中考数学二轮复习考点培优专练专题十 圆的综合问题（原卷版）

专题十圆的综合问题一、非动态问题例题1如图，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0为直径的SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0的延长线于点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0．(1)求证：SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的切线．(2)求证：SKIPIF1<0．(3)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的半径长．练习题1．在△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D．(1)如图①，以点B为圆心，BC为半径作圆弧交AB于点M，连结CM，若∠ABC＝66°，求∠ACM；(2)如图②，过点D作⊙O的切线DE交AC于点E，求证：AE＝EC；(3)如图③，在（1）（2）的条件下，若tanA＝SKIPIF1<0，求S△ADE：S△ACM的值．2．如图1，在Rt△ABC中，SKIPIF1<0，以BC为直径的SKIPIF1<0交斜边AB于点M，若H是AC的中点，连接MH．(1)求证：MH为SKIPIF1<0的切线．(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的半径．(3)如图2，在（2）的条件下分别过点A、B作SKIPIF1<0的切线，两切线交于点D，AD与SKIPIF1<0相切于点N，过N点作SKIPIF1<0，垂足为E，且交SKIPIF1<0于Q点，求线段AO、CN、NQ的长度．3．如图，点P在y轴的正半轴上，SKIPIF1<0交x轴于B、C两点，以AC为直角边作等腰Rt△ACD，BD分别交y轴和SKIPIF1<0于E、F两点，连接AC、FC，AC与BD相交于点G．(1)求证：SKIPIF1<0；(2)求证：SKIPIF1<0；(3)SKIPIF1<0______°；(4)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则△GDC的面积为______．4．如图，四边形SKIPIF1<0内接于半圆SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是半圆SKIPIF1<0的直径，SKIPIF1<0是半圆SKIPIF1<0的切线，SKIPIF1<0交SKIPIF1<0的延长线于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相交于点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0并延长交SKIPIF1<0的延长线于点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0．(1)求证：SKIPIF1<0．(2)探究SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的数量关系．(3)求SKIPIF1<0的值．5．【概念提出】圆心到弦的距离叫做该弦的弦心距．【数学理解】如图①，在SKIPIF1<0中，AB是弦，SKIPIF1<0，垂足为P，则OP的长是弦AB的弦心距．(1)若SKIPIF1<0的半径为5，OP的长为3，则AB的长为______．(2)若SKIPIF1<0的半径确定，下列关于AB的长随着OP的长的变化而变化的结论：①AB的长随着OP的长的增大而增大；②AB的长随着OP的长的增大而减小；③AB的长与OP的长无关．其中所有正确结论的序号是______．(3)【问题解决】若弦心距等于该弦长的一半，则这条弦所对的圆心角的度数为______°．(4)已知如图②给定的线段EF和SKIPIF1<0，点Q是SKIPIF1<0内一定点．过点Q作弦AB，满足SKIPIF1<0，请问这样的弦可以作______条．6．已知SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的外接圆，SKIPIF1<0．(1)如图1，延长SKIPIF1<0至点SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0．①求证：SKIPIF1<0为直角三角形；②若SKIPIF1<0的半径为4，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值；(2)如图2，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上的一点，且点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0位于SKIPIF1<0两侧，作SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0对称的图形SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，试猜想SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三者之间的数量关系并给予证明．7．定义：两个角对应互余，且这两个角的夹边对应相等的两个三角形叫做余等三角形．如图1，在△ABC和△DEF中，若∠A+∠E＝∠B+∠D＝90°，且AB＝DE，则△ABC和△DEF是余等三角形．(1)图2，等腰直角△ABC，其中∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是AB上任意一点（不与点A，B重合），则图中△________和△________是余等三角形，并求证：AD2+BD2＝2CD2．(2)图3，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为5，且AD2+BC2＝100，①求证：△ABC和△ADC是余等三角形．