2023年湖南省邵阳市某中学高一年级下册学期期末数学试题（含解析答案）

邵阳市二中2022年上学期期末考试卷子

高一年二期数学卷子

时量：120min分值：150min

一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分，在每题给出的4个选项中，只有一项

为哪一项符合题目要求的.

1.设集合Af={x[0<x<4},N=<>,则A/nN=（）

A.<x0<x<->B.-x-<x<4>

[3j[3

C.Ix|4<x<51D.|x|0<x<5|

（答案）B

（解析）

（分析）依据交集定义运算即可

（详解）因为M={x[0<x<4},N={x|；4x45},所以McN=，Wx<4）,

应选：B.

（点睛）此题考查集合的运算，属根底题，在高考中要求不高，掌握集合的交并补的根本概念即可求解.

2.已知复数z满足士=l+2i（其中i为虚数单位），则|z|=（）

A.3B.272C.2D.V10

（答案）D

（解析）

（分析）把已知等式变形，再由复数代数形式的乘法运算化简求得z,然后利用复数模的公式计算.

（详解）因为z=（l-i）（l+2i）=3+i,

所以|z|=132+T=JI5.

应选：D.

3.已知向量a=（3,4）,1=（l,0）,c="+亦，假设<a,c>=<B,c>,贝！|/=（）

A.-6B.-5C.5D.6

（答案）C

（解析）

（分析）利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得

/、9+3f+163+f

【详解）解：c=（3+/,4）,cosa,c=cosb,c,g［J―丽一「，解得f=5,

应选：C

A.a<b<cB.c<b<a

C.b<c<aD.c<a<h

（答案）C

（解析）

（分析）依据指数函数和对数函数的单调性，利用中间桥0,1去比拟4、氏。的大小关系

（详解）N=Igx为（0,+e）上单调递增函数，则b=lg1<lgl=0,

N=为R上单调递减函数，则c=<］（）=1,且c〉0

由歹=2,为R上单调递增函数，可得q=2：>2。=］，

则b<c<a,

应选：C.

5.排球社的同学为训练动作组织了垫排球比赛，以下为排球社50位同学的垫球个数所做的频率分布直方

图，全部同学垫球数都在5—40之间，估量垫球数的样本数据的75%分位数是（）

A.25B.26C.27D.28

（答案）D

（解析）

（分析）依据频率分布直方图，结合分位数计算公式即可求解.

【详解）由己知，依据频率分布直方图可得：

垫球数在［5,10）的人数为0.01x5x50=2.5,占总数的5%；

垫球数在［10,15）的人数为0.01x5x50=2.5,占总数的5%；

垫球数在［15,20）的人数为0.04x5x50=10,占总数的20%；

垫球数在［20,25）的人数为0.06x5x50=15,占总数的30%；

垫球数在［25,30）的人数为0.05x5x50=12.5,占总数的25%；

垫球数在［30,35）的人数为0.02x5x50=5,占总数的10%；

垫球数在［35,40）的人数为0.01x5x50=2.5,占总数的5%；

0.75-0.6

因为75%分位数位于［25,30）内，由25+5x28,

0.85-0.6

所以估量垫球数的样本数据的75%分位数是28.

应选：D.

6.如图，在矩形中，AB=4,AD=3,M,N分别为线段8C,0c上的动点，且MN=2,则

A.25-772B.15C.16D.17

（答案）B

（解析）

（分析）以A为原点，建立适当的直角坐标系，设依据MN的长度得到

的坐标，利用平面向量的数量积的坐标表示得到万7.丽关于。的三角函数表达式，利用辅助角公式化

简，并利用三角函数的性质得到最小值.

（详解）以4为原点，48所在的直线为x轴，所在的直线为y轴建立平面直角坐标系X0,设

则”(4,3-2sin。),N=(4-2cos仇3)

AM•ZN=(4,3-2sin6)・(4-2cos，,3)=25-6sin8-8cose,

即初•丽=25—lOsin(，+0)其中sin。=—,cos°AM-AN>\5.

4_____

0+（P——时取"=",所以的最小值为15,

故答案为：15.

