2023年山东省费县数学高二第二学期期末学业质量监测模拟试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.复数(3+i)(2+i)的实部与虚部分别为()

A.5,5B.5,5iC.7,5D.7,5z

2.设函数f(x)=InX+]/一笈，若χ=l是函数/(x)的极大值点，则实数。的取值范围是()

A.(→o,l)B.(YO,1]C.(-∞,0)D.(-∞,0]

3.若关于X的不等式OX2-lnx-x≥0恒成立，则实数”的取值范围()

A.(l,+∞)B.[l,+∞)C.(e,+∞)D.[e,-κo)

4.若对任意正数X,不等式--≤幺恒成立，则实数”的最小值()

%+1%

Fy]

A.1B.√2C.—D.—

22

5.全国高中联赛设有数学、物理、化学、生物、信息5个学科，3名同学欲报名参赛，每人必选且只能选择一个学科

参加竞赛，则不同的报名种数是()

A.C；B.A；C.53D.35

6.某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容

量为A的样本，已知从高中生中抽取70人，则〃为()

A.100B.150

C.200D.250

7.已知ae{-1,2,3,3,；},若/(x)=x"为奇函数，且在(0,+8)上单调递增，则实数。的值是()

A.—1,3B.—,3C.1,—,3D.,—,3

3332

8.已知函数y=J-的定义域为M，集合N={x∣y=lg(x-1)},则MN=()

A.[0,2)B.(0,2)C.[1,2)D.(1,2]

9.已知α,8∈R,贝必=0”是“=0”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

10.已知函数/(X)=e'-/a2一n在区间(0,+8)上是单调递增函数，则〃的取值范围是()

A.(→x＞,l)B.[0,1]C.(→∞,1]D.[0,+∞)

11.将4名志愿者分别安排到火车站、轮渡码头、机场工作，要求每一个地方至少安排一名志愿者，其中甲、乙两名

志愿者不安排在同一个地方工作，则不同的安排方法共有

A.24种B.30种C.32种D.36种

12.设向量α=(x,-4),ZJ=(I,-X),若向量。与同向，则X=()

A.2B.-2C.+2D.O

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

V—A—eɪnɔ9

13.参数方程(e∈R)所表示的曲线与X轴的交点坐标是______.

y=cosθ

χ22

14.已知双曲线C：W—2T=1(。＞°力＞°)的右焦点E到渐近线的距离为4,且在双曲线C上到心的距离为2的

点有且仅有1个，则这个点到双曲线C的左焦点F1的距离为.

15.数列｛4｝的通项公式是4不，若前〃项和为20,则项数〃为.

16.在长方体ABC。一A4G2中，AB=BC=4,AA=2,则直线BC与平面JB耳鼻。所成角的正弦值为

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知1()件产品中有3件是次品.

⑴任意取出3件产品作检验，求其中至少有1件是次品的概率；

⑵为了保证使3件次品全部检验出的概率超过0.6,最少应抽取几件产品作检验？

18.(12分)为了分析某个高三学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导性建议.现对他前7次考试的数学成

绩X、物理成绩y进行分析.下面是该生7次考试的成绩.

数学888311792108IOO112

物理949110896104IOl106

(1)他的数学成绩与物理成绩哪个更稳定？请给出你的证明:

(2)已知该生的物理成绩y与数学成绩X是线性相关的，若该生的物理成绩达到115分，请你估计他的数学成绩大约

是多少？并请你根据物理成绩与数学成绩的相关性，给出该生在学习数学、物理上的合理建议.

222

参考公式：方差公式：S=i[(xl-%)+(%2-%)+(当—元)]，其中了为样本平均

ʌΣ(x,∙-H)(%-方Σxiyi-nx-y

数∙5=j≡½-----------------=j≡4---------------,a=y-bx.