②图4，连接BD交AC于点I，连接OI，E为AI上一点，连接EO并延长交BI于点F，若∠ADB＝67.5°，IE＝IF，设OI＝x，S△EIF＝y，求y关于x的函数关系式．8．如图1，在等腰SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点D是线段SKIPIF1<0上一点，以SKIPIF1<0为直径作SKIPIF1<0，SKIPIF1<0经过点A．(1)求证：SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的切线；(2)如图2，过点A作SKIPIF1<0垂足为E，点F是SKIPIF1<0上任意一点，连结SKIPIF1<0．①如图2，当点F是SKIPIF1<0的中点时，求SKIPIF1<0的值；②如图3，当点F是SKIPIF1<0上的任意一点时，SKIPIF1<0的值是否发生变化？请说明理由．(3)在（2）的基础上，若射线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的另一交点G，连结SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，直接写出SKIPIF1<0的值．9．【证明体验】（1）如图1，过圆上一点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0切线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是弦（不是直径），若SKIPIF1<0是直径，连接SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0；（2）如图2，若SKIPIF1<0不是直径，SKIPIF1<0______SKIPIF1<0（填“＞”、“<”或“=”）；（3）如图3，（1）、（2）的结论是否成立，说明理由；【归纳结论】（4）由以上证明可知：切线与弦的夹角等于它所夹的弧对的______；【结论应用】（5）如图4，SKIPIF1<0内接圆于SKIPIF1<0，弦SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的切线SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0的延长线于点SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求线段SKIPIF1<0的长．10．定义：有且仅有一组对角相等的凸四边形叫做“准平行四边形”．例如：凸四边形ABCD中，若∠A=∠C，∠B≠∠D，则称四边形ABCD为准平行四边形(1)如图①，半圆O的直径为BC，OA⊥OB，点E在过点A的切线上，且BE=BA，点D是SKIPIF1<0上的动点（不在点A、C上），求证：四边形AEBD为准平行四边形．(2)如图②，准平行四边形ABCD内接于⊙O，∠B≠∠D，若⊙O的半径为5，AB=AD，则①准平行四边形ABCD的面积S是线段AC的长x的函数吗？如果是，求出函数解析式；如果不是，请说明理由；②准平行四边形ABCD的面积S有最大值吗？如果有求出最大值，如果没有，说明理由．二、动点问题例题2（2021·浙江温州·三模）如图，在⊙O中，AB是直径，点D在圆内，点C在圆上，CD⊥半径OA于点E，延长AD交⊙O于F点，连结BF．当点M从点C匀速运动到点D时，点N恰好从点B匀速运动到点A，且M，N同时到达点E．(1)请判断四边形ACBF的形状，并说明理由．(2)连结AM并延长交⊙O于点G，连结OG，DN．记CM＝x，AN＝y，已知y＝12﹣SKIPIF1<0x．①求出AE和BF的长度．②当M从C到E的运动过程中，若直线OG与四边形BFDN的某一边所在的直线垂直时，求所有满足条件的x的值．练习题1．（2021·浙江温州·一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，E是线段AB上的一个动点，经过A，D，E三点的⊙O交线段AC于点K，交线段CD于点H，连接DE交线段AC于点F．(1)求证：AE＝DH；(2)连接DK，当DE平分∠ADK时，求线段DE的长；(3)连接HK，KE，在点E的运动过程中，当线段DH，HK，KE中满足某两条线段相等时，求出所有满足条件的AE的长．2．（2022·河北·石家庄外国语教育集团一模）已知，在半圆O中，直径AB=6，点C，D在半圆AB上运动，（点C，D可以与A，B两点重合），弦CD=3．(1)如图1，当∠DAB=∠CBA时，求证：△CAB≌△DBA；(2)如图2，若∠DAB=15°时，求图中阴影部分（弦AD、直径AB、弧BD围成的图形）的面积；(3)如图3，取CD的中点M，点C从点A开始运动到点D与点B重合时结束，在整个运动过程中：①点M到AB的距离的最小值是___________；②直接写出点M的运动路径长___________．3．（2022·湖南长沙·九年级期中）已知SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的外接圆，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是劣弧SKIPIF1<0上一点（不与点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0重合），连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)如图1，若SKIPIF1<0是直径，将SKIPIF1<0绕点SKIPIF1<0逆时针旋转得到SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，求四边形SKIPIF1<0的面积；(2)如图2，若SKIPIF1<0，半径为2，设线段SKIPIF1<0的长为SKIPIF1<0．四边形SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0．