2024届福建省泉州实验中学数学高二年级上册期末经典模拟试题含解析

2024届福建省泉州实验中学数学高二上期末经典模拟试题

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

22

1.双曲线工-匕=1的焦点到渐近线的距离为（）

36

A.&B.0

3

C.&D.76

2.德国数学家米勒曾提出最大视角问题，这一问题一般的描述是：已知点4、5是NMON的ON边上的两个定点，

C是边上的一个动点，当C在何处时，NACB最大？问题的答案是：当且仅当一ABC的外接圆与边OM相切于点

C时，NACB最大.人们称这一命题为米勒定理.已知点P、0的坐标分别是（2,0）,（4,0）,R是y轴正半轴上的

一动点，当/PR。最大时，点R的纵坐标为（）

A.1B.V2

C.2拒D.2

3.已知一个乒乓球从加米高的高度自由落下，每次落下后反弹的高度是原来高度的左（0＜大＜1）倍，则当它第8次着

地时，经过的总路程是（）

2mk(l-k8)

B./+

AH-----------------吧5

1—k1—k

加左(1一左7)

C.m+―——!-----------

1—k1—k

1234

4.数列…的通项公式》是（）

nn

A.--------B.--------

2n-l2^-3

nn

C.--------D.--------

2n+l2〃+3

V2y27T

5.已知双曲线二=1（〃〉0）＞0）,过原点作一条倾斜角为1的直线分别交双曲线左、右两支于P、Q两点,

a

以线段P。为直径的圆过右焦点R，则双曲线的离心率为().

A.73+1B,V2+1

C.73D.V2

2

6.已知椭圆C:/+匕=1,则椭圆。的长轴长为()

4

A.2B.4

C.2&D.8

7.直线xsin。—y-1=0的倾斜角的取值范围是()

C%]「3万

A.0,一。—，万

44

8.已知点C(2,l)与不重合的点A,5共线，若以A,8为圆心，2为半径的两圆均过点。(L2),则QAA5的取值范

围为O

A.[V2,2]B,[-2,-72]

C.[-8,0)D.[—8,T

9.已知空间向量a=(加+1,加,一2),Z?=(-2,l,4),且a_L6，则加的值为()

A.--B.-10

3

10

C.10D.—

3

10.下列三个命题：①“若"+尸二。，贝1J。，全为0”的逆否命题是“若诙6全不为0,则/+廿彳。”；②若

事件A与事件5互斥，则尸(AB)=P(A)+P(B)；③设命题p：若山是质数，则机一定是奇数，那么f是真命

题；其中真命题的个数为()

A.3B.2

C.1D.0

11.已知圆。的方程为(x—ay+(y—6)2=4,圆。2的方程为/+(y-b+iy=1,其中a,beR.那么这两个圆的

位置关系不可能为()

A.外离B.外切

C.内含D.内切

12.已知点F是双曲线二=1的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F作垂直于x轴的直线与双曲线交于G、

a

H两点，若△GHE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是()

A.(1,+<»)B.(l,2)

C.(2,l+V2)D.(l,l+V2)

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若a,c都为正实数，a+b+c=l,且2a,b,2c成等比数列，则f的最小值为

14.已知正方形ABCD的边长为2,E,F分别是边A瓦CD的中点，沿E尸将四边形AEFD折起,使二面角A-EF-B

的大小为60，则AC两点间的距离为

15.长方体ABCD—A4G，中，AB=AD=2,A4=1,已知点A,G三点共线，且AC；•片方=0,则点

H到平面ABCD的距离为

16.甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球.现同时从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入对

方口袋，共进行了2次这样的操作后，甲口袋中恰有2个黑球的概率为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

1nv

17.(12分)已知函数/(x)=tzx-eX(aeR),g(x)=-

x

(1)当。=1时，求函数八％)的极值；

(2)若存在使不等式/(%)Wg(x)-e'成立，求实数。的取值范围.

18.(12分)已知锐角ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,且cos2A—6sinA+2=0.

(1)求A；

(2)若b+c=6^，求一ABC外接圆面积的最小值.

19.(12分)在等比数列｛氏｝中，

(1)Q]=2,q=——,求Si。；

(2)，'loo=150,求生+。4+“6++”100的值.

20.(12分)已知函数〃x)=ln(x+l)+a«Zl(。wR)

(1)讨论函数y=/(x)的单调性；

(2)若函数y=/(x)有两个零点芭，斗,证明：%•Z+玉+々-1

21.(12分)已知函数/(%)=%3+3双2+〃％+片在I=一1时有极值0.

(1)求函数/(%)的解析式；

⑵记g(x)=/(x)—2左+1,若函数g(x)有三个零点，求实数人的取值范围.

