2024届高考物理第一轮复习重难点练习：第一章 强化二　追及相遇问题

专题强化二追及相遇问题

【目标要求】1.掌握处理追及相遇问题的方法和技巧2会在图像中分析追及相遇问题.3.熟练

运用运动学公式结合运动学图像解决追及相遇的综合问题.

题型一追及相遇问题

追及相遇问题的实质就是分析两物体在相同时间内能否到达相同的空间位置.追及相遇问题

的基本物理模型：以甲追乙为例.

1.二者距离变化与速度大小的关系

(1)无论。中增大、减小或不变，只要。，阵。乙，甲、乙的距离就不断增大.

(2)若。甲=。乙,甲、乙的距离保持不变.

(3)无论。邛增大、减小或不变，只要。单>。乙，甲、乙的距离就不断减小.

2.分析思路

可概括为“一个临界条件”“两个等量关系”.

(1)一个临界条件：速度相等.它往往是物体间能否追上或两者距离最大、最小的临界条件，

也是分析、判断问题的切入点；

(2)两个等量关系：时间等量关系和位移等量关系.通过画草图找出两物体的位移关系是解题

的突破口.

3.常用分析方法

(1)物理分析法：抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，挖掘题目中

的隐含条件，建立物体运动关系的情境图.

(2)二次函数法：设运动时间为根据条件列方程，得到关于二者之间的距离At与时间r的

二次函数关系，Ax=O时，表示两者相遇.

①若△>(),即有两个解，说明可以相遇两次；

②若A=0,一个解，说明刚好追上或相遇；

③若△<(),无解，说明追不上或不能相遇.

当'=一昱时，函数有极值，代表两者距离的最大或最小值.

(3)图像法：在同一坐标系中画出两物体的运动图像.位移一时间图像的交点表示相遇，分析

速度一时间图像时，应抓住速度相等时的“面积”关系找位移关系.

4.常见追及情景

⑴速度小者追速度大者：当二者速度相等时，二者距离最大.

⑵速度大者追速度小者（避碰问题）：二者速度相等是判断是否追上的临界条件，若此时追不

上，二者之间有最小值.

物体8追赶物体A：开始时，两个物体相距沏，当%=%时，若油>以+&，则能追上；若

XB=XA+XO,则恰好追上；若X8<XA+XO，则不能追上.

特别提醒：若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断被追上前该物体是否已经停

止运动.

【例1】一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以〃=3m*的加速度开始加速行驶,

恰在这时一辆自行车以6m/s的速度匀速驶过，从后边超过汽车.则汽车从路口启动后，在

追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时两车的距离是多少？

答案2s6m

解析解法一（分析法）：汽车与自行车的速度相等时相距最远，设此时经过的时间为f,两车

间的距离为Ax,则有v=at

v1

所以f=Z=2s,Ax="-/af0=6m.

解法二（二次函数法）：设汽车在追上自行车之前经过时间t两车相距最远，则\x=vt—^ai1

代入已知数据得Ar=6/一1

由二次函数求极值的条件知：，=2s时，Ax有最大值为6m

所以f=2s时两车相距最远，为6m.

解法三（图像法）：自行车和汽车的o一，图像如图所示，由图可以看出，在相遇前，人时刻两

车速度相等，两车相距最远，此时的距离为阴影三角形的面积，V]=6m/s

所以有人="=§s=2s,

v\t\6X2

Ax=^-=2m=6m.

【例2】汽车A以外=4m/s的速度向右做匀速直线运动，发现前方相距x°=7m处，有以办

=10m/s的速度同向运动的汽车3正开始刹车做匀减速运动直到静止后保持不动，其刹车的

加速度大小。=2m*.从刚刹车开始计时.求：

（1）4追上3前，A、B间的最远距离；

⑵经过多长时间A恰好追上B.

答案(1)16m(2)8s

解析汽车A和B的运动过程如图所示.

一()$)一一________________________________________________________________

I4a\B\V=VA

I:一()X)一一(斗》一

-------

XB27=()

r/-Ax

yj____

⑴当A、8两汽车速度相等时，两车间的距离最远，即如一，"=办，解得，=3s

此时汽车A的位移xA=VAt=12m

汽车B的位移6一%产=21m

故最远距离AXmax=XB+XO-XA=16Hl.

