2022-2023学年河南省重点学校高三（上）期末联考数学试卷（文科）（含解析）

2022-2023学年河南省重点学校高三（上）期末联考数学试卷（文

科）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.==（）

i

A.4—3iB.-4+3iC.4+3iD.—4一3i

2.已知集合4={1,2,3},B=那么AUB=（）

A.{3}B.{1,3}

C.[-1,1,2,3）D.{x|-1<x<3}

3.函数〃>）=，炉一4%+3的图象在点（一2,〃-2））处的切线方程为（）

A.2%+y+11=0B.2%4-y—11=0C.2%—y+11=0D.2%-y—11=0

4.从;，J,p±J这五个数中任选两个不同的数，则这两个数的和大于q的概率为（）

Z34□oL

A.得B.|C.iD.|

5.在等差数列{a九}中，已知+。4+。5+=25,那么。4=（）

A.4B.5C.6D.7

6.甲、乙两班各有10名同学参加智力测试，他们的分数用茎叶图表示如下，则下列判断错

误的是（）

甲班乙班

52281~2~3~7

865439259

4110146

A.甲班的分数在100以上的人数比乙班的少B.甲班的极差比乙班的小

C.甲班与乙班的中位数相等D,甲班的平均数与乙班的相等

7.函数/0）=8$2%-6。0525+5的最小值为（）

A.—7B.0C.2D.6

4

8.某多面体的体积是|,其三视图如图所示，则侧（左）视图中的a=（）

1

A.BCD.1

2t-|

9.函数f（X）=COSX+:的图象大致为（）

母线长为中R，其内接圆柱

的底面积与圆锥的底面积之比为9：16,则该圆柱的表面积为（）

A.2nR2

B.lnR2

C.

D.

2

11.^.a=(log23),b=log45-log23,c=2,则()

A.a>c>bB.a>b>cC.b>a>cD.c>b>a

12.国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图1所示，内、外两圈的钢骨架是由两个离心率

相同的椭圆组成的对称结构,某校体育馆的钢结构与“鸟巢”类似，其平面图如图2所示，已

知外层椭圆的长轴长为200米，且内、外椭圆的离心率均为?，由外层椭圆长轴的一个端点力

向内层椭圆引切线AC,若4C的斜率为a则内层椭圆的短轴长为（）

图I图2

A.75米B.50，1米C.50米D.25，9米

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.已知向量1=（2/c-4,3）,方=（-3,k），若五J.石,则实数%的值为一.

14.圆心与圆产+y2+2%+8y+6=0的圆心重合，且过点（一2,1）的圆的方程为一.

15.分别过双曲线C；卷一3=1。＞0）的左、右顶点作C的同一条渐近线的垂线，垂足分

别为P,Q,若|PQ|=3,则双曲线的离心率为—.

16.如图所示，在△ABC中，已知"=今D,E,F分别在边AC,BC,AB上，且

△OEF为等边三角形.若4。=CD=2,则4DEF的面积为一.

三、解答题（本大题共7小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本小题12.0分）

近年来，医保政策不断完善，报销比例越来越高，受到市民的欢迎，但是由于特殊药品还有

很多没有纳入医保，所以也引起了部分市民的不满，对某大型社区进行医保满意度调查，制

作了如下2x2列联表.

不满意满意合计

男17

女42

合计100

已知从样本中的100人中随机抽取1人其满意度为不满意的概率为卷.

(I)完成上面的2x2列联表;

(口)根据2x2列联表，判断是否有90%的把握认为是否满意与市民的性别有关.

n(ad-bc)2

附：2其中九=a+b+c+d.

K=(a+h)(c+d)(a+c)(b+d)'

P(K2>fc)0.100.010.001

fc2.7066.63510.828

18.(本小题12.0分)

已知数列｛即｝中，出="且S-=2+《(neN*).

Iottn+lanJ

(I)证明：｛福一4｝是等比数列；

(□)求数列｛；｝的前几项和％.

