2023-2024学年江苏省南京市玄武区高一年级下册期中数学模拟试题

2023-2024学年江苏省南京市玄武区高一下册期中数学模拟试题

一、单选题

1.复数2—3i的虚部为()

A.3B.3iC.D.-3i

【正确答案】C

【分析】根据复数的定义判断即可.

【详解】复数2-3i的虚部为-3.

故选：C.

已知则∣：

2.tane=2,tana-)

ɪ

A.-3B.3C.d

3∙I

【正确答案】D

【分析】根据正切的两角差公式直接求解即可.

【详解】tana=2

π

tana-tan—C

4、42-1111

.,.tanz(α----)=----------------=------=—

41+tanσtanπ-1+23

4

故选：D

3Jr

3.在JIBC中,角A,B,C的对边分别是α也c,若〃=3板，b=3,则I)

A.3√3B.3√5C.6D.3√6

【正确答案】B

【分析】由余弦定理求解即可.

【详解】解：因为Q=3>∕∑,b=3,

所以由余弦定理可得W从-2M°sC=(3⑸+32-2x3必3xY)=45∙

所以C=36.

故选：B.

4.已知向量α/满足同=2M=G,卜-纠=4,则a∙b=()

A.-0.5B.-C.0D.2.5

3

【正确答案】C

【分析】根据向量的模长结合数量积的运算律即可求得答案.

【详解】因为同=2,Mi=有，所以17—=4=—4“.+4仅)="—4＜7∙A+12,则“∙b=0∙

故选：C.

「心(itτι∖.(兀、4,

5.已知aw[一§，kJ,sin[a+§J=Μ，m贝IJSina=()

.4-3√3c4+3√3C4±3√3C2-√3

A.-------D.----------C.----------U.--------

IO10105

【正确答案】A

【分析】先求出α+5的范围，再利用同角三角函数关系求出cos(α+5)的值，利用已知角和未

知角ɑ之间的关系(α+T)-α=m可知α=(α+1]-g,最后用两角差的正弦公式计算即可.

【详解】∙.Fw后,"a+E。，》

..(兀兀、.(兀、兀(兀、.兀4-373

sɪnɑ=sιna+-------=sιna+—cos----cosa+—sin-=----------

I33)V3j3I3j310

故选：A.

74

6.ABCφcosA=-,sinβ=-,则COSC=()

3-3-11D.-电或-3

A.--B.-C.—

55121255

【正确答案】B

【分析】利用平方关系得至IJSinA=Il,cos3=±](Be(0z)),再根据A+B+C=兀讨论求解.

74

【详解】解：因为COSA=石,sin3=y,

243

所以SinA二石,cos8=土g(8∈(0,τr)),

当cos8=-1时，

因为一且＜_3＜」，且8€住,「|,

252U)

所以乌＜B＜争，

36

又因为SinA=%,且且＜竺＜1,

25225

所以1＜A＜∣,

3

所以A+B＞7i,所以CoSJB=M,

所以CoSC=-CoS(A+8),

=-(cosAcosB-sinAsinB),

(73244、3

=--×---------X—=—

Ik255255j5,

故选：B.

7.设O为AABC的外心，a,b,c分别为角A,B,C的对边，若匕=3,c=5,则Q4∙BC=()

A.8B.-8C.6D.-6

【正确答案】A

【分析】根据给定条件，利用数量积的定义结合圆的性质求解作答.

【详解】因为。为AABC的外心，

11O

则AOAC=IOAIlAClCoSNOAC=IACIloAlCOSNoAC=IAClACl=/=不同理

,八一，125

AO-AB=-C2=—,

22

925

所以。4∙8C=Q4∙(AC-4B)=-AO∙(AC-A8)=-AO∙AC+4O∙A8=——+—=8.

22

故选：A

8.凸四边形就是没有角度数大于180。的四边形，把四边形任何一边向两方延长，其他各边都在延长

所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形，如图，在凸四边形ABC。中，AB=I,BC=B

ACLCD,AD=IAC,当NABC变化时，对角线8。的最大值为()

A.4B.√13C.3√3D.√7+2√3

【正确答案】C

【分析】设NABC=α,AACB=β,在△4BC中，根据余弦定理表示AC?,根据正弦定理表示Sin6,

在ABCD中，由余弦定理表示比J?,化简BO?求得最值.

