四川2023年大专生专升本数学考试及答案 (四)

普通高等学校招生全国统一考试

数学

（满分150分，考试时间120分钟）

一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）

1.复数i（l+'）2=（）

A.1+，B.T+iC.-2D.2

i

2.已知全集。=R,集合<={x|-2<x<2},B={x|x-2x<0}>则405=（）

A.（0,2）B.（°，2]C.[°，2]D.[°，2）

3.已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x>0时，〃x）=2、-3,则/（-2）=（）

A.1B.4c.-1D.；

4.已知平面向量Z=（L-3）/=（4,-2）,若苏与々垂直，则4=（）

A.-1B.1C.-2D.2

5.若曲线〃x）=x4—x在点P处的切线平行于直线3X7=0,则点P的坐标为（）

A.（L3）B.（T3）C.（1，。）D.（T0）

6.函数%唾2无+log，（2x）的值域是（）

A.（一°°，T]B.〔3,+8）Q[-1,3]D.（-8,-1]U[3,+QO）

j_

7.对总数为N的一批零件抽取一个容量为30的样本，若每个零件被抽取的概率为7,

则N的值（）

A.120B.200C.150D.100

什…y=/（x）的图象和卜=5皿》+。的图象关于点尸（£,0）对称，则/'（x）

8.右函数44的表达式是（)

,4、

cos(x+—)-cos(x-----)-cos(x+—)cos(x--)

A.4B.4C.4D.4

9.设的展开式中，二项式系数的和为256,则此二项展开式中系数最小的项

是()

A.第5项B.第4、5两项C.第5、6两项D.第4、6两项

X2______

10.设Fl,F2是双曲线彳一y2=l的两个焦点，点P在双曲线上，且尸片・°耳=0,

则|所|•|丽|的值等于()

A.2B.2四C.4D.8

ll.f(x)=(l+2x)m+(l+3x)n(m,n£N*)的展开式中x的系数为13,则x2的系数为()

A.31B.40C.31或40D.71或80

12.从装有4粒大小、形状相同，颜色不同的玻璃球的瓶中，随意一次倒出若干粒玻

璃球(至少一粒)，则倒出奇数粒玻璃球的概率比倒出偶数粒玻璃球的概率()

A.小B.大C.相等D.大小不能确定

二、填空题(共4小题，每小题5分；共计20分)

1、已知A(l,1)、B(3,2)、C(5,3),若布=/百，贝IJ人为.

二J

2、双曲线2516的两条渐近线方程为.

3.曲线y=3(x2+x)e'在点(0,0)处的切线方程为.

4.记，为等比数列｛斯｝的前〃项和.若d=4,则S5=.

三、大题：(满分70分)

Assin/，

1、在AABC中，已知°=4,C=5,人为钝角，且5,求A、

2、判断函数/(》)=-2》+3在(-00,+00)上是减函数.

3、已知函数f(x：)=x2—2x+2.求f(x)在区间g,3］上的最大值和最小值。

4、已知椭圆。的中心为直角坐标系x。歹的原点，焦点在x轴上，它的一个项点到两个

焦点的距离分别是7和1

（I）求椭圆。的方程

（II）若尸为椭圆。的动点，〃为过尸且垂直于X轴的直线上的点，\OM\

（e为椭圆C的离心率），求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。

5.已知函数式x）=lnx+2x+f（a£R）.

（I）讨论g（X）的单调性；

（II）当°<a<3时，函数fG）rg（xA（"f+2）x2r在其定义域内有两个不同的极值点，

m、1-hn

记作xl,x2,且xlVx2,若mel,证明：X1x2^e.

（x=-2+tcosCI.

6.在直角坐标系xOy中，直线1倾斜角为a,其参数方程为i尸tsina（t为参数）,

在以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中（取相同的长度单位），曲线

C的极坐标方程为P-4cos9=0.

（D若直线1与曲线C有公共点，求直线1倾斜角a的取值范围；

（II）设M（x,y）为曲线C上任意一点，求x+佝的取值范围.