22.(10分)某地从今年8月份开始启动12-14岁人群新冠肺炎疫苗的接种工作，共有8千人需要接种疫苗.前4周的

累计接种人数统计如下表：

前X周1234

累计接种人数y(千人)2.5344.5

(1)求y关于x的线性回归方程；

(2)根据(1)中所求的回归方程，预计该地第几周才能完成疫苗接种工作？

〃__

孙

参考公式：回归方程y=bx+a中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为6=1=1

n_

Yxi-nx9

Z=1

a-y-bx

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D

【解析】根据题意，由双曲线的标准方程可得双曲线的焦点坐标以及渐近线方程，由点到直线的距离公式计算可得答

案.

22

【详解】解：根据题意，双曲线的方程为土-匕=1,

36

其焦点坐标为(±3,0),其渐近线方程为y=即0x±y=O,

则其焦点到渐近线的距离d=工L=V6；

V1+2

故选D.

【点睛】本题考查双曲线的几何性质，关键是求出双曲线的渐近线与焦点坐标.

2、C

【解析】由题意，借助米勒定理，可设出坐标，表示出PQR的外接圆方程，然后在求解点R的纵坐标.

【详解】因为点P、。的坐标分别是(2,0),(4,0)是X轴正半轴上的两个定点，点衣是y轴正半轴上的一动点，

根据米勒定理，当.PQR的外接圆与y轴相切时，/PRQ最大,由垂径定理可知，弦PQ的垂直平分线必经过PQR

的外接圆圆心，所以弦PQ的中点为(3,0),故弦PQ中点的横坐标即为PQR的外接圆半径，即厂=3,由垂径定

理可得，圆心坐标为(3,2夜)，故一PQR的外接圆的方程为(x-3『+(y-2后『=9,所以点R的纵坐标为(0,2&).

故选：C.

3、C

【解析】根据等比数列的求和公式求解即可.

【详解】从第1次着地到第2次着地经过的路程为2mk,第2次着地到第3次着地经过的路程为2mk2，组成以2mk

为首项，公比为女的等比数列，所以第1次着地到第8次着地经过的路程为2"式(1—N),所以经过的总路程是

1—k

2mk(l-k7]

m-\-------------

1—k

故答案为：C.

4、C

【解析】根据数列前几项，归纳猜想出数列｛4｝的通项公式.

【详解】依题意，数列｛%』的前几项为：

22

a,=—=----------；

一52x2+1

33

372x3+1

n

则其通项公式a0=c,

2n+l

故选C.

【点睛】本小题主要考查归纳推理，考查数列通项公式的猜想，属于基础题.

5、A

【解析】设双曲线的左焦点为尸，连接尸尸、QF',求得目、|Qn利用双曲线的定义可得出关于。、c的等式,

即可求得双曲线的离心率.

【详解】设双曲线的左焦点为尸'，连接小'、QF',如下图所示：

由题意可知，点。为PQ的中点，也为郎'的中点，且PFLQF,

TT

则四边形PFQE'为矩形，故。尸，。尸'，由已知可知NQOF=w，

由直角三角形的性质可得|OQ|=|O耳=c,故/为等边三角形，故|QE|=c,

所以，\QF'\=yl\FF'f-\QFf=V3c，

由双曲线的定义可得2a=|。尸|—|Q盟=(6—l)c,所以，e=；=V[=6+l.

故选：A.

6、B

【解析】根据椭圆的方程求出。即得解.

【详解】解：由题得椭圆的片=4,.1a=2,所以椭圆的长轴长为2a=4.

故选：B

7、A

【解析】由直线方程求得直线斜率的范围，再由斜率等于倾斜角的正切值可得直线的倾斜角的取值范围.

【详解1V直线xsina-y-l=O的斜率A;=sincre[-1,1],

设直线xsina-y-l=O的倾斜角为6(0,,6＜万)，贝！Jtan。e[—1,1],

解得0,yu乎,万].

L4jL4)

故选：A.