【详解】设ZASC=tz,ZACB=β,AB=I,BC=B

在AABC中，由余弦定理，f#AC2=AB2+BC2-2AB×BC×cosa=4-2√3cosa,

ACAB.°sin0

由正弦定理，得.∙.sιn∕?=I------∖

Smasmβ√4-2√3cos<z

VACLCD,AD=2AC,CD=yβAC=√3∙√4-2√3cos^>

在ABC。中，由余弦定理，^BD2=BC2+CD2-2BC×CD×co^β+^

BD2=3+3（4-2拒COSa）+2χ∙∖∕Jχ百"-2上COSα×sinβ

=15-ðʌ/ɜcosa+6∖∣4-2∖∣3cosaX/Sln"

√4-2√3COStZ

=15-66COSa+6Sina

=15+12sin（α一1）,

冗

当a-2TT=]TE,即α=5=时，B）取得最大值，为27,

326

即2。的最大值为36.

故选：C.

二、多选题

9.下列各式中，值为正的是（）

2

A.2sinl5cosl5B.cos215-sin215

3tanl5

C.l-2sin215n

1-tan215

【正确答案】BCD

【分析】熟练掌握二倍角公式sin2x=2SinXCoSX,cos2戈=cos?x-sin2x=l-2sin2x

ɔfanY

tan2x=∕ldπ,,根据题中式子的特点，选择公式计算即可.

1-tanX

【详解】A.2sin15cos!5=sin30°ɪɪ；

B.cos215-sin215=cos30==—;

2

C.l-2sin215=cos30=；

2

3

D.3tanl5^xZtanlS33月K.

l-tan^15l-tan^152232

故选：BCD

10.在一ABC中，内角A、B、C的对边分别是。、b、c,下列结论正确的是()

A.若αsinA=6sinB,则ABC为等腰三角形

B.^acosA=bcosB,则,ABC为等腰三角形

C.若8=60,b2=ac,则一ABC为等边三角形

D.若A=30,b=}0,a=4,则B有两解

【正确答案】AC

【分析】利用正弦定理可判断A选项；利用正弦定理、二倍角公式可判断B选项；利用余弦定理可

判断C选项；利用正弦定理求出SinB的值，可判断D选项.

【详解】对于A选项，若OsinA=AsinB,由正弦定理可得/=〃2,则“=

所以，ABC为等腰三角形，A对；

对于B选项，因为々cosA=bcos8,由正弦定理可得SinACoSA=SinBcos8,

因为A、6中至少有一个是锐角，则SinACoSA=Sin8cos3>0,

从而可知A、B均为锐角,由sinAcosA=sinScos5可得sin2A=sin2B,

因为A、Be(O,]),贝IJ2A、2B∈(0,π),所以，2A=23或2A+23=π,

Tl

所以，A=B^A+B=-,故一ABC为等腰三角形或直角三角形，B错；

对于C选项，因为8=60,b2=ac,

由余弦定理可得b?="2+c?-2αccos60=cΓ+cz-ac=ac,BP(α-c)2=0,

所以，a=c,因此，1√1BC为等边三角形，C对；

对于D选项，因为A=30,⅛=∣0,«=4,

由正弦定理，^=刍得SnA⅛sinA104_5所以，MC不存在，D错.

sinAsɪnBSine=---------=---=—>ι

a44

故选：AC.

11.中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幕，并大斜幕,

减中斜累，余半之，自乘于上；以小斜基乘大斜寨，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.

把以上文字写成公式，即S=Jl(S为三角形的面枳，4"、C为三角形的三边).

现有△ABC满足SinA:sinB:SinC=2:3:近，且^ABC的面积SΛABC=6∖∣3,则下列结论正确的是()

A.ZkABC的最短边长为4B.△ABC的三个内角满足A+3=2C

C.AABC的外接圆半径为上空D.△ABC的中线CO的长为3亚

【正确答案】AB

【分析】结合题意利用正余弦定理处理运算，常用向量处理AABC的中线：CD=∣(CA+CB).