7.七巧板，又称七巧图、智慧板，是中国古代劳动人民的创造，其历史至少可以追溯到公元前一世纪，到

了明代根本定型，于明、清两代在民间广泛流传.某同学用边长为4dm的正方形木板制作了一套七巧

板，如下图，包含5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形.假设该同学从5个三角形中任取

出2个，则这2个三角形的面积之和不小于其它3个三角形面积之和的概率是（）

（答案）D

（解析）

（分析）先逐个求解全部5个三角形的面积，再依据要求计算概率.

（详解）如下图，AADO,GABO,△G"。，GBEF,△MC户的面积分别为

S△血=；x4x4=4,S^CHO=S^BEF=lxix4x4=l,S^MCF=ix1x4x4=2.

将△ZZ>O，口Z8。，△G"。，UBEF,△MC户分别记为邑，邑，S4,S5,从这5个三角形

中任取出2个，则样本空间

个样本点.

记事件N表示“从5个三角形中任取出2个，这2个三角形的面积之和不小于其它3个三角形面积之

和"，则事件N包含的样本点为⑸也），⑸㈤），⑸㈤），共3个，所以。（%）=历.

应选：D.

M为的中点，将口〃〃©,△3A/C分别沿MZ）,MC折起，使M4,

八四重合，得到一个四面体，则该四面体外接球的外表积为（）.

76%D19店i兀

A.——B.48万C.8U

3'-9~

（答案）A

（解析）

（分析）先推断出朋》_L平面Z8,ZUC。为等边三角形.利用球内截面的性质，过ZUC。的中心。/作平

面的垂线//,过线段/C的中点Q作平面牍/C的垂线小记4门/2=。，则。即为三棱锥M一

ACD外接球的球心.利用勾股定理求出半径R,即可求出外接球的外表积.

（详解）如下图，

由图可知在四面体力-CD例中，由正方形为的中点，可得M4L4。，MALAC,ACDAD=A,

故平面ACD.

将图形旋转得到如下图的三棱锥M-ACD,其中△NCD为等边三角形，过△/CD的中心O/作平面ACD的

垂线/”过线段MC的中点Q作平面M4c的垂线以由球内截面的性质可得直线//与b相交，记

4门4=。，则。即为三棱锥M-ACD外接球的球心.

2

设外接球的半径为R，连接OC,O/C,可得。。=一产。。=1.

19

在Rtzxoo,c中，oc?=oo；+oQ=5=R：,

故该外接球的外表积s=4万R2==差%.

33

应选：A.

二、选择题：本大题共4小题，每题5分，共20分.在每题给出的四个选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得5分，局部选对的得2分，有选错的得。分.

9.以下对各事件发生的概率推断正确的选项是（）

A.连续抛两枚质地均匀的硬币，有3个根本领件，出现一正一反的概率为！

3

B.每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，例如12=5+7,在不超过15的素数中随机选取两个不

同的数，其和等于14的概率为'

C.将一个质地均匀的骰子先后抛掷2次，记下两次向上的点数，则点数之和为6的概率是』

36

D.从三件正pin、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正pin的概率是3

（答案）BCD

（解析）

（分析）A.列举全部的根本领件，得到概率，推断选项；B.首先列举素数，再依据组合数，写出概率；C.

列举满足条件的根本领件，求概率；D.依据组合数写出概率，推断选项.

（详解）A.连续抛两枚质地均匀的硬币，有4个根本领件，包含两正，两反，先反再正，先正再反，出现

21

一正一反的概率？=一=一，故A不正确；

42

B.不超过15的素数包含2,3,5,7,11,13,共6个数字，随机选取两个不同的数字，和等于14的包含（3,11）

C11

,则概率为P=衣=正，故B正确;

C.将一个质地均匀的骰子先后抛掷2次，共36种情况，点数之和为6包含

（1,5）,（2,4）,（3,3）,（4,2）,（5,1）,共5种，所以点数之和为6的概率尸=当，故C正确;

D.由题意可知取出的产品全是正pin的概率P故D正确.