参考答案：

一、选择题:

1-5题答案:CDCBC

6-10题答案:DABDA

11-12题答案:CB

二、填空题：

1

1.2

5

一x

2、4

3.y=3x

121

4.7

三、大题：

cossin2/4~~

1、【解】A为钝角，cosZ<0,由余弦定理/=〃+。2-2bccos/,

可得”而.

2、解・/(X)=-2x+3,XG(-00,4-00)

x

任取玉<工2,且%1、2e(-oo,+oo),有3-X)>0/(Xj)-/(x2)=(-2xl+3)-(-2x24-3)=2(x2-xj>0

/(X1)>/(工2),即在区间(-8,+00)内/(x)是减函数

3、解：Vf(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,xe[1,3],

的最小值是f(l)=l,又fg)=jf(3)=5,

所以，f(x)的最大值是f(3)=5,

即f(x)在区间”，3]上的最大值是5,最小值是1.

4懈：

(I)设椭圆长半轴长及分别为a,c,由已知得

[a+c=7解得2=%=3,

--1---=1.

所以椭圆C的方程为167

（II）设M（x,y）,P（x/）,其中*+4,4].由已知得

22

X+乂=e2.

2

x+y2

而故16，+"）=9,+/）.①

2112-7x2

由点P在椭圆C上得乂=16，

代入①式并化简得9产=U2,

y=i---（—4«xW4）,_

所以点M的轨迹方程为’3轨迹是两条平行于x轴的线段

5.已知函数式x）=Inx+2x咛（a£R）.

（I）讨论g（x）的单调性；

（II）当°<a<十时，函数NX”,晨、）一仔+2八2-、在其定义域内有两个不同的极值点,

1-Hn

记作xl,x2,且xl〈x2,若m21,证明：xix2^e.

9

z/\1,a2x+x-a

g（x；=—n+27=----5---

【解答】解：⑴xX2X2（a£R）,

方程2x2+x-a=0的判别式△=l+8a,

①当a%3时，△wo,g'（X）2o,g（X）在（0,+8）为增函数，

）、1_T71+8a「]+4]+8a

②当a/时，△>（）,方程2x2+x-a=0的两根为X11=4'、2-4,

1A

当8a时，xl〈x2W0,g（X）在（0,+°°）为增函数，

当a>0时，xl<0<x2,g（x）在（x2,+<=°）为增函数，在（0,x2]为减函数，

综上所述：当aWO时，g(x)的增区间为(0,+8),无减区间,

当a>0时，g(x)的增区间为(x2,+8),减区间(0,x2],

a

(II)证明：f(x)=xlnx-2x2-x+a,

所以f(x)=lnx-ax

因为f(x)有两极值点xl,x2,

所以Inx1=ax1,Inx2=ax2,

欲证xl，x2>eI"等价于要证：ln(xi>lne%

即1+m<Inx1+mlnx2,

所以l+m<lnxl+mlnx2=axl+max2=a(xl+mx2)，

因为m2L0<xl<x2,

口:1+m

所以原式等价于要证明：aX1+102.

又Inx1=ax1,Inx2=ax2，

xi

作差得如、2=a(xl-x2),

IXl

In—

X2

所以a=x「X2

1+m<a+m)(x「X2)

—

X]x

所以原式等价于要证明:一叼1+mx2x2xj+inx2

—1nY(1+m)(tT)

令t=X2,(0,1),上式等价于要证：t+m,te(o,1),

(t-1)

令h(t)=lnt

t+m

所建⑴

当m21时，h'(t)>0,

所以h(t)在(0,1)上单调递增，

因此h(t)<h(1)=0,

所以一而—在y(0,1)上恒成立，所以原不等式成立.

fx=-2+tcosO.

6.在直角坐标系xOy中，直线1倾斜角为a,其参数方程为i尸tsina(t为参数),

在以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中(取相同的长度单位)，曲线

C的极坐标方程为P-4cos9=0.

(D若直线1与曲线C有公共点，求直线1倾斜角a的取值范围；

(II)设M(x,y)为曲线C上任意一点，求x+近y的取值范围.

【解答】解：(I)曲线C的极坐标方程为P-4cos0=0.转化为：x2+y2-4x=0,

整理得：(x-2)2+y2=4

曲线C是圆心为C(2,0),半径为