4生分

别相切于点P、Q,由切线的性质可知：AP=AQ,F2Q=F2M,FF=RM,结合椭圆的定义，即可得出结果.

【详解】由题意知，圆C是儿4耳心的旁切圆，点M&0）是圆C与x轴的切点，

设圆C与直线£A的延长线、人工分别相切于点「、Q,

则由切线的性质可知：AP=AQ,F2Q=F2M,FiP=FlM,

所以Mg=（A^+A巴）—（A£+AQ）=2a—A£—AP=2a—£P=2a-片M,

所以MF]+MF2=2a,

所以，=a=2.

故选A

【点睛】本题主要考查圆与圆锥曲线的综合，熟记椭圆的定义，以及切线的性质即可，属于常考题型.

3、D

【解析】由直线与4垂直得到,2的斜率总，再利用斜率与倾斜角的关系即可得到答案.

【详解】因为直线/，与4垂直，且勺=6,所以勺X&=-1,解得左=_@,

[12”3

设4的倾斜角为tancif=,所以夕=150.

一3

故选：D

4、D

【解析】设等比数列的公比为心然后由已知条件列方程组求解即可

【详解】设等比数列{凡}的公比为心

因为+/=3,g+%=81,

q+01g=3

9

所以＜34O1

a{q+a{q=81

a（1+^）1

所以=不，解得4=3，

qq3旬（l：+q）、27

故选：D

5、B

【解析】先求得直线过定点（1,1）,再根据当点（1,1）与圆心连线垂直于直线/时，被圆。截得的弦长最短求解.

【详解】因为直线方程丁=依+1-％,即为y=—1）+1,

所以直线过定点（1,1）,

因为点（1,1）在圆的内部，

当点（1,1）与圆心连线垂直于直线/时，被圆。截得的弦长最短，

点（1,1）与圆心（0,0）的距离为1=及，

此时，最短弦长为2只产—>2=2后，

故选：B

6、D

【解析】求出导函数r（X）,由于函数/（X）="-Inx在区间（1,+8）单调递增，可得r（X）..0在区间（1,+8）上恒成立,

求出左的范围，再根据充分必要条件的定义即可判断得解.

【详解】由题得/（无）=人」，

X

函数/（力=丘—Inx在区间（1,+8）单调递增，

广（X）..0在区间（L+8）上恒成立

X9

而y=_L在区间（1,+8）上单调递减，

X

:,k.A

选项中只有人>0是31的必要不充分条件.选项AC是晨1的充分不必要条件，选项B是充要条件.

故选：D

7、B

【解析】先根据离心率得再根据抛物线定义得最小值为耳/（R为抛物线焦点），解得。，即得结

果.

【详解】因为双曲线C:5—a=1（。〉0力〉0）的离心率6=乎，所以a=2"c=J豆，

设R为抛物线V=4x焦点，则尸（L0）,抛物线：/=4x准线方程为X=—1,

因此P到双曲线C的上焦点耳（0,c）的距离与到直线x=-l的距离之和等于PFi+PF,

因为尸耳+PF2耳/，所以耳E=&,即Jl+c?=瓜：.c=也,a=2,b=\,

2

即双曲线的方程为工-k=1,选B.

4

【点睛】本题考查双曲线方程、离心率以及抛物线定义，考查基本分析求解能力，属中档题.

8、A

【解析】由向量数量积为实数，以及向量共线定理，即可判断①；求出圆心距，即可判断两圆位置关系，从而判断②;

即可判断③

【详解】对于①，（。力上与C共线，与a共线，故（a2）c=a仅-c）不一定成立，故①正确；

对于②，圆G：/+V=4的圆心为（0,0）,半径为2,圆：无2+/+6x—4y=0可变形为（x+3）2+（y—2p=13,

故其圆心为（—3,2）,半径为而'，则圆心距（C|=J（0+3y+（0-2）2=而,由而—2＜如＜9+2,所以

两圆相交，故②错误；

对于③，若^=ac，取b=0,a=0,c=l,则数6不是数的等比中项，故③错误

故选：A

9、A

【解析】先求出抽到的两名医生性别相同的事件的概率，再求抽到的两名医生都是女医生事件的概率，然后代入条件

概率公式即可

C2+C293C231

【详解】解：由已知得。（4）=十产=五=5，0（.）=/=方=亍，

1

7

故选：A

【点睛】此题考查条件概率问题，属于基础题

10、D

【解析】由题意设直线4的方程为2x-3y+m=。，然后将点（2,1）代入直线4：2工-3丁-机=0中，可求出加的值，

从而可得直线。的方程

【详解】因为直线4：2%一3y一3=0与/2互相平行，所以设直线4的方程为2x—3y+m=。，

因为直线4过点（2,1）,

所以4一3+加=0,得根=一1,

所以直线4的方程为2%-3丁一1=。，

故选：D

11、D

【解析】由题可得/"(x"lnx+1,将看代入解方程即可.

