2023年河南省高中学业水平数学试卷及答案解析

2023年河南省高中学业水平数学试卷

一、选择题（共16小题，每小题3分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的）

1.（3分）己知全集U={l,2,3,4,5,6},集合A={l,3,5},则CUA等于（）

A.{1,3,5}B.{2,4,6}C.{3,4,5）D.{1,3,4,5）

2.（3分）函数/（x）=6的定义域为（）

A.{x∣x≠0}B.（0,+∞）C.[0,+∞）D.R

3.（3分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（）

俯视图

A.圆柱B.三棱台C.圆台D.圆锥

4.（3分）同时掷两个均匀骰子,向上的点数之和是7的概率是（）

1111

A.-B.-C.一D.—

34612

5.（3分）函数/（x）=3*-χ-2的零点的个数为（）

A.3B.2C.1D.O

6.（3分）直线/经过点P（0,2）,倾斜角是135°,则直线/的方程是（）

A.x+y-2=0B.x+y+2=0C.x-γ+2=0D・X-y-2=0

7.（3分）下列函数中，在R上是增函数的是（）

x

A.y=lgxB.y=IogixC.y=（∣）D.y=lθx

8.（3分）在等比数列{〃〃}中，aι=2,〃3=4,则其前10项和是（）

A.511B.1023C.1024D.2047

9.（3分）执行如图所示的程序框图，则输出的S=（）

A.10B.45C.55D.66

10.（3分）已知对数函数y=∕（x）的图象过点（e,1）,则/（/）=（）

A.-3B.1C.2D.3

11.（3分）己知样本数据XI,X2,X3,X4,X5,X6的平均数为5,方差为2,则样本数据X1+3,

X2+3,A3+3,X4+3,X5+3,X6+3的平均数和方差分别为（）

A.8和2B.8和5C.5和3D.5和8

12.（3分）若Sina>0,且CoSaV0,则角α是（）

A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角

13.（3分）ZVLBC的三边长分别为3,5,7,则AABC的形状是（）

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定

14.（3分）函数y=sin（2x+*）是（）

A.周期为π的奇函数B.周期为n的偶函数

C.周期为2π的奇函数D.周期为2π的偶函数

15.（3分）在aABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b=√Iα,A=30°,

贝UB=（）

A.45°B.I60oC.60°或120°D.45°或135°

4^4-1

16.（3分）函数/（X）=言的图象关于（）

A.y轴对称B.直线y=-X对称

C.坐标原点对称D.直线y=x对称

二、填空题（共7小题，每小题3分，共21分）

17.（3分）函数/（x）=Iog2x+x（x∈[l.4J）的值域是.

18.（3分）“敬业”餐饮店为了研究每天卖出的热茶杯数与当天气温的关系，收集了若干数

据，并对其进行分析，得到每天卖出的热茶杯数y（杯）与当天气温X（℃）的回归方程

为y=57.56-1.65x.当某天的气温是-2℃时，预测这天卖出的热茶杯数为.

19.（3分）不等式/-X-6Wo的解集为.

20.（3分）己知直线/i:2x->'+5=0,/2：mx-2>,+7=0,若Ii〃h,则机=.

21.（3分）sin37ocos230+cos37osin23o的值为.

22.（3分）长方体ABCQ-AIBICIQI的顶点都在同一球面上.且力B=√ILAD=2√3,

AA1=√13,则该球的半径是.

（x≤2,

23.（3分）己知X,y满足约束条件｛y≤L则Z=X-y的最大值为.

（2%+y-2≥0,

三、解答题（共6小题，共31分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

.,,sina+2cosa一

24.已知tanα=3.求s----------r的ι值.

sιna-2cosa

25.求以M（l,-2）为圆心，并且与直线x+3y+15=0相切的圆的方程.

26.已知在平面直角坐标系中，点。为坐标原点，4（-3,4）,B（12,5）.

（1）求6‰0⅛;

（2）求/AOB的余弦值.

27.从某部门参加职业技能测试的2000名员工中抽取100名员工，将其成绩（满分100分）

按照[20,40）,[40,60）,[60.80）,[80,100]分成4组，得到如图所示的频率分布直方

图.