2

（点睛）此题考查古典概型，列举法，组合数，属于根底题型，此题的关键是正确列举全部满足条件的根

本领件.

10.已知函数/（x）为R上的奇函数，g（x）=/（x+l）为偶函数，以下说法正确的有（）

A./(x)图象关于直线x=—1对称B.g(2023)=0

C.g(x)的最小正周期为4D.对任意xeR都有/(2-x)=/(x)

(答案)ABD

(解析)

(分析)由奇偶性知/(x)的对称中心为(0,0)、对称轴为x=l,进而推得/(4+x)=/(x),即可推断

各选项的正误.

(详解)由/(x)的对称中心为(0,0),对称轴为x=l,

则/(x)也关于直线x=—1对称且/*)=/(2-x),A、D正确，

由A分析知：/(x)=/(2-x)=-/(-x),故/(2+x)=—/(x),

所以/(4+x)=-/(2+x)=/(x),

所以/.(x)的周期为4,则g(2023)=/(2024)=/(0)=0,B正确；

但不能说明/(x)最小正周期为4,C错误；

应选：ABD

11.在长方体/sc。-44GA中，卜邳=|4D|=1,|四|=2,动点p在体对角线8"上(含端点),则

以下结论正确的有()

A.当P为5"中点时，ZAPC为锐角

B.存在点P,使得BD]±平面APC

C.|4P|+|PC|的最小值2石

D.顶点8到平面4PC的最大距离为在

2

（答案）ABD

（解析）

（分析）如图，以点。为原点建立空间直角坐标系，设8。=/15。（04/141）,当P为5"中点时，依

PAPC

据

cosN/PC=网|_।.因推断cosNXPC得符号即可推断A；当84，平面4PC,则

则有—_o,求出丸，即可推断B；当8。J_ZP,8A_LCP时,

|/P|+|Pq取得最小值，结合B即可推断C；利用向量法求出点5到平面4PC的距离，分析即可推断D.

（详解）解：如图，以点。为原点建立空间直角坐标系,

设8P=/l8A(0W/l41),

则/(1,0,0),8(1,1,0),C(0,1,0),R(0,0,2),

则西=(一1,一1,2),故即=/1西=(-4-42孙

则万=荔+丽=(0,1,0)+(-422)=(_41一42/1),

而=赤+而=(1,0,0)+(-4-42X)=(1-4,-2,24),

对于A,当尸为8功中点时,

则万=卜；,利,屈=c）,

-fl1、

则尸/=|不一不-1Ui

(22)

PAPC>0

所以i

cosZ.APCHR

所以N/PC为锐角，故A正确;

当BR_L平面4PC,

因为ZP,CPu平面ZPC,所以8。_LCP,

牙=+1+42=0

解得2=，,

•CP=Z-l+/l+4/l=06

故存e在点P,使得8。，平面ZPC,故B正确;

对于C,当84LC尸时，HP|+|PC|取得最小值,

由B得，此时2=，,

6

则正15ncpji_in

6’6'3『(6’6’3)

即\AP\+|PC|的最小值为等，故c错误;

对于D,方=（0,1,0）,就（一1,1,0）,

设平面4PC的法向量〃=（x,y,z）,

n-AC=-x+y=0

"有W-T4P=-2X4-(1-2)+2/IZ=0"

可取〃(24,24,24—1),

AB-n

则点B到平面APC的距离为画•辰（画分=

TV1222-4A+1，

当2=0时，点8到平面ZPC的距离为0,

当0<441时,

当且仅当％=g时，取等号,

所以点8到平面APC的最大距离为注，故D正确.

2

应选：ABD.

12.已知a>0,b>0,以下命题中正确的选项是（）

A.“6+9+/：”的最小值为2

“+9

B.假设ab-a-26=0,则a+228

14

C.假设a+b=2,则一+;29

ab

D.假设一二+：1；=［，则ab+a+6214+6指

a+1b+23

（答案）BD

（解析）

（分析）求得JF+9+/—最小值排解选项A；求得a+25最小值选B；求得l+3最小值排解选

Vx+9ab

项C；求得ab+a+b最小值选D.