(2)汽车8从开始减速直到静止经历的时间

运动的位移物'=五=25m

汽车4在4时间内运动的位移

XA'=iWi=20m

此时相距\X=XR,+xo—XAf=12m

汽车A需再运动的时间t2=~=3s

VA

故A追上B所用时间/总=力+尬=8s.

［拓展延伸］(1)若某同学应用关系式VBt-^aP+x^VAt,解得经过t=7s(另一解舍去)时A恰

好追上B.这个结果合理吗？为什么？

(2)若汽车A以外=4m/s的速度向左匀速运动，其后方相距x«=7m处，有以Ob=10m/s的

速度同方向运动的汽车B开始刹车做匀减速运动直到静止后保持不动，其刹车的加速度大小

为“=2m/s2,则经过多长时间两车恰好相遇？

答案见解析

解析(1)这个结果不合理，因为汽车B运动的时间最长为r=^=5s<7s,说明汽车A追上8

时汽车B已停止运动.

2

(2)由位移时间关系公式有：VBt—^at=x0+vAt,解得八=(3—也)s,f2=(3+&)s.

【例31(2023•江西赣州市高三模拟)在赣州市南河大桥扩建工程中，双向桥梁已完成了某一通

车方向的建设，为保持双向车辆正常通行，临时将其改成双向车道.如图所示，引桥与桥面

对接处，有两车道合并一车道的对接口，A、8两车相距必=4m时，B车正以g=4m/s速

度匀速行驶，A车正以vA=lm/s的速度借道超越同向行驶的B车，此时A车司机发现前方

距离车头s=16m处的并道对接口，A、B两车长度均为£=4m,且不考虑A车变道过程的

影响.

(1)若A车司机放弃超车，且立即驶入与8车相同的行驶车道，A车至少以多大的加速度刹车

匀减速，才能避免与8车相撞.

(2)若A车司机加速超车，A车的最大加速度为a=3m/s2,请通过计算分析A车能否实现安

全超车.

o

答案(1)1m/s2(2)见解析

解析(1)A车减速到与8车同速时，若恰未与B车相碰，则A车将不会与B车相碰，设经历

的时间为t,则4车位移为|=上手与①

B车位移XR=VBt®

XA-XB=SQ®

Q

由①②③式联立解得t=-S

则A车与3车不相碰，刹车时的最小加速度

VA-VB7—4「9

4min=---=~~^~m/s-=gm/s。

3

(2)设A车加速/时间后车尾到达5车车头，则so+2L=。/+5/2一0/，解得/=2s

在此时间内，A车向前运动了用］=。/'+^atr2

计算可得XAI=20m>s=16m,说明在离并道对接口16m的距离上以3m/s2的加速度加速不

能实现安全超车.

题型二图像法在追及相遇问题中的应用

1.x-r图像、。一，图像中的追及相遇问题：

(1)利用图像中斜率、面积、交点的含义进行定性分析或定量计算.

(2)有时将运动图像还原成物体的实际运动情况更便于理解.

2.利用v-t图像分析追及相遇问题：在有些追及相遇情景中可根据两个物体的运动状态作

出。一「图像，再通过图像分析计算得出结果，这样更直观、简捷.

3.若为x-f图像，注意交点的意义，图像相交即代表两物体相遇；若为图像，可转化

为v-t图像进行分析.

考向1x-f图像、。一r图像中的追及相遇问题

m41(2023•山东泰安市月考)如图所示为甲、乙两车在平直公路上做直线运动的位移一时间

(x—r)或速度一时间(。一。图像，力时刻两车恰好到达同一地点.关于两车在外〜/2时间内的运

动，下列说法正确的是()

A.若是x-f图像，则当甲车速度为零时，两车的距离最大

B.若是x-f图像，则甲、乙两车的速度相等时，两车间的距离最小

C.若是。一，图像，则两车间的距离先增大后减小

D.若是。一r图像，则两车间的距离不断增大

答案D

解析若是x-r图像，当甲、乙两车的速度相同时，相对速度为零，距离最远，故A、B错

误；若是0—1图像，因为图像与横轴所围图形面积表示位移，则在。〜f2时间内，两车间的

距离不断增大，故C错误，D正确.