【详解】/(x)=xhu,

/,(x)=lru+l,

•**/'(%)=皿勺)+1=2,

解得/=e.

故选：D.

12、A

3InY

【解析】分析可知直线y=lna与曲线y=/(x)在(0,+a)上的图象有两个交点，令优=/可得出Ina=二一，令

X

4"1T1Y

〃x)=问题转化为直线y=lna与曲线y=/(x)有两个交点，利用导数分析函数”司的单调性与极值，数

X

形结合可得出实数。的取值范围.

【详解】当尤<0时，y=ax>0,丁=%3<0,此时两个函数的图象无交点；

3Inx

当%>0时，由优=犬3得xlnQ=31nx,可得lna=----,

x

3]n丫

令/(X)=——，其中％>0,则直线y=lna与曲线y=/(x)有两个交点，

J(x)=3(l”x),当o<x<e时，/'(x)>0,此时函数/(%)单调递增，

JC

3

当％>e时，/'(X)<0,此时函数八%)单调递减，则/(%"'=/⑻二一，

e

且当x〉l时，/(%)=迎丫〉0,作出直线y=lna与曲线y=/(x)如下图所示：

X

指数函数y=(a〉0且awl)与三次函数y=三的图象恰好有两个不同的交点.

故选：A.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、（1）（x-4）2+（y-4）2=36

(2)3x-4y-16=0或彳=0

【解析】（1）首先由条件设圆的标准方程（x-a）2+（y-。）2=/，再将圆上两点代入，即可求得圆的标准方程；（2）分

斜率不存在和存在两种情况，分别根据弦长公式，求得直线方程.

【小问1详解】

圆心”在直线丁=*上，二设圆”的标准方程为：（x—。[+6―。）2=户,

\V2-a)2+(-72-a)2=r2二4

圆〃过点J5）8(10,4),解得<,

(10-a)2+(4-a)2=r2

•••圆M的标准方程为(x—4)2+(y—4=36

【小问2详解】

①当斜率不存在时，直线机的方程为：x=0,直线，〃截圆拉所得弦长为/=2，产_。2=4右,符合题意

|4JI-4-4|_|4^-8|

②当斜率存在时，设直线侬y^kx-4,圆心M到直线”的距离为1=

jF+i正+1

二根据垂径定理可得,

二直线机方程为3x—4y—16=0或彳=0.

14、（1,6]

【解析】把原不等式的右边移项到左边，通分计算后，根据分式不等式解法，然后转化为两个一元一次不等式组，注

意分母不为0的要求，求出不等式组的解集即为原不等式的解集

【详解】不等式生:VI得二140,

故'八）nl<xW6,

%—1w0

故答案为：（1,6].

15、V15

【解析】结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用坐标表示成圆的方程，与椭圆方程联立可进一步

求解.利用焦半径及三角形中位线定理，则更为简洁.

【详解】方法1：由题意可知I。bl=|0M|=c=2,

由中位线定理可得归£|=21|=4,设P(x,y)可得(x-2)2+V=16,

22

联立方程L+2L=I

95

321

可解得x=——,1二一(舍)，点p在椭圆上且在光轴的上方，

22

方法2：焦半径公式应用

解析1：由题意可知I。尸|=|。河|=。=2,

由中位线定理可得|尸片|=2||=4,即〃—=4=>/=-—

(姮

求得尸一5'三-所以女尸产二［—=

'’2

【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、直线与圆的位置关系，利用数形结合思想，是解答解析几

何问题的重要途径.

16、①.6②.3

【解析】由题意得。=31=石,c=2,由内切圆面积为不可得其半径r=1,根据焦点三角形面积公式

SMFZ=；x4a/可得第一空答案,结合面积公式=gx|百入-%|和等面积法建立等式化简即可・

22

【详解】解：由土+匕=1得。=3,6=括,。=2

95

由内切圆面积为〃可得其半径厂=1,设其内切圆圆心为C

则sABB=S“c+SCBF2+SACF2=gx(AB+B6+AK)/=；x4a,r=；xl2xl=6

又SABF2=gx]耳闾.|x-%|=gx4x|x一%|=2|x-%|=6

所以|%-%|=3.

y

*B

1,二打一笄1-瓦

代二一/1

故答案为：6；3

【点睛】椭圆中常用面积公式：

(1)S=gaka(均表示边切上的高)；

(2)S=-absinC=—acsinB=—bcsinA；

222

(3)S=；r(a+b+c)(厂为三角形内切圆半径)；

(4)S=g义闺乙卜®一%|=4%_当,

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)%=6〃(〃eN*),2=2"-l(〃eN*)；

'3n2+4n-2n+l+2(n<4}

⑵T=<v'

"[2n+1-3n2-4n+66(n>5),

【解析】(1)利用等差数列求和公式可得d=6,进而可得q=6〃(〃eN*),再利用累加法可求与，即得；

6n-2n+1(〃<4)

(2)由题可得c“=|。"-勾=<[2〃-6“-1.5；’然后利用分组求和法即得

【小问1详解】

5x4

设公差为d,由题设可得5义6+^—d=90,

2

解得2=6,

所以a“=6〃(raeN*)；

当“22时,

瓦-瓦=2

4也=2?