【详解】因为SinA:sin3:SinC=2:3:J7，所以由正弦定理可得a:〃:c=2:3：\/7，设Q=2，，b=3t,

c=√7∕(∕>0),因为SMBC=班，所以6百=R7*x4f2_71+；--91,解得仁？，贝IJa=4,

b=6,c=2∖fl,A正确；

因为CoSC=后+/-。」=16+36-28=」,所以c=g,A+8=/一］=竺=2C,故B正确；

lab2×4×62333

因为c=g,所以SinC=且，由正弦定理得2R=—L=生旦，/?=—,C错误；

32SinC33

CD=1(C4+CB),所以I愣罂+笈『=；x(36+16+2x4x6Xg)=I9,故CO=M,C错误.

故选：AB.

12.窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔

断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.已知正八边形ABCDEFG”的边长为1,P是正八

边形ABCOE尸G”边上任意一点，则()

图1图2

A.BG=2AH

B.A。在A8向量上的投影向量为—+ɪAB

V7

C.若。A∙FC=(1+√Σ)P4∙E。则，P为Eo中点

D.若P在线段BC(包括端点)上，且AP=XA8+y4H,则x+V取值范围［1,2+夜］

【正确答案】BD

【分析】建立平面直角坐标系，根据平面向量的坐标运算性质逐项判断即可.

【详解】以A3所在直线为X轴，■所在直线为y轴，建立平面直角坐标系,

4(0,0),B(l,0),C∣+2y,2y],D1+q,1+当],41,0+1),川0,五+1)0，坐,1+坐],//[-当,当

且。肾+;

(55(5

所以BG=+、,AH=-ɪ-,贝ɪ-、=BG≠2AH,A错误；

\/\/

(6、AD-AB√21

又A。=1,AB=(I5O)1所以而「=亍+，即AO在Afi向量上的投影向量为

”(1√21W.√2√21l+√2,、

ONFC=-------!+—，---!=f—，设尸(与，几)，所以

又乙乙乙乙乙乙

∖/X/

PAED=(-x0,-y0yɪ,-ɪ=-*x°+*%,

因为。A∙FC=（1+√Σ）PA∙ED,则W^=（I+及）-4为+4%],整理可得为=%+也，与八

\72

边形有两个交点，C错误；

若P在线段BC（包括端点）上，设3P="C,∕l∈[0,∣],所以

AP=AB+BP=AB+λBC=[∖+-λ,-λ

AB=(1,O),AW=-ɪ,ɪ由AP=XAB+yAH，

\22/

1+争=X-√2

可得则x+y=1+(Λ^+1)∕1,2e[0』],所以x+ye[l,2+0],D正确.

√2√2

----Z=

2

故选：BD.

三、填空题

13.已知e是第三象限角，且cos。=-巫，贝han26的值是,

10

3

【正确答案】-⅛∕-0.75

4

【分析】根据同角三角函数关系式求得tan。的值，再根据正切二倍角公式求得tan26的值.

【详解】因为。是第三象限角，且cos。=-巫，

10

所以sin，=-Jl-CoS2，=-处,则tan。=吗=3,

ioCOSe

2tan82×33

所以tan2θ=

l-tan2Θ1-324

3

故答案为∙z

14.已知^ABC的三个内角A、B、C,向量加=（SinA,1）,〃=（1,一百cos4）,且加〃.则角A=.

【正确答案】y.

【分析】根据由6•〃二()求解.

【详解】解：因为"7=(SinA,1),"=(L-GcosA),且〃_zL〃，

则ιh∙n=O,

即sinA-ʌ/ɜCosA=O,

E,sinA∕τ

则tanΛ=-------=√3,

cosΛ

因为A为三角形的内角，

所以4=?

故答案为.∙∣^

15.著名数学家华罗庚先生被誉为“中国现代数学之父”，他倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践

中得到了非常广泛的应用，黄金分割比t=近二ɪaθeis还可以表示成2sinl8。，则

2

2CQS*223*7O-1

tV4-t2

【正确答案】ɪ

【分析】将2sinl8。替换”弋入所求值的式子中，利用三角变换公式化简即得.