①求SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的函数关系式；②若点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别在线段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上运动（不含端点），经过探究发现，点SKIPIF1<0运动到每一个确定的位置．SKIPIF1<0的周长有最小值SKIPIF1<0，随着点SKIPIF1<0的运动，SKIPIF1<0的值会发生变化．求所有SKIPIF1<0值中的最大值，并求此时四边形SKIPIF1<0的面积SKIPIF1<0．4．（2022·广东·深圳中学一模）（1）【基础巩固】如图1，△ABC内接于⊙O，若∠C＝60°，弦SKIPIF1<0，则半径r＝______；（2）【问题探究】如图2，四边形ABCD内接于⊙O，若∠ADC＝60°，AD＝DC，点B为弧AC上一动点（不与点A，点C重合）求证：AB＋BC＝BD（3）【解决问题】如图3，一块空地由三条直路（线段AD、AB、BC）和一条道路劣弧SKIPIF1<0围成，已知SKIPIF1<0千米，∠DMC＝60°，SKIPIF1<0的半径为1千米，市政府准备将这块空地规划为一个公园，主入口在点M处，另外三个入口分别在点C、D、P处，其中点P在SKIPIF1<0上，并在公园中修四条慢跑道，即图中的线段DM、MC、CP、PD，是否存在一种规划方案，使得四条慢跑道总长度（即四边形DMCP的周长）最大？若存在，求其最大值；若不存在，说明理由．5．（2022·四川·绵阳市桑枣中学一模）在矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0从点SKIPIF1<0出发，沿SKIPIF1<0边向点SKIPIF1<0以每秒SKIPIF1<0的速度移动，同时点SKIPIF1<0从点SKIPIF1<0出发沿SKIPIF1<0边向点SKIPIF1<0以每秒SKIPIF1<0的速度移动，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点在分别到达SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点时就停止移动，设两点移动的时间为t秒，解答下列问题：(1)如图SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0为几秒时，SKIPIF1<0的面积等于SKIPIF1<0？(2)如图SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0为圆心，SKIPIF1<0为半径作SKIPIF1<0在运动过程中，是否存在这样的SKIPIF1<0值，使SKIPIF1<0正好与四边形SKIPIF1<0的一边SKIPIF1<0或边所在的直线SKIPIF1<0相切？若存在，求出SKIPIF1<0值；若不存在，请说明理由．6．（2022·广东深圳·一模）在SKIPIF1<0中，弦SKIPIF1<0平分圆周角SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作DE//AB交SKIPIF1<0的延长线于点SKIPIF1<0．(1)求证：SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的切线；(2)若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0的直径是SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的长．(3)SKIPIF1<0是弦SKIPIF1<0下方圆上的一个动点，连接SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，请探究点SKIPIF1<0在运动的过程中，SKIPIF1<0的比值是否改变，若改变，请说明理由；若不变，请直接写出比值．7．（2021·四川德阳·二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，AO⊥BC于点O，OE⊥AB于点E，以点O为圆心，OE为半径作半圆，交AO于点F．(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)若点F是OA的中点，OE＝3，求图中阴影部分的面积；(3)在（2）的条件下，点P是BC边上的动点，当PE＋PF取最小值时，直接写出BP的长．8．（2022·湖南永州·一模）如图，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0为直径的SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0点作SKIPIF1<0的切线SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0．(1)求证：SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的长；(3)在（2）的条件下,若SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0上一动点，过SKIPIF1<0点作SKIPIF1<0的垂线交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0的延长线于SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0是定值，并求出定值是多少？9．（2022·江苏·南通市海门区东洲国际学校一模）[问题提出](1)如图1，已知线段AB＝4，点C是一个动点，且点C到点B的距离为2，则线段AC长度的最大值是________；[问题探究](2)如图2，以正方形ABCD的边CD为直径作半圆O，E为半圆O上一动点，若正方形的边长为2，求AE长度的最大值；[问题解决](3)如图3，某植物园有一块三角形花地ABC，经测量，AC＝20SKIPIF1<0米，BC＝120米，∠ACB＝30°，BC下方有一块空地（空地足够大），为了增加绿化面积，管理员计划在BC下方找一点P，将该花地扩建为四边形ABPC，扩建后沿AP修一条小路，以便游客观赏．