（详解）选项A：%=42+9«23），则G+9+/:=Z+；

\lx+9t

令歹=工+!（工23）,则丫=乂+,在［3,+8）上为增函数，则歹

xxx3

故正+9+/—=t+：2孚，则6+9+J——最小值为—.推断错误；

选项B：由a>0,b>0,=0可得〃+26=,

a+2b2

则2（〃+26）=2abW（当且仅当a=2b=4时等号成立）,

2

解之得Q+2b28.推断正确；

选项C：。>0,b>0,a+b=2,

a+b1“b4。、、1“.b4a9

二卡片了）町（5+2

abyah)~a~~b2

4149

(当且仅当b=2a=-时等号成立)，则一+72.推断错误；

3ab2

选项D：由」一+」一=,，可得3(a+l)+3(b+2)=(a+l)(b+2),

a+\b+23

2b+7

则a=-----,又a〉0,b〉0,则6>1

b-1

nil,,26+7,2b+7,2〃+96+7

则Q6+Q+6=-------b+-----+b=-----------+b

b-\b-\b-1

2—13（1）+18+.*生+14*6指

b-\''b-\

（当且仅当6=遥+1时等号成立），故有46+”+6214+66.推断正确.

应选：BD

三、填空题：此题共4小题，每题5分，共20分.

13.设1,分别为两条异面直线〃?，"的方向向量，且cos•,0=-*，则异面直线），〃所成的角

为.

（答案）^兀-71i300

66

（解析）

（分析）依据异面直线的夹角与方向向量夹角之间的关系，结合题意，即可求得结果.

（详解）由题意35（1,^）=一立，故可得的夹角为150。，

7T

故加，〃所成的角为180°—150。=30。=—.

6

7T

故答案为：-

6

14.已知向量£,B满足Z=（i,i,、/5）,忖=2,且|£+.=百|£—则£+刃在£上的投影向量的坐标为

（解析）

（分析）对归+可=6~-可两边平方后得到＞3=2,代入投影向量的公式进行求解即可.

（详解）卜+,=6卜一.两边平方化简得：2万2-8心5+2庐=0,①

因为£=（1,1,正），所以同=Jl+l+2=2,

又忖=2,代入①得：8-8鼠5+8=0,解得：＞3=2，

所以Z+3在£上的投影向量坐标为

15.假设Vxe1,2,不等式2-一只0818+办＜°恒成立，则实数〃的取值范围为.

（答案）（一°°,-5）

（解析）

（分析）别离参数，将恒成立问题转化为函数最值问题，依据单调性可得.

（详解）因为Vxe-,2,不等式“-xlogix+ax＜0恒成立，

22

所以"<1。8』“一2》对7%€152恒成立.

212_

记/(x)=log；x—2x,xe1,2,只需”/⑴…

因为y=bg[X在xe上2上单调递减，y=-2x在xw1,2上单调递减,

2|_2J\_2

所以/(x)Tog1x-2x在xJi,21上单调递减,

2\_2_

所以/(Hmm=/(2)=一5,所以。<一5.

故答案为：（一°°,一5）

16.乒乓球被称为中国的“国球"，是一种世界流行的球类体育工程，2023年之后国际比赛用球的直径为

40mm.现用一个底面为正方形的棱柱盒子包装四个乒乓球，为倡导环保理念，则此棱柱包装盒（长方体）外

表积的最小值为cn?.（忽略乒乓球及包装盒厚度）

（答案）256

（解析）

（分析）比拟三种情形下的外表积即可得：一种四个球排列一列，四个球心在同一直线上；第二种四个球

平放，四个球心构成正方形；第三种四个球心构成正四面体.

（详解）设4民。,。是四个球的球心，以下面积单位是an?

（1）43,。,。四点共线,则5=2x42+4x4x16=288.

ABCD

（2）48,。,。四点构成一个正方形，贝US=2X82+4X8X4=256

（3）48,四点构成一正四面体，如图，设£是中心，则平面BCD,AE1BE，

476

=—x4=--AE=

33

正四棱柱为正方体，棱长为半+4,外表积为S=6x14+

=32(5+2向>256,

比拟可得外表积最小值为256c加2.