【例5】(多选)甲、乙两车在平直公路上同向行驶，其。一，图像如图所示.已知两车在f=3s

时并排行驶，贝1()

A.在r=ls时，甲车在乙车后

B.在f=0时，甲车在乙车前方7.5m处

C.两车另一次并排行驶的时刻是f=2s

D.甲、乙车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为40m

答案BD

解析根据o-f图像知，甲、乙两车都沿正方向运动.r=3s时，甲、乙两车并排行驶，此

时。甲=30m/s,。乙=25m/s,由。-f图线与时间轴所围“面积”表示位移知，0〜3s内甲车

位移"=卜3X30111=4501,乙车位移xJ=£X3X(10+25)m=52.5m,故f=0时，甲、

乙两车相距&1=》1.一苫甲=7.5m,即甲车在乙车前方7.5m处，选项B正确；0〜1s内，X/

=^X1X10m=5m,xa'=1x1X(10+15)m=12.5m,AA2=XC'~XV'=7.5m=A%i,

说明在f=ls时甲、乙两车第一次并排行驶，选项A、C错误：甲、乙两车两次并排行驶的

位置之间的距离为x=xv—x单'=45m—5m=40in,选项D正确.

考向2利用v-t图像分析追及相遇问题

【例6】假设高速公路上甲、乙两车在同一车道上同向行驶.甲车在前，乙车在后，速度均为

oo=30m/s.甲、乙相距刈=100m,1=0时刻甲车遭遇紧急情况后，甲、乙两车的加速度随时

间变化关系分别如图甲、乙所示.取运动方向为正方向.下列说法正确的是()

a/(ms-2)

5

°S3_9^

-5-----------------------

乙

A.r=3s时两车相距最近

B.f=6s时两车速度不相等

C.f=6s时两车距离最近，且最近距离为10m

D.两车在。〜9s内会相撞

答案C

解析由题给图像画出两车的。一f图像如图所示，由图像可知，f=6s时两车等速，此时距

离最近，图中阴影部分面积表示。〜6s内两车位移之差，Ax=[1x30X3+1x30X(6-3)]m

=90m<xo=lOOm,即两车在f=6s时距离最近，最近距离为尤o—Ax=10m,故A、B错误,

C正确；/=6s时，两车相距10m,且甲车在前、乙车在后，在6〜9s内，甲车速度大于乙

车速度，两车间距离越来越大，故在0〜9s内，甲车一直在前，两车不会相撞，故D错误.

课时精练

过基础落实练

1.（多选）如图，直线a和曲线b分别是在平直公路上行驶的汽车。和6的位移一时间（x—f）图

线，由图可知（）

A.在“时刻，a车追上b车

B.在会时刻，“、b两车运动方向相反

C.在“到。2这段时间内，人车的速率先减小后增大

D.在八到攵这段时间内，人车的速率一直比〃车大

答案BC

解析力时刻，〃、。两车的位置相同，此前a车在前、Z?车在后，此后Z?车在前、a车在后，

因此是人车追上“车.由于x—f图像的斜率表示速度的大小及方向，因此。车速度不变，做

匀速直线运动，b车先做减速运动，速度减至零后又开始反方向做加速运动.打时刻两图像

的斜率一正一负，两车速度方向相反，选项A、D错误，B、C正确.

2.（2023•四川南充市模拟）某车型在红绿灯停启、无保护左转、避让路口车辆、礼让行人、变

道等方面都能无干预自动驾驶.某次试乘时，甲、乙两车同时并排出发，沿着同一平直路面

行驶，它们的速度。随时间/变化的图像如图所示.则下列说法中正确的是（）

A.八〜及时间内，甲、乙两车的加速度不可能相同

B.”〜f2时间内，甲、乙两车间的距离始终增大

C.八〜及时间内，甲、乙两车相遇两次

D.“〜益时间内，甲车的平均速度大于乙车的平均速度

答案D

解析由于。一，图像的斜率表示加速度，则由题图可看出，图线甲的斜率先减小后反向增大,

存在某一时刻图线甲的斜率与图线乙的斜率相同，故在A〜，2时间内，存在甲、乙两车加速

度相同的时刻，A错误；由题图可看出在0〜h时间内，乙的速度一直大于甲的速度，又根

据题知甲、乙两车同时从同一位置出发，则二者距离先增大，且在八时刻乙在甲前面，人后

甲的速度大于乙的速度，则二者越来越近，最后相遇，但甲的速度依然大于乙的速度，则二

者的距离再增大，到会时甲在乙前面，故在“〜f2时间内，甲、乙两车间的距离先减小后增

大，甲、乙两车相遇一次，B、C错误：根据平均速度的计算公式有。="由于v-t图像

与横轴围成的面积表示位移，则在〜々时间内，x,>JCc,则甲车的平均速度大于乙车的平

均速度，D正确.

