2021-2023年高考数学真题分类汇编15：概率与统计理

专题15概率与统计（理）

近三年高考真题

1.（2023•北京）为了研究某种农产品价格变化的规律，收集到了该农产品连续40天的价格变化数据，如

表所示，在描述价格变化时，用“+”表示“上涨”；即当天价格比前一天价格高，用”表示“下跌”,

（II）假设该农产品每天的价格变化是相互独立的，在未来的日子里任取4天，试估计该农产品价格在这4

天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率；

（III）假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格的影响，判断第41天该农产品价格“上涨”、“下跌”

和“不变”的概率估计值哪个最大.（结论不要求证明）

【解析】（I）由表可知，40天中“上涨”的有16天，则该农产品“上涨”的概率为3=0.4.

40

（II）由表可知，40天中“上涨”的有16天，则该农产品“下降”的概率为〃=0.35,

40

40天中“不变”的有10天，则该农产品“上涨”的概率为3=0.25,

40

则该农产品价格在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率C：x0.4?xC；x0.35xC；x0.25=0.168.

（Ill）由于第40天处于“上涨”状态，从前39天中15次“上涨”进行分析，

“上涨”后下一次仍“上涨”的有4次，概率为

15

“上涨”后下一次“不变”的有9次，概率为3,

5

“上涨”后下一次“下降”的有2次，概率为上，

15

故第41天该农产品价格“不变”的概率估值最大.

2.（2023•甲卷（理））一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只

分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在

正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量(单位：g).

(1)设X表示指定的两只小鼠中分配到对照组的只数，求X的分布列和数学期望；

(2)试验结果如下：

对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为

18.820.221.322.523.225.826.527.530.1

34,334.835.635.635.836.237.340.543.2

试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为

9.211.412.413.215.516.518.018.819.2

20.221.622.823.623.925.128.232.336.5

⑺求40只小白鼠体重的增加量的中位数机，再分别统计两样本中小于〃?与不小于机的数据的个数，完成

如下列联表:

<m..in

对照组

实验组

(方)根据⑴中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量

有差异？

附：K'幽*

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K\.k)0.1000.0500.010

k2.7063.8416.635

【解析】(1)根据题意可得X=O,1,2,

、19

又尸(X=O)=号平=』,

c：。78

P(X-21-C20c2019

",一2)一丁一女

.♦.X的分布列为:

X012

P192019

783978

IQ2019

JE(X)=0X—+lx—+2x—=1；

783978

（2）（i）40个数据从小到大排列后，中位数加即为第20位和第21位数的平均数,

第20位数为23.2,第21位数为23.6,

「23.2+23.63

2

补全列联表为:

<m..m合计

对照组61420

实验组14620

合计202040

（”）由⑺可知犬=竺2f曳=6400>3.841,

20x20x20x20

能有95%的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用.

3.（2022•新高考I）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好

和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的

人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据:

不够良好良好

病例组4060

对照组1090

（1）能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？

（2）从该地的人群中任选一人，A表示事件”选到的人卫生习惯不够良好”，8表示事件“选到的人患有

该疾病，，，畿与然的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标

为R.

㈠）证明："第微.缁詈;

（H）利用该调查数据，给出尸P（A|B）的估计值，并利用（i）的结果给出R的估计值.

n(ad-bc)2

附：K2=

(〃+h)(c+d)(a+c)(h+d)

P(K2..k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【解析】（1）补充列联表为:

不够良好良好合计

病例组4060100

对照组1090100

合计50150200

200x(40x90-10x60)2

计算犬==24>6.635,

100x100x50x150

所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.