22

看一可2∑∙V,-^

Z=I/=1

19.(12分)我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称之为堑堵；将底

面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称之为阳马；将四个面均为直角三角形的四面体称之为鳖襦[bienGo].某学校

科学小组为了节约材料，拟依托校园内垂直的两面墙和地面搭建一个堑堵形的封闭的实验室ABC-A片G，4A8g

是边长为2的正方形.

(1)若A46C是等腰三角形，在图2的网格中(每个小方格都是边长为1的正方形)画出堑堵的三视图；

(2)若。在A片上，证明：CiDlDB,并回答四面体DBBe是否为鳖膈，若是，写出其每个面的

直角(只需写出结论)；若不是，请说明理由；

(3)当阳马A-GCBg的体积最大时，求点5到平面ABC的距离.

20.(12分)如图，在四棱锥产一ABCr)中，底面ABCD为菱形，N84O=60°,NAPr>=90°,且AQ=PB∙

(1)求证：平面BAD，平面ABer)；

(2)若ADLPB,求二面角。-PB-C的余弦值.

21.(12分)已知函数/(x)=α+2∕nx-αx(α>0).

(1)求.f(x)的最大值。(4);

(2)若/(x)≤()恒成立，求。的值；

(3)在(2)的条件下,设g(χ)=心里土竺!在(α,4w)上的最小值为机求证：—11<∕(M<TO.

x-a

22.(10分)已知函数/(x)=χ2-χ-6.

(1)求不等式/(x)<O的解集；

(2)若对于一切x>l,均有/(x)≥(∕n+3)x-m―IO成立，求实数〃，的取值范围.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A

【解析】

分析：化简即可得复数的实部和虚部.

详解：(3+i)(2+i)=6+5i+/=5+5i

，复数(3+i)(2+i)的实数与虚部分别为5,5.

故选A.

点睛：复数相关概念与运算的技巧

(1)解决与复数的基本概念和性质有关的问题时，应注意复数和实数的区别与联系，把复数问题实数化是解决复数问题

的关键.

(2)复数相等问题一般通过实部与虚部对应相等列出方程或方程组求解.

(3)复数的代数运算的基本方法是运用运算法则，但可以通过对代数式结构特征的分析，灵活运用i的幕的性质、运算

法则来优化运算过程.

2、A

【解析】

分析：/(x)的定义域为(0,+8),f'(x^-+ax-b,由∕y)=0,得b=a+l.所以1(X)=SX一3XT)能

XX

求出。的取值范围.

详解：F(X)的定义域为(0,+oo),r(X)=L+◎—b,由/'(D=O,得b=α+L

所以八分=3一1WT).

X

①若α=0,当OVXvl时，∕,(x)X),此时/(x)单调递增；

当x>l时，/'(X)<0,此时/(x)单调递减.所以X=I是函数/(x)的极大值点.

满足题意，所以α=0成立.

②若aX),由/'(x)=0,得x=l.X=',当时，即。<1,此时

aa

当OVXvl时，∕,ω>0,此时/(χ)单调递增；

当x>l时，f'3<0,此时“X)单调递减.所以X=I是函数/(x)的极大值点.

满足题意，所以α<l成立..

如果α>l,X=I函数取得极小值，不成立；

②若α<0，由/'(X)=O,得X=LX=—.

a

因为X=I是f(X)的极大值点，成立；

综合①②：。的取值范围是。<1.

故选：A.

点睛：本题考查函数的单调性、极值等知识点的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化.

3、B

【解析】

以2一11一_^0恒成立等价于。之耳史(%>0)恒成立，令/(X)=电岩，

则问题转化为“≥∕(x)maχ,对函数/(x)求导，利用导函数求其最大值，进而得到答案。

【详解】

0χ2τnx-x≥0恒成立等价于。之若E(X>0)恒成立，令/(X)=与史，

则问题转化为α≥∕(x)nιaχ,

r(x)=J21njia>。),令g(χ)=j2InX-x,

ɔr_Lɔ

则g'(x)=τ--=--------(x>0),所以当x>0时，g'(x)<O

所以g(x)=l-21nx-x在(0,+。)单调递减且g(l)=0,

所以f'(x)在(0,1)上单调递增，在(l,+∞)上的单调递减，

当X=I时，函数/(x)取得最大值，"x)maχ=l,

所以α≥l

故选B

【点睛】

本题考查利用导函数解答恒成立问题，解题的关键是构造函数/(x)=-^,属于一般题。

X

4、D

【解析】

XY

分析：由题意可得“≥〒匚恒成立，利用基本不等式求得T的最大值为不，从而求得实数。的最小值.