3.（多选）在2017年匈牙利航海模型帆船项目世界锦标赛上，中国选手获得遥控帆船（F5-10）

冠军.若。、〃两个遥控帆船从同一位置向同一方向做直线运动，它们的。一/图像如图所示,

则下列说法正确的是（）

A.。船启动时，。船在其前方2m处

B.运动过程中，6船落后”船的最大距离为1.5m

C.匕船启动3s后正好追上a船

D.b船超过a船后，两船不会再相遇

答案BCD

解析根据。一£图线与时间轴包围的面积表示位移，可知匕在r=2s时启动，此时a的位移

为x=^X2X1m=1m,即a在人前方1m处，故A错误；两船的速度相等时相距最远，最

大距离为Ar=；X（l+3）Xlm-〈XlXlm=1.5m,故B正确；由于两船从同一地点向同一

方向沿直线运动，当位移相等时两船才相遇，由题图可知，6船启动3s后位移电=gx（l+

3）X2m=4m,此时a的位移x“=；X（5+3）义1m=4m,即》刚好追上a,故C正确；人船

超过a船后，由于人的速度大，所以不可能再相遇，故D正确.

4.（多选）近期，一段特殊的“飙车”视频红遍网络，视频中，一辆和谐号动车正和一辆复兴

号动车互相追赶（如图甲）.两车并排做直线运动，其。一/图像如图乙所示，1=0时，两车车

头刚好并排，贝W）

甲乙

A.10s末和谐号的加速度比复兴号的大

B.图乙中复兴号的最大速度为78m/s

C.0到32s内，在24s末两车车头相距最远

D.两车头在32s末再次并排

答案BC

72_601

解析。一1图像的斜率表示加速度，可得和谐号的加速度为〃i=-24—m/s2=gm/s?,复兴

号的加速度为m/s2=^m/s2,则10s末和谐号的加速度比复兴号的小，故A错

误；题图乙中复兴号的最大速度为。m=72m/s+〃2><（32—24）m/s=78m/s,故B正确；因f

=0时两车车头刚好并排，在。到24s内和谐号的速度大于复兴号的速度，两者的距离逐渐

增大，速度相等后两者的距离缩小，则在24s末两车车头相距最远，故C正确；由o—/图

像中图线与f轴所围的面积表示位移，则在0〜24s两者的最大距离为八¥=父亚|一■-m=

48m,而在24〜32s内缩小的距离为Ax'=°二72）,（32-24）m=24m<Ax,即32s末复

兴号还未追上和谐号，故D错误.

5.（多选）（2023•福建省三明一中模拟）甲、乙两车在平直的公路上同时从同一地点同向行驶，两

车的速度。随时间，的变化关系如图所示，其中两阴影部分的面积相等⑸=S）,则（）

A.甲、乙两车均做直线运动

B.在0~玄时间内，甲、乙两车相遇两次

C.在0〜打时间内，甲的加速度先减小后增大

D.在0〜&时间内（不包括及时刻），甲车一直在乙车前面

答案AD

解析甲、乙两车均做直线运动，A正确；从图像可知，在0〜f2时间内，甲、乙两车图线与

f轴所包围的“面积”相等，即两车的位移相等，所以这时刻，甲、乙两车相遇且只相遇一

次，B错误：在0〜介时间内，甲车的0—f图线斜率不断增大，所以加速度不断增大，C错

误；在0〜々时间内（不包括12时刻），甲车图线与/轴所包围的“面积”大于乙车图线与/轴

所包围的“面积”，即甲车的位移大于乙车的位移，且甲、乙两车在平直的公路上同时从同

一地点出发，所以甲车一直在乙车前面，D正确.