8、D

【解析】由题意可得A3力,),B(c,d)两点的坐标满足圆。：(x-Ip+(y-2)2=4,然后由圆的性质可得当AB±CD

时，弦长A3最小，当A3过点。时，弦长A3最长，再根据向量数量积的运算律求解即可

【详解】设点A3,"),3(c,d),则以A,5为圆心，2为半径的两圆方程分别为

(x-tz)2+(y-A)?=4和(x-c)2+(y-d)2=4,

因为两圆过(L2),

所以(1—a)2+(2—少)2=4和(1—c)2+(2—〃了=4,

所以A(a,b,),B(c,d)两点的坐标满足圆。：(x—I)?+(y-2)2=4,

因为点C(2,l)与不重合的点A,5共线，所以A3为圆。的一条弦，

所以当弦长A3最小时，AB±CD,

因为|CD|=&,半径为2,所以弦长A3的最小值为2,22-(、也『=2五，

当AB过点。时，弦长AB最长为4,

因为DA.AB=_AD•A3=—[4£＞八A^cosZDAB=_曰45『，

所以当弦长AB最小时，DAAB的最大值为—(20『=-4,

1,

当弦长AB最大时，DAAB的最小值为-弓x4=-8,

所以DA的取值范围为，

故选:D

9、B

【解析】根据向量垂直得一2(加+1)+m—8=0,即可求出机的值.

【详解】aLb,—2(m+l)+m-8=0=>m=-10.

故选:B.

10、B

【解析】写出逆否命题可判断①；根据互斥事件的概率定义可判断②；根据写出再判断真假可判断③.

【详解】对于①，“储+/=0,则“，〜全为0”的逆否命题是“若a,6不全为0,则，故①错误;

对于②，满足互斥事件的概率求和的方法，所以②为真命题；

③命题P：若利是质数，则，〃一定是奇数.2是质数，但2是偶数，命题P是假命题，那么「“真命题

故选：B.

11、C

【解析】求出圆心距的取值范围，然后利用圆心距与半径的和差关系判断.

【详解】由两圆的标准方程可得Q（。力），八=2,Q（02-1）,々=1；

则|qQ|=J4+i2]=（_u,所以两圆不可能内含.

故选：C.

12、B

b2

【解析】根据△GHE是等腰三角形且为锐角三角形，得到|G司<|跖|,即幺<a+c,解得离心率范围.

a

22r2（〃2、

【详解】F（-c,0）,当x=-c时，:一2=1,>=±幺，不妨取G-C—,H-c,——,

aba

△GHE是等腰三角形且为锐角三角形，则NGEb<：,BP|GF|<|EF|,

A2

一<a+c,即02<2Q2+QC，/一6一2<0，解得一lvev2,故l<e<2.

a

故选：B.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、2及-2##-2+2亚

【解析】利用等比中项及条件可得&+&=1,进而可得f=2a±；2',再利用基本不等式即得.

yjayja

【详解】・・F,b,。都为正实数，2a,b,2c成等比数列，

1

/.b=4ac,b=2y/acf又a+Z?+c=l,

ci+2Jac+c=1,即（+y/c）—1,

••yfu+y[c—1,

...1-Z?a+c。+(1-G)2a+1-2y[a

-JaJa4a4a

=2&+J=—2220—2,当且仅当26=。，即。=，取等号.

7a7a2

故答案为：2后-2.

14、75.

【解析】取3E的中点G,然后证明NAE3是二面角A—即—5的平面角，进而证明AG_LGC,最后通过勾股定理

求得答案.

【详解】如图，取3E的中点G,连接AG,CG,由题意EBLASEFLBE,则NAEB是二面角A—E尸—5的平面

A/3

角，则NAEB=60°,又AE=BE=1,则/XABE是正三角形，于是AG，5E,AG=T

根据所，人£,£/，3£,4£仆5£=石可得：石尸，平面A5E,而AGu平面A8E,所以EELAG,而

AG上BE,BEcEF=E,则AG±平面BCFE,又GCu平面5c尸E,于是，AG_LGC,又GC2=BC2+BG2=—,

4

所以AC=VAG2+GC2=

故答案为：5

5

15、-

9

【解析】在长方体A5CD-44GA中，以点A为原点建立空间直角坐标系，利用已知条件求出点”的坐标作答.

【详解】在长方体A3CQ-46GA中，以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系,

则A(0,0,0),4(2,0,1),G(2,2,1),AC]=(2,2,1),

因点77,A,G三点共线，令==(2/2/),点HQt,2t,t),则=(2f—2,2/,f—1),

又贝!J2(2t—2)+4/+f—1=0,解得f=：,

故答案为：!

【解析】分两类：两次都互相交换白球的概率和第一次甲交出黑球收到白球，且第二次甲交出白球收到黑球的概率求

和可得答案.

【详解】分两类：①两次都互相交换白球的概率为=

2<2O4

②第一次甲交出黑球收到白球，且第二次甲交出白球收到黑球的概率为QX鼻乂鼻=方

J\JDJ乙/

147

—I------——.