考虑植物园的整体布局，扩建部分SKIPIF1<0BPC需满足∠BPC＝60°．为容纳更多游客，要求小路AP的长度尽可能长，问修建的观赏小路AP的长度是否存在最大值？若存在，求出AP的最大长度；若不存在，请说明理由．10．（2021·江苏南京·九年级期末）如图，在平行四边形ABCD中，SKIPIF1<0，BC＝6，∠B＝45°，点E为CD上一动点，经过A、C、E三点的⊙O交BC于点F．(1)【操作与发现】当E运动到SKIPIF1<0处，利用直尺与圆规作出点E与F．（保留作图痕迹）(2)在（1）的条件下，证明SKIPIF1<0．(3)【探索与证明】点E运动到任何一个位置时，求证SKIPIF1<0．(4)【延伸与应用】点E在运动的过程中，直接写出EF的最小值______．三、动圆问题例题3（2021·山东威海·一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，点O在射线AC上（点O不与点A重合），过点O作OD⊥AB，垂足为D，以点O为圆心，OD为半径画半圆O，分别交射线AC于E，F两点，设OD=x．(1)如图1，当点O为AC边的中点时，则x=；(2)如图2，当点O与点C重合时，连接DF，求弦DF的长；(3)若半圆O与BC无交点，则x的取值范围是．练习题1．（2022·江苏·常州市武进区前黄实验学校一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形SKIPIF1<0的边SKIPIF1<0落在SKIPIF1<0轴上，点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，边SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴交于点SKIPIF1<0．(1)直接写出点A、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的坐标；(2)在SKIPIF1<0轴上取点SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0经过点SKIPIF1<0，与SKIPIF1<0轴交于点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0．①当SKIPIF1<0时，求直线SKIPIF1<0的函数表达式；②当以线段SKIPIF1<0为直径的圆与矩形SKIPIF1<0的边所在直线相切时，求点SKIPIF1<0的坐标．9．（2021·江苏镇江·一模）如图1，SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，半径为r的SKIPIF1<0经过点A且与BC相切，切点M在线段BC上（包含点M与点B、C重合的情况）．(1)半径r的最小值等于__________．(2)设BM=x，求半径r关于x的函数表达式；(3)当BM=1时，请在图2中作点M及满足条件的SKIPIF1<0．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并用2B铅笔或黑色水笔加黑加粗）10．（2022·浙江温州·一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E，F分别在边AD，CD上，且∠ABE＝∠CBF，延长BE交CD的延长线于点G，H为BG中点，连结CH分别交BF，AD于点M，N．(1)求证：SKIPIF1<0．(2)当FG＝9时．①求SKIPIF1<0的值．②在线段CH上取点P，以E为圆心，EP为半径作SKIPIF1<0（如图），当SKIPIF1<0与四边形ABMN某一边所在直线相切时，求所有满足条件的HP的长．11．（2022·江苏镇江·九年级期末）如图：已知线段SKIPIF1<0，射线AS垂直于AM，点N在射线AS上，设SKIPIF1<0，点P在经过点N且平行于AM的直线上运动，SKIPIF1<0的平分线交直线NP于点Q，过点Q作SKIPIF1<0，交线段AM于点B，连接PB交AQ于点C，以Q为圆心，QC为半径作圆．(1)求证：PB与SKIPIF1<0相切；(2)已知SKIPIF1<0的半径为3，当AM所求直线与SKIPIF1<0相切时，求n的值及PA的长；(3)当SKIPIF1<0时，若SKIPIF1<0与线段AM只有一个公共点，则SKIPIF1<0的半径的取值范围是______．四、圆的图形变换问题例题4平面上，矩形ABCD与直径为QP的半圆K如图摆放，分别延长DA和QP交于点O，且∠DOQ＝60°，OQ＝OD＝3，OP＝2，OA＝AB＝1．让线段OD及矩形ABCD位置固定，将线段OQ连带着半圆K一起绕着点O按逆时针方向形如旋转，设旋转角为α（0°≤α≤60°）．发现（1）当α＝0°，即初始位置时，点P____直线AB上．（填“在”或“不在”）求当α是多少时，OQ经过点B？（2）在OQ旋转过程中．简要说明α是多少时，点P，A间的距离最小？并指出这个最小值：（3）如图，当点P恰好落在BC边上时．求α及S阴影．拓展如图．当线段OQ与CB边交于点M，与BA边交于点N时，设BM＝x（x＞0），用含x的代数式表示BN的长，并求x的取值范围．探究当半圆K与矩形ABCD的边相切时，求sinα的值．练习题1．把一张圆形纸片按如图方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，且折痕SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的半径．2．如图，已知SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的直径，SKIPIF1<0为弦．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于点E，将SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0翻折后，点A与圆心O重合，延长SKIPIF1<0至P，使SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的半径；(2)求证：SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的切线；(3)点N为SKIPIF1<0的中点，在SKIPIF1<0延长线上有一动点M，连接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点G．