X+1X+127

Y

详解：由题意可得α≥-~恒成立.

X7+71

-----X------1，/<1—

由于/+IXH,--1-一2(当且仅当X=I时取等号)，故

X

X111

三一的最大值为一，∙∙∙α≥7,即。得最小值为一，

X2+1222

故选D.

点睛：本题主要考查函数的恒成立问题，基本不等式的应用，属于基础题.

5、C

【解析】

分析：利用分布计数乘法原理解答即可.

详解：全国高中联赛设有数学、物理、化学、生物、信息5个学科，3名同学欲报名参赛，每人必选且只能选择一个

学科参加竞赛，则每位同学都可以从5科中任选一科，由乘法原理，可得不同的报名种数是5x5x5=52

故选C.

点睛：本题考查分布计数乘法原理，属基础题.

6、A

【解析】

试题分析：根据已知可得：—-ɪ--=--^H=100,故选择A

3500+15003500

考点：分层抽样

7、B

【解析】

先根据奇函数性质确定。取法，再根据单调性进行取舍，进而确定选项.

【详解】

因为/(x)=x"为奇函数，所以“€卜1,3,；}

因为/(x)在(0,÷W)上单调递增，所以ɑejɜ,3

因此选B.

【点睛】

本题考查幕函数奇偶性与单调性，考查基本判断选择能力.

8、D

【解析】

2—x≥(),解得x≤2,即M={x∣x≤2},N={x∣x>l},所以MCN={邓<x≤2},故选D.

9、B

【解析】

根据充分性和必要性的判断方法来判断即可.

【详解】

当曲=0时，若a=l,b=0,不能推出a?+"=。，不满足充分性；

当/+〃=0,则α=h=0,有曲=0,满足必要性；

所以“曲=0”是“a2+b2=O”的必要不充分条件.

故选：B.

【点睛】

本题考查充分性和必要性的判断，是基础题.

10、C

【解析】

对函数y=∕(χ)求导，将问题转化为r(χ)≥0恒成立，构造函数g(χ)=r(χ),将问题转化为g"L>0来求解,

即可求出实数〃的取值范围.

【详解】

f(Λ)=ex~^bx2-x,:.∕,(-x)=e'-Zzx-1,令g(x)=e'-∕zx-],则8(%)“而>0.

x

g∖x)=e-b,其中χ>0,且函数y=g'(x)单调递增.

①当b≤l时，对任意的x>O,g'(x)>O,此时函数y=g(x)在(0,+功上单调递增，

贝!∣g(x)>g(0)=0,合乎题意；

②当b>l时，令g'(尤)=0,得e*-b=O,.'.x-lnb.

当0<x<lnb时，g'(x)<0;当x〉ln/?时，g'(x)>0.

此时，函数y=g(x)在X=Inb处取得最小值，则g(x)mM=g(ln0)<g(0)=0,不合乎题意.

综上所述，实数》的取值范围是(-8,1]∙故选：C.