=b“—4=2+2?+…+2。

—"T

1-2"

.•.2=^^=2"—1,

"1-2

当”=1时，瓦=1(满足上述的勾)，

所以a=2"—l(〃eN*)

【小问2详解】

।,6n-2n+l(n<4)

VC"=l""-^l=>-6n-l(n>5)

当〃04时，

(=。1+。2+.一+%=[7+13+…+(6附+1)]—(2+2?+…+2")

n(7+6«+l)2(1-2")

21-2

=3"+4〃一2"+】+2

当〃上5时，Tn=。+。2+・一+。“=34+(25+2$+…+2")—[31+37+…(6〃+1)]

34尸(1-2一)(1)(6“+32)

1—22

=2"+i—3/2—4〃+66

3n*12+4H-2"+1+2(n<4)

综上所述：4=

2,,+1-3n2-4«+66(n>5)

2

18、(1)—+y2=1

2"

(2)不一定共线，理由见解析

【解析】(1)由椭圆定义可得。，利用APKOsABOA可解；

(2)考察MN_Lx轴时的情况，分析可知M,片，N不一定共线.

【小问1详解】

由题意得忸蜀+户闾=2四=2〃，a=叵,

设月x=-c,

代入椭圆C的方程得，

A2

可得归周=£_.

由PF,//BO,所以

冏II耳£

所以局=向‘即旦，’可得

ba

又4=y/2,a2=b2+c29得b=c=1.

2

r

所以椭圆。的方程为土+y2=i.

【小问2详解】

当Wx轴时，设7/(七,一%),

5

则QM•QN=玉

由已知条件和方程J+y；=l,可得一1一〃

整理得，3片+5犬］+2=0,

2

解得占二-1或%=一］.

由于耳（—1,0）,所以当X1=—1时，点M,F1,N共线；

2

所以当王=—§时，点M,耳，N不共线.

所以点M,%N不一定共线.

19、（1）NPGH为二面角尸—AE—。的平面角，理由见解析

（2）证明见解析（3）证明见解析

【解析】（1）根据FGLAE,GHLAE结合二面角定义得到答案.

（2）证明AEJ_平面既汨得到得到EHL平面AECD,得到证明.

（3）延长AE,OC交于点“，连接根，证明LC〃引0即可.

【小问1详解】

连接尸G,则FGLAE,GHLAE,故NR汨为二面角尸一AE—。的平面角.

【小问2详解】

FG±AE,GH±AE,FGcHG=G,故短，平面FGH,HFu平面FGH,

故AELHF,又FHLGH,AEGH=G,故EHL平面AECZ）,

切（=平面丛0,故平面E4OL平面AECD.

【小问3详解】

延长AE,OC交于点连接根，易知△ABEMZW/C,故AB=QW=CD

故。是MD的中点，L是线段。尸的中点，故LC〃FM,

平面AEF,且LC<X平面AER,故直线LC〃平面AEF.

20、（1）4关

⑵*

9

,、100

（3）----

243

【解析】（1）由题意，可判断时，6〃>2〃，当〃25,6〃<2",所以可判断出最多只能过4关；（2）记一次抛掷

所出现的点数之和大于2为事件A,两次抛掷所出现的点数之和大于2?为事件4,得基本事件的总数以及满足题意

465

的基本事件的个数，计算出p（A）=%,P（A）=I--从而根据概率相乘求解得连过前两关的概率；（3）设

前两次和为a,2<aV12,第三次点数为41<沙<6,列出第三关过关的基本事件的个数，利用概率相乘即可得连过

前三关的概率.

【小问1详解】

因为骰子出现的点数最大为6,当“W4时，6n>2n,而V〃25,6“<2",所以5时，这几次抛掷所出现的点数

之和均小于2"，所以最多只能过4关.

【小问2详解】

记一次抛掷所出现的点数之和大于2为事件A,基本事件总数为6个，符合题意的点数为3,4,5,6,共4个，所以

4

。(4)=彳；记两次抛掷所出现的点数之和大于2z为事件4,基本事件总数为6x6=36个，不符合题意的点数为

(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1),共6个，则由对立事件的概率得尸(4)=1—卷=',所以连