交SKIPIF1<0于点F（F与B、C不重合）．求SKIPIF1<0的值．3．如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，O是AC的中点，以点O为圆心在AC的右侧作半径为3的半圆O，分别交AC于点D、E，交AB于点G、F．(1)思考：连接OF，若OF⊥AC，求AF的长度；(2)探究：如图2，将线段CD连同半圆O绕点C旋转．①在旋转过程中，求点O到AB距离的最小值；②若半圆O与Rt△ABC的直角边相切，设切点为K，连接AK，求AK的长．4．如图，点B在数轴上对应的数是﹣2，以原点O为圆心、OB的长为半径作优弧AB，使点A点的左上方，且tan∠AOB＝SKIPIF1<0，点C为OB的中点，点D在数轴上对应的数为4．(1)S扇形AOB＝；(2)点P是优弧AB上任意一点，则∠PDB的最大值为；(3)在（2）的条件下，当∠PDB最大，且∠AOP<180°时，固定△OPD的形状和大小，以原点O为旋转中心，顺时针旋转a（0°≤a≤360°），①连接CP，AD．在旋转过程中，CP与AD有何数量关系，并说明理由；②直接写出在旋转过程中，点C到PD所在直线的距离d的取值范围．5．如图1，在正方形ABCD中，AB＝10，点O，E在边CD上，且CE＝2，DO＝3，以点O为圆心，OE为半径在其左侧作半圆O，分别交AD于点G，交CD的延长线于点F．(1)AG＝；(2)如图2，将半圆O绕点E逆时针旋转α（0°＜α＜180°），点O的对应点为O′，点F的对应点为F′，设M为半圆O′上一点．①当点F′落在AD边上时，求点M与线段BC之间的最短距离；②当半圆O′交BC于P，R两点时，若SKIPIF1<0的长为SKIPIF1<0π，求此时半圆O′与正方形ABCD重叠部分的面积；③当半圆O′与正方形ABCD的边相切时，设切点为N，直接写出tan∠END的值．6．如图，已知⊙O的半径为2，AB为直径，CD为弦，AB与CD交于点M，将弧CD沿着CD翻折后，点A与圆心O重合，延长OA至P，使AP=OA，链接PC．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）点G为弧ADB的中点，在PC延长线上有一动点Q，连接QG交AB于点E，交弧BC于点F（F与B、C不重合）．问GE▪GF是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由．7．如图，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，延长SKIPIF1<0到点SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，延长SKIPIF1<0到点SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0．以点SKIPIF1<0为圆心，分别以SKIPIF1<0、SKIPIF1<0为半径作大小两个半圆，连结SKIPIF1<0．（1）求证：SKIPIF1<0；（2）设小半圆与SKIPIF1<0相交于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．①当SKIPIF1<0取得最大值时，求其最大值以及SKIPIF1<0的长；②当SKIPIF1<0恰好与小半圆相切时，求弧SKIPIF1<0的长．8．在扇形SKIPIF1<0中，半径SKIPIF1<0，点P在OA上，连结PB，将SKIPIF1<0沿PB折叠得到SKIPIF1<0．（1）如图1，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所在的圆相切于点B．①求SKIPIF1<0的度数．②求AP的长．（2）如图2，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相交于点D，若点D为SKIPIF1<0的中点，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的长．9．如图，矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上一点（不与点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0重合），连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0对称，SKIPIF1<0是过点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的半圆SKIPIF1<0的切线，且SKIPIF1<0交射线SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0．（1）当SKIPIF1<0时，半圆SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所围成的封闭图形的面积为___________；（2）当SKIPIF1<0在矩形SKIPIF1<0内部时，①判断SKIPIF1<0与SKIPIF1<0是否相等，并说明理由；②若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的长；（3）当SKIPIF1<0时，若点SKIPIF1<0落在矩形SKIPIF1<0的对称轴上，求SKIPIF1<0的值及此时半圆SKIPIF1<0落在矩形SKIPIF1<0内部的弧长．10．如图1，在正方形ABCD中，SKIPIF1<0，点O、E在边CD上，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，以点O为圆心，OE为半径在其左侧作半圆O，分别交AD于点G，交CD延长线于点F．（1）SKIPIF1<0________．