19.(本小题12.0分)

如图，在正三棱柱4BC-A1B1Q中，AB=4,=3，石，D是AC的中点，点E在BB】上且

2

BE=；BB].

(I)求证：0E1平面41clE；

(n)求点Cl到平面4DE的距离.

20.(本小题12.0分)

已知函数/(x)=哼如，曲线y=f(x)在x=1和lx=-1处的切线互相垂直.

(I)求实数k的值；

(H)令函数g(x)=1-bix)f(x),证明:g(x)<l+2.

21.(本小题12.0分)

已知动点P到直线y=-8的距离比到点(0,1)的距离大7.

(I)求动点P的轨迹方程；

(口)记动点P的轨迹为曲线C,点M在直线k：y=-l上运动，过点M作曲线C的两条切线，切

点分别为4,B,点N是平面内一定点，线段M4NA,NB,MB的中点依次为E,F,G,H,

若当M点运动时，四边形EFGH总为矩形，求定点N的坐标.

22.(本小题10.0分)

在平面直角坐标系xOy中，直线，的参数方程为+为参数)，在以原点。为极点，x轴

正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为p(p-4s讥。)=-3.

(I)求1的普通方程和C的直角坐标方程；

(II)设，和C交于8两点，求AZOB的面积.

23.(本小题12.0分)

己知函数/(%)=2\x+1|+2\x\.

(I)求/(%)的最小值；

(II)设/(工)的最小值为且正实数a,b,c满足a+b+c=m,求证:a3c+b3a+c3b>2abc.

答案和解析

1.【答案】D

27

【解析】解：复数0：立=(2T)xi=_4_

iixi

故选D.

要求两个复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共舸复数，分子和分母上进行复数的乘法运

算，最后结果要化筒成最简形式.

本题考查复数的代数形式的乘除运算，是一个基础题，这种题目运算量不大，解题应用的原理也

比较简单，是一个送分题目.

2.【答案】C

【解析】解：集合4={1,2,3},B=[-1,3,1),

则4UB={-1,1,2,3}.

故选：C.

根据并集的定义写出4UB.

本题考查了并集的定义与应用问题，是基础题.

3.【答案】C

【解析】解：由/(x)=^炉一4x+3,得/(%)=|%2-4,

...1(-2)=*4-4=2,

又/(一2)=-4+8+3=7,

••・函数f(%)=1x3-4x+3的图象在点(-2处的切线方程y=2(x+2)+7,

即2x—y+ll=O.

故选：C.

求出原函数的导函数，得到函数在x=-2处的导数值，再求出/(-2),利用直线方程的点斜式得

答案.

本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查运算求解能力，是基础题.

4.【答案】D

【解析】解：从事J这五个数中任选两个不同的数，所有的情况有：

23456

（U）＞（U）-（鼻），（另），（另），（U）＞（暴），职），（另），G，》，共io彳

其中两个数的和大于初有：岁，（另），（吴），（另），百，（暴），共6种,

所以所求概率为4=|.

故选：D.

利用古典概型的概率公式求解.

本题主要考查了古典概型的概率公式，属于基础题.

5.【答案】B

【解析】解：在等差数列似九｝中，

。2+。3+。4++。6=5a4=25,解得＜24=5.

故选：B.

根据已知条件，结合等差数列的性质，即可求解.

本题考查等差数列的性质，涉及等差数列的通项公式，属于基础题.

6.【答案】C

【解析】解：由图表看出甲班100分以上的有2人，乙班100分以上的有3人故选项A正确;

甲班的极差104-82=22,乙班的极差106-81=25,故选项B正确；

甲班的中位数为：号史=94.5,乙班的中位数为：等=93.5,故选项C错误；

甲班的平均数为：82+82+85+93+94弥+96+98+101+104=93,乙班的平均数为：

81+82+83+87+92+：；+99+101+1。4+1。6=93,故选项力正确.

故选：C.