(2)⑴证明

P(AB)P(而)P(AB)P(丽)

„P(8|A)P(B\A)P(B\A)P(B\A)P(A)P(A)P(AB)P(X丽P(3)P(B)P(A\B)P(A|fi)；

A=----=------:-----=-=-=-----=------=-=----------=------=----=--------=-------=----=------=-------------=-=----=-----------------=—

P(B|A)P(B|A)P(B|A)P(B\A)P(AB)P(AB)P(AB)P(AB)P(AB)P(A8)P(A|B)P(A\B)

尸(A)P(A)P(B)P(7)

(ii)利用调查数据，P(A\B)=—=~,P(A|S)=—=—,,

1005100105

--9

P(A|8)=1-P(A|8)=3,

9

2

106

所以R=~1x丁=

510

4.(2023•新高考H)某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异,

经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：

频率频率

患病者未患病者

利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c,将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判

定为阴性，此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为p(c)；误诊率是将未患病者判定为

阳性的概率，记为q(c).假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.

(1)当漏诊率p(c)=0.5%时，求临界值c和误诊率q(c)；

(2)设函数/(c)-p(c)+q(c).当ce[95,105],求/(c)的解析式，并求f(c)在区间[95,

105]的最小值.

【解析】(1)当漏诊率p(c)=0.5%时，

则(。―95)・0.002=0.5%,解得c=97.5;

q(c)=0.01x2.5+5x0.002=0.035=3.5%；

(2)当cw［95,100］时，

f(c)=p(c)+q(c)=(c-95)-0.002+(100-c)-0.01+5x0.002=-0.008c+0.82..0.02,

当ce(100,105］时，f(c)=/?(c)+<?(c)=5x0.(X)2+(c-100)-0.012+(105-c)-0.002=0.0k—0.98>0.02，

以,、［-0.008c+0.82,95^t100

故f(c)={，

J［0.01c-0.98,100<c„105

所以/(c)的最小值为0.02.

5.(2022•新高考H)在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样

本数据的频率分布直方图：

(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；

(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间［20,70)的概率；

(3)已知该地区这种疾病患者的患病率为0.1%,该地区年龄位于区间［40,50)的人口占该地区总人口的

16%.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间［40,50),求此人患这种疾病的概率(以样本数据中

患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001).

♦频率/组距

0.023

0.020

0.017

0.012

0.006

0.002

0.001

【解析】(1)由频率分布直方图得该地区这种疾病患者的平均年龄为:

5=5x0.001x10+15x0.002x10+25x0.012x10+35x0.017x10+45x0.023x10+55x0.020x10+65x0.017x10+75x0.006x10+85x0.002x10=47.9^•

(2)该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20,70)的频率为：

(0.012+0.017+0.023+0.020+0.017)x10=0.89,

估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间L20,70)的概率为0.89.

(3)设从该地区中任选一人，此人的年龄位于区间［40,50)为事件5,此人患这种疾病为事件C,

P(BC)0.1%x0.023xl0八八八，“

则尸(C[8)=---------=-----------------------«0.0014.

P(B)16%

6.(2023•上海)2023年6月7日，21世纪汽车博览会在上海举行，已知某汽车模型公司共有25个汽车模

型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示:

红色外观蓝色外观

棕色内饰128

米色内饰23

(1)若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件A为小明取到红色外观的模型，事件8为小明取到棕色

内饰的模型，求P(B)和P(8|A),并判断事件A和事件3是否独立；

(2)该公司举行了一个抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人可以一次性从这些模型中拿两个汽车模型，给

出以下假设：

假设1：拿到的两个模型会出现三种结果，即外观和内饰均为同色、外观和内饰都异色、以及仅外观或仅内

饰同色；

假设2：按结果的可能性大小，概率越小奖项越高；

假设3：该抽奖活动的奖金额为：一等奖600元，二等奖300元、三等奖150元；

请你分析奖项对应的结果，设X为奖金额，写出X的分布列并求出X的数学期望.

【解析】(1)若红色外观的模型，则分棕色内饰12个，米色内饰2个，则对应的概率P(A)=12+2=11,

2525

若小明取到棕色内饰，分红色外观12,蓝色外观8,则对应的概率P(B)=@些="=3.