（1）估计该部门参加测试员工的成绩的中位数;

（2）估计该部门参加测试员工的平均成绩.

28.如图，在三棱柱ABC-AiBiCj中，点。是AB的中点.

(1)求证：ACl〃平面CDBi;

(2)若CCl，平面ABC,CCI=6,AC=3,BC=4,ZACB=120°,求三棱柱ABC-

A∖B∖C∖的体积.

29.已知数列｛t⅛｝满足a[+ɪ+ɪ+∙∙∙÷2：：]="÷2n.

(1)求数列｛如｝的通项公式；

(2)设数列｛J∙｝的前〃项和为％,求S,.

2023年河南省高中学业水平数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（共16小题，每小题3分，共48分.在每小题给出的四个选项中,只有一项

是符合题目要求的）

1.(3分)已知全集U={l,2,3,4,5,6),集合A={l,3,5},则CUA等于()

A.{1,3,5}B.{2,4,6}C.{3,4,5}D.{1,3,4,5}

【解答】解：,・・全集U={lf2,3,4,5,6),集合A={l,3,5}，

ʌCuA={2,4,6).

故选：B.

（3分）函数/（x）=6的定义域为（

2.)

A.{x∣x≠0}B.(0,+8)C.[0,+8)D.R

1

【解答】解:函数/（%）=记的定义域为［0,+8),

故选：C.

3.（3分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（)

俯视图

A.圆柱B.三棱台C.圆台D.圆锥

【解答】解：由三视图还原原几何体为圆台,

故选：C.

4.（3分）同时掷两个均匀骰子，向上的点数之和是7的概率是()

1111

A.-B.-C.一D.

34612

【解答】解：列表得:

(1,6)(2,6)(3,6)(4,6)(5,6)(6,6)

(1,5)(2,5)(3,5)(4,5)(5,5)(6,5)

(1,4)(2,4)(3,4)(4,4)(5,4)(6,4)

(1,3)(2,3)(3,3)(4,3)(5,3)(6,3)

(1,2)(2,2)(3,2)(4,2)(5,2)(6,2)

(1,I)(2,1)(3,1)(4,1)(5,1)(6,1)

共有36种等可能的结果，向上的点数之和是7的情况有6种，

.∙.两个骰子向上的一面的点数和为6的概率为：二=工，

366

故选：C.

5.（3分）函数fG）=3尤-X-2的零点的个数为（）

A.3B.2C.1D.O

【解答】解：由（x）=3*-X-2=0得3Λ=X+2,

作出两个函数y=3∙v和y=x+2的图象如图：

由图象知两个图象有2个交点，

即函数/（x）的零点个数为2个，

6.（3分）直线/经过点P（0,2）,倾斜角是135°,则直线/的方程是（）

A.x+y-2=0B.x+γ+2=0C.x-y+2=0D.x-y-2=0

【解答】解：直线/经过点P（0,2）,倾斜角是135°,则k=7,

y-2=-（X-0）,即x+y-2=0,

故选：A.

7.（3分）下列函数中，在R上是增函数的是（）

A.y=lgxB.y=IogixC.y=（^）xD.y=∖Ox

【解答】解：y=∕gχ,底数为10>1,在（0,+8）上单调增，不符合；

V=Iogiɪ,在（0,+∞）上单调减，不符合;

2

y=（二）"在R上是单调减；

y=10"在R上是增函数，符合.

故选：D.

8.（3分）在等比数列｛〃〃｝中，«2=2,¢/3=4,则其前10项和是（）

A.511B.1023C.1024D.2047

【解答】解：在等比数列中，6=2,43=4,

则,^2=24,W«1=1，4=2,

｛a2q=4

.ιo

则其前10项和是S=号17令=1023,

故选：B.