根据统计中的极差、中位数、平均数的定义，即可解出.

本题考查了统计与概率的基本概念，学生的数学运算能力，属于基础题.

7.【答案】B

【解析】解：/(%)=cos2%—6cos2]+5=cos2%—3(1+cosx)+5=cos2x—3cosx+2=

(COSX-|)2一

因为cos%6[—1,1],

所以当COST=1时，函数/(%)取得最小值0.

故选：B.

先利用二倍角公式可得f(x)=(cosx-|)2-i,然后转化为二次函数的最值问题即可.

本题主要考查二倍角公式及二次函数的最值问题，属中等难度题.

8.【答案】D

【解析】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为三棱锥4-BCD；

解得：<2=1.

故选：D.

首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步利用几何体的体积公式求出几何体的高.

本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，几何体的体积公式，主要考查学生

的运算能力和数学思维能力，属于基础题.

9.【答案】A

【解析】解：根据题意，f(x)=[cosx+；=*坦，其定义域为{x|x力0},

在区间(0,等上，cosx>-|,有2cosx+l>0,则有/■(%)>(),排除B、D；

在区间,，条上，cosx<-p有2cosx<0,则有f(x)<0,排除C,

故选：A.

根据题意，分析函数在（0,争和片普）上函数值的符号，排除B、C、D,即可得答案.

本题考查函数的图象分析，涉及函数奇偶性的分析，属于基础题.

10.【答案】B

【解析】解：因为圆柱的底面积与圆锥的底面积之比为9：16,

所以圆柱的底面半径与圆锥的底面半径之比为3：4,

所以圆柱的母线长与圆锥的高之比为1：4,

因为圆锥的底面半径为R,母线长为，诃R,所以圆锥的高为J（，玉/?）2一=3R，

所以圆柱的底面半径为弓凡母线长为^R,

44

所以圆柱的表面积为2兀1/?弓/?+[/?）=3兀产.

故选：B.

根据底面积之比可得半径之比，进一步得到母线长与圆锥的高之比，最后根据圆柱表面积公式计

算即可.

本题考查圆柱表面积的有关计算，圆锥的结构特征，考查运算求解能力，属于基础题.

11.【答案】A

【解析】解:因为a=(log??)?>(/og22，②2=©2=*,所以a>c；

(3+/g5)zQgl6)z2

因为6=*5・脸3=接聋＜4v-4(T2)_所以C>b,

2ag2)z2«g2)z2ag2)?

所以Q>c>b.

故选：A.

根据对数运算判断即可.

本题主要考查对数运算，属于中档题.

12.【答案】B

【解析】解：内、外椭圆的离心率均为空，设内层椭圆的长半轴、短半轴长分别为a、b，。

2匕

?，所以a=2b,

则内层椭圆方程为：京+，=1,

由外层椭圆长轴的一个端点做一100,0)向内层椭圆引切线4C,4C的方程为：y=-1(x+100),

代入椭圆方程可得：X2+100%+5000-2b2=o,

可得4=10000-4(5000-2b2)=0,解得炉=1250.

所以b=25，。

故选：B.

求出直线方程，设出内层椭圆方程，联立直线与椭圆方程，利用相切时方程有等根，求解内层椭

圆的短轴长.

本题主要考查直线与椭圆的位置关系，考查了转化数学、运算能力，属于中档题.

13.【答案】4

【解析】解：向量五=(2k—4,3),b=(-3,fc)«alb，

则(2k-4)x(-3)+3k=0,解得k=4.

故答案为：4.

根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解.

本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题.

14.【答案】(X+1)2+(y+4)2=26

【解析】解：圆/+y2+2x+8y+6=0,BP(x+I)2+(y+4)2=11,

该圆的圆心为C(-l,-4),

故要求的圆的圆心为C(—1,一4).

再根据要求的圆过点(-2,1),故圆的半径的平方为(—2+I)2+(1+4)2=26,

故要求的圆的方程为(x+I)2+(y+4)2=26.