25255

取到红色外观的模型同时是棕色内饰的有12个，即P(AB)=—,

25

126

P(AB)=1-2=

贝I]P网A)=257-

P(A)1414

25

1445612

P(A)P(B)=—x-=-----H-：.P(A)P(B)#P(AB),

25512525

即事件4和事件3不独立.

(2)由题意知X=600,300,150,

C；2+C；+C；+C；66+28+3+1_9849

则外观和内饰均为同色的概率P=

300300150

外观和内饰都异色的概率2=曳£^=冬，

或300

仅外观或仅内饰同色的概率2=1-&-乌=当,

150300300

1504952

--->--->---,

300150300

150984952

...P(X=150)=—,P(X=300)=—=—,P(X=600)=—,

300300150300

则X的分布列为:

X150300600

P1504952

300Tso300

贝ijEX=150x——+300X—+600X——=277（元）.

300150300

7.（2022•甲卷（理））甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得

0分，没有平局.三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在三个项目中获胜的概率分

别为0.5,0.4,0.8,各项目的比赛结果相互独立.

（1）求甲学校获得冠军的概率；

（2）用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望.

【解析】（1）甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8,可以得到两个学校每场比赛获胜的概

率如下表：

第一场比赛第二场比赛第三场比赛

甲学校获胜概率0.50.40.8

乙学校获胜概率0.50.60.2

甲学校要获得冠军，需要在3场比赛中至少获胜2场，

①甲学校3场全胜，概率为：[=0.5x0.4x0.8=0.16,

②甲学校3场获胜2场败1场，概率为：P2=0.5x0.4x0.2+0.5x0.6x0.8+0.5x0.4x0.8=0.44,

所以甲学校获得冠军的概率为：尸=[+£=0.6；

(2)乙学校的总得分X的可能取值为：0,10,20,30,其概率分别为：

P(X=0)=0.5x04x0.8=0.16,

P(X=10)=0.5x0,4x0.2+0.5x0,6x0.8+0.5x0.4x0.8=0.44,

P(X=20)=0.5x0.6x0.8+0.5x0.4x0.2+0.5x0.6x0.2=0.34,

P(X=30)=0.5x0.6x0.2=0.06,

则X的分布列为：

X0102030

P0.160.440.340.06

X的期望E¥=0x0.16+10x0.44+20x0.34+30x0.06=13.

8.（2022•北京）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.50加以上（含9.50〃?）

的同学将获得优秀奖.为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理

得到如下数据（单位：〃?）：

甲：9.80,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40,9.35,9.30,9.25；

乙：9.78,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23；

丙：9.85,9.65,9.20,9.16.

假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立.

（I）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；

（II）设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望£¥；

（III）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）

【解析】（I）甲以往的10次成绩中有4次获得优秀奖，用频率估计概率，则甲在校运动会铅球比赛中获

得优秀奖的概率±=2.

105

（II）用频率估计概率，则乙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率为丙在校运动会铅球比赛中

62

获得优秀奖的概率若小

X的所有可能取值为0,1,2,3,

Q117

贝IJP(X=0)=—x—x—=——

52220

P(x=i)3k-82

522522522205

52252252220

1

P(X=3)=|xlxl=A=

10

3877

EX=0x---Fix---i-2x+3x—=

202020205

（III）由题中数据可知，乙与丙获得优秀奖的概率较大，均为工，且丙投出过三人成绩中的最大值9.85加，

2

在三人中有一定优势，

故如果发挥较好的话丙获得的概率估计值最大.

9.（2021•北京）在核酸检测中，“&合1”混采核酸检测是指：先将人个人的样本混合在一起进行1次检测，

如果这k个人都没有感染新冠病毒，则检测结果为阴性，得到每人的检测结果都为阴性，检测结束；如果这

%个人中有人感染新冠病毒，则检测结果为阳性，此时需对每人再进行1次检测，得到每人的检测结果，检

测结束.