【点睛】

本题考查利用函数的在区间上的单调性求参数的取值范围，解题时根据函数的单调性转化为导数的符号来处理，然后

利用参变量分离法或分类讨论思想转化函数的最值求解，属于常考题，属于中等题。

11、B

【解析】

利用间接法，即首先安排:人到三个地方工作的安排方法数•，，再求出当甲、乙两名志愿者安排在同一个地方时的安排

方法数，于是得出答案、,，_门。

【详解】

先考虑安排一人到三个地方工作，先将一人分为三组，分组有-:种，再将这三组安排到三个地方工作，则安排_人到三

个地方工作的安排方法数为¥=c君=N种，

当甲、乙两名志愿者安排在同一个地方时，则只有一个分组情况，此时，甲、乙两名志愿者安排在同一个地方工作的

安排方法数为=M=6，

因此，所求的不同安排方法数为、、，_“=3&-6=3C种，故选：B。

【点睛】

本题考查排列组合综合问题的求解，当问题分类情况较多或问题中带有“至少”时，宜用间接法来考查，即在总体中

减去不符合条件的方法数，考查分析问题的能力和计算能力，属于中等题。

12、A

【解析】

由。与匕平行，利用向量平行的公式求得X,验证。与6同向即可得解

【详解】

由。与。平行得-χ2=-4,所以％=±2,又因为同向平行，所以x=2∙故选A

【点睛】

本题考查向量共线（平行）的概念，考查计算求解的能力，属基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、（3,0）

【解析】

22x=4—sin20

根据sin^+cos8=1消参,将；€R）化为直角坐标系下曲线方程,即可求X轴的交点坐标.

y=cosθ

【详解】

22

x=4-sinθ,,fsin∕9=4-x9,,

\可化为《ɔɔ可得：sirr6+CoS-6=4-x+y~

J=COSe[cos^θ=y

■-y2=X-3

当y=0时,x=3

二曲线与X轴的交点坐标是（3,0）.

故答案为:（3,0）.

【点睛】

本题考查圆锥曲线的参数方程和普通方程的转化,消去参数方程中的参数,就可把参数方程化为普通方程,消去参数的常

用方法有:①代入消元法;②加减消元法;③乘除消元法;④三角恒等式消元法.本题采用了三角恒等式消元法.

14、8

【解析】

22

双曲线C:2=l（α>0∕>0）的右焦点名到渐近线的距离为4,可得〃的值，由条件以入为圆心，2为半径的

a~b~

圆与双曲线仅有1个交点.由双曲线和该圆都是关于X轴对称的，所以这个点只能是双曲线的右顶点.即c-α=2,根

据02=/+〃=/+K可求得答案.

【详解】

由题意可得双曲线的一条渐近线方程为y=-χ,

a

be

由焦点到渐近线的距离为即即/,=

84,∕a2+b2=4,4.

双曲线C上到F2的距离为2的点有且仅有1个,即以K为圆心，2为半径的圆与双曲线仅有1个交点.

由双曲线和该圆都是关于X轴对称的，所以这个点只能是双曲线的右顶点.

所以c—α=2,又C?=/+82=/+16

即¢2--=16,即(c-α)(c+α)=16,所以c+α=8.

所以双曲线的右顶点到左焦点耳的距离为c+α=8∙

所以这个点到双曲线C的左焦点F1的距离为8.

故答案为：8

【点睛】

本题考查双曲线的性质，属于中档题.

15、440

【解析】

由数列的通项公式可得：an=-/∙」/-==而T-6，

√n+√n+ln-(n+l)

则：Sn=V2—1j÷^>∕3—√2j÷^>/4—∙ν3j++(ʌ/"+1-=J〃+1-1,

结合前〃项和的结果有：JQ-I=20,解得：〃=44().

点睛：使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去

的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的.

lIoA>-ʌ-/-i-θ-

5

【解析】

分析：过G作G”，与2,垂足为“，则G"，平面BBQQ,则NG6”即为所求平面角，从而可得结果.