故答案为：(x+l)2+(y+4)2=26.

由题意，确定圆心和半径，从而求出它的标准方程.

本题主要考查求圆的标准方程，关键是确定圆心和半径，属于基础题.

15.【答案】2

【解析】解：取一条渐近线：y=^x,^bx-ay=O,

则右顶点B(a,O)到该渐近线的距离IBQI=-r===T，

(b

又|PQ|=3,•••|0Q|=|,又|OB|=a,

•••\0B\2=\0Q\2+\BQ\2,

..“2=2+哗，又根据题意可知：

4cL

=Q2+62,=9,

，可得C?=36,

・•・Q=3,c=6,

•••双曲线的离心率为?=2,

故答案为：2.

取一条渐近线：y=2%，设右顶点为8,先求出|BQ|,又易知|0Q|=|,再根据勾股定理建立方程,

解方程组，即可求解.

本题考查双曲线的几何性质，方程思想，化归转化思想，属中档题.

16.【答案】呼

4

【解析】解：设N4FC=a,

.n

A=3>

在△4F0中，+a+/.ADF=n,

・••△DE/为等边三角形，

乙EDF=全

•••+乙ADF4-/.CDE=7T,

•••Z.CDE=a,

设CE=%,

在Rt△CDE中，CD=2,

x

则CE=V4+x2,sina=

•••△OEF为等边三角形,

•••DF=DE=V4+x2.

2yj%2+4

在△40尸中，由正弦定理可得，迫=%，即=解得久=/3，

sinasinAI^2+4~

故CE=y/~3,DE=yj~~7，

0E/的面积为:xCx「x?=qi

故答案为：卑.

4

设出CE,推得4口再结合正弦定理，即可取出CE,DE,再结合三角形的面积公式，即可求解.

本题主要考查三角形中的儿何计算，考查转化能力，属于中档题.

17.【答案】解：（I）根据题意：不满意的总人数为100x^=30,

所以完成2x2列联表如下：

不满意满意合计

男172845

女134255

合计3070100

（口）因为腔=100座7卷42京3篇叱々2.375<2.706，

45x55x30x70

所以没有90%的把握认为是否满意与市民的性别有关.

【解析】（I）根据题目所给的数据填写2x2列联表即可；

（11）计算长2,对照题目中的表格，得出统计结论.

本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了计算能力的应用问题，是基础题目.

18.【答案】解：（I）证明：・••3=；+1（"6N*）,

*1anJ

341,8,141.3八

斯+1Qn3331即）y

即5-----4="4-4）,

an+l§an

T73/1

又『-4=-,

3

二层-4｝是等比数列，公比与首项都为全

（11）由（/）可得高一4=（扔,

可得『月产+%

二数歹吟｝的前小项和%=+^=l^n_l（扔+1.

.30/5

【解析［（I）由白=；+^（n6N*）,可得;--4=；+E—4=；一：=口旨一4）,即可证明

%+1an3即+1即3即33an

结论.

（口）由（/）可得:一4=（护，即;=（扪+1+：,利用求和公式即可得出数列｛白的前n项和%.

Cljl5CLJIS5CL）i

本题考查了数列递推关系、等比数列的定义与通项公式及求和公式，考查了推理能力与计算能力，

属于中档题.

19.【答案】证明：（/）如图，连接BD,CQ

由已知可得CD=2,BE=2c,B、E=q,BD=4x?=2二，

所以DE=J(2V^)2+(2<7)2=6,GE=J42+(<7)2=7~22,=I22+(37-6)2=

V-58，

所以DE?+GE2=6。2,所以。ElCiE,

同理DEJ.4E,

又为EnGE=E,所以DE1,平面4GE；

解：(11)在44GE中,GE=AXE=V^2MiCi=4,贝心-遥拉=：x4xJ£=6<2>

在A&DE中，=G。==<^,DE=6，则又4小£=Tx6x

设点G到平面&DE的距离为d,

由V-:棱锥。-4遥述=0-：棱锥G-ADE，得^SAAIGE■DE=1SA41DE-d,

得4x6cx6=1x3V^2xd,

解得d=笔I.