92727

7

故答案为：——,

27

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)函数“X)在(-8,0)上递增，在(0,+")上递减，极大值为T,无极小值

(2)a<—

2e

【解析】(1)求出函数的导函数，再根据导数的符号求得单调区间，再根据极值的定义即可得解；

(2)若存在xe(0,-+W)，使不等式/(x)Kg(%)—e，成立，问题转化为室］,(》〉。)，令可力=?，尤>0,

VX/maxX

利用导数求出函数的最大值即可得出答案.

【小问1详解】

解：当。=1时，f[x)=x-&x,

则r(x)=l—e",

当x<0时，/(%)>0,当x>0时，f'(x)<0,

所以函数/（x）在（-。,0）上递增，在（0,+。）上递减,

所以函数/（%）的极大值为/（0）=-1,无极小值;

【小问2详解】

解：若存在x«0,”），使不等式/（x）＜g（x）-e、成立,

则ax<---,(%>0)9即a«——，(尤>0),

xx

Inx

则问题转化为。＜|,(x〉0),

丁max

人7/、Inx八

令/z(x)=^-,x>0,

JV

x-2xlnxl-21nx

/z'(x)

X4X3

当0＜%〈血时，”（%）＞。，当九,五时，

所以函数/2⑺在（0,八）递增，在（6,+可上递减,

所以Mx）a=］，

乙C

所以a＜——.

2e

18、（1）A=一

3

（2）9万

【解析】（1）利用二倍角公式将已知转化为正弦函数，解一元二次方程可得；

（2）由余弦定理和（1）可求。的最小值，再由正弦定理可得外接圆半径的最小值，然后可解.

【小问1详解】

因为cos2A-GsinA+2=0,所以一2sin?A-s/3sinA+3=0,

解得sinA=——或sinAu—G（舍去）,

2

7T

又一ABC为锐角三角形，所以A=§.

【小问2详解】

因为a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-be=(ZJ+C)2-3bc>"=27>

当且仅当h=c时，等号成立，所以a23百.

ABC外接圆的半径R=—^―=叵23，故—ABC外接圆面积的最小值为9万.

2sinA3

,z、341

19、(1)---

256

(2)50

【解析】(1)直接利用等比数列的求和公式求解即可,

(2)由已知条件结合等比数的性质可得Si。。=3(%+%++%>0)，从而可求得答案，或直接利用等比数列的求和

公式化简求解

【小问1详解】

式1024)256

【小问2详解】

方法1：5*100=%+。2+%+%+…+〃99+%00

4+"100)+%+。4

=2(4+。+a1Go.

=3(/+%+，+4OO)=15O

***a?+%++，ioo=50.

方法2：

20、(1)函数y=/(x)的单调性见解析;

(2)证明见解析.

【解析】⑴求出函数的导数/'（x）,按〃值分类讨论判断了'（%）的正负作答.

⑵将外,当分别代入计算化简变形，再对所证不等式作等价变形，构造函数，借助函数导数推理作答.

【小问1详解】

已知函数尸/⑴的定义域为（一1,包），八力=3+看=茎篙，

当aNO时，/'（力＞0恒成立，所以“可在区间（—1,+8）上单调递增；

当a＜0时，由/'（x）＜0,解得x＞4r—1,由/''（九）＞0,解得一1＜%＜金一1,

/（X）的单调递增区间为（-1,-y-1）,单调递减区间为（/-1,+8）,

所以，当。之0时，“尤）在（—1,+«）上单调递增，当。＜0时，/（%）在（—1,、—1）上单调递增，在上（。—1,+8）单

调递减.

【小问2详解】

依题意，不妨设无1<9，则In(%+1)+a1%+1=0,ln(j;2+1)+a^x2+1=0,

于是得In(X]+1)+In+1)+a(qX]+1+J%+])=0,即In[(石+1)(/+1)]=-a(J%+1+J%+1)，

亦有In(x,+1)—In(X]+1)+a(Jx,+1—J%+1)=0,即In(4+1)-In(为+1)=—a(J/+1—Jx1+1),

1吨(石+1)(%+1)]_Jx]+l+&2+l

因此,

ln(x2+l)-ln(x1+1)Jq+>J%+1，

44

要证明x1-x2+x1+x2>e-1,即证(％+1)-(x2+1)>e,

即证ln[(无i+1)(*2+DI=Un®+1)-In。+1)]->Ine4=4,

即证ln(4+1)-ln(+1)>*V"+1-'j+D,即证In生上1=21n

Jw+1+J玉+1西+1

2"1)3〉。

〃⑺=In%-=lnz+---2,W(t)=

t+1%+1?(?+1)'

则有M0在（L+8）上单调递增，VZ＞1,〃（。〉以1）=0,即In

-

所以石•%+再+%2>1.

【点睛】思路点睛