2COS227O-12COS227O-1cos54

7

【详解】因r=2sin18°,则有//=/,ʒ=∣,ɔ=

t√4-t22sinl8√4-(2sinl8)^2sinl8√4(l-sin~18)

_cos54_sin36_1

2sinl8∙2cosl82sin362

故∙∣^

关键点点睛：含非特殊角三角函数式求值问题，合理选择诱导公式、同角三角函数基本关系、和差角

的三角函数公式，二倍角公式等三角变换公式，借助通分、约分，合并等方法解决.

四、双空题

TT

16.已知AABC的三个角A,B,C所对的边为a,h,c,若NBAC=。为边BC上一点，且AO=I,

BD：QC=2c：h,,贝IJtanNB40=则8+2C的最小值为.

【正确答案】M√g√7

2277

【分析】设N8Aθ=e(θ<e<f),则/C4θ=f-e,利用面积关系沁=黑=与可以得到

33ɔACDD

2sin6=GcosO,从而求得tan/BA。；再利用面积关系SABC=SACD可以得到:+-=近，

bc

再利用基本不等式的代1法即可求解.

【详解】设N8AO=6(0<0<]),K∣JZCAD=^-6?,

VAD=1,BD：DC=2ctb,

cɪAD∙BD∙sinZADBDnC

.SABD_2_BD_2c

CDb

SASJΛDCDsinZADC

2

—×l∙c∙sin0C

即―一1

-×l∙⅛∙sinf-j

∕ξ

化简得2sinO=GcosO，即tan。=,

2

Λ,L.A721.π∖.V2T

故fSlne=-----,sɪn（-----。）=—sin。=----,

73214

又SABC~Sabd÷Sacd,

ITTI1TT

所以一Z?CSin-=—csin，+—/?sin（——，）,

23223

即2+1=√7,

bc

•C,C、，21、1Iy2b2c、、1,u八9√7

•∙2b+c=（2Z?+C）∙（—I—）-产-—F（5H-----1）≥-产（5+4）=-------,

Z?c∙√7√7cby∏7

当且仅当人=c=前时取等号，即2b+c的最小值为也.

77

故答案为.如,则Z

27

五、解答题

17.实数m取什么值时,复数z=（r∏2-5m+6）+（m2-3m）.是

（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？

【正确答案】（1）m∣=0或π⅛=3时，Z是实数；（2）m∣≠0且π⅛≠3时，Z是虚数；（3）m=2时Z

是纯数；

【详解】试题分析：（1）当r∏2-3m=O,即m.=0或πυ=3时，Z是实数；4分

（2）当m2-3m≠0,即mHO且m2≠3时，Z是虚数；8分

（3）当"=。懈用=誓I=：,即加2时Z是纯数；12分

IW-3mO、wXOMw≠3

考点：复数的概念.

点评：中档题，复数为实数，则虚部为0;复数为纯虚数，实部为O,虚部不为0.

18.已知向量α=⑵J),6=(-3,2),c=(3,-1),∕∈R.

⑴求f=l时，求∣a+24的值;

(2)若b-d与C共线，求α,c夹角

【正确答案】(1)历

【分析】(1)代入得i=(2,l),根据向量坐标化运算得α+28=(-4,5),利用向量模的公式即可;

(2)计算得6-α=(-3-2f,2-f),利用向量共线得r值，再利用向量夹角公式即可得到答案.

【详解】(1)∙.Z=(2fj),6=(-3,2),c=(3,-l),

当t=l时，i=(2,l),.∙.a+2⅛=(2,1)+2(-3,2)=(-4,5),

,22

∙.∣a+2⅛I=A∕(-4)+5=√41.

(2)b-a=(-3-2t,2-t),且与C共线

3

Λ(-3-2r)×(-l)=3×(2-Z),解得lug,a=

∙o,c.∈[0,π],

19.在AABC中，AC=4√2，NC=J,点D在BC上，COSNAoC=-

(2)若△ABD的面积为2√∑,求AB的长;

【正确答案】(1)3；(2)9.

【分析】(1)先根据同角三角函数关系得SinZADC,再根据正弦定理求得结果，(2)先根据三角形面

积公式得8。，再根据余弦定理得结果.