详解：依题意，画出图形，如图,

过Cl作G"LgA,垂足为

由B旦_L平面4G，

可得ClHLBBI,

所以G”，平面64R。，

则NGB”即为所求平面角，

因为AB=BC=4,AA=2,

a-rl./…口CiH2√2√10

所以SI"NGBH=」一=―『=----，故答案为-----

BC12。555

点睛：本题考查长方体的性质，以及直线与平面所成的角，属于中档题.求直线与平面所成的角由两种方法：一是传统

法，证明线面垂直找到直线与平面所成的角，利用平面几何知识解答；二是利用空间向量，求出直线的方向向量以及

平面的方向向量，利用空间向量夹角余弦公式求解即可.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17

17、任意取出3件产品作检验，至少有1件是次品的概率是一；为了保证使3件次品全部检验出的概率超过0.6,最

24

少应抽取9件产品作检验。

【解析】

(1)先求出任取3件的方法数，再求出任取的3件中没有次品的方法数，相减即得至少有一件次品的方法数，由此可

得所求概率；

(2)即抽取的产品中至少有3件次品的概率超过0.6,列式求解.

【详解】

(1)从1件产品中任取3件的方法数为C：)=120,而3件产品中没有次品的方法数是C=35,从而至少有1件次

QC17

品的方法数是120-35=85,所求概率为P=V=.

120772747

Cn^3c37'610'

⑵设应抽取〃件产品,贝U黄〉°∙6'即妙即F'〃（〃T）（"2）＞9X8X6,

或至少抽取件才能满足题意.

∙.∙"∈N*,"410,.∙.zι=91.9

17

.∙.任意取出3件产品作检验，至少有1件是次品的概率是一，为了保证使3件次品全部检验出的概率超过0.6,最少

24

应抽取9件产品作检验.

【点睛】

本题考查古典概型概率，解题的关键是求出基本事件的总数和所求概率事件含有的基本事件的个数.在处理含有“至

少”、“至多”等词语的事件时可从反面入手解决较方便.

18、（1）物理成绩更稳定.证明见解析；（2）130分，建议：进一步加强对数学的学习，提高数学成绩的稳定性，将有

助于物理成绩的进一步提高

【解析】

（1）分别算出物理成绩和数学成绩的方差；

（2）利用最小二乘法，求出）'关于X的回归方程，再用y=115代入回归方程，求得χ=i30∙

【详解】

-12-17+17-8+8+12——6—9+8—4+4÷l÷6

(1)x=100+=100,y=100+---------------------------=100,

7-7

Sj学=ʒ-=142,二S短=^-,从而除学＞S二理,

.∙.物理成绩更稳定.

（2）由于X与），之间具有线性相关关系,

〜497

根据回归系数公式得到b=——=0.5,&=l∞-0.5×l∞=50,

994

.∙.线性回归方程为2=O∙5X+5O,

当y=115时，X=I30.

建议：进一步加强对数学的学习，提高数学成绩的稳定性，将有助于物理成绩的进一步提高

【点睛】

本题考查统计中的方差、回归直线方程等知识，考查基本的数据处理能力，要求计算要细心，防止计算出错.

19、（1）答案见解析（2）答案见解析（3）空

3

【解析】

（1）根据其几何体特征,即可画出其三视图.

证明GDBBl,结合AB,即可得到CD面用,进而可证明DB.

(2)1C1Dlil1_LAA1BC1D1

12

阳马GCBBl的体积为：匕^-AC-BCBBh-ACBC,根据均值不等式可

(3)4-VGC^∖∖∖∖∖t∖∖∙∖∖

得：|=2BC取得等号),即可求得∣AC∣=∣BC五.以点为顶点,以

AeI∙IBC∣≤IACLCl-(IAC∣=∣I=√2I=A1

2

RtC84底面求三棱锥4-ABC体积，在以点均为顶点,以放ACS底面求三棱锥4/山。体积.利用等体积法即

可求得点到平面ABC的距离.

B1t

【详解】

(1)画出堑堵的三视图：

(2)

由题意可知:8g，面AAG,8片在平面ABCl

.∙.C1DIBB1

又CiDlAiBi

••.G。，面A4,6g故：06,可得CQB为直角三角形.

由题意可知CIBIB,工DB∣BnC。4都是直角三角形.