用能力综合练

6.（2023・湖南怀化市模拟）甲、乙两辆汽车同时同地出发，沿同方向做直线运动，两车速度的

平方V2随位移x的变化关系图像如图所示，下列说法正确的是（）

A.汽车甲停止前，甲、乙两车相距最远时，甲车的位移为8m

B.汽车甲的加速度大小为4m*

C.汽车甲、乙在f=4s时相遇

D.汽车甲、乙在x=6m处的速度大小为3m/s

答案A

解析根据v2-v（r—2ax并根据题给图像可推知甲、乙两车的初速度大小分别为vof—6m/s,

uoc=o,02-X图像的斜率的绝对值表示汽车加速度大小的2倍，所以甲、乙两车的加速度

大小分别为。V=2m/s?,ac=1m/s2,且甲做匀减速直线运动，乙做匀加速直线运动，故B

错误；汽车甲停止前，甲、乙两车相距最远时二者速度相同，设共经历时间为小则adi=

Vo^—avh,解得。=2s,此时甲车的位移为x单=如甲力一甲力2=8m,故A正确；甲车总

甲1*Q

运动时间为f2=~=3s,甲停下时位移为9m,而此时乙车的位移为x乙=呼乙*=]m<9m,

所以甲、乙两车相遇一定发生在甲车停下之后，设相遇时刻为/,则有/7匕尸=901,解得/=

3陋s,故C错误：汽车甲、乙在x=6m处的速度大小为v=yj2acx=1\]vov2—2a«>x=2y/3m/s,

故D错误.

7.（2023•浙江省模拟）甲、乙两名运动员在泳池里训练，r=0时刻从泳池的两端出发，甲、乙

的速度一时间图像分别如图甲、乙所示，若不计转向的时间且持续运动，两运动员均可视为

质点，下列说法正确的是（）

A.泳池长50m

B.两运动员一定不会在泳池的两端相遇

C.从(=0时刻起经过1min,两运动员共相遇了3次

D.在0〜30s内，甲、乙运动员的平均速度大小之比为8：5

答案C

解析根据。一/图线与时间轴围成的面积表示位移，可知泳池长度£,=1.25X20m=25m,

故A错误；如图所示，由甲、乙的位移一时间图线的交点表示相遇可知，甲、乙在f=100s

时在泳池的一端相遇，故B错误；在。〜60s内甲、乙相遇3次，故C正确；在0〜30s内，

甲的位移大小为x1=1.25X20m-1.25X10m=12.5m,乙的位移大小为x2=1.0X25m-

1.0X5m=20m,在0〜30s内，甲、乙运动员的平均速度大小之比为s:。2=声-:乎=5:8,

故D错误.

♦x/m

050100150t/s

8.(2023•广东省华南师大附中模拟)如图甲所示，A车原来临时停在一水平路面上，3车在后

面匀速向4车靠近，A车司机发现后启动A车，以A车司机发现B车为计时起点。=0),A、

B两车的。一r图像如图乙所示.已知8车在第1s内与A车的距离缩短了即=12m.

⑴求B车运动的速度办和A车的加速度a的大小.

(2)若A、B两车不会相撞，则A车司机发现B车时。=0)两车的距离刈应满足什么条件？

答案(1)12m/s3m/s2(2)xo>36m

解析(1)在fi=ls时，A车刚启动，两车间缩短的距离为2车的位移，可得xi=vnh,解得

B车的速度大小为OB=12m/s,图像斜率表示加速度，可得A车的加速度大小为〃=一"二，

t2-h

其中B=5S,解得4车的加速度大小为a=3m/s?.

(2)两车的速度达到相同时，两车的距离达到最小，对应o—/图像的攵=5s时刻，此时两车

已发生的相对位移为梯形的面积，则》=士班(八+/2),代入数据解得x=36m,因此，若A、B

两车不会相撞，则两车的距离应满足条件为xo>36m.

9.(2023•山东省实验中学月考)足球比赛中，经常使用“边路突破，下底传中”的战术，即攻

方队员带球沿边线前进，到底线附近进行传中，某标准足球场长105m,宽68m.攻方前锋

在中线处将足球沿边线向前路踢出，足球的运动可视为在地面上做初速度为12m/s的匀减速

直线运动，加速度大小为2m/s2,试求：

5m

10

—底

线

由线

68m

…

••

边线

(1)足球从开始做匀减速运动到停下来的位移为多大；

(2)足球开始做匀减速直线运动的同时，该前锋队员沿边线向前追赶足球.他的启动过程可以

视为初速度为零、加速度为2m/sz的匀加速直线运动，他能达到的最大速度为8