【详解】解：（1）∙.∙cosZADC=-ɪ,⅛O<ZADC<π

正弦定理有ad=———，得AO="Csin/C=4五×1×-ɪ=3.

SinZCSinZADCSinN4。C22√2'

（2）sinZAL>B=sin（乃-ZADC）=SinNAoC=半，

SΛABD=^ADBD-SinZADB=①BD,

ʌ√2BD=2√2.得BD=2,

又'/cosZADB=cos（Tr-ΛADC）=-COSNAoC=ɪ,

由余弦定理得A82=32+22-2*3x2xg=9,

.∙.AB=3.

解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之

间的关系，从而达到解决问题的目的.

20.已知sin（尸）=—,cos（ct+β）——,其中0<<zv—,0</?<—

45322

（1）求sin2夕的值

（2）求cos（α+f）的值

4

【正确答案】（1）II；（2）2（、-、）

2315

【分析】（1）由Sin（£-：）=g,可得Sin∕-cos夕=孝，两边平方后可得所求.（2）根据题意求出

COS（广一?）=半,sin（α+/?）=半，然后根据COSla+：）=CoS+求解即可.

【详解】（1）因为sin（〃-；）=孝（Sin尸-COS夕）=（,

历

所以Sin尸-CoS尸=—^~,

2

所以（Sin£-COSQ）9~=si∏2"+cos?/-?Sin户CoSo=l-sin2^=R,

23

所以sin2∕7=E∙

(2)因为=cos(α+∕7)=-∣,

其中0<α<色，0<β<-,

22

fπ>2√6.,2√2

..cz3oslsinz(a+£z)λ=—ʒ-'

所以cos(a+：)=CoS(&+/?)_(£_；)

=cos(α+')cos(,_Wj+sin(a+1)sin('_：)

2√6f∩2√212(√2-√6)

513J3515

在解决三角中的给值求值问题时，解题的关键往往是要进行角的变换，将已知条件作为整体进行求解;

同时在运用平方关系求三角函数值时，要注意所得结果的符号.

tan√42c

21.ZkABC的三个内角A,B,C所对边分别为mb,c,请在①1+-----=—；②24cosC=2h-c；

tanBh

③cos?β+cos2C-Cos2Λ+sinBSinC=1，这三个条件中任选一个，完成下列问题：

⑴求角A；

(2)若AzWC是锐角三角形，函数/(x)=2COSMSinx-GCoSX)+石，求/(8)的最大值

【正确答案】(I)T

(2)2

【分析】(1)①切化弦，利用三角恒等变换化简即可；②利用正弦定理边化角化筒即可；③先化为正

弦式再由正弦定理角化边计算即可;

(2)先判定B的范围，再利用三角函数的性质求其范围即可.

tanA_2c

【详解】(1)若选①：因为1+

tanBb

tanA,sinAcosBcosΛsinB+sinΛcosB_sinC2sinC

所以1+=1+-------------

tanBcosAsinBcosAsinBcosAsinBsinB

易知SinB≠0,因为O<C<7r,则SinC>0,所以COSA=

2

因为OVAV兀，所以A=^;

若选②：因为24cosC=2Z?-C,

由正弦定理可得2sinACOSC=2sinB-sinC,

因为sinB=Sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,所以SinC=2cosAsinC,

因为0<C<7t,则SinC>(),所以CoSA=g,

因为OVAV兀，所以A=1;

若选③：因为cos?B+cos2C-Cos2A+sinBsinC=l,

所以I-Sin28+(I-Sin2C)-(I-Sin?A)+sinBsinC=1,

化简可得sin2A-sin2B-sin2C+sinBsinC=O，

由正弦定理可得：b2+c2-a2=cιb,

所以由余弦定理可知cosA="+c~2=It

2ab2

因为O<A<π,所以4=1；

_.TC

A+B>-

2

(2)因为.AfiC是锐角三角形，所以=>∆<β<"

Cn兀62

0<B<—

2

因为

/(x)=2cosMSinX一bcosxj+√3=2sinxcosx-2√3COS2x+>∕3=sin2x-ʌ/ɜcos2x=2sin2x-,

所以/(B)=2sin(28-；|,

当且仅当28W,即