四面体DBBC四个面都是直角三角形,故四面体OBBCl是鳖膈.

（3）

在放_4。8中/48|2=|44+忸。「=4

根据均值不等式可得：IACI∙IBC∣≤IACF+1BCf=2（|ACI=IBCI=√2取得等号）

由题意可知,AC_L面CGB4

124

二阳马a—GC84的体积为:匕LCi=IIAa∙∣8Cll明|=§|AcTlBe∣≤5

（IACI=I8C∣=应取得等号）

以4为顶点,以RhCB4底面求三棱锥B1-ABC体积：

•••力型CWg忸CH4如IACIqg""2=g

SMcB=g•#a=G，设⑸到面4CB距离为h

以用为顶点,以放4C3底面求三棱锥以-ABC体积：

•V-L,h，-2

γcβ

•∙Bx-AxBC-3〃0M-3

TlW22273

.*.­Λ∙√3=—解得："=—==--

33√373

【点睛】

本题考查了三视图画法,棱柱与点到面的距离,考查用基本不等式求最值.解题关键是表示出阳马A1-。。8片的体积,通

过不等式取最值时成立条件,求出底边IACl长.

20、（1）见解析；（2）ɪ

7

【解析】

（1）先根据计算得线线线线垂直，再根据线面垂直判定定理以及面面垂直判定定理得结论，（2）建立空间直角坐标系,

利用空间向量求二面角.

【详解】

(1)证明：取AD中点0,连结OP,OB,BD,

因为底面ABCD为菱形，NBAD=60>所以AZ)=AB=BD-

因为。为AO的中点，所以

在AAPO中，ZAPD=90.。为AZ)的中点，所以Po=LAr>=A0.

2

设AD=PB=2Λ,则OB=ʌ/ɜɑ>PO—OA—Cl,

因为产。2+θβ2=+3/=4〃=pj52,所以OPj_OB.

在中，ZAPD=90，。为AZ)的中点，所以尸O=LAO=A。.

2

在aBOP和^BQ4中，因为PO=AO,PB=AD=AB,BO=BO,

所以△BOPBOA.

所以NBoP=NBQA=90.所以OPLo8.

因为OPCAo=O,OPU平面∕¾O,ADu平面PAO,

所以OB，平面PAD.

因为。BU平面ABC。，所以平面A4Z)_L平面ABC£).

(2)因为AT>_LP8,ADLOB,OBCPB=B,PBu平面POB,OBU平面POB,

所以AD_L平面PoB.所以PoJ.AD.

由⑴得PO工OB,ADLOB,所以。4,OB,OP所在的直线两两互相垂直.

以。为坐标原点，分别以OAoB,OP所在直线为X轴，丁轴，Z轴建立如图所示的空间直角坐标系.

设AD=2,则A(1,O,O),D(-1,O,O),s(θ,√3,θ),P(0,0,1),

所以Pr)=(—1,0,—1),PB=(θ,√3,-l),BC=AD=(-2,0,0),

设平面BRD的法向量为〃=a，y，zj，

n∙PD=-xx-z1=0,

则〃・P8=同-「。，令∙e则玉=—√Lz∣=百，所以”=(—百,ι,G).

设平面PBC的法向量为根=(X2,%，Z2)，

m∙BC=-2x=0,

1Z所以加=仅

则厂一令为=1，则9=°，2=√3,,l,jŋ.

m∙PB=√3γ2-z2=0,

设二面角O-PB-C为。，由于。为锐角,

4_2√7

所以COSθ=ICoS伽,砌

2×√7-7

所以二面角。—PB—C的余弦值为名夕.

7

【点睛】

本题考查线面垂直判定定理、面面垂直判定定理以及利用空间向量求二面角，考查基本分析论证与求解能力，属中档

题.

21、(1)φ[a)-a-2-21n«+21n2(a>0)；(2)2；(3)证明见解析.

【解析】

ɔaV

(1)/'(x)=