故答案为：256

四、解答题：此题共6小题，共70分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球.甲先投且先投中者获胜，约定有人获胜或每人都已投球3次时

投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为工，乙每次投篮投中的概率为;，且各次投篮互不影响.

32

(1)求甲获胜的概率；

(2)求投篮结束时乙只投了2个球的概率.

13

(答案)(1〕—

27

⑵—

27

(解析)

(分析)(1)依据互斥事件和的概率公式及独立事件同时成立的概率公式求解即可；

(2)写出投篮结束时乙只投了2个球的事件，由互斥事件的和的概率公式，独立事件概率公式求解.

(小问1详解)

设4,舔分别表示甲、乙在第上次投篮时投中，则0(4)=1，=(k=l,2,3),记“甲获胜”

为事件c,则P(C)=p(4)+?(地/)+尸(444区4)

=P(4)+P(Z)P(A)P(4)+P(N)P(A).P(Z)P(瓦)P(4)

1211<2Yfl?113

3323UjUj327

(小问2详解)

记“投篮结束时乙只投了2个球”为事件D.

则P(。)=P^AlBlA2B2^+A2B2A3)

=尸(彳)尸(瓦)尸(4)尸(员)+尸(4)尸(瓦)•尸(Z)P(瓦)P(4)

=[1卜]{1+如出4=。

18.如图截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产生的

多面体.如图，将棱长为3的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到全部棱长均为1的截角四面

体.

人

[1〕该截角四面体的外表积；

[2]该截角四面体的体积.

（答案）（1）773;

（2）速

12

（解析）

（分析）（1）求出截角四面体一个的正六边形、正三角形的面积即可求解作答.

（2）求出原正四面体和截去的一个正四面体的体积，再用割补法求解作答.

（小问1详解）

依题意，该截角四面体是4个边长为1的正三角形和4个边长为1的正六边形围成,

截角四面体中，正三角形的面积¥=1x1x1x3=41,

1224

边长为1的正六边形的面积S,=6x'xlxlx且=也，

2222

所以该截角四面体的外表积为S=4x也+4x2®=7百.

42

（小问2详解）

该截角四面体是棱长为3的正四面体去掉4个角上棱长为1的正四面体而得，

2

2_逅

_

-X_=

棱长为1的正四面体的高人3_3棱长为3的正四面体的高为3/7=V6，

则棱长为1的正四面体的体积匕▲叉立八旦=包,

34312

棱长为3的正四面体的体积匕=1且X32X#=2也

所以该截角四面体的体积为：2=匕—4匕=2包一4、也=竺也.

2'41212

19.口43。的内角A、B、C所对边的长分别为。、b、C,已知Ga=Gccos8+bsinC.

⑴求。的大小；

[2]假设口46。为锐角三角形且°=6,求/+〃的取值范围.

71

（答案）（1）c=j

3

（2）（5,6]

（解析）

（分析）（1）利用正弦定理边化角，再分析求解即可；

（2）/+〃=4sin2/+4sin2，+。），再利用三角函数求值域即可.

（小问1详解）

由43a=J3ccos8+6sinC及正弦定理可得

sin5sinC+V3cos8sinC=Gsin/二百sin（5+C）=V3sinBcosC+V3cos8sinC，

所以sinBsinC=GsinBcosC，

因为8、CG（0,^）,则sin8〉0,V3cosC=sinC>0，则tanC=VJ，故C=。.

（小问2详解）

abcV3n

依题意，UZBC为锐角三角形且。二百，由正弦定理得而彳=忑万=嬴:二耳二，

所以Q=2sin4,6=2sin6=2sin（4+C）=2sin|^+―I,

VJJ

、、1—cos2AH----

所以/+占2=45^2/+4sin2(4+：1l-cos2/I3J

|=4x------------+4x--------------------

J22

=2-2cos2/+2-2cos[2Ad-------(1、

4—2cos2A—2—cos271------sin2,A

I3)

\227

=4-2cos2A+cos2A+y/3sin2A=V3sin2A-cos2/+4=2sin(24-己)+4,

0<A<-

2万2ATIZdA冗

由于4+8=—,所以c，解得二<>

3c2万“万62

0<----A<—

32

所以^<2A-^<^-,所以si:fo«|

所以2sin12/-高e(1,2],所以2sin(2/―看J+4e(5,6].