【解析】(I)连接BZ),Ci。，由勾股定理得到DEJ.GE,同理CE，&E,利用线面垂直的判定定

理即可得证：

(口)设点G到平面4DE的距离为d,利用等体积上棱锥0_4修正=上棱锥小”如即可求解.

本题考查了线面垂直的证明和点到平面的距离计算，属于中档题.

20.【答案】解：(I)由题意，函数/(均=与把，可得/(%)=r2+(j”x+k,

则1(1)=；，1(一l)=(2k—3)e,

因为曲线y=〃x)在x=1和久=-1处的切线互相垂直，所以[(1)•((-1)=-1,

即;x(2k-3)e=2fc-3=-l,解得k=1.

(口)由(1)知9(%)=(1—x—久)答匕

设九(%)=1—x—xlnx,则//(%)=—(Inx+2),

当xe(O,曲时,h![x)>0,h(x)单调递增；

当xe(a，+«>)时，/iz(%)<0,h(x)单调递减，

所以/i(x)<八(点)=1+盘'即1—x—xlnx<1+(T),

设9(x)=—(%+1),则"(%)=ex-1,

当%>0时，@'(%)>0,9。)单调递增，

所以当%>0时，<p(x)>(p(0)=0,即竽1<1②，

综合可得(1—久一％仇工)1V1+盘，即g(x)vl+,.

【解析】(I)求得((%)=也专处把，结合((1)•((-1)=一1，列出方程，即可求解；

(□)由(I)得到g(%)=(1-%-久仇式)矍■,设无。)=1一%-无仇》,求得无'(%)=-(m％+2),求

得函数的额单调性，得到九(%)工1+&再设0。)=蜻一(%+1),求得“(X)=e"-1,求得函

数的单调性，证得q<1,即可证得g(x)<1+去成立.

本题主要考查利用导函数研究函数的最值和极值，属于中档题.

21.【答案】解：(I)设动点P的坐标为(x,y),

由己知条件可知，P到F(O,1)的距离与其到直线y=-1的距离相等，

由抛物线的定义可知，P的轨迹为以F(O,1)为焦点，以y=-l为准线的抛物线,

所以P点轨迹C的方程为/=4y；

(U)线段MA,NA,NB,MB的中点依次为E,F,G,H,

则|FG|=\EH\=\\AB\,\EF\=\GH\=^\MN\,

因为四边形EFGH总为矩形，・•.AB1MN,

设M(%o,1),过M作C的切线y=k(x一&)-1,代入/=4y,

可得—4kx+4x0k+4=0,

2

所以4=k—xok-1=0,

xo土J好+4%=y=2k9

k=--------x

y广如一发巧一第)

=^(xA+xBy

XA~XBXA-XB

k

•1•MN=又k=X。士JW+4,X=2k,xA+xB=2x0,

92

MN的直线方程为y=--(%-%o)-1=+1，

x0x0

定点N的坐标为(0,1).

【解析】(I)设出动点P的坐标，结合抛物线的定义可求出动点P的轨迹方程；

(n)由己知可得AB1MN,设M(Xo,1),过河作C的切线y=k(x-x0)-1，进而可得卜_，±J瘟+匕

K-2

x=-=2k,可得直线MN的方程为y=-fx+l,从而可得定点N的坐标.

2x0

本题主要考查了抛物线的定义，考查求定点坐标，考查了转化能力和运算求解的能力，属中档题.

22.【答案】解：(I)由｛；［；+式1为参数)得y=3+x,

故直线1的普通方程是x-y+3=0；

因为曲线C的极坐标方程为p(p-4s讥。)=-3,

即p2—4psin6+3=0,

将f代入上式得，x