现对100人进行核酸检测，假设其中只有2人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确.

（I）将这100人随机分成10组，每组10人，且对每组都采用“10合1”混采核酸检测.

（i）如果感染新冠病毒的2人在同一组，求检测的总次数：

（ii）已知感染新冠病毒的2人分在同一组的概率为设X是检测的总次数，求X的分布列与数学期望

11

E(X).

(II)将这100人随机分成20组，每组5人，且对每组都采用“5合1”混采核酸检测.设丫是检测的总次

数，试判断数学期望E(y)与(1)中E(X)的大小.(结论不要求证明)

【解析】(I)(i)若采用“10合1检测法”，每组检查一次，共10次:

又两名患者在同一组，需要再检查10次，

因此一共需要检查20次.

(ii)由题意可得：X=20,30.

P(X=20)=—,P(X=30)=—.

1111

可得分布列：

X2030

P110

T7TT

E(X)=20x—+30x—=—.

111111

(II)由题意可得:Y=25,30.

p(y=25)=20x-^^-=—,P(Y=30)=—.

C；1M9999

可得分布列:

Y2530

P495

9999

E(y)=25xA30x—=2880320

+>----

999999997F

E(X)<E(Y).

另设“10合1”混采核酸检测两名感染患者在同一组的概率为P1,“5合1”混采核酸检测两名感染患者在

同一组的概率为p2,则P|>必，

此时有E(X)=20月+30(1-月)=30-10用；

而E(y)=25/?2+30(1-p2)=30-5/?2>30—5月>30-10/?!=E(X),

E(X)<E(Y).

10.(2021•新高考I)某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A,8两类问题.每位参加比赛的同学先在

两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一

类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正

确得20分，否则得。分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得。分.

已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8,能正确回答8类问题的概率为0.6,且能正确回答问题的概率

与回答次序无关.

(1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；

(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.

【解析】(1)由已知可得，X的所有可能取值为0,20,100,

则尸(X=0)=1-0.8=0.2,

P(X=20)=0.8x(1-0.6)=0.32

P(X=100)=0.8x0.6=0.48,

所以X的分布列为：

X020100

P0.20.320.48

(2)由(1)可知小明先回答A类问题累计得分的期望为E(X)=0x0.2+20x0.32+100x0.48=54.4,

若小明先回答8类问题，记V为小明的累计得分，

则y的所有可能取值为oso,wo,

p(y=0)=l-0.6=0.4,

P(Y=80)=0.6x(l-0.8)=0.12,

P(y=100)=0.6x0.8=0.48,

则y的期望为£(y)=0x0.4+80x0.12+100x0.48=57.6,

因为E(y)>E(X),

所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答B类问题.

11.(2023•新高考I)甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未

命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6,乙每次投篮的命中率均为

0.8.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.

(1)求第2次投篮的人是乙的概率；

(2)求第i次投篮的人是甲的概率；

(3)已知：若随机变量X,服从两点分布，且P(X,=l)=l-P(X,=0)=g,,z=l,2,,n,则

E(fx；)=f%.记前〃次(即从第1次到第"次投篮)中甲投篮的次数为丫，求反丫).

»=1/=1

【解析】(D设第2次投篮的人是乙的概率为P,

由题意得P=0.5x0.4+0.5x0.8=0.6；

(2)由题意设勺为第〃次投篮的是甲，

则匕T=0.6P„+0.2(1-匕)=0.4月+0.2,

.""=0.4(4)，

又1-1=_L-_l=J_xO,则｛6-1｝是首项为1,公比为0.4的等比数列，

323636

•••哈—即4+永(2

.•.第i次投篮的人是甲的概率为(|尸；

(3)由(2)得q=g+：x(*T,

由题意得甲第i次投篮次数工服从两点分布，且p(z=i)=i-p(x=o)=e，

E(tz)=E(y)=