9.（3分）执行如图所示的程序框图，则输出的S=（）

A.10B.45C.55D.66

【解答】解：第一次循环：S=0,i=l,S=0+l=l,i=l+l=2,i>10不成立;

第二次循环：S=l,z=2,S=1+2=3,/=2+1=3,i>10不成立；

第三次循环：S=3,i=3,S=2+3=6,i=3+l=4,i>10不成立；

第四次循环：S=6,i=4,S=6+4=10,i=4+l=5,>10不成立；

第五次循环：S=IO,/=5,5=10+5=15,i=5+l=6,i>10不成立;

第六次循环：S=15,i=6,S=15+6=21,i=6+l=7,i>10不成立；

第七次循环：S=2T,i=7,S=21+7=28,i=7+l=8,i>10不成立；

第八次循环：S=28,i=8,5=28+8=36,，=8+1=9,，>10不成立；

第九次循环：S=36,i=9,S=36+9=45,i=9+l=10,AlO不成立；

第十次循环：S=45,z=IO,S=45+10=55,i=1+1=2,i>10成立，

输出的S=55.

故选：C.

10.（3分）已知对数函数y=∕（x）的图象过点（e,1）,则/（1）=（）

A.-3B.1C.2D.3

【解答】解：对数函数y=f（x）=IogM的图象过点（e,1）,

Λlogαe=1,解得α=e,

Λy=logex,

则/（c?）=IOgee3=3.

故选：D.

II.（3分）己知样本数据XI,X2,X3,X4,X5,X6的平均数为5,方差为2,则样本数据X1+3,

X2+3,X3+3,X4+3,X5+3,X6+3的平均数和方差分别为（）

A.8和2B.8和5C.5和3D.5和8

【解答】解：根据题意，样本数据XI,X2,Λ3,X4,X5,X6的平均数为5,方差为2,

1

则有一（Xl+Λ2+X3+X4+X5+X6）=5,

6

ɪ

-[（XI-5）2+（X2-5）2+（X3-5）2+（X4-5）2+（X5-5）2+（x6-5）2]=2,

6

对于数据Xl+3,X2+3,X3+3,Λ4+3,X5+3,X6+3,

其平均数元=（）

TOXI+3+X2+3+X3+3+X4+3+%5+3+X6+3

（）

=ɪOXI+X2+%3+X4+X5+X6+3=5+3=8,

其方差S2=（XI-5）2+（X2-5）2+（X3-5）2+（X4-5）2+（X5-5）2+（X6-5）2J=

2,

故选：A.

12.（3分）若Sina>0,且CoSaV0,则角α是（）

A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角

【解答】解：由Sina>0,可得a为第一、第二及y轴正半轴上的角；

由COSa<0,可得a为第二、第三及X轴负半轴上的角.

•••取交集可得，a是第二象限角.

故选：B.

13.（3分）C的三边长分别为3,5,7,则4ABC的形状是（）

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定

【解答】解：设边长为7的边所对的角为a,

q2+q2_/

则COsa=?乂2乂口<o>则a为钝角.

故选：C.

14.（3分）函数y=sin（2Λ+J）是（）

A.周期为π的奇函数B.周期为n的偶函数

C.周期为2π的奇函数D.周期为2π的偶函数

【解答】解：sin（2x+g）=cos2x,故为偶函数，

T27Γ2Tt

T=—-，

ω="2ɔ=η

故选：B.

15.（3分）在BC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,己知b=应。，4=30°,

贝IJB=（）

A.45oB.60°C.60°或120oD.45°或135°

【解答】解：=√∑a,4=30°,

sin8=VlsinA=ɪ,

则8=45°或135°,

故选：D.

16.（3分）函数/（X）=裁的图象关于（

）

A.y轴对称B.直线y=-X对称

C.坐标原点对称D.直线y=x对称

【解答】解：x∈R,f(x)=∖(2x+2^x),

1

则/(-x)=*(2--V+2Λ')=f(x),

则/(χ)是偶函数，图象关于y轴对称.

故选：A.

二、填空题(共7小题，每小题3分，共21分)

17.(3分)函数/(x)=log2χ+x(x∈ll,4])的值域是[1,61.

【解答】解：/(x)=logzx+x为[1,4]的单调递增函数，

/(1)=0+1=1,/(4)=2+4=6,

故函数f(x)=log2x+x(x∈[l,4])的值域是[1,6],

故答案为：[1,6J.