所以/+〃的取值范围是(5,6].

20.如图，在长方体/8CC-4BCQ中，AB=2BC=2AA「P为同用的中点.

(1)证明：DP工平面BPCi；

(2)求二面角P—8G-4的正弦值.

(答案)(1)见解析(2)在

9

(解析)

(分析)(1)由向量法结合判定证明即可；

(2)由向量法得出面角P-8CI-4的正弦值.

(小问1详解)

以点。为坐标原点，建立空间直角坐标系，如以下图所示

设=2BC==2,则A(l,0,0),5(1,2,0),C(0,2,0),D(0,0,0)

4(1,0,1),5,(1,2,1),C,(0,2,1),Z),(0,0,l),P(l,l,l)

vDP=(1,1,1),BP=(Q-1,1),BC；=(-1,0,1)

扬丽=-1+1=0,而•苑=T+l=0

：.BPA.DP,DPYBC,

又BPcBC]=B,：.DP上平面BPC]

(小问2详解)

由(1)可知，平面BOG的法向量为加=(1,1,1)

设平面48G的法向量为n=(x,y,z),AXB=(0,2,-1)

n-AB=O2y-z=0

x令z=2,可得力=(2,1,2)

nBCx=O[-x+z=O

n~DP_2+1+2_573

cos(n,DP

\n\\DP\~y/3xy[9~9

V6

故二面角P-BC}-A,的正弦值为

9

21.为了弘扬中华民族传统文化，某中学高二年级举行了“爱我中华，传诵经典”的考试，并从中随机抽

取了60名学生的成绩(总分值100分)作为样本，其中成绩不低于80分的学生被评为优秀生，得到成绩

(1)假设该年级共有1000名学生，试利用样本估量该年级这次考试中优秀生人数；

(2)试估量这次参加考试的学生的平均成绩(同一组数据用该组区间中点值作代表)：

(3)假设在样本中，利用分层抽样从成绩不低于70分的学生中随机抽取6人，再从中抽取2人赠送一套

国学经典典籍，试求恰好抽中2名优秀生的概率.

（答案）（1）300A；（2）72.5；⑶1.

（解析）

（分析）（1）由直方图知，样本中数据落在［80,100）的频率为0.3,由此能估量全校这次考试中优秀生人

数；

（2）将每个矩形底边的中点值乘以矩形的面积，再将所得结果相加即可得出样本数据的平均数；

⑶由分层抽样可知成绩在［70,80）、［80,90）、［90,100］间分别抽取了3、2、1人，记成绩在

［70,80）的3人为。、b、c,在［80,90）的2人为A、B,在［90,100］的I人记为C,列出全部的根本领

件，利用古典概型的概率公式可求出所求事件的概率.

（详解）（1）由直方图知，样本中数据落在［80,100）的频率为：0.2+0.1=0.3,

则估量全校这次考试中优秀生人数为：1000x0.3=300人；

（2）该样本数据的平均数为：

x=45x0.05+55x0.15+65x0.2+75x0.3+85x0.2+95x0.1=72.5，

估量全部参加考试的学生的平均成绩为72.5；

（3）由分层抽样可知成绩在［70,80）、［80,90）、［90,100］间分别抽取了3、2、1人，

记成绩在［70,80）的3人为。、b、c,在［80,90）的2人为A、B,在［90,100］的1人记为C,

则6人中抽取2人的全部情况有15种，分别为：

｛a,b｝、｛a,c｝、｛b,c｝、｛a,A］,｛a,5｝、｛a,C｝>［b,A］>｛6,6｝、｛b,C｝、｛c,4｝、｛c,B｝、

｛c,C｝、｛43｝、｛4C｝、｛民C｝,

记抽取2人为优秀生为事件E,则事件£包含的根本领件有：｛4耳、｛4。｝、｛B,C