（2）如图2，将半圆O绕点E逆时针旋转SKIPIF1<0，点O的对应点为SKIPIF1<0，点F对应点为SKIPIF1<0，当半圆SKIPIF1<0交BC于P、R两点时，若弧PR的长为SKIPIF1<0，求此时半圆SKIPIF1<0与正方形ABCD重叠部分的面积．（3）当半圆SKIPIF1<0与正方形ABCD相切时，设切点为N，直接写出SKIPIF1<0的值．11．如图⊙O中直径AB＝2，点E是AB的中点，点C是AE上的一个动点，将CB沿线段BC折叠交AB于点D．（1）如图1，当∠ABC＝20°时，求此时SKIPIF1<0的长．（2）如图2，连结AC，当点D与点О重合时，求此时AC的长．（3）设AC＝x，DO＝y，请直接写出y关于x的函数表达式及自变量x的取值范围．12．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝10，AD＝15，SKIPIF1<0．点P为AD边上任意一点，连接PB，将PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ．（1）当∠DPQ＝10°时，求∠APB的大小．（2）当SKIPIF1<0时，求点Q与点B间的距离（结果保留根号）．（3）若点Q恰好落在平行四边形ABCD的边所在直线上时，直接写出PB旋转到PQ时点B经过的路径的长（结果保留SKIPIF1<0）．13．如图1，四边形ABCD是正方形，且AB＝8，点O与B重合，以O为圆心，作半径长为5的半圆O，交BC于E，交AB于F，交AB延长线于G点，M是半圆O上任一点；发现：AM的最大值为，S阴影＝．如图2，将半圆O绕点F逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°）．思考：（1）若点C落在半圆O的直径GF上，求圆心O到AB的距离；（2）若α＝90°，求半圆O落在正方形内部的弧长；探究：在旋转过程中，若半圆O与正方形的边相切，求点A到切点的距离．【注：sin37°＝SKIPIF1<0，sin53°＝SKIPIF1<0，tan37°＝SKIPIF1<0】14．如图，在矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，以SKIPIF1<0为圆心，在SKIPIF1<0的下方作半径为3的半圆SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）思考：连接SKIPIF1<0，交半圆SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的长；（2）探究：将线段SKIPIF1<0连带半圆SKIPIF1<0绕点SKIPIF1<0顺时针旋转，得到半圆SKIPIF1<0，设其直径为SKIPIF1<0，旋转角为SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）；①设SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，求SKIPIF1<0的取值范围．②若半圆SKIPIF1<0与线段SKIPIF1<0相切，或半圆SKIPIF1<0与线段SKIPIF1<0相切，设切点为SKIPIF1<0，直接写出SKIPIF1<0的长．（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，结果保留SKIPIF1<0）15．如图1，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，以点SKIPIF1<0为圆心在SKIPIF1<0的右侧作半径为3的半圆SKIPIF1<0，分别交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0．思考：连接SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的长度；探究：如图2，将线段SKIPIF1<0连同半圆SKIPIF1<0绕点SKIPIF1<0旋转．（1）在旋转过程中，求点SKIPIF1<0到SKIPIF1<0距离的最小值；（2）若半圆SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的直角边相切，设切点为SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的长．16．如图，在矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为对角线SKIPIF1<0上的动点（不与SKIPIF1<0、SKIPIF1<0重合），以点SKIPIF1<0为圆心在SKIPIF1<0下方作半径为2的半圆SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0．（1）当半圆SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0时，求半圆SKIPIF1<0被SKIPIF1<0边所截得的弓形的面积；（2）若SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，在半圆SKIPIF1<0移动的过程中，求SKIPIF1<0的最小值；（3）当半圆SKIPIF1<0与矩形SKIPIF1<0的边相切时，求SKIPIF1<0的长．17．如图1，扇形OAB的半径为4，∠AOB＝90°，P是半径OB上一动点，Q是SKIPIF1<0上一动点．（1）连接AQ、BQ、PQ，则∠AQB的度数为；（2）当P是OB中点，且PQ∥OA时，求SKIPIF1<0的长；（3）如图2，将扇形OAB沿PQ对折，使折叠后的SKIPIF1<0恰好与半径OA相切于点C．若OP＝3，求点O到折痕PQ的距离．18．如图1，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0为直径的半圆SKIPIF1<0按如图所示位置摆放，点SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0重合，点SKIPIF1<0