18.(3分)“敬业”餐饮店为了研究每天卖出的热茶杯数与当天气温的关系，收集了若干数

据，并对其进行分析，得到每天卖出的热茶杯数y(杯)与当天气温X(℃)的回归方程

为y=57.56-1.65x.当某天的气温是-2℃时，预测这天卖出的热茶杯数为61.

【解答】解：X=-2时，y=57.56-1.65X(-2)=60.86¾=61.

故答案为：61.

19.(3分)不等式/-X-6WO的解集为3-2«}.

【解答】解：不等式f-χ-6W0,

即(x+2)(X-3)≤0,

解得-2≤x≤3,

所以该不等式的解集为{尤|-2≤x≤3}.

故答案为：{x∣-2WxW3}.

20.(3分)已知直线/i:Ix->∙+5=0,/2：mx-2^+7=0>若则〃i=4.

【解答】解：直线∕∣:2x-γ+5=0,/2：mx-2y+7=0,若h〃b,则2=}，解得机=4,

故答案为：4.

√3

21.(3分)sin37ocos230+cos37osin23o的值为一.

—2—

ooo

【解答】解:sin37cos230+cos37sin23=sin(37°+23°)=sin60°=ɪ.

故答案为：⅛√3∙

2

22.(3分)长方体ABCO-48∣CIOl的顶点都在同一球面上.且48=√H,AD=2√3,

AA1=√13,则该球的半径是3.

【解答】解：长方体ABCC-AlBcIZ)I的顶点都在同一球面上.且AB=Vn,AD=2√3,

AA1=√T3,

则长方体ABCD-AIBICIDI的体对角线长为J(√H)2+(2√3)2+(√13)2=6,

则该球的直径为6,

即该球的半径是3,

故答案为：3.

(x<2>

23.(3分)已知X,y满足约束条件｛y≤l,

则z-x-y的最大值为4.

(2x+y—2≥O,

【解答】解：不等式对应的平面区域如图：(阴影部分).

由Z=X-y得y=χ-z,平移直线y=χ-z,

由平移可知当直线y=χ-z,经过点3时，

直线y=x-Z的截距最小，此时Z取得最大值，

由C7+2y-2=(T解得，

即8(2,-2)代入Z=X-y得z=2-(-2)=4,

即Z=X-y的最大值是4,

故答案为：4.

三、解答题(共6小题，共31分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

sina+2cosa

24.已知tan。=3.求一：-------的值.

sιna-2cosa

【解答】解：∙∙'tana=3,

^sina+2cosa=tαnα+2=3+2=§

,sina-2cosatana-23-2…

25.求以M(1,-2)为圆心，并且与直线x+3y+15=0相切的圆的方程.

【解答】解：根据题意，要求圆的半径为圆心M到直线x+3y+15=0的距离，

则圆的半径，=%怨51=√io,

√l+9

则要求圆的方程为(ɪ-l)2+(y+2)2=10,

26.已知在平面直角坐标系中，点。为坐标原点，A(-3,4),B(12,5).

(1)求&∙0⅛;

(2)求NAoB的余弦值.

【解答】解：(1)已知在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，A(-3,4),B(12,5),

则后-OB=(-3)×12+4X5=-16；

(2)由题意可得|&|=J(-3)2+42=5,∖0B∖=√122+52=13,

OAOB-16_16

贝IJCOS乙408=—→→—5×13=^65,

∖OA∖∖OB∖

即NAoB的余弦值为-

27.从某部门参加职业技能测试的2000名员工中抽取IOO名员工，将其成绩(满分IOO分)

按照[20,40),[40,60),[60.80),[80,IOOJ分成4组，得到如图所示的频率分布直方

图.

(1)估计该部门参加测试员工的成绩的中位数；

(2)估计该部门参加测试员工的平均成绩.

：前2组频率之和为0.1+0.2=0.3V0.5,

而前3组频率之和为0.1+0.2+0.4=0.7>0.5,

Λ60≤Λ≤80,

由0.02(χ-60)=0.5-(0.1+0.2),

解得x=70,

.∙.